精品解析：北京市陈经纶中学2026-2027学年高一上学期10月诊断练习数学试卷

高一年级数学学科10月诊断练习 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 命题“对任意的，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的否定的定义判断． 【详解】命题“对任意的，”的否定是：，． 故选：A． 2. 已知集合，，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知条件求出，，因为，且，所以，计算补集即可. 【详解】由，可得，即，所以； 由，可得，即，所以； 若，且，则有. 故选：D 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断函数的定义域与对应法则是否相同，即可判断两个函数是否为同一函数. 【详解】对A,的值域为的值域为，不是同一函数，故错误； 对B,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对C,定义域为的定义域为，不是同一函数，故错误； 对D,，二者的定义域、对应法则均相同，为同一函数，故正确. 故选：D 4. 已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（ ） x m 8 4 n A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据表格列出关于等式并解出，代入求出即可. 【详解】由表知，，，解得， 所以， 所以. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于A，把不等式两边平方再作差即可判断；对于B，根据特殊值法即可判断；对于C，利用均值不等式即可判断；对于D，根据基本不等式即可判断. 【详解】对于A，因为，所以可得，，， 则，即， 所以，故A错误； 对于B，令，则，则，故B错误; 对于C，根据均值不等式，当且仅当时等号成立， 又因为，所以等号不成立，则，故C错误; 对于D，因为，所以，由基本不等式可知， 当且仅当时等号成立，而，所以等号不成立，则，故D正确. 故选：D 6. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ） A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B. 某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 【答案】B 【解析】 【分析】利用折线图以及横、纵坐标代表的意义逐一分析即可求解. 【详解】对于选项A，从图中可以看出乙车的最高燃油效率大于5，故A项错误； 对于选项B，速度在80千米/小时以下时，相同条件下每消耗1升汽油， 丙车行驶路程比乙车多，所以该市用丙车比用乙车更省油，故B项正确. 对于选项C，甲车以80千米/小时的速度行驶，1升汽油行驶10千米， 所以行驶1小时，即行驶80千米，消耗8升汽油，故C项错误； 对于选项D，同样速度甲车消耗1升汽油行驶的路程比乙车、丙车的多， 所以行驶相同路程，甲车油耗最少，故D项错误. 故选：B 【点睛】本题考查了折线图的解读，考查了考生的分析能力、理解能力，属于基础题. 7. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取的值，推出矛盾，确定必要性不成立. 【详解】因，则由可得，解得，即充分性成立； 当时，满足，但此时，即必要性不成立， 综上所述，“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果. 8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算，再代入公式，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由题意可知，， 所以， ， 而，所以，当时等号成立， 所以三角形面积的最大值为. 故选：B 9. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】对二次不等式左边进行因式分解，先讨论二次项系数，分析得到不符合题意；再讨论二次项系数得到解集，进而得到解集中的一个整数元素，从而得到不等式，解得的取值范围. 【详解】∵ 当，即，不等式解集为或， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即，不等式解集为， 存在无数个整数解，不符合题意，故舍去； 当，即， 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式没有整数解，不符合题意，故舍去； 当时，，即， 不等式解集为空集，∴不符合题意，故舍去； 当时，， 不等式解集为， ∴原不等式的个整数解为：， ∴，则； 综上所述：. 10. 对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是( ) A. 若则 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据,逐项分析,即可求得答案. 【详解】 对于A,, 分类讨论： ①当,则此时 ②当且,即,此时， ③当且, 即时,,此时 综合所述,有,故A正确; 对于B , ,故B正确； 对于C , ,故C正确; 对于D ,,故D错误. 故选:D. 【点睛】本题主要考查了函数新定义和集合运算,解题关键是充分理解新定义和掌握函数,集合基础知识,考查了分析能力和计算能力,属于难题. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知，集合则______. 【答案】 【解析】 【分析】根据补集运算直接求解即可. 【详解】因为，集合， 所以， 故答案为： 12. 函数的定义域是________． 【答案】 【解析】 【分析】解分式不等式求得正确答案. 【详解】依题意，，解得或， 所以的定义域是. 故答案为： 13. 函数 ，则________；若则________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求f(－2)，再求f(f(－2))即可；当f(x)＝3时，分x≤－1和x＞－1时进行讨论﹒ 【详解】， ， 又， 当时，由得； 当，时，有，得，舍． 故x＝ 故答案为： 14. 设集合，，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】由交集定义可知且，对进行分类讨论即得. 【解答】由可得，则或或， 即或. 当时，，即，，不合题意； 当时，此时，与集合元素互异性矛盾，不合题意； 当时，，满足，符合题意. 故的值为. 15. 已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是______. 【答案】，，(答案不唯一) 【解析】 【分析】可以直接选一组特殊值，只要能满足，但是即可. 【详解】当时，，， 此时满足，但是. 故答案为：(答案不唯一). 16. 已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②；③；④． 注：其中分别表示中元素的个数． 如果集合中只有一个元素，那么___________； 如果集合中有2个元素，请写出所有满足条件的集合：___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据新定义，结合交集和并集的概念，可得答案. 【详解】如果集合中只有一个元素，则集合中有4个元素， 由，可得，即； 如果集合中有2个元素，则集合中有3个元素， 则，，即 可得. 故答案为：； 三、解答题（共5小题，共70分） 17. 已知集合．若，则的取值集合为． （1）求集合． （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合中元素与集合的关系列不等式关系即可得的取值集合； （2）根据集合运算关系列不等式关系即可得实数的取值范围. 【小问1详解】 若，则，解得， 所以的取值集合为； 【小问2详解】 若，则，则，即， 则或， 要满足，则或，解得或， 所以实数的取值范围是. 18. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元． 【解析】 【分析】（1）依题意分段表示利润与成本关系即可； （2）利用二次函数的性质与基本不等式分段计算函数最值并比较即可. 【小问1详解】 由题意可得， 当时，， 则. 当时，， 则. 综上，的函数关系式为： . 【小问2详解】 当时，是二次函数，图象为开口向上的抛物线， 对称轴为， 所以当时，. 当时， 当且仅当，即时等号成立，此时； ， 当时，利润最大，最大利润为64.5元. 综上，当投入的单株肥料成本为3元时，该农作物单株获得的利润最大，最大利润是64.5元. 19. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 【答案】（1） （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为 【解析】 【分析】（1）先考虑的情况，再考虑的情况即可； （2）先进行因式分解，然后求出对应方程的两个根，再对分类讨论求出不同情况下的不等式的解集即可. 【小问1详解】 的解集是实数集，则该不等式在上恒成立. 当时，，则，解集不是实数集，故排除. 当时，要使的解集为，必须满足抛物线开口向上且与  轴最多有一个交点，即： ，，即， 解得，综合，可得，即. 【小问2详解】 ， 不等式两边同时除以，，. 这是一个开口向上的二次不等式，解集在两根之外， 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为； 当时，即，此时解集为. 20. 已知二次函数（）满足，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出解析式即可； （2），对称轴是，根据二次函数在区间上的不同单调性求出最小值，继而即可求解； （3）由题意得，当时，不等式恒成立；当时，利用分离参数法得在上恒成立，结合换元法与对勾函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 因为，则， 所以， 又， 所以，得，，所以． 【小问2详解】 ，所以的图象开口向上，对称轴是． 当，即时，在上单调递增， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减， ，得，满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增． ，得或，不满足题意． 综上所述，或． 【小问3详解】 ，，化简得：． 当时，不等式恒成立； 当时，，在上恒成立． 令，， ，． 又在上单调递增，所以当时，有． 故，即的取值范围是． 21. 给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定． （1）当时，写出一组和； （2）是否存在集合与正整数，使？说明理由； （3）当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由． 【答案】（1）若，则； （若，则； 若，则；写出一组即可）. （2）不存在集合，使． 下面用反证法证明. 证明：假设存在集合，使． 因为， 故集合中必有1或同时有． ①若时，不妨设，则． 因为与必为一个奇数一个偶数，而， 则，且， 这与中元素均为奇数矛盾． ②若且，则，这与矛盾． 综上所述，假设错误，故不存在集合，使． （3）存在，使．，，，. 【解析】 【分析】（1）由题意生成集合的过程可得； （2）用反证法证明.先将分解因式，分析集合中的元素情况，分类讨论可得； （3）尝试任取两个元素，逐步找到满足题意的一组集合即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 当时， 存在，使．原因如下： 当时，令，，则； 令，，则； 令，，则； 令，，则. 【点睛】关键点点睛：解决此题的关键在于两点，一是弄清题意，理解顺序生成集合列的方法；二是应用反证法，因式分解从“积”入手分析集合中的可能元素，分类讨论寻找矛盾即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级数学学科10月诊断练习 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1. 命题“对任意的，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，若，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示同一函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数，，下表列出了时各函数的取值，则（ ） x m 8 4 n A. ， B. ， C. ， D. ， 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况，下列叙述中正确的是（ ） A. 消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米 B. 某城市机动车最高限速80千米/时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油 C. 甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油 D. 以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多 7. 若，则“”是 “”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 已知关于x的不等式恰有一个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 10. 对于全集的子集定义函数为的特征函数,设为全集的子集,下列结论中错误的是( ) A. 若则 B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 11. 已知，集合则______. 12. 函数的定义域是________． 13. 函数 ，则________；若则________． 14. 设集合，，若，则实数的值为______． 15. 已知a，b，c为实数，能说明“若，则”为假命题的一组a，b，c的值是______. 16. 已知非空集合同时满足以下四个条件： ①；②；③；④． 注：其中分别表示中元素的个数． 如果集合中只有一个元素，那么___________； 如果集合中有2个元素，请写出所有满足条件的集合：___________． 三、解答题（共5小题，共70分） 17. 已知集合．若，则的取值集合为． （1）求集合． （2）若，求实数的取值范围． 18. 玉林五彩田园种植了多种农作物，调研发现：某种农作物单株的产量（单位：）与肥料成本（单位：元）满足如下关系：，单株成熟除肥料成本（单位：元）外，还需其他成本（单位：元）．已知这种农作物的市场售价为6元/kg，且供不应求，记该农作物单株获得的利润为（单位：元）． （1）求的函数关系式； （2）当投入的单株肥料成本为多少元时，该农作物单株获得的利润最大？最大利润是多少元？ 19. 已知函数. （1）若关于的不等式的解集是实数集，求的取值范围； （2）当时，解关于的不等式. 20. 已知二次函数（）满足，． （1）求的解析式； （2）若函数在区间上的最小值为，求实数的值； （3）若对任意，有不等式恒成立，求实数的取值范围． 21. 给定正整数，设集合．任取中两个元素，，记，，；任取中两个元素，，记，，；，以此类推：任取中两个元素，，记，，，其中，规定． （1）当时，写出一组和； （2）是否存在集合与正整数，使？说明理由； （3）当时，是否存在整数，使？若存在，写出一组，，，；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $