1.5 全称量词与存在量词 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第一章 集合与常用逻辑用语 1 1.5 全称量词与存在量词 2 1.5.1 全称量词与存在量词+1.5.2 全称 量词命题和存在量词命题的否定 3 01 知识绘 02 易错记 03 重难斩 4 知识点1 全称量词与全称量词命题 基本点 1.全称量词与全称量词命题的概念 （1）全称量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“<m></m> ”表示. （2）全称量词命题 ①定义：含有全称量词的命题，叫做全称量词命题. ②符号表示：通常，将含有变量<m></m>的语句用<m></m>，<m></m>，<m></m>，<m></m> 表示，变量<m></m>的取值范围用<m></m>表示.那么， 全称量词命题“对<m></m>中任意一个<m></m>，<m></m>成立”可用符号简记为“<m></m>，<m></m>”.<m></m> 注意1 5 （1）在某些全称量词命题中，全称量词有时可以省略，在判断某命题是不是全称量词命题时要特别 注意.例如，长方体是六面体，它指的是“所有的长方体都是六面体”. （2）常见的全称量词还有很多，由于全称量词不同，因此，同一个命题的不同表述形式如表： 命题 全称量词命题“， ” 表述形式 ①对所有的，都有 成立; ②对一切，都有 成立; ③对每一个，都有 成立; ④任给一个，都有 成立; ⑤凡是，都有 成立 （1）全称量词命题是陈述某集合所有元素都有某种性质的命题. （2）一个全称量词命题可以包含多个变量.如,, . 6 2.全称量词命题真假的判断 （1）要判定全称量词命题“<m></m>,<m></m>”是真命题，需要对集合<m></m>中每个元素<m></m>，证明<m></m>成立； （2）要判定全称量词命题“<m></m>,<m></m>”是假命题，只需举出一个反例，即在集合<m></m>中找到一个元素<m></m>， 使<m></m>不成立，那么这个全称量词命题就是假命题. 7 知识点2 存在量词与存在量词命题 基本点 1.存在量词与存在量词命题的概念 （1）存在量词 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“<m></m> ”表示. （2）存在量词命题 ①定义：含有存在量词的命题，叫做存在量词命题. ②符号表示：存在量词命题“存在<m></m>中的元素<m></m>，<m></m>成立”可用符号简记为“<m></m>，<m></m>”.<m></m> 注意2 8 常见的存在量词还有很多，由于存在量词不同，因此，同一个命题的不同表述形式如表： 命题 存在量词命题“， ” 表述形式 ①存在，使 成立; ②至少有一个，使 成立; ③对有些，使 成立; ④对某些，使 成立; ⑤有一个，使 成立 （1）存在量词命题是陈述某集合中有（存在）一些元素具有某种性质的命题. （2）一个存在量词命题可以包含多个变量，如,，使 （3）如果一个命题含有存在量词，不管包含的范围有多大，都是存在量词命题. 示例 9 示例 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题. （1）对任意的， 都成立； 【解】由于命题中含有全称量词“任意的”，因此，该命题是全称量词命题. （2），使 . 【答案】由于“”表示存在实数 ，即命题中含有存在量词，因此，该命题是存在量词命题. （4）有些存在量词命题也可能省略了存在量词. （5）同一个全称量词命题或存在量词命题，可以有不同的表述. 10 2.存在量词命题真假的判断 （1）要判定存在量词命题“<m></m>,<m></m>”是真命题，只需在集合<m></m>中找到一个元素<m></m>，使<m></m>成立即可； （2）要判定存在量词命题是假命题，需对集合<m></m>中任意一个元素<m></m>，证明<m></m>都不成立. 11 知识点3 全称量词命题和存在量词命题的否定 重点 （1）全称量词命题的否定 全称量词命题：，，它的否定：， .也就是说，全称量词命题的否定是存在量词命题. （2）存在量词命题的否定 存在量词命题：，，它的否定：， .也就是说，存在量词命题的否定是全称量词命 题. 理解 12 命题的否定与原命题的真假性可用下表（真值表）表示： 命题 真 假 假 真 因此，的否定与的真假性可用一句话概括，即的否定与 一真一假. 13 1.从全称量词命题和存在量词命题的关系理解含有一个量词的命题的否定 全称量词命题中的全称量词表明给定范围内所有对象都具备某一性质，无一例外，而存在量词命题中的存 在量词却表明给定范围内的对象有例外，两者正好构成了相反意义的表述. 2.写含有一个量词的命题的否定需注意的问题 （1）存在量词命题的否定为全称量词命题，全称量词命题的否定为存在量词命题. （2）有些全称量词命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定写成“是”或“不是”． （3）只有“存在”一词是量词时，它的否定才是“任意”，当“存在”一词不是量词时，它的否定是“不存 在”．例如,“三角形存在外接圆”是全称量词命题，全称量词“所有的”被省略了，所以这个命题的否定是“有些三 角形不存在外接圆”． （4）否定命题时，要注意特殊的词，如“全”“都”等.<m></m> 拓展 14 常见关键词及其否定形式 关键词 否定词 等于 不等于 能 不能 至少有一个 一个都没有 都是 不都是 没有 至少有一个 大于 不大于 小于 不小于 至多有一个 至少有两个 是 不是 属于 不属于 15 易错点 写命题的否定时忽略隐含的量词致错 基本点 例1 写出下列命题的否定. （1）可以被5整除的数，末位是0; 【错解】可以被5整除的数，末位不是0. 【正解】省略了全称量词“任何一个”，命题的否定：有些可以被5整除的数，末位不是0. （2）能被3整除的数，也能被4整除. 【错解】能被3整除的数，不能被4整除. 【正解】省略了全称量词“所有”，命题的否定：存在一个能被3整除的数，不能被4整除. 16 要学会挖掘命题中隐含的量词，注意把握每一个命题的实质，写出命题的否定后可以结合命题的 否定与原命题的真假性（一真一假）进行验证. 17 能力进阶 要点1 全称量词命题与存在量词命题的辨析及其真假的判断 基本点 全称量词命题与存在量词命题的辨析及真假判断 18 例1 判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并说明其真假. （1）平面内，凸多边形的外角和等于 ； 【解】可以改写为“平面内，所有凸多边形的外角和都等于 ”，故是全称量词命题，是真命题. （2）至少有一个整数，它既能被11整除，又能被9整除. 【答案】命题中含有存在量词“至少有一个”，因此是存在量词命题，是真命题． 19 要点2 全称量词命题与存在量词命题的否定 重点 含一个量词的命题的否定步骤 （1）确定所给的命题是全称量词命题还是存在量词命题； （2）针对量词和结论同时进行否定. 20 例2 写出下列命题的否定，并判断命题的否定的真假. （1） 每一个非负数的平方都是正数； 【解】 存在一个非负数的平方不是正数，真命题. （2） 所有的正方形都是矩形； 【答案】 至少存在一个正方形不是矩形，假命题. （3）三角形, 是等边三角形； 【答案】三角形, 不是等边三角形,假命题. （4）至少有一个实数，使 . 【答案】， ，假命题. 21 高分突破 要点3 与全称量词命题和存在量词命题有关的综合问题 重点 根据命题真假求参数的步骤 （1）根据题目条件，判断出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）. （2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围． （3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围． 22 角度1 单命题的求参问题 例3 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数 的取值范围是( ) A A.或 B.或 C.或 D.或 【解析】“存在，使得等式 成立”是假命题， 等价于“任意的，不等式 成立”是真命题. 因为，所以 ， 要使，则需或 . 23 角度2 多个命题的相关问题 例4 （多选）若“,”为真命题，“,”为假命题，则集合 可能是( ) AB A. B. C. D. 【解析】由命题“, ”为假命题， 可得“, ”为真命题， 即 ； 由命题“, ”为真命题， 可得 . 综上， . 结合选项，可知A，B符合题意. 24 原命题与命题的否定只能一真一假,故解决问题时可以合理地相互转化.当某个命题为假命题时， 不妨转化为其否定为真命题，再根据真命题来求解. 25 A组·学业基础 1.〈要点1〉已知集合，集合 ，则以下命题中真命题的个数是( ) ①，；②， ； ③，；④， . C A.4 B.3 C.2 D.1 【解析】,，为真命题，故①为真命题；， ,故②为假命题，③为假命题，④ 为真命题，故真命题的个数是2. 26 2.〈要点2〉［福建厦门2025高一期中］已知命题，，则命题 的否定为( ) C A.， B.， C.， D.， 【解析】命题，为全称量词命题，其否定为， .故选C. 27 3.〈要点2〉［湖南株洲2024高一月考］已知，，，则下列命题中能成为“，， 都不小于1”的否定形 式的是( ) D A.,,中至少有1个大于1 B.,,都小于1 C.,,不大于1 D.或或 【解析】“,,都不小于1”的否定形式为“,,至少有一个小于1”，即“或或 ”，故选D. 28 4.〈易错点〉［辽宁朝阳2025高一月考］命题：无理数的平方是无理数，则命题 的否定为_________________ _________________________. 有些无理数的平方 不是无理数（答案不唯一） 【解析】由题意得是全称量词命题， 有些无理数的平方不是无理数. 29 5.〈要点1〉判断下列命题是不是全称量词命题或存在量词命题，若是，用符号表示命题，并判断其真假. （1）存在，为正实数，使 ； 【解】是存在量词命题，用符号表示为“，，使 ”，是假命题. （2）对所有的实数，，方程 都有唯一解； 【解】是全称量词命题，用符号表示为“，，方程 都有唯一解”，是假命题. （3）存在实数，使得 . 【解】是存在量词命题，用符号表示为“， ”，是假命题. 30 B组·应考能力 6.〈要点3〉（多选）［江西宜春2024高一期中］若“,”为真命题，“, ”为假命题，则集 合 可以是( ) AD A. B. C. D. 【解析】由题意“,”为真命题，“,”为真命题，则满足题意的选项为集合 的子 集，且满足,.结合选项可知A，D均满足；当时，不符合, ，B错误;对于C，不存在 ,，C错误.故选 . 31 7.〈要点3〉［江西南昌2025高一月考］若命题：，是真命题，则实数 的取值范围是_______ ___. 【解析】命题：,是真命题，即对恒成立,所以，解得 . 32 8.〈要点3〉［重庆江北区2025高一期中］已知命题：,，当命题为假命题时，实数 的取值集合为 . （1）求集合 ； 【解】：, ,为真命题， 所以，所以，即集合 . （2）设非空集合，若，求实数 的取值范围. 【解】因为集合非空，所以，则 ， 因为，所以 所以 . 所以实数的取值范围为 . 33 C组·素养培优 9.［福建厦门竞赛］命题“, ”的否定是( ) C A., B., C., D., 【解析】因为“,”是全称量词命题，所以其否定为存在量词命题，即“, ”. 34 $