微专题 数列求通项公式 讲义-2027届高考数学一轮复习

高考数学一轮复习微专题讲义 数列求通项公式 （人教A版（2019）选择性必修第二册） 知识点导航 知识板块 核心内容与涵盖求法 一、基础定义与基本公式 数列首项与定义；由前 n 项和求须分段处理（先算 n=1，再算 n≥2）；等差、等比数列的基本量计算。对应题型 1–3。 二、累加法与累乘法 递推式=f(n) 用累加法，连加后求和并检验首项；=f(n) 用累乘法，连乘后约分并检验首项。对应题型 4–5。 三、构造法（待定系数法） 将非齐次递推构造为等比或等差数列，对应题型 6–8。 四、倒数变换与对数变换 分式递推两边取倒数转化为等差或等比型；指数型递推两边取对数转化为可构造形式，再结合前述方法求通项。对应题型 9–10。 五、特殊结构与归纳猜想 循环结构的周期数列按余数定位取值；「算前几项—归纳—猜想—证明」处理复杂递推；分式线性递推的不动点法（高阶补充）。对应题型 11–13。 通项公式求法速查表 识别特征 方法 关键步骤 结果形式 已知 或 与 混排 由 求 ； 时作差；检验 分段或合并 累加法 写出 个等式相加 累乘法 写出 个等式相乘 构造等比 设 ， 等比型 （） 构造等比 设 等比型 构造等差 同除 等差型 构造等比 设 等比型 倒数变换 取倒数得 等差或等比型 对数变换 取对数得 等比型 递推呈循环结构 周期数列 算前几项定周期，用余数定位 无通项，按项取值 结构复杂、无构造规律 归纳—猜想—证明 算前几项、猜想、数学归纳法 猜想的表达式 不动点法 解 后构造 分式型 说明：表中"、"为构造类方法的共同前提；对数变换须先保证 。所有方法求得通项后都要检验 。 第一章　基础定义与基本公式 1.1　 与 的关系 ◆ 知识梳理 数列：按照确定的顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 首项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号 表示，也叫首项。 通项公式：如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 递推公式：如果已知数列的首项（或前几项），且从第2项起（或某一项起）的任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做数列 的递推公式。 函数观点：数列 是从正整数集 （或它的有限子集 ）到实数集 的函数，自变量是序号 ，对应的函数值是 。 前 n 项和：把数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和，记作 ，即 。 与 的关系：由 （）及 ，得 适用条件与警示：上式第二行只对 成立，因此求出 的表达式后，必须单独检验 时是否满足该表达式。 合并与分段：若 时也满足 的表达式，则通项可合并写成一个式子；若不满足，则必须写成分段形式，不能强行合并。 ◆ 方法归纳 第一步（求首项）：令 ，由 求出首项。 第二步（作差）：当 时，写出 与 两式并作差，得 ，再化简为等差、等比或可构造的形式。 第三步（检验）：比较 时的 与第二步结果在 处的值，相等则合并，不等则分段。 常见陷阱一：当 中含 、常数项或分段结构时， 往往不满足 的表达式，必须分段。 常见陷阱二：条件中若同时出现 与 ，先用 统一为只含 或只含 的关系，再按上述三步处理。 类比迁移：若给出的是前 项积 ，则 ，且 （），检验方式相同。 ◆ 题型讲解 【题型1】由 求 例1　（2024·全国甲卷·理18，节选）记 为数列 的前 项和，已知 。求 的通项公式。 变式1-1　（改编自教材4.1"思考"）已知数列 的前 项和 ，求 的通项公式。 变式1-2　（改编自2026·广东江门·一模）已知数列 的前 项和 ，求数列 的前 项和。 变式1-3　（改编自2024·四川雅安·三模）已知数列 的前 项和为 ，，且 ，求 的通项公式。 ◆ 知识梳理 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 公差：这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。 定义式：（， 为常数），等价于 。 通项公式：。 推导方法：由 ，，， 这 个等式左右分别相加，中间项相消，得 。 推广公式：（）。 函数特征：，当 时 是关于 的一次函数，其图象是直线 上横坐标为正整数的一串离散点。 等差中项：若 成等差数列，则 ， 叫做 与 的等差中项。 下标和性质：若 （），则 。 适用条件：推广公式与下标和性质都要求下标为正整数；求公差时 ，须 。 ◆ 方法归纳 基本量法：把题设条件全部化为关于 与 的方程（组），解出 、 后代入通项公式。 整体代换：已知任意两项 、（），直接用 求出公差，可减少未知量。 设元技巧：三个数成等差数列时，常设为 ，，；四个数成等差数列时，常设为 ，，，。 判型依据：数列通项 是关于 的一次式或常数，则该数列为等差数列；反之，等差数列的通项必为关于 的一次式或常数。 ◆ 题型讲解 【题型2】等差数列通项的基本量计算 例2　（改编）已知等差数列 中，，，求 及 。 变式2-1　（改编）已知等差数列 中，，，求 的通项公式。 变式2-2　（改编）已知等差数列 中，，，且公差 ，求 的通项公式。 变式2-3　（改编）已知等差数列 中，，且 ，， 成等比数列，求 的通项公式。 ◆ 知识梳理 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。 公比：这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示（）。 定义式：（， 为非零常数），等价于 。 通项公式：。 推导方法：由 ，，， 这 个等式左右分别相乘，中间约去，得 。 推广公式：（）。 等比中项：若 成等比数列，则 （要求 同号且均不为零）， 叫做 与 的等比中项。 下标积性质：若 （），则 。 函数特征：，当 且 时， 是形如 的指数型函数。 适用条件：等比数列中 且各项均不为零； 时为非零常数列；由 的值求 时，须结合题设判断 的正负与个数。 ◆ 方法归纳 基本量法：把条件化为关于 与 的方程（组），先求 再求 。 整体代换：用 直接从两项之比求公比的幂，避免解高次方程。 设元技巧：三个数成等比数列时，常设为 ，，（），这样三个数的积为 ，便于求 。 分类讨论：由 或 求 时，若题设未限定 ，则须讨论 的正负；"正项数列"这一条件用于排除 。 ◆ 题型讲解 【题型3】等比数列通项的基本量计算 例3　（改编）已知等比数列 中，，，求 的通项公式。 变式3-1　（改编）已知等比数列 中，，，求 的通项公式。 变式3-2　（改编）已知正项等比数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式3-3　（改编）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，，求 的通项公式。 第二章　累加法与累乘法 2.1　累加法（叠加法） ◆ 知识梳理 适用形式：，即后一项与前一项之差为关于 的可求和代数式。 原理：由 ，，， 共 个等式左右分别相加，中间项两两相消。 结果：（），再检验 。 常见类型一（常数）：，则 ，此时 为等差数列。 常见类型二（一次函数）：，则 。 常见类型三（指数型）：（），则 。 常见类型四（裂项型）：，则 。 适用条件：必须保证 可求和；累加时写出的是 个等式（ 至 ），不是 个。 ◆ 方法归纳 第一步（定形）：把递推式整理成 的标准形式，确认 的类型。 第二步（累加）：从 到 写出 个等式并相加，得到 。 第三步（求和并检验）：按 的类型求和，代回得 （），再检验 。 易错点：指数型求和时首项为 而非 ，项数为 ；裂项型相加后只剩首尾两项。 ◆ 题型讲解 【题型4】形如 的递推 例4　（改编自2025·甘肃定西·模拟预测）已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 变式4-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式4-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式4-3　（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列 的首项 ，，求 。 ◆ 知识梳理 适用形式：，即后一项与前一项之比为关于 的可化简代数式。 原理：由 ，，， 共 个等式左右分别相乘，中间约去。 结果：（），再检验 。 常见类型一：，则 。 常见类型二：，则 ，首端剩下两个因子、末端剩下两个因子。 常见类型三：，则 。 常见类型四：，则乘积自 k=2 起约分后剩末端的 。 适用条件：必须 ；约分时要数清首端、末端各剩下几个因子，这是累乘法最主要的失分点。 ◆ 方法归纳 第一步（定形）：把递推式整理成 ，并写清 的分子、分母结构。 第二步（累乘）：从 到 写出 个等式相乘，得 。 第三步（约分并检验）：把分子、分母分别写成连乘积后约分，求出 （），再检验 。 ◆ 题型讲解 【题型5】形如 的递推 例5　（改编自2025·山东聊城·二模）已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 变式5-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式5-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式5-3　（改编自2026·海南海口·一模）已知数列 满足 ，（，），求 的通项公式。 第三章　构造法（待定系数法） 3.1　形如 的递推 ◆ 知识梳理 特征：一阶线性递推， 且 ；若 则为等差数列，若 则为等比数列，均不属于本节构造对象。 构造方法：设 ，展开得 。 求解 λ：对比原式得 ，即 。 转化结论： 是首项为 、公比为 的等比数列，故 。 等价说法： 就是方程 的根（不动点），因此也可先解 得 ，再验证 。 适用条件：；构造后必须检验 。 ◆ 方法归纳 第一步（求 λ）：设 ，用待定系数法解得 。 第二步（写等比）：写出 的通项，首项是 （不是 ），公比为 。 第三步（反解）：由 反解出 ，并检验 。 易错点：首项取成 而漏加 ；反解后未检验 。 ◆ 题型讲解 【题型6】构造等比数列求通项 例6　（改编自2026·甘肃兰州·一模）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式6-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式6-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式6-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 ◆ 知识梳理 特征：非齐次项为指数式 （，），。 方法一（同除 ）：两边同除以 ，得 ，化为3.1型，要求 。 方法二（同除 ）：两边同除以 ，得 ，再用累加法，适用范围更广。 方法三（待定系数）：设 ，展开得 ，对比得 （）。 特殊情形（）：当 时，，两边同除以 得 ，故 为等差数列，公差为 。 适用条件：方法一、方法三要求 ； 时必须改用"构造等差"的思路。 ◆ 方法归纳 判型：先比较 与 ： 构造等比， 构造等差。 通法：优先采用同除法，可避开记忆 的公式，且 时同样适用（同除 ）。 检验：无论用哪种方法，最后都要验 。 ◆ 题型讲解 【题型7】构造等比（或等差）数列求通项 例7　（2026·福建漳州·三模）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式7-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式7-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式7-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 ◆ 知识梳理 特征：非齐次项为关于 的一次式 （），。 构造方法：设 。 展开对比：左边展开得 ，于是 ，。 求解 A、B：，。 转化结论： 是首项为 、公比为 的等比数列。 适用条件：；若 ，则 ，属于2.1节累加法。 ◆ 方法归纳 第一步（待定）：设 ，展开后比较 的系数与常数项，解出 、。 第二步（写等比）：写出 的通项，首项为 。 第三步（反解）：由 反解 ，并检验 。 验算技巧：求出 、 后，代回原式验证一次 的情形，可及时发现符号错误。 ◆ 题型讲解 【题型8】构造等比数列（非齐次项为一次式） 例8　（2026·吉林四平·二模）已知数列 的前 项和为 ，，且 ，求 的通项公式。 变式8-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式8-2　（改编自2024·广东深圳·模拟预测）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式8-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 第四章　倒数变换与对数变换 4.1　倒数变换法 ◆ 知识梳理 适用形式：，即分子只含 的一次项、分母为 的一次式（）。 操作：两边取倒数，得 。 转化结论：令 ，则 ，转化为3.1型。 特殊情形（）：，即 为等差数列，公差为 。 适用条件：须保证 ，通常由 及递推式的结构可归纳证得；若分子不是 的一次项（如 ），须先平移换元。 识别要点：分子恰好是 、分母是 的一次式，取倒数后立刻出现 的线性关系，这是使用倒数变换的信号。 ◆ 方法归纳 第一步（取倒数）：判断分子形如 后，两边取倒数并通分，整理为 。 第二步（求 1/a_n）：若 ，用等差数列；若 ，用3.1节构造法求 的通项。 第三步（还原）：对 再取倒数得 ，并检验 。 ◆ 题型讲解 【题型9】分式递推取倒数转化 例9　（改编自2025·江苏淮安·一模）在数列 中，，，求 的通项公式。 变式9-1　（改编）在数列 中，，，求 的通项公式。 变式9-2　（改编）在数列 中，，，求 的通项公式。 变式9-3　（改编自2025·江苏苏州·三模）在数列 中，，，求 的通项公式。 ◆ 知识梳理 适用形式：（， 且 ），且 。 操作：两边取常用对数，得 。 转化结论：令 ，则 ，转化为3.1型；求出 后再取指数还原 。 特例（，）： 时 ， 为等比数列。 适用条件：必须先说明 ，否则对数无意义；所取对数底数应与题设中的幂底数配合，以便还原时化简。 识别要点：递推式中 只以"幂"的形式出现、且各项同号，是使用对数变换的信号。 ◆ 方法归纳 第一步（证正）：由 及递推结构，用归纳思想说明 。 第二步（取对数）：两边取对数得 ，用3.1节构造法求 。 第三步（还原）：由 得 ，并检验 。 变形技巧：遇 这类可配方结构，先化为 ，再对 取对数。 ◆ 题型讲解 【题型10】指数型递推取对数转化 例10　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式10-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式10-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式10-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 第五章　特殊结构与归纳猜想 5.1　周期数列 ◆ 知识梳理 特征：递推式中出现倒数、、取相反数、""等结构，逐项计算后数值循环出现。 判定依据：若存在正整数 使 对一切 成立，则数列以 为周期；实际操作中算出 ，发现 即可确认周期为 。 常见周期二：，周期为 。 常见周期三（一）：，周期为 。 常见周期三（二）：，周期为 。 常见周期六：，周期为 。 求法：确定周期 后，设 （），则 ；若求多项和，先算一个周期的和，再看剩余项。 适用条件：此类数列一般没有简洁的通项公式，只能借助周期性求指定项或求和，不可强行构造。 ◆ 方法归纳 第一步（试算）：由 依次算出 ，直到出现与前面某项相等的情形。 第二步（定周期）：确定最小正周期 ，并写清一个周期内的各项。 第三步（定位）：用 除以 取余数定位；余数为 时取 。 易错点：余数与项的对应关系： 时 ，当 应取 而非 。 ◆ 题型讲解 【题型11】周期数列求指定项 例11　（改编自2024·山东济宁·三模）已知数列 满足 ，，（，），求 。 变式11-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 。 变式11-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 。 变式11-3　（改编自高考真题）已知数列 满足 ，（），求 。 ◆ 知识梳理 教材说明："数学归纳法"在人教A版选择性必修第二册第四章中标注"*"，为选学内容，不作统一考试要求；但"算前几项—归纳—猜想—证明"的思想方法常作为新高考数列题的命题背景，本节按拓展要求保留。 使用场景：递推关系较复杂、看不出可构造的等差或等比结构时，先算出前几项猜出通项，再用数学归纳法证明。 步骤一（归纳奠基）：证明当 （）时命题成立。 步骤二（归纳递推）：假设 （，）时命题成立，证明 时命题也成立。 步骤三（结论）：由步骤一、二可知，命题对一切 （）都成立。 关键要求：第二步必须用上" 时命题成立"这一假设，否则只是验证而非数学归纳法。 ◆ 方法归纳 第一步（算）：由 与递推式依次算出 （必要时 ），并统一写成便于观察的形式（都化为分数，或都写成幂）。 第二步（猜）：把 与序号 对照，找出结构上的对应关系，写出猜想。 第三步（证）：用数学归纳法：验 ；设 成立，代入递推式推出 成立的表达式，注意把结果整理成与猜想同构的形式。 方法选择：若递推式本身可构造（如 ），应优先用构造法；归纳法是对"无明显结构"递推的兜底手段，两法结果必须一致。 ◆ 题型讲解 【题型12】归纳—猜想—证明 例12　（改编自教材4.1习题）已知数列 满足 ，（），写出它的前 项，猜想通项公式并用数学归纳法证明。 变式12-1　（改编）已知数列 满足 ，，写出前 项，猜想通项公式并用数学归纳法证明。 变式12-2　（改编）已知数列 满足 ，，写出前 项，猜想通项公式并用数学归纳法证明。 变式12-3　（改编）已知数列 满足 ，，写出前 项，猜想通项公式并用数学归纳法证明。 ◆ 知识梳理 内容定位：本节超出教材正文，属于自主招生与竞赛的常用工具；高考中分式递推多用"取倒数"或"待定系数"处理，此处作为高阶拓展。 适用形式：（，），分子、分母均为 的一次式。 不动点方程：令 ，整理得 ，其根称为该递推式的不动点。 情形一（两个不同实根 ）： 是等比数列，公比为 。 情形二（重根 ）：由 知 为等差数列。 情形三（无实根）：此时数列为周期数列，可回到5.1节的方法处理。 适用条件：分子分母均为 的一次式；若 恰为不动点，则数列为常数列（验证 即可）。 ◆ 方法归纳 第一步（解不动点）：解 ，判断是两不等实根、重根还是无实根。 第二步（构造）：两不等实根时构造 为等比数列；重根时构造 为等差数列。 第三步（还原）：由新数列的通项反解 ，并检验 。 替代方案：若求根困难，可先尝试两边取倒数或直接待定系数，往往更快。 ◆ 题型讲解 【题型13】分式线性递推的不动点法 例13　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式13-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式13-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 变式13-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考数学一轮复习微专题讲义 数列求通项公式 （人教A版（2019）选择性必修第二册） 知识点导航 知识板块 核心内容与涵盖求法 一、基础定义与基本公式 数列首项与定义；由前 n 项和求须分段处理（先算 n=1，再算 n≥2）；等差、等比数列的基本量计算。对应题型 1–3。 二、累加法与累乘法 递推式=f(n) 用累加法，连加后求和并检验首项；=f(n) 用累乘法，连乘后约分并检验首项。对应题型 4–5。 三、构造法（待定系数法） 将非齐次递推构造为等比或等差数列，对应题型 6–8。 四、倒数变换与对数变换 分式递推两边取倒数转化为等差或等比型；指数型递推两边取对数转化为可构造形式，再结合前述方法求通项。对应题型 9–10。 五、特殊结构与归纳猜想 循环结构的周期数列按余数定位取值；「算前几项—归纳—猜想—证明」处理复杂递推；分式线性递推的不动点法（高阶补充）。对应题型 11–13。 通项公式求法速查表 识别特征 方法 关键步骤 结果形式 已知 或 与 混排 由 求 ； 时作差；检验 分段或合并 累加法 写出 个等式相加 累乘法 写出 个等式相乘 构造等比 设 ， 等比型 （） 构造等比 设 等比型 构造等差 同除 等差型 构造等比 设 等比型 倒数变换 取倒数得 等差或等比型 对数变换 取对数得 等比型 递推呈循环结构 周期数列 算前几项定周期，用余数定位 无通项，按项取值 结构复杂、无构造规律 归纳—猜想—证明 算前几项、猜想、数学归纳法 猜想的表达式 不动点法 解 后构造 分式型 说明：表中"、"为构造类方法的共同前提；对数变换须先保证 。所有方法求得通项后都要检验 。 第一章　基础定义与基本公式 1.1　 与 的关系 ◆ 知识梳理 数列：按照确定的顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项。 首项：数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号 表示，也叫首项。 通项公式：如果数列 的第 项 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式。 递推公式：如果已知数列的首项（或前几项），且从第2项起（或某一项起）的任一项 与它的前一项 （或前几项）间的关系可以用一个式子表示，那么这个式子叫做数列 的递推公式。 函数观点：数列 是从正整数集 （或它的有限子集 ）到实数集 的函数，自变量是序号 ，对应的函数值是 。 前 n 项和：把数列 从第1项起到第 项止的各项之和，称为数列 的前 项和，记作 ，即 。 与 的关系：由 （）及 ，得 适用条件与警示：上式第二行只对 成立，因此求出 的表达式后，必须单独检验 时是否满足该表达式。 合并与分段：若 时也满足 的表达式，则通项可合并写成一个式子；若不满足，则必须写成分段形式，不能强行合并。 ◆ 方法归纳 第一步（求首项）：令 ，由 求出首项。 第二步（作差）：当 时，写出 与 两式并作差，得 ，再化简为等差、等比或可构造的形式。 第三步（检验）：比较 时的 与第二步结果在 处的值，相等则合并，不等则分段。 常见陷阱一：当 中含 、常数项或分段结构时， 往往不满足 的表达式，必须分段。 常见陷阱二：条件中若同时出现 与 ，先用 统一为只含 或只含 的关系，再按上述三步处理。 类比迁移：若给出的是前 项积 ，则 ，且 （），检验方式相同。 ◆ 题型讲解 【题型1】由 求 例1　（2024·全国甲卷·理18，节选）记 为数列 的前 项和，已知 。求 的通项公式。 【答案】（）。 【分析】先令 求出 ，再对 作差消去 ，得到只含相邻两项的递推式，判定为等比数列，最后检验 。 【详解】当 时，，即 ，解得 。 当 时，由 与 两式相减，得 ，即 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列，故 。 当 时，，符合上式。 所以 （）。 变式1-1　（改编自教材4.1"思考"）已知数列 的前 项和 ，求 的通项公式。 【答案】 【分析】按"求首项—作差—检验"三步操作，重点在第三步： 时不满足 的表达式，须分段。 【详解】当 时，。 当 时， 。 当 时，，故 不满足上式。 所以 变式1-2　（改编自2026·广东江门·一模）已知数列 的前 项和 ，求数列 的前 项和。 【答案】。 【分析】先由 求 并检验 ，再把 化为便于取绝对值的幂形式。 【详解】当 时，。 当 时， 。 当 时，，符合上式。 所以 ，从而 。 故 的前 项和为 。 变式1-3　（改编自2024·四川雅安·三模）已知数列 的前 项和为 ，，且 ，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】条件中 与 混排，先在 处求 ，再对 作差把 消去，注意所得递推式只对 成立。 【详解】当 时，，由 得 。 当 时，由 与 两式相减，得 ，即 。 所以 从第 项起是首项为 、公比为 的等比数列，（）。 当 时，，符合上式。 所以 （）。 1.2　等差数列的通项公式 ◆ 知识梳理 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 公差：这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 表示。 定义式：（， 为常数），等价于 。 通项公式：。 推导方法：由 ，，， 这 个等式左右分别相加，中间项相消，得 。 推广公式：（）。 函数特征：，当 时 是关于 的一次函数，其图象是直线 上横坐标为正整数的一串离散点。 等差中项：若 成等差数列，则 ， 叫做 与 的等差中项。 下标和性质：若 （），则 。 适用条件：推广公式与下标和性质都要求下标为正整数；求公差时 ，须 。 ◆ 方法归纳 基本量法：把题设条件全部化为关于 与 的方程（组），解出 、 后代入通项公式。 整体代换：已知任意两项 、（），直接用 求出公差，可减少未知量。 设元技巧：三个数成等差数列时，常设为 ，，；四个数成等差数列时，常设为 ，，，。 判型依据：数列通项 是关于 的一次式或常数，则该数列为等差数列；反之，等差数列的通项必为关于 的一次式或常数。 ◆ 题型讲解 【题型2】等差数列通项的基本量计算 例2　（改编）已知等差数列 中，，，求 及 。 【答案】，。 【分析】已知两项可直接用推广公式的变形求公差，再由 求首项。 【详解】由 。 又 。 所以 。 故 。 变式2-1　（改编）已知等差数列 中，，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】设基本量 、，把两个条件都化为关于 、 的方程，联立求解。 【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 。 由 ， 又 ，即 。 两式相减得 ，代入得 。 所以 。 变式2-2　（改编）已知等差数列 中，，，且公差 ，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】三项下标连续，先用下标和性质求出中间项 ，再把 、 视为一元二次方程的两根。 【详解】由下标和性质 ，故 ，得 。 于是 ，。 所以 、 是方程 的两根，解得 或 。 因为 ，故 ，取 ，，于是 ，。 所以 。 变式2-3　（改编）已知等差数列 中，，且 ，， 成等比数列，求 的通项公式。 【答案】 或 。 【分析】"成等比"给出等量关系 ，与 联立后会出现 ，须对 与 分类讨论。 【详解】设首项为 ，公差为 ，则 。 由 ，， 成等比数列得 ，即 ， 展开得 ，即 ，所以 。 若 ，则 ，此时 ，且 成等比数列，符合题意。 若 ，代入 得 ，即 ，，此时 。 检验：，，，满足 ，符合题意。 所以 或 。 1.3　等比数列的通项公式 ◆ 知识梳理 等比数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。 公比：这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示（）。 定义式：（， 为非零常数），等价于 。 通项公式：。 推导方法：由 ，，， 这 个等式左右分别相乘，中间约去，得 。 推广公式：（）。 等比中项：若 成等比数列，则 （要求 同号且均不为零）， 叫做 与 的等比中项。 下标积性质：若 （），则 。 函数特征：，当 且 时， 是形如 的指数型函数。 适用条件：等比数列中 且各项均不为零； 时为非零常数列；由 的值求 时，须结合题设判断 的正负与个数。 ◆ 方法归纳 基本量法：把条件化为关于 与 的方程（组），先求 再求 。 整体代换：用 直接从两项之比求公比的幂，避免解高次方程。 设元技巧：三个数成等比数列时，常设为 ，，（），这样三个数的积为 ，便于求 。 分类讨论：由 或 求 时，若题设未限定 ，则须讨论 的正负；"正项数列"这一条件用于排除 。 ◆ 题型讲解 【题型3】等比数列通项的基本量计算 例3　（改编）已知等比数列 中，，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】由推广公式得 ，先求公比，再由 求首项。 【详解】设公比为 ，由 ，得 。 又 。 所以 。 变式3-1　（改编）已知等比数列 中，，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】 与 的每一项下标都相差 ，可用整体代换直接得到 。 【详解】设公比为 ，则 ，即 ，得 ，。 由 ，得 。 所以 。 变式3-2　（改编）已知正项等比数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】先用下标积性质把 化为 求出 ，再由 求 ，注意"正项"给出 。 【详解】由下标积性质 ，又 ，故 。 由 得 ，于是 。 因数列各项为正，，故 。又 。 所以 。 变式3-3　（改编）已知各项均为正数的等比数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】 或 。 【分析】先由 求 ，再把 、 用 与 表示，得到关于 的一元二次方程；因只用到 的信息，须讨论两解。 【详解】由下标积性质 ，又 ，故 。 设公比为 （），则 ，，由 得 ，即 ，解得 或 。 当 时，，； 当 时，，。 检验： 时 ，，；，，，符合题意。 所以 或 。 第二章　累加法与累乘法 2.1　累加法（叠加法） ◆ 知识梳理 适用形式：，即后一项与前一项之差为关于 的可求和代数式。 原理：由 ，，， 共 个等式左右分别相加，中间项两两相消。 结果：（），再检验 。 常见类型一（常数）：，则 ，此时 为等差数列。 常见类型二（一次函数）：，则 。 常见类型三（指数型）：（），则 。 常见类型四（裂项型）：，则 。 适用条件：必须保证 可求和；累加时写出的是 个等式（ 至 ），不是 个。 ◆ 方法归纳 第一步（定形）：把递推式整理成 的标准形式，确认 的类型。 第二步（累加）：从 到 写出 个等式并相加，得到 。 第三步（求和并检验）：按 的类型求和，代回得 （），再检验 。 易错点：指数型求和时首项为 而非 ，项数为 ；裂项型相加后只剩首尾两项。 ◆ 题型讲解 【题型4】形如 的递推 例4　（改编自2025·甘肃定西·模拟预测）已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 【答案】。 【分析】 为一次函数，用累加法后按等差数列求和。 【详解】当 时，由 得 （）。 将 个等式累加，得 。 所以 （）。 当 时，，符合上式。 所以 （）。 变式4-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】 为指数型，累加后用等比数列求和。 【详解】当 时，。 所以 （）。 当 时，，符合上式。 所以 （）。 变式4-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】 可裂项为 ，累加后中间项全部相消。 【详解】当 时， 。 所以 （）。 当 时，，符合上式。 所以 （）。 变式4-3　（2026·吉林白山·模拟预测）已知数列 的首项 ，，求 。 【答案】。 【分析】 以 为周期且一个周期内各项之和为 ，故 本身也以 为周期，可先求一个周期的各项再按余数定位。 【详解】由累加法，当 时 。 因为 以 为周期，且 ， 所以 是周期为 的数列，一个周期内的各项为 ，，，，，， 且 。 因为 ，所以 。 2.2　累乘法（叠乘法） ◆ 知识梳理 适用形式：，即后一项与前一项之比为关于 的可化简代数式。 原理：由 ，，， 共 个等式左右分别相乘，中间约去。 结果：（），再检验 。 常见类型一：，则 。 常见类型二：，则 ，首端剩下两个因子、末端剩下两个因子。 常见类型三：，则 。 常见类型四：，则乘积自 k=2 起约分后剩末端的 。 适用条件：必须 ；约分时要数清首端、末端各剩下几个因子，这是累乘法最主要的失分点。 ◆ 方法归纳 第一步（定形）：把递推式整理成 ，并写清 的分子、分母结构。 第二步（累乘）：从 到 写出 个等式相乘，得 。 第三步（约分并检验）：把分子、分母分别写成连乘积后约分，求出 （），再检验 。 ◆ 题型讲解 【题型5】形如 的递推 例5　（改编自2025·山东聊城·二模）已知数列 满足 ，（），求 的通项公式。 【答案】。 【分析】 的分母比分子多 ，累乘后首端剩 、末端剩 。 【详解】当 时，。 所以 （）。 当 时，，符合上式。 所以 （）。 变式5-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】分子分母相邻项完全约去，累乘后只剩末端的 。 【详解】当 时，。 所以 （），且 时 ，符合。 所以 （）。 变式5-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】 为指数型，累乘后指数部分为等差数列求和。 【详解】当 时，。 所以 （）； 时指数为 ，得 ，符合。 所以 （）。 变式5-3　（改编自2026·海南海口·一模）已知数列 满足 ，（，），求 的通项公式。 【答案】。 【分析】先把递推式化为 ，累乘时把"有理因子"与"指数因子"分开处理，注意累乘从 开始。 【详解】当 时，。于是 。 其中 ， 。 所以 （）。 当 时，，符合上式。 所以 （）。 第三章　构造法（待定系数法） 3.1　形如 的递推 ◆ 知识梳理 特征：一阶线性递推， 且 ；若 则为等差数列，若 则为等比数列，均不属于本节构造对象。 构造方法：设 ，展开得 。 求解 λ：对比原式得 ，即 。 转化结论： 是首项为 、公比为 的等比数列，故 。 等价说法： 就是方程 的根（不动点），因此也可先解 得 ，再验证 。 适用条件：；构造后必须检验 。 ◆ 方法归纳 第一步（求 λ）：设 ，用待定系数法解得 。 第二步（写等比）：写出 的通项，首项是 （不是 ），公比为 。 第三步（反解）：由 反解出 ，并检验 。 易错点：首项取成 而漏加 ；反解后未检验 。 ◆ 题型讲解 【题型6】构造等比数列求通项 例6　（改编自2026·甘肃兰州·一模）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】先化为 ，再设 求 。 【详解】由 ，设 ，展开得 ，对比得 。 所以 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式6-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】同型模仿，注意 ，新数列首项为 。 【详解】设 ，展开得 ，对比得 ，。 所以 ， 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式6-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】常数项为负，，新数列为 。 【详解】设 ，展开得 ，对比得 。 所以 ， 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式6-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】递推式的 带有系数，须先化标准形 ，再构造。 【详解】由 得 。 设 ，展开得 ，对比得 ，。 所以 ， 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 3.2　形如 的递推 ◆ 知识梳理 特征：非齐次项为指数式 （，），。 方法一（同除 ）：两边同除以 ，得 ，化为3.1型，要求 。 方法二（同除 ）：两边同除以 ，得 ，再用累加法，适用范围更广。 方法三（待定系数）：设 ，展开得 ，对比得 （）。 特殊情形（）：当 时，，两边同除以 得 ，故 为等差数列，公差为 。 适用条件：方法一、方法三要求 ； 时必须改用"构造等差"的思路。 ◆ 方法归纳 判型：先比较 与 ： 构造等比， 构造等差。 通法：优先采用同除法，可避开记忆 的公式，且 时同样适用（同除 ）。 检验：无论用哪种方法，最后都要验 。 ◆ 题型讲解 【题型7】构造等比（或等差）数列求通项 例7　（2026·福建漳州·三模）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】，，，可用待定系数法把 一并吸收进新数列。 【详解】设 ，展开得 。 对比 得 ，即 。 所以 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式7-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】与例7同型，区别在于 前有系数 ，待定系数解出 。 【详解】设 ，展开得 。 对比得 ，即 。 所以 ， 的首项为 ，公比为 。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式7-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】此时 ，不能构造等比，需两边同除以 构造等差数列。 【详解】因为 ，将 两边同除以 ，得 。 所以 是首项为 、公差为 的等差数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式7-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】，， 前的系数 与 有关，须按 求 。 【详解】设 ，展开得 。 对比 得 ，即 。 所以 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 3.3　形如 的递推 ◆ 知识梳理 特征：非齐次项为关于 的一次式 （），。 构造方法：设 。 展开对比：左边展开得 ，于是 ，。 求解 A、B：，。 转化结论： 是首项为 、公比为 的等比数列。 适用条件：；若 ，则 ，属于2.1节累加法。 ◆ 方法归纳 第一步（待定）：设 ，展开后比较 的系数与常数项，解出 、。 第二步（写等比）：写出 的通项，首项为 。 第三步（反解）：由 反解 ，并检验 。 验算技巧：求出 、 后，代回原式验证一次 的情形，可及时发现符号错误。 ◆ 题型讲解 【题型8】构造等比数列（非齐次项为一次式） 例8　（2026·吉林四平·二模）已知数列 的前 项和为 ，，且 ，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】由 得 ，再按 待定 、。 【详解】由 得 。 设 ，展开得 。 对比 得 ，，故 。 所以 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式8-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】与例8相比常数项由 变为 ，故 由 变为 。 【详解】设 ，展开得 。 对比 得 ，，故 。 所以 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式8-2　（改编自2024·广东深圳·模拟预测）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】，再由 得 ，新数列为 。 【详解】设 ，展开得 。 对比 得 ，，故 。 所以 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式8-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】，，。由 得 ，由 得 ，新数列为 。 【详解】设 ，展开得 。 对比 得 ，，解得 ，。 所以 ，即 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 第四章　倒数变换与对数变换 4.1　倒数变换法 ◆ 知识梳理 适用形式：，即分子只含 的一次项、分母为 的一次式（）。 操作：两边取倒数，得 。 转化结论：令 ，则 ，转化为3.1型。 特殊情形（）：，即 为等差数列，公差为 。 适用条件：须保证 ，通常由 及递推式的结构可归纳证得；若分子不是 的一次项（如 ），须先平移换元。 识别要点：分子恰好是 、分母是 的一次式，取倒数后立刻出现 的线性关系，这是使用倒数变换的信号。 ◆ 方法归纳 第一步（取倒数）：判断分子形如 后，两边取倒数并通分，整理为 。 第二步（求 1/a_n）：若 ，用等差数列；若 ，用3.1节构造法求 的通项。 第三步（还原）：对 再取倒数得 ，并检验 。 ◆ 题型讲解 【题型9】分式递推取倒数转化 例9　（改编自2025·江苏淮安·一模）在数列 中，，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】分子恰为 ，取倒数后 为等差数列。 【详解】由 及递推式可知 ，故可两边取倒数： 。 所以 是首项为 、公差为 的等差数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式9-1　（改编）在数列 中，，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】与例9同型，公差变为 ，首项为 。 【详解】由 及递推式知 ，两边取倒数得 。 所以 是首项为 、公差为 的等差数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式9-2　（改编）在数列 中，，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】取倒数后得到 型的一阶线性递推，需二次构造。 【详解】由 及递推式知 ，两边取倒数得 。 令 ，则 ，且 。 设 ，展开得 ，对比得 。 所以 ， 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式9-3　（改编自2025·江苏苏州·三模）在数列 中，，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】取倒数得 ，再用构造法，注意 。 【详解】由 及递推式知 ，两边取倒数得 。 令 ，则 ，。 设 ，展开得 ，对比得 。 所以 ， 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 4.2　对数变换法 ◆ 知识梳理 适用形式：（， 且 ），且 。 操作：两边取常用对数，得 。 转化结论：令 ，则 ，转化为3.1型；求出 后再取指数还原 。 特例（，）： 时 ， 为等比数列。 适用条件：必须先说明 ，否则对数无意义；所取对数底数应与题设中的幂底数配合，以便还原时化简。 识别要点：递推式中 只以"幂"的形式出现、且各项同号，是使用对数变换的信号。 ◆ 方法归纳 第一步（证正）：由 及递推结构，用归纳思想说明 。 第二步（取对数）：两边取对数得 ，用3.1节构造法求 。 第三步（还原）：由 得 ，并检验 。 变形技巧：遇 这类可配方结构，先化为 ，再对 取对数。 ◆ 题型讲解 【题型10】指数型递推取对数转化 例10　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】 只以幂的形式出现，两边取常用对数后 为等比数列。 【详解】由 及 可知 。 两边取常用对数，得 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式10-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】同型模仿，把例10中的底数 换成 。 【详解】由 及递推式知 。两边取常用对数得 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式10-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】取对数后出现常数项 ， 满足一阶线性递推，需构造等比数列。 【详解】由 及递推式知 。两边取常用对数得 。 令 ，则 ，。 设 ，展开得 ，对比得 。 所以 ， 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，。 故 。当 时，，符合。 所以 （）。 变式10-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】取对数后常数项为 ，构造等比时首项为 。 【详解】由 及递推式知 。两边取常用对数得 。 令 ，则 ，。 设 ，对比得 。 所以 ， 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，。 故 。当 时，，符合。 所以 （）。 第五章　特殊结构与归纳猜想 5.1　周期数列 ◆ 知识梳理 特征：递推式中出现倒数、、取相反数、""等结构，逐项计算后数值循环出现。 判定依据：若存在正整数 使 对一切 成立，则数列以 为周期；实际操作中算出 ，发现 即可确认周期为 。 常见周期二：，周期为 。 常见周期三（一）：，周期为 。 常见周期三（二）：，周期为 。 常见周期六：，周期为 。 求法：确定周期 后，设 （），则 ；若求多项和，先算一个周期的和，再看剩余项。 适用条件：此类数列一般没有简洁的通项公式，只能借助周期性求指定项或求和，不可强行构造。 ◆ 方法归纳 第一步（试算）：由 依次算出 ，直到出现与前面某项相等的情形。 第二步（定周期）：确定最小正周期 ，并写清一个周期内的各项。 第三步（定位）：用 除以 取余数定位；余数为 时取 。 易错点：余数与项的对应关系： 时 ，当 应取 而非 。 ◆ 题型讲解 【题型11】周期数列求指定项 例11　（改编自2024·山东济宁·三模）已知数列 满足 ，，（，），求 。 【答案】。 【分析】先逐项计算发现循环，确定周期后再用余数定位。 【详解】由递推式依次计算： ，，，，，，。 可见 ，，故数列以 为周期。 因为 ，所以 。 变式11-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 。 【答案】。 【分析】""型周期为 ，算出前三项即可。 【详解】，，，。 可见数列以 为周期。 因为 ，所以 。 变式11-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 。 【答案】。 【分析】""型周期为 ，注意本题余数为 的情形。 【详解】，，，。 可见数列以 为周期。 因为 ，所以 。 变式11-3　（改编自高考真题）已知数列 满足 ，（），求 。 【答案】。 【分析】逐项计算时注意含 的分式化简，先算出前三项观察循环。 【详解】， ， ， 。 可见 ，数列以 为周期。 因为 ，所以 。 5.2　数学归纳法（猜想与证明） ◆ 知识梳理 教材说明："数学归纳法"在人教A版选择性必修第二册第四章中标注"*"，为选学内容，不作统一考试要求；但"算前几项—归纳—猜想—证明"的思想方法常作为新高考数列题的命题背景，本节按拓展要求保留。 使用场景：递推关系较复杂、看不出可构造的等差或等比结构时，先算出前几项猜出通项，再用数学归纳法证明。 步骤一（归纳奠基）：证明当 （）时命题成立。 步骤二（归纳递推）：假设 （，）时命题成立，证明 时命题也成立。 步骤三（结论）：由步骤一、二可知，命题对一切 （）都成立。 关键要求：第二步必须用上" 时命题成立"这一假设，否则只是验证而非数学归纳法。 ◆ 方法归纳 第一步（算）：由 与递推式依次算出 （必要时 ），并统一写成便于观察的形式（都化为分数，或都写成幂）。 第二步（猜）：把 与序号 对照，找出结构上的对应关系，写出猜想。 第三步（证）：用数学归纳法：验 ；设 成立，代入递推式推出 成立的表达式，注意把结果整理成与猜想同构的形式。 方法选择：若递推式本身可构造（如 ），应优先用构造法；归纳法是对"无明显结构"递推的兜底手段，两法结果必须一致。 ◆ 题型讲解 【题型12】归纳—猜想—证明 例12　（改编自教材4.1习题）已知数列 满足 ，（），写出它的前 项，猜想通项公式并用数学归纳法证明。 【答案】。 【分析】把前几项统一写成假分数，即可看出分子比分母大 ，且分母恰为 。 【详解】由递推式依次计算： ，，，，。 猜想 。 证明：①当 时，左边 ，右边 ，猜想成立。 ②假设 （）时 成立，则当 时， ， 即 时猜想也成立。 由①②可知， 对一切 成立。 变式12-1　（改编）已知数列 满足 ，，写出前 项，猜想通项公式并用数学归纳法证明。 【答案】。 【分析】前几项为 ，分母比 的幂小 。 【详解】，，，。 猜想 。 证明：①当 时，，猜想成立。 ②假设 时 成立，则 ， 即 时猜想也成立。 由①②可知， 对一切 成立。 变式12-2　（改编）已知数列 满足 ，，写出前 项，猜想通项公式并用数学归纳法证明。 【答案】。 【分析】前几项为 ，恰为 的幂减 ；本题也可用构造法，两法结果应一致。 【详解】，，，。猜想 。 证明：①当 时，，猜想成立。 ②假设 时 成立，则 ， 即 时猜想也成立。 由①②可知， 对一切 成立。 另解（构造法）：由 ，，得 ，，与上述结论一致。 变式12-3　（改编）已知数列 满足 ，，写出前 项，猜想通项公式并用数学归纳法证明。 【答案】。 【分析】递推式可配方为 ，前几项减 后为 ，即 的 的幂次。 【详解】，，，。 又 ，，，，指数依次为 ，即 。 猜想 。 证明：①当 时，，猜想成立。 ②假设 时 成立，则 ，于是 ， 即 时猜想也成立。 由①②可知， 对一切 成立。 5.3　不动点法（高阶补充） ◆ 知识梳理 内容定位：本节超出教材正文，属于自主招生与竞赛的常用工具；高考中分式递推多用"取倒数"或"待定系数"处理，此处作为高阶拓展。 适用形式：（，），分子、分母均为 的一次式。 不动点方程：令 ，整理得 ，其根称为该递推式的不动点。 情形一（两个不同实根 ）： 是等比数列，公比为 。 情形二（重根 ）：由 知 为等差数列。 情形三（无实根）：此时数列为周期数列，可回到5.1节的方法处理。 适用条件：分子分母均为 的一次式；若 恰为不动点，则数列为常数列（验证 即可）。 ◆ 方法归纳 第一步（解不动点）：解 ，判断是两不等实根、重根还是无实根。 第二步（构造）：两不等实根时构造 为等比数列；重根时构造 为等差数列。 第三步（还原）：由新数列的通项反解 ，并检验 。 替代方案：若求根困难，可先尝试两边取倒数或直接待定系数，往往更快。 ◆ 题型讲解 【题型13】分式线性递推的不动点法 例13　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】不动点方程有两个不同实根 与 ，故构造 为等比数列。 【详解】令 ，得 ，即 ，解得 ，。 又 ， 。 两式相除得 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，即 。 解得 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式13-1　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】不动点方程为完全平方，有重根 ，故构造 为等差数列。 【详解】令 ，得 ，即 ，重根 。 于是 。 所以 是首项为 、公差为 的等差数列。 于是 ，即 ，故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式13-2　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】不动点为 与 ，构造 为等比数列，公比为 。 【详解】令 ，得 ，即 ，解得 ，。 又 ， 。 两式相除得 。 所以 是首项为 、公比为 的等比数列。 于是 ，即 。 解得 。 当 时，，符合。 所以 （）。 变式13-3　（改编）已知数列 满足 ，，求 的通项公式。 【答案】。 【分析】先写成 的形式再解不动点，得重根 ，故构造 为等差数列。 【详解】递推式可写为 。令 ，得 ，重根 。 于是 。 所以 是首项为 、公差为 的等差数列。 于是 ，即 。 故 。 当 时，，符合。 所以 （）。 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $