精品解析：重庆市鲁能巴蜀中学校2026-2027学年高二上学期十月学情检测数学试卷

高2028届高二上期十月学情检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 24 D. 36 【答案】B 【解析】 【详解】在等比数列中，， 结合，，则. 3. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化为标准抛物线形式，再由准线方程可得. 【详解】抛物线方程为，则，可得，抛物线的准线为. 故选：D． 4. 已知为实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的定义域及函数的值域，再利用并集、补集的定义求解. 【详解】由，得，解得，则，而， 因此，所以. 故选：D 5. 设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【详解】函数的定义域为，且均为单调递增函数，故函数是增函数， 由于，故， 满足，说明中有1个是负数一定是，两个正数或3个负数， 由于存在零点，故． 故选：B． 6. 定义一种运算，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据半圆与直线的位置关系，求出切线斜率，数形结合得解. 【详解】由得， 直线经过定点，如图， ， 当直线与半圆相切时，， 所以恰有两个公共点时，由图可知，， 故选：D． 8. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，则，根据斜率公式结合题意可得，再根据，将用表示，整理，再结合离心率公式即可得解. 【详解】[方法一]：设而不求 设，则 则由得：， 由，得， 所以，即， 所以椭圆的离心率，故选A. [方法二]：第三定义 设右端点为B，连接PB，由椭圆的对称性知： 故， 由椭圆第三定义得：， 故 所以椭圆的离心率，故选A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据向量的夹角公式计算即可；对于BC，利用向量垂直及平行的坐标表示验证即可；对于D，根据向量在向量上的投影向量为计算即可. 【详解】对于A，因为，， 所以， 又，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以， 故，所以B正确； 对于C，由向量，，，可知，故，所以C正确； 对于D，根据投影向量的定义可知，向量在向量上的投影向量为 ，所以D错误，． 故选：BC. 10. 记为数列的前项和，则（ ） A. 当时，数列为等比数列 B. 当时，数列为等差数列 C. 若，当时，数列为等差数列 D. 若，当时，数列为等比数列 【答案】AB 【解析】 【分析】利用数列第项与前项和的关系，结合等差数列、等比数列的定义逐项判断即可． 【详解】对于A，由，当时，，而满足上式， 因此，，所以数列是首项为，公比为的等比数列，故A正确； 对于B，由，当时，，而满足上式， 因此，，数列是首项为，公差为的等差数列，故B正确； 由，且，则，两式相除得，即， 因此是周期为的数列，即，，，，…，则，， 对于C，若为等差数列，则，即，仅当时成立，不具有普遍性，故C错误； 对于D，若为等比数列，则，即，解得，或，这两种情况都得，，与矛盾，故D错误． 11. 如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆与双曲线的离心率分别为，点P为两曲线位于第一象限的公共点，且，I为的内心，三点共线，且，x轴上的点A，B满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，结合椭圆、双曲线定义及余弦定理求解判断AB；利用椭圆、双曲线定义，结合三角形内角平分线性质定理求解判断CD. 【详解】设，而椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 由双曲线的定义，得，由椭圆的定义，得， 则，又， 由余弦定理得：， 即，整理得， 对于A，，即，A正确； 对于B，，即，B错误； 对于C，又平分，则，由，得， 则，C正确； 对于D，由为的内心，得为的角平分线，则，同理， 则，于是，即， 由，得，则，又三点共线， 即为的角平分线，又平分，则有， 而，则，即， 由，得，即，由选项B知，，D正确． 故选：ACD 【点睛】结论点睛：是的角平分线，则. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据6，8，4，5，12的中位数为________． 【答案】 【解析】 【分析】将样本数据从小到大排序后，根据中位数的定义取中间位置的数值即可.  【详解】将给定样本数据按从小到大的顺序排列，得：. 该组数据的样本容量为，所以中位数为第位的数， 因此该样本数据的中位数为. 13. 已知为等腰三角形，且，则_________. 【答案】##0.875 【解析】 【分析】利用正弦定理边化角，再利用余弦定理求出. 【详解】在中，令内角所对边分别为， 由及正弦定理，得，显然为底边，否则不能构成三角形， 由余弦定理得. 故答案为： 14. 多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正八面体的结构特征确定球心位置，令正八面体的棱长为2，有外接球半径，再由等体积法求得内切球的半径，即可得. 【详解】由正八面体的结构特征易知，其外接球和内切球的球心重合，且为体对角线的交点， 令正八面体的棱长为2，外接球和内切球的半径分别为，则外接球半径， 各侧面积，构成正八面体的两个正四棱锥的高为， 所以正八面体的体积，可得， 所以外接球和内切球的表面积比为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1）， （2）（等价形式也可） 【解析】 【分析】（1）先设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为，再结合题中条件列方程求出，，进而即可得到数列，的通项公式； （2）结合（1），先根据等差数列的求和公式得到的前项和，再根据等比数列的求和公式得到的前项和，进而结合分组求和法即可得到的前项和． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，正项等比数列的公比为， 由，则，解得， 所以数列的通项公式为； 所以，，则， 又，则，解得， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 结合（1），得的前项和为， 的前项和为， 所以数列的前项和． 16. 已知抛物线：的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，． （1）求抛物线的方程； （2）过作斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出过且垂直于轴的直线，与抛物线方程联立，结合求解即可. （2）根据直线的点斜式方程求出直线，与抛物线方程联立，代入弦长公式求解即可. 【小问1详解】 抛物线：的焦点为. 过且垂直于轴的直线为，代入抛物线方程得，则. 所以，解得. 故抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，，故直线的方程为. 与联立整理得，， 设，，则，. 所以. 故. 17. 已知直线：恒过点，圆：，设为圆上任意一点，最小值为2． （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）若，求直线被圆截得的弦长． 【答案】（1）；圆或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）与圆的位置关系不确定，与圆上动点的距离最小值需分类讨论； （2）几何法求弦长即可. 【小问1详解】 直线：，当时，总有，恒过. 圆心，. 若在圆上即，则最小值为0，不合题意； 若在圆外即，则最小值为，得； 若在圆内即，则最小值为，得. 综上所述，的坐标为，圆或. 【小问2详解】 时，，圆心到直线的距离， 被截得的弦长为. 当时，弦长为；当时，弦长为. 18. 如图，在长方体中，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，，． （i）求到平面的距离； （ii）求二面角的正弦值． 【答案】（1）取中点，连接，因为是的中点，是的中点， 在长方体中，且， 所以四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，所以平面； 因为是的中点，是的中点， 所以是的中位线，故， 又平面，平面，所以平面； 由于，且平面， 所以平面平面，又平面， 故平面； （2）（i）；（ii）． 【解析】 【分析】（1）取中点，先利用面面平行的判定定理证明平面平面，再由面面平行的性质定理证明线面平行； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，由点到面距离的向量公式即可求解； （3）由面面角的向量公式即可求解即可； 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 （i）以为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 根据，，，可得， ，， 设平面的法向量，则， 令，得，又， 所以点到平面的距离； （ii）设平面的法向量，， 则，令，得， 则， 设二面角为，则， 故二面角的正弦值为． 19. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为．设，，为椭圆上三个不同的点． （1）求椭圆的方程； （2）若为正三角形，点为椭圆的左顶点，求的周长； （3）若为直角三角形，点为直角顶点． （i）若，平行于坐标轴，求面积的最大值； （ii）求面积的最大值． 【答案】（1） （2） （3）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）通过焦点以及离心率求得椭圆方程； （2）由题意，可设，，通过等边三角形边长相等的性质列出方程求解即可； （3）设，其中，，且. （i）由题意可设，表示出，进而求解即可； （ii）若，不平行于坐标轴，设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式得到，，即可表示出，进而求解即可. 【小问1详解】 由题意得，，，则，即， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 由题意得，，由对称性可得关于轴对称， 不妨设，， 则，， 则，即， 又，解得（舍去）或，即， 所以的周长为. 【小问3详解】 设，其中，，且. （i）由，平行于坐标轴，可设， 则， 所以面积的最大值为. （ii）若，不平行于坐标轴， 设直线的方程为， 联立，得， 由韦达定理可知，， 则 ， 同理可得， 所以 ， 令，则， 所以 ，其中， 而， 当且仅当，即时等号成立， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以， 则面积的最大值为，此时，. 由（i）知，若，平行于坐标轴，面积的最大值为， 因为，所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2028届高二上期十月学情检测 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、班级、学校在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 3．考试结束后，请将答题卡交回，试卷自行保存．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 9 B. 12 C. 24 D. 36 3. 抛物线方程为，则此抛物线的准线为（　　） A. B. C. D. 4. 已知为实数集，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 设，满足.若函数存在零点，则（ ） A. B. C. D. 6. 定义一种运算，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 7. 若直线与曲线恰有两个公共点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称．若直线的斜率之积为，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，，，则下列结论正确的是（ ） A. 向量与向量的夹角为 B. C. D. 向量在向量上的投影向量为 10. 记为数列的前项和，则（ ） A. 当时，数列为等比数列 B. 当时，数列为等差数列 C. 若，当时，数列为等差数列 D. 若，当时，数列为等比数列 11. 如图，椭圆与双曲线有公共焦点，椭圆与双曲线的离心率分别为，点P为两曲线位于第一象限的公共点，且，I为的内心，三点共线，且，x轴上的点A，B满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 样本数据6，8，4，5，12的中位数为________． 13. 已知为等腰三角形，且，则_________. 14. 多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，其所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形，且每一个顶点所接的面数都一样，各相邻面所成二面角都相等）．数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体，正八面体、正十二面体、正二十面体，如图所示为正八面体，则该正八面体的外接球与内切球的表面积的比为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列与正项等比数列满足：，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知抛物线：的焦点为，过作垂直于轴的直线与抛物线交于，两点，． （1）求抛物线的方程； （2）过作斜率为2的直线与抛物线交于，两点，求． 17. 已知直线：恒过点，圆：，设为圆上任意一点，最小值为2． （1）求定点的坐标与圆的方程； （2）若，求直线被圆截得的弦长． 18. 如图，在长方体中，点，分别为，的中点． （1）证明：平面； （2）设，，． （i）求到平面的距离； （ii）求二面角的正弦值． 19. 已知椭圆：的左焦点为，离心率为．设，，为椭圆上三个不同的点． （1）求椭圆的方程； （2）若为正三角形，点为椭圆的左顶点，求的周长； （3）若为直角三角形，点为直角顶点． （i）若，平行于坐标轴，求面积的最大值； （ii）求面积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $