微专题 圆锥曲线讲义-2027届高三数学一轮复习

专题03 圆锥曲线的方程（期中复习） 01 考情透视 02 复习目标 03 知识体系 04 考点精讲 考点一 椭圆的定义与几何性质 考点二 双曲线的定义与几何性质 考点三 抛物线的定义与几何性质 考点四 直线与圆锥曲线的位置关系 05 重难题型 题型一 椭圆的定义及应用 题型二 椭圆标准方程的求解 题型三 椭圆的离心率问题 题型四 双曲线的定义与标准方程 题型五 双曲线的渐近线与离心率 题型六 抛物线的定义与标准方程 题型七 抛物线的焦半径与焦点弦 题型八 焦点三角形问题 题型九 直线与圆锥曲线的位置关系 题型十 弦长问题 题型十一 中点弦问题 题型十二 三角形面积问题 题型十三 定点问题 题型十四 定值问题 题型十五 最值与范围问题 题型十六 轨迹方程问题 题型十七 存在性与探索性问题 题型十八 斜率之积为定值 题型十九 向量条件与数量积 题型二十 焦点弦的定比 题型二十一 切线与光学性质 题型二十二 圆锥曲线与圆 题型二十三 圆锥曲线中的对称问题 06 限时训练 基础巩固 / 综合培优 01 考情透视 一、考点与题型命题特点 高二上期中核心主干模块，题型规范、结论密集、运算量与思维量并重，覆盖选择、填空、解答全题型。小题高频考查椭圆与双曲线的定义、标准方程、离心率、渐近线、抛物线焦点弦与焦半径，多选常考查几何性质辨析与轨迹判定；解答题固定考查直线与圆锥曲线的综合，常规落点为弦长与面积、中点弦、定点定值与最值范围，压轴常以存在性、探索性命题收束。整体以坐标法为主线，定义优先、几何性质辅助，用以简化运算。 二、试题难易度分布 1、基础题（易）：集中在选择填空前半段，考查定义辨析、标准方程识别、焦点与顶点坐标、离心率与渐近线的直接计算，模型固定、步骤单一，几乎无思维难度。 2、中档题（中）：以多选题、填空压轴和解答题第一问为主，考查定义法求轨迹、焦点三角形、弦长公式与韦达定理联用，需要规范设元、准确运算，容易出现漏解与增解。 3、难题（难）：集中在解答题第二问或多选压轴，考查中点弦、面积最值、定点定值与存在性探究，需要设而不求、整体代换与几何条件的代数化，运算量大、综合性强，是本章主要拉分点。 三、整体命题核心规律 1、命题导向明确，以坐标法与数形结合为双主线，定义优先、几何性质辅助简化运算； 2、出题载体常规，以定曲线、动直线、定直线、动点为基本模型，回避复杂畸形图形； 3、失分核心不在思路难度，而在联立后漏判判别式、忽略斜率不存在、焦点位置未分类、范围端点取舍不当等细节。 02 复习目标 识记 1、椭圆、双曲线、抛物线的定义、标准方程与图形特征； 2、、、 的关系，焦点、顶点、离心率、渐近线、准线的求法； 3、焦半径公式、焦点弦长公式、通径长； 4、弦长公式、中点弦的点差法结论、焦点三角形面积公式。 理解 1、理解定义中限制条件的几何意义及其对轨迹的影响； 2、理解离心率与曲线形状、渐近线与开口的对应关系； 3、理解直线与圆锥曲线位置关系的判定依据与判别式的作用； 4、理解设而不求、整体代换、点差法三类运算策略的适用场景。 应用 1、依据条件求曲线方程，会按焦点位置分类讨论； 2、求解弦长、中点弦、焦点三角形与面积最值； 3、处理定点定值、最值范围与存在性问题； 4、规范书写解答过程，保证讨论完整、端点取舍正确、结论准确。 03 知识体系 1、圆锥曲线的统一定义结构 （1）椭圆：到两定点距离之和为定值 （）的点的轨迹． （2）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为定值 （）的点的轨迹． （3）抛物线：到定点与到定直线距离相等的点的轨迹，定点不在定直线上． 2、三类曲线的标准方程与关键量 （1）椭圆 ：，，通径 ． （2）双曲线 ：，，渐近线 ． （3）抛物线 ：焦点 ，准线 ，通径 ． 3、直线与圆锥曲线的通法流程 （1）设直线方程，斜率是否存在必须单独讨论； （2）联立消元，写出判别式 的条件； （3）用韦达定理表示 、（或 、）； （4）把几何条件代数化，整体代换后化简得结论． 4、四类常考模型的固定套路 （1）弦长：，中点弦用点差法求斜率； （2）面积：，或 ； （3）定点：设 代入，用韦达定理把条件化为 的方程； （4）定值：先取特殊位置猜出定值，再用一般情形证明． 04 考点精讲 考点一 椭圆的定义与几何性质 1、椭圆的定义 （1）定义：平面内与两个定点 、 的距离之和等于常数 （）的点的轨迹叫做椭圆，两定点叫做焦点，两焦点间的距离叫做焦距． （2）关注点： 不可省略——当 时轨迹为线段 ，当 时轨迹不存在． （3）定义的变形：，配合 可快速检验所求点是否存在． 2、椭圆的标准方程与关键量 （1）焦点在 轴上：，焦点 、，顶点 、． （2）焦点在 轴上：，焦点 、． （3）三者关系：， 最大，、 大小不定；通径（过焦点垂直于长轴的弦）长为 ． 3、椭圆的离心率与形状 （1）离心率与形状的对应关系见下表： 离心率 等价关系 形状特征 ， 接近于圆 焦点三角形可为直角三角形 明显扁平 退化为线段 （2）常用变形：，；由 求 、 时必须结合焦点位置取舍． 4、焦点三角形 （1）周长：，与点 的位置无关． （2）面积：若 ，则 ． ①推导时先用余弦定理求出 ，再代入面积公式； ②当 为短轴端点时， 取得最大值，此时 ． 【注意】若椭圆上存在点 使 ，等价于 ，即 ． 考点二 双曲线的定义与几何性质 1、双曲线的定义 （1）定义：平面内与两个定点 、 的距离之差的绝对值等于常数 （）的点的轨迹叫做双曲线． （2）关注点：“绝对值”不可去掉，去掉后只表示靠近一个焦点的那一支； 时轨迹为两条射线． （3）焦半径范围：双曲线上点到焦点的距离不小于 ，小于 的解必须舍去． 2、标准方程与渐近线 （1）焦点在 轴上：，渐近线 ，实轴长 ，虚轴长 ． （2）焦点在 轴上：，渐近线 ． （3）三者关系：，离心率 ，且 ． 3、与渐近线有关的三个结论 （1）常见方程设法见下表： 已知条件 方程设法 渐近线为 与已知双曲线共渐近线 与已知双曲线共焦点 （2）共渐近线的双曲线有无数条， 的符号决定焦点所在的坐标轴； 时焦点在 轴上． （3）渐近线与 轴正方向的夹角为 时，，从而 ． 【注意】由渐近线求离心率时，若未指明焦点位置，需分两种情况讨论，答案可能有两个． 考点三 抛物线的定义与几何性质 1、抛物线的定义 （1）定义：平面内与一个定点 和一条定直线 （）距离相等的点的轨迹叫做抛物线． （2）关注点：定点不能在定直线上，否则轨迹是过该点且垂直于 的一条直线． （3）定义的用法：把“到焦点的距离”转化为“到准线的距离”，是求最值与轨迹的常用手段． 2、标准方程的四种形式 （1）四种形式的标准方程与关键量见下表： 方程 焦点 准线 开口方向 向右 向左 向上 向下 （2） 的几何意义：焦点到准线的距离；焦点坐标为，即焦点到顶点的距离为 而非 p，这是最常见的失分点． 3、焦点弦与焦半径 （1）焦半径：对 上一点 ，；对 ，． （2）焦点弦：过焦点的弦 满足 ， 为弦的倾斜角． （3）定值结论：；；以 为直径的圆与准线相切． （4）通径：垂直于对称轴的焦点弦，长为 ，是所有焦点弦中最短的一条． 考点四 直线与圆锥曲线的位置关系 1、位置关系的判定 （1）代数法：联立消元得 ， 相交、 相切、 相离． （2）几何法：比较圆心到直线的距离与半径（仅适用于圆）；对椭圆、双曲线、抛物线一般用代数法． （3）注意：直线与双曲线（或抛物线）只有一个公共点，可能是相切，也可能是与渐近线（或对称轴）平行，不能一律判为相切． 2、弦长与中点弦 （1）弦长公式：． （2）点差法：设弦两端点为 、，中点 ，则 ①椭圆 中 ； ②双曲线 中 ； ③抛物线 中 ． （3）用点差法求出直线后，必须回代检验 ，否则可能得到“中点弦不存在”的假结论． 3、面积、定点与定值 （1）面积：，其中 为原点 到直线 的距离；过焦点的弦还可写成 ． （2）定点：设 代入曲线，用韦达定理把题设条件化为关于 的方程，解出 即得定点． （3）定值：先取特殊位置（如弦垂直于对称轴）猜出定值，再用一般情形证明，可大幅减少运算． 【注意】凡涉及 的运算，都要先声明“斜率不存在时单独讨论”，否则解答不完整． 05 重难题型突破 题型一 椭圆的定义及应用 【典例1】（25-26高二上·江苏南京·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆 上，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则 ______． 【变式1-3】已知点 、，动点 满足 ，记点 的轨迹为曲线 ．（1）求 的方程；（2）过点 的直线 与 交于 、 两点，求 面积的最大值． 题型二 椭圆标准方程的求解 【典例2】（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆经过点 与 ，且焦点在 轴上，则椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，长轴长为 ，焦距为 ，则该椭圆的标准方程为______． 【变式2-2】与椭圆 有相同的焦点，且经过点 的椭圆的标准方程为______． 【变式2-3】已知椭圆 的中心在原点，焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ．（1）求 的标准方程；（2）求 上的点到直线 距离的最大值． 题型三 椭圆的离心率问题 【典例3】（25-26高二上·河南郑州·期中）已知椭圆的两个焦点和短轴的一个端点恰好构成正三角形，则该椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】已知椭圆 的离心率为 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式3-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，若椭圆上存在点 ，使得 ，则该椭圆离心率的取值范围是______． 【变式3-3】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，设 ，．（1）若 ，且 ，求椭圆的离心率；（2）若 ，且 ，求椭圆的离心率． 题型四 双曲线的定义与标准方程 【典例4】（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知动点 到两定点 、 的距离之差的绝对值为 ，则动点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式4-2】与双曲线 有共同渐近线，且经过点 的双曲线的标准方程为______． 【变式4-3】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，设 ，．（1）若 ，且 ，求双曲线的离心率；（2）在（1）的条件下，若 的面积为 ，求 的值． 题型五 双曲线的渐近线与离心率 【典例5】（25-26高二上·安徽合肥·期中）已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ） A． B． C． D． 【变式5-1】已知双曲线的渐近线方程为 ，焦距为 ，且焦点在 轴上，则该双曲线的标准方程为______． 【变式5-2】若双曲线的两条渐近线的夹角为 ，则该双曲线的离心率为______． 【变式5-3】已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，且点 在 上．（1）求 的方程；（2）过 的右焦点 作斜率为 的直线 ， 与 交于 、 两点，求 ． 题型六 抛物线的定义与标准方程 【典例6】（25-26高二上·河北唐山·期中）已知抛物线的焦点为 ，则该抛物线的标准方程为（ ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知抛物线的准线方程为 ，则该抛物线的标准方程为______，焦点坐标为______． 【变式6-2】已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且经过点 ，则该抛物线的标准方程为______． 【变式6-3】已知抛物线的顶点在原点，焦点在 轴上，抛物线上一点 到焦点的距离为 ．（1）求抛物线的标准方程与 的值；（2）过焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点，若 ，求直线 的方程． 题型七 抛物线的焦半径与焦点弦 【典例7】（25-26高二上·山西太原·期中）已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上，且 ，则点 的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为 ，则点 的横坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式7-2】已知过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，则 ______，______． 【变式7-3】过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点，若 ．（1）求 ；（2）求直线 的斜率． 题型八 焦点三角形问题 【典例8】（25-26高二上·浙江温州·期中）已知椭圆 的焦点为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为（ ） A． B． C． D． 【变式8-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的面积为______． 【变式8-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则点 的坐标为______． 【变式8-3】已知双曲线 的左、右焦点分别为 、，点 在双曲线的右支上，且 ．（1）求 的面积；（2）求 、． 题型九 直线与圆锥曲线的位置关系 【典例9】（25-26高二上·江苏常州·期中）若直线 与椭圆 相切，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式9-1】若直线 与椭圆 有两个不同的公共点，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知椭圆 ，过点 的直线 与椭圆只有一个公共点，求 的方程． 【变式9-3】已知直线 与双曲线 有且只有一个公共点，求 的取值集合． 题型十 弦长问题 【典例10】（25-26高二上·湖北宜昌·期中）直线 被椭圆 截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 【变式10-1】直线 被双曲线 截得的弦长为（ ） A． B． C． D． 【变式10-2】过抛物线 的焦点且倾斜角为 的弦长为______． 【变式10-3】已知斜率为 的直线 与椭圆 交于 、 两点，且 ，求直线 的方程． 题型十一 中点弦问题 【典例11】（25-26高二上·山东烟台·期中）已知椭圆 ，则以点 为中点的弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】已知椭圆 ，则以点 为中点的弦长为______． 【变式11-2】已知抛物线 ，则以点 为中点的弦所在直线的方程为______． 【变式11-3】已知椭圆 ，求斜率为 的弦的中点的轨迹方程． 题型十二 三角形面积问题 【典例12】（25-26高二上·浙江宁波·期中）已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点， 为坐标原点，则 面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式12-1】直线 被椭圆 截得弦 ， 为坐标原点，则 的面积为______． 【变式12-2】直线 与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值及此时 的值． 【变式12-3】已知椭圆 ，、 是椭圆上关于原点对称的两点，点 是椭圆上异于 、 的一点，求 面积的最大值． 题型十三 定点问题 【典例13】（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知 、 是抛物线 上异于原点的两点，且 （ 为坐标原点），则直线 恒过定点（ ） A． B． C． D． 【变式13-1】已知 、 是抛物线 上异于原点的两点，且 （ 为坐标原点），则直线 恒过定点（ ） A． B． C． D． 【变式13-2】无论 取何值，直线 都经过定点 ，则点 的坐标为______． 【变式13-3】已知抛物线 ，过点 的直线 与抛物线交于 、 两点， 为坐标原点．（1）求证 为定值；（2）求该定值． 题型十四 定值问题 【典例14】（25-26高二上·河北衡水·期中）已知 、 是椭圆 上的两点， 为坐标原点，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式14-1】过椭圆 的右焦点 作直线交椭圆于 、 两点，则 ______． 【变式14-2】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是椭圆上异于顶点的任意一点，则 ______． 【变式14-3】已知椭圆 ，、 是椭圆上关于原点对称的两点，点 是椭圆上异于 、 的一点，求证 为定值，并求出该定值． 题型十五 最值与范围问题 【典例15】（25-26高二上·浙江绍兴·期中）椭圆 上的点到直线 的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【变式15-1】已知抛物线 的焦点为 ，点 ， 为抛物线上的动点，则 的最小值为（ ） A． B． C． D． 【变式15-2】若直线 与椭圆 有公共点，则 的最小值为______． 【变式15-3】过椭圆 的右焦点 的直线 与椭圆交于 、 两点， 为坐标原点，求 面积的最大值． 题型十六 轨迹方程问题 【典例16】（25-26高二上·山西运城·期中）已知动点 到定点 的距离与它到直线 的距离相等，则点 的轨迹方程为（ ） A． B． C． D． 【变式16-1】已知点 在圆 上运动，点 满足 （ 为坐标原点），则点 的轨迹方程为______． 【变式16-2】已知动点 满足 ，其中 、，则点 的轨迹方程为______． 【变式16-3】过抛物线 的焦点 的直线 与抛物线交于 、 两点， 为线段 的中点．（1）求点 的轨迹方程；（2）求点 到直线 距离的最小值． 题型十七 存在性与探索性问题 【典例17】（25-26高二上·重庆九龙坡·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 【变式17-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，则椭圆上是否存在点 ，使得 ？（ ） A．存在，且 为短轴端点 B．不存在 C．存在，且 有 个 D．存在，且 有无穷多个 【变式17-2】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，则 的最大值为______． 【变式17-3】已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 、 两点， 为坐标原点．是否存在实数 ，使 ？若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 题型十八 斜率之积为定值（第三定义） 【典例18】（改编）已知双曲线 的左、右顶点分别为 、，点 是双曲线上异于顶点的任意一点，则 （ ） A． B． C． D． 【变式18-1】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是椭圆上异于顶点的任意一点，则 ______． 【变式18-2】已知椭圆 的离心率为 ，且经过点 ，、 为 长轴的两个端点，点 是 上异于 、 的任意一点，则 ______． 【变式18-3】已知椭圆 的左、右顶点分别为 、，点 是椭圆上异于 、 的一点，直线 与直线 交于点 ．（1）求点 的纵坐标（用 的坐标表示）；（2）证明 为定值． 题型十九 向量条件与数量积 【典例19】（改编）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，则 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式19-1】已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则点 的坐标为______． 【变式19-2】已知椭圆 ，点 ，点 在椭圆上，则 的取值范围是______． 【变式19-3】已知 、 是抛物线 上异于原点的两点， 为坐标原点，且 ．（1）证明直线 过定点；（2）求 的最小值． 题型二十 焦点弦的定比（AF=λFB） 【典例20】（改编）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，若 ，则 （ ） A． B． C． D． 【变式20-1】过抛物线 的焦点 的直线交抛物线于 、 两点，若线段 中点的横坐标为 ，则 ______． 【变式20-2】已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线 交抛物线于 、 两点，若 ．（1）求 ；（2）求直线 的斜率． 【变式20-3】已知椭圆 的右焦点为 ，过 的直线交椭圆于 、 两点，若 ，求 的取值范围． 题型二十一 切线与光学性质 【典例21】（改编）抛物线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【变式21-1】已知抛物线 的切线斜率为 ，则该切线方程为______． 【变式21-2】椭圆 在点 处的切线方程为______． 【变式21-3】已知抛物线 的焦点为 ，点 ．（1）求过点 且与抛物线相切的直线方程及切点坐标；（2）证明（1）中的两条切线互相垂直． 题型二十二 圆锥曲线与圆 【典例22】（改编）已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点．证明：以 为直径的圆与抛物线的准线相切． 【变式22-1】已知抛物线 的焦点为 ，过 的直线交抛物线于 、 两点，以 为直径作圆，则该圆面积的最小值为______． 【变式22-2】已知椭圆 ，、 是椭圆上两点， 为坐标原点，且 ．（1）证明原点 到直线 的距离为定值；（2）求 的最小值． 【变式22-3】已知椭圆 与直线 交于 、 两点，若以 为直径的圆经过点 ，且 不与 、 重合，求 的值． 题型二十三 圆锥曲线中的对称问题 【典例23】（改编）已知椭圆 上存在两点关于直线 对称，求 的取值范围． 【变式23-1】已知抛物线 ，求该抛物线关于点 对称的曲线方程． 【变式23-2】已知椭圆 ，问：椭圆上是否存在关于点 对称的两点？若存在，求出这两点所在直线的方程；若不存在，说明理由． 【变式23-3】已知椭圆 上存在两点关于直线 对称，求 的取值范围． 06 限时训练 基础巩固（限时：15分钟） 1．（25-26高二上·江苏盐城·期中）椭圆 的离心率为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·浙江台州·期中）双曲线 的渐近线方程为（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·广东中山·期中）抛物线 的焦点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·河北廊坊·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，且 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·安徽淮南·期中）双曲线 的离心率为（ ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·山东威海·期中）抛物线 的焦点到准线的距离为（ ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北黄冈·期中）椭圆 的长轴长为______． 8．（25-26高二上·湖南衡阳·期中）双曲线 的焦距为______． 9．（25-26高二上·福建龙岩·期中）已知抛物线 上一点 到准线的距离为 ，则点 的横坐标为______． 10．（25-26高二上·江西上饶·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、，点 在椭圆上，则 的周长为______． 综合培优（限时：20分钟） 1．（25-26高二上·湖北武汉·期中）（多选）已知直线 与椭圆 ，则下列结论正确的是（ ） A．直线 与椭圆 恒有公共点 B．当 时，直线 与椭圆 相离 C．当 时，直线 与椭圆 有两个公共点 D．存在 的值，使直线 与椭圆 相切 2．（25-26高二上·江苏南通·期中）过椭圆 的右焦点 的直线与椭圆交于 、 两点，则 的值为______． 3．（25-26高二上·重庆渝中·期中）过抛物线 的焦点 的弦 的长的最小值为______． 4．（25-26高二上·四川成都·期中）已知椭圆 ，直线 与椭圆 交于 、 两点， 为坐标原点，且 ． (1)求原点 到直线 的距离； (2)求 面积的最小值． 1 / 1 $null