精品解析：四川省绵阳市三台中学校2026-2027学年高三上学期第二次月考数学试卷

2024级高三（上）第二次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共6页；答题卡共2页．满分150分，考试时间150分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 当自然光线从介质射入介质，在电介质界面上发生反射和折射时，可以将入射光按偏振方向分解为垂直偏振光（记为光）和平行偏振光（记为光），利用菲涅尔公式可以对两类光的反射系数（反射光振幅/入射光振幅）和透射系数（透射光振幅/入射光振幅）进行计算，其中p光的反射系数计算公式为光的透射系数计算公式为和分别为介质的折射率，和分别为入射角和折射角（），且满足斯涅尔定律：，现有一束自然光线以某个角度从折射率为的介质射入折射率为的介质，若光的反射系数为，则光的透射系数为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 11. 在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，…），则（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列的前n项和 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 13. 已知，则__________. 14. 已知函数，其中且．给出下列四个结论： ①若，则函数的零点是； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1； ④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，且的取值范围为． 其中，所有正确结论的序号是_______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 （1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程； （2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好，并根据你选择的模型预测时的销售量． 参考数据：：，．附：，． 17. 已知函数． （1）若函数在区间上不单调，求的取值范围； （2）令，当时，求在区间上的最大值． 18. 已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 19. 设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知. （1）已知，求过点A且与曲线相切的直线方程； （2）判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024级高三（上）第二次月考 数学 本试卷分为试题卷和答题卡两部分，其中试题卷由第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）组成，共6页；答题卡共2页．满分150分，考试时间150分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，同时用2B铅笔将考号准确填涂在“考号”栏目内． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再选涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后将答题卡收回． 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，且，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由集合B中元素都属于A求解，注意进行检验特别是元素的互异性. 【详解】若，则，此时，不合题意， 若，则或，时，不合题意，时，满足题意. 所以，从而的取值集合为. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据代数式有意义，列式求解即可. 【详解】由函数有意义，则，即， 所以函数的定义域为. 故选：D. 3. 已知，不等式：①；②；③恒成立的个数是（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】举反例逐一判断三个不等式，已知仅给出条件，没有限定的正负性： ①：取，，满足，但，，此时，故①不恒成立； ②：取，，满足，但，，此时，故②不恒成立； ③：取，，满足，此时，，，即， 故③也不恒成立； 三个不等式都无法在的条件下保证成立，成立的个数为. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数函数单调性得，再结合幂函数性质比较大小即可. 【详解】, 而，所以. 故选：A. 5. 当自然光线从介质射入介质，在电介质界面上发生反射和折射时，可以将入射光按偏振方向分解为垂直偏振光（记为光）和平行偏振光（记为光），利用菲涅尔公式可以对两类光的反射系数（反射光振幅/入射光振幅）和透射系数（透射光振幅/入射光振幅）进行计算，其中p光的反射系数计算公式为光的透射系数计算公式为和分别为介质的折射率，和分别为入射角和折射角（），且满足斯涅尔定律：，现有一束自然光线以某个角度从折射率为的介质射入折射率为的介质，若光的反射系数为，则光的透射系数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据光的反射系数为，求出与的关系，再结合斯涅尔定律求出和的值，最后代入光的透射系数计算公式求出结果. 【详解】由题意知，p光的反射系数， 即①， 又由，有②， 根据，由②可得；由①代入可得： ，两边平方得，又因为，则， 即，所以，因为，所以，则， 所以， 代入，计算得. 故选：A. 6. 已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为， 所以，当且仅当时等号成立. 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复合函数单调性即可求得的取值范围. 【详解】函数在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增, 所以对称轴，解得 , 当时，，解得, 所以的取值范围是. 故选：C 8. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，题中条件转化为判断在上是增函数，进而再由题意列出不等式组求解即可. 【详解】由对任意，当时，都有，成立， 得. 令， 则在上是增函数. 所以，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】利用诱导公式判断A，利用两角差的正切公式判断B，利用二倍角公式判断C，利用两角和的正切公式判断D. 【详解】对于A：因为，所以，故A错误； 对于B：因为，， 所以，故B正确； 对于C：因为，所以，故C错误； 对于D：因为、， 所以，故D正确. 故选：BD 10. 已知是定义在上的奇函数，图象关于对称，且当时，单调递减，则下列说法正确的是（    ） A. B. C. 在区间上单调递减 D. 为偶函数 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意可得，，进而求解判断AB；利用对称性和单调性可判断C；利用函数奇偶性的定义可判断D. 【详解】由知是定义在上的奇函数，则，且， 又的图象关于对称，则， 令，则，故A正确； 由，得， 则，故B正确； 由为奇函数，且时，单调递减，则其在单调递减， 又图象关于对称，则在区间上的单调性与在区间的单调性相反， 即在区间上单调递增，故C错误； 因为，即， 所以，故， 因此函数为偶函数，故D正确. 故选：ABD. 11. 在边长为1的正方形ABCD中，作它的内接正方形EFGH，且使得；再作正方形EFGH的内接正方形MNPQ，且使得；与之类似，依次进行，就形成了阴影部分的图案，如图所示.设第n个正方形的边长为（其中第1个正方形ABCD的边长为，第2个正方形EFGH的边长为，…），第n个直角三角形（阴影部分）的面积为（其中第1个直角三角形AEH的面积为，第2个直角三角形EQM的面积为，…），则（ ） A. 数列是公比为的等比数列 B. C. 数列是公比为的等比数列 D. 数列的前n项和 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项，计算出，得到，数列是公比为的等比数列，故A不正确；B选项，得到通项公式，故，故，判断BC；D选项，利用等比数列求和公式得到D正确. 【详解】A选项，如图： 由图知， ，∴，数列是公比为的等比数列，故A不正确； 对于BC：因为， 所以，故， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，故B正确，C不正确； 对于D：因为，故D正确. 故选：BD. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ________． 【答案】 【解析】 【分析】根据指数和对数的运算性质求解. 【详解】原式. 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换将已知条件化为，利用二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为， 即， 所以，， 所以， 所以. 14. 已知函数，其中且．给出下列四个结论： ①若，则函数的零点是； ②若函数无最小值，则的取值范围为； ③若存在实数，使得对任意的，都有，则的最小值为1； ④若关于的方程恰有三个不相等的实数根，，，则的取值范围为，且的取值范围为． 其中，所有正确结论的序号是_______． 【答案】①③④ 【解析】 【分析】分，， ，四种情况作出函数的简图，然后对四个结论逐一判断正误. 【详解】对于①：当时，显然，当时，无零点； 当时，由可得，所以的零点是0. 故①正确； 对于②：当时，简图如下： 当时，简图如下： 当时，简图如下： 当时，简图如下： 由图可知，若无最小值，则或. 故②错误； 对于③：若存在实数，使得对任意的，都有， 由图可知或，此时存在使得恒成立，则的最小值为，故③正确； 对于④：由图可知，只有当且即时，方程才有三个不相等的实数根. 不妨设三个根由小到大依次为，，，显然. 由得，故，且， 所以，故，从而. 故④正确. 故答案为：①③④. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是：分，， ，四种情况作出函数的简图. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列是公差不为零的等差数列，，，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用等比中项建立方程求出公差，写出等差数列通项； (2)分组求和，分别计算等差数列与等比数列的前项和再相加. 【小问1详解】 设等差数列的公差为，． 由，，，成等比数列，得， 即． 解得或（舍去）． 所以． 【小问2详解】 由（1）知，所以． 从而数列的前项和 . 16. 某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x（单位：万元）和销售量y（单位：万台）的数据如下： 年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 广告费支出x 1 2 4 6 11 13 19 销售量y 1.9 3.2 4.0 4.4 5.2 5.3 5.4 （1）若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程； （2）若用模型拟合y与x的关系，可得回归方程，经计算线性回归模型和该模型的分别约为0.75和0.88，请根据的值，判断选择哪个回归模型更好，并根据你选择的模型预测时的销售量． 参考数据：：，．附：，． 【答案】（1） （2）更好，销售量的预测值为：6.58 【解析】 【分析】（1）根据所给的公式进行求解即可； （2）根据的意义，结合代入法进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得，， ， ，， 所以， 所以， 所以关于的线性回归方程为. 【小问2详解】 因为，且越接近于1，反映残差平方和越小，模型的拟合效果越好， 所以选用更好． 当时，销售量的预测值为：． 17. 已知函数． （1）若函数在区间上不单调，求的取值范围； （2）令，当时，求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 时， 时， 时， 【解析】 【分析】（1）利用导函数讨论单调性，求的范围即可； （2）利用导函数求解在上的单调性，按照的不同取值分类讨论，即可求得最大值. 【小问1详解】 函数的定义域为 令，其对称轴为， 因为函数在区间上不单调， 所以即， 解得，所以的取值范围为． 【小问2详解】 ， 函数的定义域为 ①时，令得或， 令得， 所以函数在上单调递减， 所以 ②时，由①知在上单调递增，在上单调递减， 所以 ③时，， 所以在上单调递增， 所以 ④时，令得或， 令得， 所以函数在上单调递增， 所以 综上：时， 时， 时， 18. 已知函数，，且图象的相邻两条对称轴之间的距离为． （1）求函数解析式； （2）求在上的单调递增区间； （3）设，若对任意的，，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）三角恒等变换降幂，利用对称轴间距求周期，算出； （2）正弦函数增区间整体代换，再和定义域取交集； （3）任意性恒成立转化：，分别求其最值，解不等式求出的取值范围. 【小问1详解】 ， 相邻对称轴距离，， 即. 【小问2详解】 解不等式， 可得， 或，与求交集： 递增区间为，. 【小问3详解】 对于任意的，，都有， 等价于， ，，， 不等式转化为， ， 令，， ，开口向下，对称轴， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 当时，最大值， 代入解不等式，得， 综上，. 19. 设函数在区间上的图象是连续不断的，如果对上任意，恒有，那么称在上是凹函数；如果恒有，那么称在上是凸函数.若是凹函数的一条切线，则总有成立，而凸函数则相反.已知. （1）已知，求过点A且与曲线相切的直线方程； （2）判断在上是凹函数还是凸函数，并加以证明； （3）证明：. 【答案】（1） （2） 是凹函数.证明如下： 令，则 不妨令，则， 记， 则 因为，所以，则，所以在单调递减， 则， 所以， 从而，所以是凹函数. （3） 由题意，因为是凹函数，且是它的切线，则， 记，则， 即.所以. 【解析】 【分析】（1）先求导并切点，进而得切线方程，将点A代入切线方程求出即可得解； （2）换元和变形构造并结合导数工具计算分析差值的正负情况即可得证； （3）先由是凹函数且是它的切线得到，接着记，求证即可得证. 【小问1详解】 ，令切点， 则过点的切线方程， 因为切线过点，则，解得， 所以切线方程为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $