江苏宿迁市沭阳如东中学2026～2027学年高一上学期阶段测试（一）数学试卷

2026级高一第一学期阶段测试（一） 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 2．函数的零点为（　　） A．和 B． C．和 D．和 3．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 4．不等式的解集为，则函数的图像大致为（　　） 5．某体育局为调查学生观看第33届巴黎奥运会的情况，统计了某高中高一（1）班55名学生的观看情况：55名学生观看比赛项目都集中在球类比赛、水上运动比赛、田径比赛这三类，其中8名学生只观看了球类比赛，5名学生只观看了水上运动比赛，6名学生只观看了田径比赛，既观看过球类比赛又观看过水上运动比赛的学生有24名，既观看过球类比赛又观看过田径比赛的学生有20名，既观看过水上运动比赛又观看过田径比赛的学生有18名，则该班这三类比赛都观看过的学生人数为（　　） A． B． C． D． 6．设，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．设为正数，且，，则的值为（　　） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．已知，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（　　） A．自来水管横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B．在克盐水中含有克盐（），再加入克盐，全部溶解，则盐水变咸了 C．某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率为 D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略。第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。用第二种方式购买一定更实惠 11．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则。下列判断中，正确的有（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．求值：______． 13．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为______． 14．已知正数满足，则的最大值是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分）（1）求值：； （2）已知，求的值。 16．（15分）设，已知集合，。 （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围。 17．（15分）桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为米，如图，设池塘所占的总面积为平方米。 （1）试用表示并写出的取值范围； （2）当取何值时，才能使得最大？并求出的最大值。 18．（17分）一般的，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数。 （1）若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围。 19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法。 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等。 例如，，求证：。证明：原式。 阅读材料二：基本不等式（），当且仅当时等号成立。例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，当且仅当，即时取最小值。请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解关于的方程； （3）若正数满足，求的最小值。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026级高一第一学期阶段测试（一） 数学 参考答案与解析 一、单选题 1．已知集合，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列举中的整数，再与取交集。 【解答】，，所以，选A。 2．函数的零点为（　　） A．和 B． C．和 D．和 【答案】C 【分析】令解方程。 【解答】，得或，选C。 3．命题“，”的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】全称量词命题的否定是存在量词命题，结论否定。 【解答】把“”改为“”，把“”否定为“”，得，，选C。 4．不等式的解集为，则函数的图像大致为（　　） 【答案】C 【分析】由解集确定及的根。 【解答】由解集知，，所以。于是，开口向下，零点，选C。 5．某体育局为调查学生观看第33届巴黎奥运会的情况，统计了某高中高一（1）班55名学生的观看情况：55名学生观看比赛项目都集中在球类比赛、水上运动比赛、田径比赛这三类，其中8名学生只观看了球类比赛，5名学生只观看了水上运动比赛，6名学生只观看了田径比赛，既观看过球类比赛又观看过水上运动比赛的学生有24名，既观看过球类比赛又观看过田径比赛的学生有20名，既观看过水上运动比赛又观看过田径比赛的学生有18名，则该班这三类比赛都观看过的学生人数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用容斥原理，设三类都看过的有人。 【解答】只观看一类的人数和为；只观看两类的分别为。由得，选D。 6．设，若，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用，用柯西不等式。 【解答】，当时取等号，选B。 7．设为正数，且，，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】代入，两边取次方根。 【解答】由得，即，所以，选D。 8．已知函数，，若对于任意的实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分、讨论，时，只需考察。 【解答】时，时（）或（），不成立。时，有；只需时。当时在上最小值；当时需，得。合并得，选B。 二、多选题 9．已知，下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】逐项用不等式性质或举反例。 【解答】A中，所以，正确；B中，，又，所以，错误；C中取，左边，右边，错误；D中，正确。选AD。 10．根据不等式的有关知识，下列日常生活中的说法正确的是（　　） A．自来水管横截面制成圆形而不是正方形，原因是：圆的面积大于与它具有相同周长的正方形的面积 B．在克盐水中含有克盐（），再加入克盐，全部溶解，则盐水变咸了 C．某工厂第一年的产量为，第二年的增长率为，第三年的增长率为，则这两年的平均增长率为 D．购买同一种物品，可以用两种不同的策略。第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定。用第二种方式购买一定更实惠 【答案】ABD 【分析】逐项建立数学模型判断。 【解答】A正确，周长相同时圆面积最大；B正确，；C错误，平均增长率应为；D正确，固定钱数购买在价格低时买得更多，平均价格更低。选ABD。 11．非空集合具有如下性质：①若，则；②若，则。下列判断中，正确的有（　　） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】由非空及除法先得，再生成正有理数。 【解答】取得。若，则，与中分母不能为0矛盾，故A正确；由及加法、除法可生成所有正有理数，B正确；，C正确；D不一定成立。选ABC。 三、填空题 12．求值：______． 【答案】 【分析】。 【解答】。 13．已知集合，设，且，则集合的元素的个数为______． 【答案】 【分析】，分别讨论来自哪个二次方程。 【解答】即。的根为，的根由另一式给出。若来自第一式，则，必来自第二式，得，；若来自第二式，则，必来自第一式，得，。两种情形均有4个元素。 14．已知正数满足，则的最大值是______． 【答案】 【分析】令，用的范围及基本不等式。 【解答】设，则。由，固定时左边关于的最小值为，故，即，化简得，当取相应值时可达。故最大值为。 四、解答题 15．（13分）（1）求值：； （2）已知，求的值。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）逐项化为幂计算；（2）令，用平方关系。 【解答】（1）原式。 （2）令，由得，所以，。分母。故原式。 16．（15分）设，已知集合，。 （1）当时，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求的取值范围。 【答案】（1）；（2）。 【分析】（1）分别解不等式；（2）必要条件即，且。 【解答】（1）：，得。时。所以。 （2）可化为，另一根为。由且，需，即。故。 17．（15分）桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围（阴影部分所示）种植桑树，池塘周围的基围宽均为米，如图，设池塘所占的总面积为平方米。 （1）试用表示并写出的取值范围； （2）当取何值时，才能使得最大？并求出的最大值。 【答案】（1），；（2）时，。 【分析】设矩形地块宽为，用表示池塘总高与总宽。 【解答】（1）矩形地块宽为，池塘总高为，其中上池塘高，下池塘高，所以，。上池塘宽为，下两池塘总宽为，故。由及得。 （2），当，即时取等号，故。 18．（17分）一般的，对于一个函数，我们可以用符号表示，已知函数。 （1）若函数在和上各有1个零点，求实数的取值范围； （2）解关于的不等式； （3）已知，不等式的解集为，若，求实数的取值范围。 【答案】（1）；（2）答案见解析；（3）。 【分析】（1）用零点存在性列端点符号；（2）因式分解为；（3）分离参数。 【解答】（1）需，即，解得。 （2）不等式化为，即。当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为。 （3）。时恒成立；时，，故。 19．（17分）《见微知著》谈到：从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂；从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是思想阀门发现新问题、新结论的重要方法。 阅读材料一：利用整体思想解题，运用代数式的恒等变形，使不少依照常规思路难以解决的问题找到简便解决方法，常用的途径有：（1）整体观察；（2）整体设元；（3）整体代入；（4）整体求和等。 例如，，求证：。证明：原式。 阅读材料二：基本不等式（），当且仅当时等号成立。例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：，，，即，当且仅当，即时取最小值。请根据以上阅读材料解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）若，解关于的方程； （3）若正数满足，求的最小值。 【答案】（1）；（2）；（3）。 【分析】（1）整体代入；（2）先证恒等式；（3）消元后用代数变形。 【解答】（1）由，，所以。 （2）令，则，且。原方程左边，所以，。 （3）由得，。设，整理得，由判别式且得，当时取等号，故最小值为。 高一数学试卷 第 1 页（共 4 页） 学科网（北京）股份有限公司 $