微专题数列递推公式求通项公式知识总结讲义-2027届高三数学一轮复习
数列递推公式求通项公式知识点总结
概述与方法速查
数列的递推公式：已知数列的首项（或前若干项），并给出任意相邻若干项之间的关系式，该关系式称为递推公式；通项公式则是直接用序号 表示第
项
的式子。求通项公式的基本思想是“转化”——把不熟悉的递推关系转化为等差、等比数列，或用累加、累乘、取倒数、取对数、作差消元等手段消去中间量，最终得到与的关系。各方法的适用形式与基本思路见下表。
方法 | 适用递推形式 | 基本思路 |
累加法 |
| 把 |
累乘法 |
| 把 |
待定系数法 |
| 构造 |
同除指数法 |
| 两边除以 |
取倒数法 |
| 取倒数化 |
| 已知 |
|
取对数法 |
| 取对数化 |
特征方程法 |
| 解特征方程 |
不动点法（拓展） |
| 由不动点构造等比数列 |
一、累加法
方法要点：当递推公式可化为
时，把
,2,…,
时的等式左右分别相加，得
。
的连加常用等差、等比数列求和公式或裂项相消计算。
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【例题 1】已知 【解析】由累加法， 故 |
【练习 1】已知 |
二、累乘法
方法要点：当递推公式可化为
时，把,2,…,时的等式左右分别相乘，中间项约分，得
。通常取能前后约分的分式。
【例题 2】已知 【解析】由累乘法， |
【练习 2】已知 |
三、待定系数法
方法要点：对
且
，存在常数
使
。比较系数得
。于是 {
} 是以
为公比的等比数列，先求，再求。
【例题 3】已知 【解析】设 故 |
【练习 3】已知 |
四、同除指数法
方法要点：对
，
，两边同除以
，令
，化为
，再用待定系数法。当
时，除以后化为
，即等差数列。
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【例题 4】已知 【解析】两边同除以 构造 所以 |
【练习 4】已知 |
五、取倒数法
方法要点：对
，两边取倒数得
。令
，化为
，再用待定系数法。
【例题 5】已知 【解析】两边取倒数： 故 |
【练习 5】已知 |
六、利用
与
的关系
方法要点：由前项和的定义，
；当
时，
。若
的表达式已知，直接作差；若递推式含，利用
消去，得到的递推关系。求得后须检验是否满足统一表达式。
【例题 6】已知数列{ 【解析】 又 |
【练习 6】已知数列{ |
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