四川省绵阳市三台中学校2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试卷

秘密★启用前 2024级高三（上）第二次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共6页；答题卡共2页．满分150分，考试时间150分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（ ） A． B． C． D． 3．已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．已知，，，则（ ） A． B． C． D． 5．当自然光线从介质1射入介质2，在电介质界面上发生反射和折射时，可以将入射光按偏振方向分解为垂直偏振光（记为光）和平行偏振光（记为光），利用菲涅尔公式可以对两类光的反射系数（反射光振幅/入射光振幅）和透射系数（透射光振幅/入射光振幅）进行计算，其中光的反射系数计算公式为，光的透射系数计算公式为，和分别为介质1，2的折射率，和分别为入射角和折射角（），且满足斯涅尔定律：，现有一束自然光线以某个角度从折射率为1的介质射入折射率为的介质，若光的反射系数为0，则光的透射系数为（ ） A．1 B． C． D． 6．已知实数a，b，满足，则的最小值是（ ） A． B． C．1 D．2 7．若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．已知函数，满足：对任意，，当时，都有成立，则实数a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9．已知，，则（ ） A． B． C． D． 10．已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．在区间上单调递减 D．为偶函数 11．在边长为1的正方形中，作它的内接正方形，且使得；再作正方形的内接正方形，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示．设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形的边长为，第2个正方形的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形的面积为，第2个直角三角形的面积为，…），则（ ） A．数列是公比为的等比数列 B． C．数列是公比为的等比数列 D．数列的前n项和 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12．计算：________． 13．已知，则________． 14．已知函数，其中且．给出下列四个结论： ①若，则函数的零点是0；②若函数无最小值，则a的取值范围为； ③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1； ④若关于x的方程恰有三个不相等的实数根，，，则a的取值范围为，且的取值范围为．其中，所有正确结论的序号是________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16．某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 （1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程； （2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好，并根据你选择的模型预测时的销售量． 参考数据：，．附：，． 17．已知函数． （1）若函数在区间上不单调，求a的取值范围； （2）令，当a>0时，求在区间上的最大值． 18．已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数a的取值范围． 19．设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数．若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反．已知． （1）已知，求过点且与曲线相切的直线方程； （2）判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $2024级高三（上)第二次月考数学参考答案 一、选择题 1.B2.D3.A4.C5.B6.C7.A8.D 9.AC 10.ABD 11.BD 二、填空题 7 12.0 13. 14.①③④ 三、解答题 15.1)a,=3nc2) 3=3n2+3n81-8 7 【详解】(1)设等差数列a}的公差为d,d≠0.由4=3,4，4,4成等比数列，得4=4,4， 即3+3d=(B+d0(3+7d).解得d=3或d=0(舍去).所以a,=3+(n-)x3=3n (2)由q)知0.=3n,所以b.=3n+2”.从而数列，}的前n项和 3=(3+6+9+…+3m）小+(2+2++20） n(3+3m）,8×1-8）3n2+3n,81-8 2 1-8 2 7 16.(1)=0.17x+2.84(2)=1.63+0.99更好，销售量的预测值为：658. x=1+2+4+6+11+13+19=8 【详解】(1)由题意得， 7 万=1,9+3.2+40+4,4+5.2+5.3+54_294=4.2 7 7 立294 ∑x2=1+4+16+36+121+169+361=708 立xy-7可 6= 279.4-7×8×4.2279.4-235.244.2 -7x 708-7×82 708-448260 =0.17 所以 i=1 ，所以 a=-bx=4.2-0.17×8=2.84 所以y关于x的线性回归方程为)=0.17x+2.84 (2)因为0.75<0.88，且R越接近于1，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用=1.63+0.99√更好.当x=25时，销售量的预测值为：=1.63+0.99×V25=6,58. 7.N (2)0<a≤1时， Fo=F0=- 2a,当1<a<2时， F(x)mnx=F(a)=2alna-2a- 5a当a22时，FWaF0=2a2-2a2 【详解】1)函数/四的定义域为0+如).()=x+2-2=-2x+2a 令8()=r-2x+2,其对称轴为x=1,因为函数f()在区间（，2)上不单调， g()<0 -1+2a<0 所以8(2)>0即1 0<a< 2a>0,解得 2,所以a的取值范围为 (2) F)=+2al-2-,商数F()的院义减为0+回) F()=x+20-2-a=-2x-ar+2a_x-20x-a O0<a≤1时，令F'(x)>0得0<x<a或x>2, 3 令F'()<0得a<x<2,所以两数F()在，2习上单调造减，所uF6m=F0=一之a ②1<a<2时，由①知F(y在(L,a)上单调递增，在(a,2)上单调递减，所以 fe=@-20a-2n-a-2时F四20.年a刊左习！年设 所以F()m=F(2)=2alh2-2a-2④a>2时，令F'()>0得0<x<2或x>a,令F'(x)<0得 2<x<a,所以函数F()在，2]上单调递增，所以F(mr=F(2)=2an2-2a-2 综上：0<a≤1时， em=r0=}0,1a<2 F@)=F(a)=2alna-2a-Ia a≥2时，Fo)mx=F(2)=2aln2-2a-2 eo-m2x+Aa8[e(gg ()-3sinoxcosx+sin .1 1-cos2@x -sin2@x 【详解】(1) 2 sin2ox+cos2ox=sin2ox+ 2 Tπ 相邻对称轴距离22 T=xT-8=→0-1f(=m2x+ 20 ,即 +2km≤2x+Ts+2hm (2)解不等式2 62 +m≤x≤+低，keZ. ,可得3 6 =0或1，与r∈0，可求交集：递增区间为06] 在p司，女 都有8()-f()<3 等价于3)m-f)<3.与e0引 ,π「π7π 2x2+ 6L6'6 )n 不等式转化为 3+f(xm=2.g(x)-2sinx+3acosx-4-2(1-cos)+3acosx-4 =-2c0s2x+3ac0sx-2, 3a t= 令1=osx,x∈[0，小1-，，h@=-2+3a1-2,开口向下，对称轴 4, 30s-1→a5-4 134 a∈ 当 时.盘大货（如-4.代40） 2解不等式，得 (63 h 3a9a-2 44 a∈ 当4 3时，最大值 48 ,代入 2解不等式，得 3’3 30≥1→a≥4 当 时，发大货0=知-4.代) 413 a∈ 2解不等式，得“36， 综上， 1313 ae-66 19.【详解】(1)y=x-1(2)f()是凹函数.(3》证明见解析. )'()=mx+1,令切点P(,血x),则过点P的切线方程y=(血，+1x-x)+血， 因为切线过点A(0,-),则，(+)+x血=-1，解得名=L,所以切线方程为y=x-1 （2)证明如下： 46）1.学n5华-6*) =到学-到a结-小h5若学h装 22x 年=xh+n=n台+会 不妨令，则2xx2x F-刘P公公 52l两女分1.到Fs0,F日A.P回F0=0 所以 学)s6团 ,所以（是四函数. (3)由题意，因为/(0)是凹函数，且y=x-1是它的切线，则()≥x-1, 近=we>0.用-1----)--0 。在，-