第3章 勾股定理 单元复习（8大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）培优讲义2026-2027学年苏科版八年级数学上册

第3章 勾股定理 知识点1：勾股定理 　　1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边为、，斜边为，则。 　　2.适用前提：只适用于直角三角形，已知其中任意两边可求第三边。 3.变形：，，即，。 知识点2：勾股定理的验证 　　1.拼图法验证：以"算两次"思想，用两种方式表示同一图形的面积，由面积相等建立等量关系，经等量变换得到。 　　2.常见图形：赵爽弦图（四个全等直角三角形与小正方形拼成正方形）、达·芬奇拼图等。 3.数形结合：勾股定理的验证体现"以形助数、以数解形"的数学思想。 知识点3：勾股定理的应用 　　1.已知直角三角形任意两边长，求第三边长。 　　2.已知一边及另两边的关系，确定线段长（常设未知数列方程）。 　　3.解决含平方关系的几何问题、求两条线段的平方和（差）。 　　4.构造直角三角形解决生产生活中的实际问题（梯子、航行、测量、沙尘暴等）。 知识点4：勾股定理的逆定理 　　1.内容：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形，且所对的角为直角。 　　2.判断方法：先找最大边，计算两条较小边平方和与最大边平方是否相等，相等即为直角三角形。 　　3.作用：判断三角形是否为直角三角形（角的关系），常用于证明线段垂直。 知识点5：勾股数 　　1.定义：能够成为直角三角形三条边的三个正整数，称为勾股数。 　　2.判断方法：先确定三个数是正整数；比较最大数的平方与另外两个数平方和是否相等。 　　3.常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15等。 知识点6：勾股定理与逆定理的比较 比较项 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 直角三角形 （三边关系） 结论 三边数量关系（边的性质） 三角形是直角三角形（角的性质） 用途 已知两边求第三边、求线段长 判断三角形形状、证明垂直 联系 互为逆定理，常综合运用解决问题 知识点7：常见几何模型中的勾股定理 　　1.勾股树：以直角三角形三边为边向外作正方形，两直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形面积。 2.赵爽弦图：由四个全等直角三角形和小正方形拼成，大正方形边长，小正方形边长。 3.垂美四边形：对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，即。 知识点8：最短路径问题 　　1.立体图形表面最短路径：将侧面（表面）展开成平面，利用"两点之间线段最短"转化为求两点间距离。 　　2.方法：沿棱剪开展开，构造直角三角形，用勾股定理求线段长度。 　　3.常见类型：圆柱侧面、长方体表面、台阶面、三棱柱侧面等。 【基础必考题型】 【题型1】已知直角三角形两边求第三边 1.核心知识点 　勾股定理；直角边的判断 2.解题方法技巧 　① 判断已知两边是直角边还是斜边，再代入勾股定理公式 　② 已知两直角边求斜边，用；已知斜边和一直角边，用勾股定理变式求另一直角边 　③ 注意"两边长"未指明直角边时需分类讨论 【例题1】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）《算法统宗》中有一道田地计算题：一块长方形田地，长为16步，宽与对角线长度之和为32步，则这块田地的宽为_____步． 【答案】 【分析】设宽为步，根据宽与对角线的和得到对角线的表达式，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：设这块长方形田地的宽为步，则对角线的长为步， ∵长方形的内角为直角， ∴由勾股定理可得： 整理得 解得， ∴这块田地的宽为步． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·贵州毕节·阶段检测）在中，，，则___________． 【答案】5 【分析】利用勾股定理，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·全国·单元复习）在生活中，我们经常会看到为抄近道而踩踏草坪的不文明现象．如图，在中，，表示两条互相垂直的小路，表示在草坪上踩踏出来的“小路”，经测量，得，，那么抄近道可以少走________． 【答案】4 【分析】已知是直角三角形，先用勾股定理算出斜边的长度，再计算原来走两条小路总长与的差值，得到少走的路程． 【详解】解：，，， ， ， 抄近道可以少走． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）求出图中直角三角形未知边的长度． 【答案】未知边的长度为． 【分析】该三角形是直角三角形，已知一条直角边和斜边，直接利用勾股定理计算未知边长即可． 【详解】解：∵该三角形为直角三角形， ∴由勾股定理得 整理计算得 ∵三角形边长为正数， ∴． 综上，未知边的长度为． 【题型2】判断三边能否构成直角三角形 1.核心知识点 　勾股定理的逆定理；判断直角三角形 2.解题方法技巧 　① 先找出最大边，计算两较小边平方和与最大边平方比较 　② 满足则为直角三角形，否则不是 　③ 注意三边是否为正数，常用于判断三角形形状 【例题2】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】比较各选项中两较短边的平方和与最长边的平方，判断是否相等． 【详解】解：选项A，，能构成直角三角形，不符合题意； 选项B，，能构成直角三角形，不符合题意； 选项C，最长边为，，，，不能构成直角三角形，符合题意； 选项D，最长边为，，，能构成直角三角形，不符合题意． 【变式题2-1】.（26-27八年级上·广东清远·期中）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：A：，，能作为直角三角形三边长度． B：，，能作为直角三角形三边长度． C：，，不能作为直角三角形三边长度． D：，，能作为直角三角形三边长度． 【变式题2-2】.（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】利用勾股定理逆定理逐一判断即可． 【详解】解：A．，故是直角三角形，符合题意， B．，故不是直角三角形，不符合题意， C．，不是直角三角形，不符合题意， D．，不是直角三角形，不符合题意． 【变式题2-3】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先化简含乘方的边长，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一判断是否为直角三角形． 【详解】解：A．，是直角三角形； B．，，，，不能构成三角形； C．，是直角三角形； D．，是直角三角形． 【题型3】勾股数 1.核心知识点 　勾股数的定义；勾股数的判断与构造 2.解题方法技巧 　① 勾股数是正整数且满足 　② 判断勾股数先看是否为正整数，再验证最大数平方等于另两数平方和 　③ 勾股数组同乘以正整数仍为勾股数，观察规律可构造新的勾股数组 【例题3】.（26-27八年级上·广东佛山·期中）下列各组数据是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股数的定义（满足的三个正整数a、b、c，叫做一组勾股数）逐项判断即可． 【详解】解：选项B、D中的数均不是正整数，不是勾股数，不符合题意； A选项：满足，是勾股数，符合题意； C选项：，不是勾股数，不符合题意． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A，B，C，D的面积分别为2，4，1，2．则最大的正方形E的面积是________． 【答案】9 【分析】根据勾股定理可得：正方形的面积正方形的面积正方形的面积，正方形的面积正方形的面积正方形的面积，从而得到正方形的面积正方形的面积正方形的面积，即可求解． 【详解】解：如图， 由勾股定理得，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 同理，正方形的面积正方形的面积正方形的面积， 正方形的面积正方形的面积正方形的面积． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图1所示；再经过1次“生长”后，形成的图形如图2所示．如果继续“生长”下去，它将变成一棵“枝繁叶茂”的大树，如图3所示，那么“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（     ） A．2026 B．2027 C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形和勾股定理可知每“生长”一次，形成的图形中所有的正方形的面积和增加1，根据规律解答即可． 【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，， “生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为； 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， 以此类推可知，“生长”了次后形成的图形中所有的正方形的面积和为， “生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和为． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为“勾股数”． (1)请你写出两组勾股数：6，________，________；5，________，________． (2)清朝的数学家罗士琳提出了如下两个构造勾股数的法则： ①如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数； ②如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数． 根据上面两个法则，若一组勾股数中有一个数为24，求出符合上述法则的所有勾股数． 【答案】(1)8，10；12，13 (2)勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26 【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题； （2）分别根据题干中法则①、②分类讨论，解决本题即可． 【详解】（1）略 （2）解：根据法则①，因为是大于1的奇数，所以， 则或， 所以或（不是奇数，舍去）， 所以， 所以， 所以勾股数为7，24，25； 根据法则②，若是大于2的偶数， 则或或， 所以或10或（舍去）， 当时，，， 所以勾股数为24，143，145， 当时，，， 所以勾股数为10，24，26； 综上所述，勾股数为7，24，25或24，143，145或10，24，26． 【培优高频题型】 【题型4】勾股定理与折叠问题 1.核心知识点 　轴对称与折叠；勾股定理求线段长；设未知数 2.解题方法技巧 　① 折叠前后对应线段相等、对应角相等，先标出相等线段 　② 设所求线段为，用含的式子表示相关线段，构造直角三角形列方程 　③ 用勾股定理建立方程求解，注意检验 【例题4】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，是一张纸片，，，，现将其折叠，使点B与点A重合，折痕为，求的长． 【答案】 【分析】根据勾股定理先求，由折叠可知垂直平分，则，，在和中，分别利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，，， ， 由折叠可知垂直平分， ，， 设，则， 在中，根据勾股定理可知， ， 解得， ， 在中，根据勾股定理可知， ． 即长为． 【变式题4-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，点E在边上，将一边折叠，使点A恰好落在边的点F处，折痕为．若，则的长是（ ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，根据折叠的性质结合勾股定理进行求解即可. 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)解：是等腰三角形，理由如下： ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； (2) 【分析】（1）由长方形的性质可得，由平行线的性质可得，由折叠的性质可得，从而可得，即可得出，从而得证； （2）由长方形的性质可得，，设，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略； （2）解：∵四边形为长方形， ∴，， 设，则， 由勾股定理可得， ∴， 解得， ∴． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·云南德宏·阶段检测）如图，在中，已知，，点D在边上． 【基础探究】如图1，若D是的中点，E是边上一点，连接． (1)求的长； (2)若平分，过点E作于点F，求的长； 【拓展探究】 (3)如图2，点M是边上一点，将沿直线折叠，使点B落在边的三等分点N处，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据线段中点的定义求出的长，再利用勾股定理求解即可； （2）由角平分线的性质得到，再根据建立方程求解即可； （3）分两种情况：当点N是边靠近点A的三等分点时，当点N是边靠近点C的三等分点时，利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵D是的中点， ∴； 在中，， ∴； （2）解：由（1）得， ∵平分，，，即， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由折叠的性质可得， 设，则， 当点N是边靠近点A的三等分点时，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 当点N是边靠近点C的三等分点时，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的长为或． 【题型5】以弦图为背景的计算 1.核心知识点 　赵爽弦图；勾股定理；面积关系 2.解题方法技巧 　① 弦图中大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正方形面积之和 　② 利用直角三角形边长关系与小正方形边长（）建立方程 　③ 结合面积法、勾股定理求边长或面积 【例题5】.（2026八年级上·浙江温州·专题练习）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，为的中点，则的值是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可知，则有和，进一步得到和，则有，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵四个全等的直角三角形拼接成一个正方形， ∴， ∴，， ∵为的中点，， ∴，， ∴， ∵， ∴在中，． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理进行求解． 【详解】解：由题意可知：， 由勾股定理得：， ． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）【课本再现】 (1)如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，其中直角三角形两直角边长分别为，斜边长为．请利用图验证勾股定理； 【知识应用】 (2)如图，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； 【拓展提升】 (3)如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则_______． 【答案】(1)解：∵直角三角形两直角边长分别为， ∴中间小正方形的面积为， ∵由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，斜边长为， ∴中间小正方形的面积为， ∴，即． (2) (3) 【分析】（1）利用两种方法表示中间小正方形的面积，得出等式，即可验证勾股定理； （2）根据外围轮廓线的周长为得出，设，则，，利用勾股定理，列出方程，求出，进而求出，根据三角形面积公式即可得出答案； （3）设每个直角三角形的面积为，则，，根据可得，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：∵外围轮廓线的周长为， ∴， 设，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴该飞镖状图案的面积为． （3）解：设每个直角三角形的面积为， ∴，， ∵， ∴，即， ∴． 【变式题5-3】.（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在学习“第11章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 (2)连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边和斜边有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 (3)在直角中，为直角边，为斜边，已知，求的面积； (4)如图4，四边形中，线段，在直角中，，其周长为，当为何值时，三角形的面积为定值，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)24 (4)时，三角形的面积为定值，理由如下： ，，，周长为n， ，， ， 在直角中，， ，即， 整理得： 代入 若要面积为定值，则需，即 【分析】（1）根据完全平方公式即可得到结论； （2）根据正方形和三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据已知条件结合勾股定理列出方程求解即可； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【详解】（1）解：这个等式是； （2）大正方形可以看成边长为c的正方形；也可以看成4个全等的直角三角形与一个小正方形的和，且小正方形的边长为． ，同时也有， ． 整理得：； （3）， ，即， 又， ， （4）略 【题型6】勾股定理的验证 1.核心知识点 　拼图法验证勾股定理；面积法"算两次" 2.解题方法技巧 　① 用两种方法表示拼图总面积或某部分面积，建立等量关系 　② 通过面积恒等化简，得到 　③ 能识别赵爽弦图、达·芬奇拼图等验证图形 【例题6】.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 数学爱好者利用长方体火柴盒在桌面上推倒的过程，发现了另一种证明勾股定理的方法． 如图②，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，．请利用直角梯形的面积完成勾股定理的证明． 【答案】证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】根据题意可得，再根据列式证明即可． 【详解】略 【变式题6-1】.（26-27八年级上·全国·单元复习）中考新角度|阅读理解【问题提出】如图1，著名的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）拼成的，用它可以验证勾股定理； 如图2，美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”是用两个全等的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）和直角边长为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边长分别为a，b，斜边长为c，从上述两种方法中，任选一种方法验证勾股定理； 【知识应用】 (2)如图3，在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得，，，则新修的路最短是多少？ 【答案】(1)根据赵爽弦图进行验证： ， ， ， 或根据“总统证法”进行验证： ， ， ， ． (2)新修的路最短为． 【分析】（1）赵爽弦图：用大正方形面积等于四个全等直角三角形面积加上中间小正方形面积，列出面积等式，展开化简后即可推导出勾股定理；“总统证法”：直角梯形面积等于三个三角形面积之和，列面积等式展开化简后即可推导出勾股定理； （2）垂线段最短，所以时最短，设，则，分别在、中用勾股定理表示，建立方程求出x，再代回算出长． 【详解】（1）略 （2）解：当时，的长度最短，设，则， ， 在中，， 在中，， ， 化简得， 整理得， 解得，即， 在中，，即， 新修的路最短为． 【变式题6-2】.（25-26七年级上·上海徐汇·期中）【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图④的网格中，并标出字母所表示的线段． (4)问题解决：如图⑤，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 【答案】(1) 解：梯形的面积为， 也可以表示为， ∴， 即； (2) (3) 如图， (4)如图，过点A作于点D，的长即为所求，最短距离米    【分析】本题主要考查了勾股定理的证明与应用，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可； （3）画出边长为和的矩形即可； （4）过点A作于点D，根据三角形的面积公式求出的长即可． 【详解】（1）略 （2）解：在中，； 在中，； 所以， 解得； （3）由此可得； （4）解：∵， ∴根据图①中得到的a，b，c之间的数量关系，得， ∵米，米， ∴（米）， ∵， ∴（米）， ∴最短距离为米． 【变式题6-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【答案】(1)， (2)，，证明如下： ， ， ． 【分析】（1）根据全等的性质得到，然后利用互余的性质求出，再根据求解即可； （2）结合（1）小问的结论用两种面积算法证明即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：方法一∶ ， 方法二： ， 证明略． 【题型7】勾股定理与网格问题 1.核心知识点 　勾股定理与逆定理；网格中的线段长度 2.解题方法技巧 　① 利用网格中格点间的水平、竖直距离构造直角三角形求线段长 　② 判断网格中三角形是否为直角三角形，用勾股定理的逆定理 　③ 利用、等无理数长度画格点图形 【例题7】.（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 【答案】(1)如图所示，线段和线段为所求线段（答案不唯一）： (2)如图所示，图中三角形为所求三角形（答案不唯一）： 三角形面积为． 【分析】（1）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可； （2）利用方格的特点和勾股定理确定线段即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是直角边分别为和的直角三角形的斜边； ∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边． ∴线段只要满足条件即可． （2）解：∵， ∴是直角边均为的直角三角形的斜边， 确定好该线段后，选择该线段的其中一点作长的边或者长的边， 顺次连接三点即可． 由图可知，三角形的面积． 【变式题7-1】.（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形边长为1个单位长度，利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中边上找一点P，使点P到点B和点C的距离相等； (2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，． 【答案】(1)如图，点即为所求， (2)如图，即为所求， 【分析】（1）取格点、，连接交于点，点即为所求； （2）根据网格特点并结合勾股定理作出三角形即可． 【详解】（1）解：取格点、，连接交于点，点即为所求， 图略， 由网格特点可得，， ∴， ∴， 又点为的中点， ∴垂直平分， ∵点在上， ∴点P到点B和点C的距离相等； （2）解：图略， 由网格特点和勾股定理可得，， 故即为所求． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图1中，以线段为一边画一个正方形，所画正方形的面积为_______； (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察网格，求出正方形面积，从点、点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）将无理数边长拆分为网格直角三角形斜边，是直角边、的斜边，是直角边、的斜边，为整数格线段，取公共顶点拼接三边得到目标三角形． 【详解】（1）解：观察网格，点、横向差格，纵向差格，由勾股定理，正方形面积，因此正方形面积为． 从点向下平移格、向右平移格，同理从点作垂直边，四点顺次连接即为以为边的格点正方形． （2）解：，，另为横格线段， 在网格中取格点，距离为； 另取一点使其满足上述三边关系， 即得到三边长为，，的三角形． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）利用无刻度直尺完成下列作图． (1)在图中，过作，垂足为； (2)在图中，作的平分线； (3)在图中的内画一点，使，，的面积都相等； (4)在图中，找格点，使，这样的格点共有________个． 【答案】(1)如图所示，点即为所求 (2)如图所示，射线即为所求 (3)如图所示，点即为所求 (4) 【分析】（1）根据垂直的定义及格点的特征作图即可解答； （2）根据等腰三角形的性质以及格点的特征作图即可解答； （3）由题意可知点为的重心，则作出、两边的中线，中线的交点即为所求； （4）根据全等三角形的性质以及格点的特征作图，然后统计点的个数即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 （4）由图可知，使，这样的格点共有个 【题型8】勾股定理与实际问题 1.核心知识点 　勾股定理解决实际问题；构造直角三角形 2.解题方法技巧 　① 从情境中抽象出直角三角形，确定直角边与斜边 　② 梯子、绳索、测量等实际问题中，斜边保持不变，利用勾股定理列式 　③ 航行、沙尘暴等问题常结合方位角、速度时间求距离 【例题8】.（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）大庆市一处施工现场，一架长 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙脚 ，梯子顶端离地面的高度为 ． (1)用含 a、b 的式子表示 h； (2)当 ， 时，求 h 的值； (3)在（2）的条件下，梯子顶端沿墙下滑 ，梯子底端将向外移动多少米？ 【答案】(1) (2) (3)梯子底端将向外移动 【分析】（1）根据勾股定理列代数式； （2）将，代入（1）所求代数式即可 ； （3）顶端下滑 后，梯子顶端离地，用勾股定理求出此时梯子底端离墙脚的距离，减去原来底端离墙脚的距离即可． 【详解】（1）解：梯子、墙和地面构成直角三角形，梯长 是斜边，墙高 是直角边， 由勾股定理得， ； （2）当 ，时， ； （3）顶端下滑 后，梯子顶端离地， 此时梯子底端离墙脚 ， 原来底端离墙脚， 底端向外移动 ． 【变式题8-1】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】（1）将现实生活问题转化为数学问题，利用勾股定理求出线段的长即可； （2）过点作交于点，利用等面积法求出即可； 【详解】（1）解：依题意海里，海里，， ∴（海里）； （2）解：过点作交于点， ∵， ∴（海里）， 即救援快艇行驶的最短距离为海里． 【变式题8-2】.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 【答案】云梯的底端在水平方向滑动了 【分析】利用勾股定理求出，的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∵云梯的顶端A下滑了4m至点， ∴， 在中，由勾股定理得， 即 ， ∴， ∴， 答：云梯的底端在水平方向滑动了． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·云南德宏·期中）图是某品牌手推车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1) (2)该车符合安全标准，理由如下： 在中，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∴该车符合安全标准． 【分析】（）利用勾股定理解答即可； （）利用勾股定理的逆定理判定是直角三角形即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）略 【压轴素养题型】 【题型9】利用勾股定理证明线段数量关系 1.核心知识点 　勾股定理的证明运用；线段平方关系 2.解题方法技巧 　① 通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理表示相关线段的平方 　② 分析线段间的数量关系，利用等式变形（相加、相减）得到结论 　③ 常结合中线、垂线、中点等构造直角三角形 【例题9】.（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）如图．在中，点为边上的一点，，，，． (1)试说明； (2)求的长及的面积； (3)小华通过计算发现的三边满足，从而得到是直角三角形，她判断的依据是：___________ 【答案】(1)解：∵，，， 又∵， ∴， ∴， ∴； (2)15；150 (3)勾股定理逆定理 【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可得证； （2）勾股定理求出的长，三角形的面积公式求出面积即可； （3）根据勾股定理逆定理作答即可. 【详解】（1）略 （2）解：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴的面积； （3）略 【变式题9-1】.（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）按要求解答： (1)【问题发现】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．王林思考片刻后，利用手拉手模型解答问题如下： 如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，易证，，，，在中，，由，，可得 ，则，，之间的数量关系为______； (2)如图3，当点在线段的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请作出判断，并写出你的推导过程． 【答案】(1) (2)解：（1）中的结论仍然成立．推导过程如下： ∵，， ∴， 如图，线段绕点逆时针旋转得到线段，连接 ∴，． ∵点在线段的延长线上， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∴，． ∵点在线段的延长线上， ∴， ∴， ∴在中，， ∵中，，， ∴， ∴， 即（1）中的结论仍然成立． 【分析】（1）由题面给出的推导：、、，用勾股定理即得数量关系； （2）旋转性质不变，仍能证得、，由得，勾股定理即得结论仍成立． 【详解】（1）解：由题意，，得，， ∴在中，(勾股定理)， ∵， ∴， ∴，，之间的数量关系为． （2）略 【变式题9-2】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为_____； (2)如图2，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点； (3)如图3，已知点在线段上，且，点在上，且是线段的勾股分割点，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点是线段的勾股分割点； (3)线段的长为或 【分析】（1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）过点作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论； （3）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，，， ∴； （2）略； （3）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， 则， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或． 【变式题9-3】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）已知，在中,，分别是边，上的高，且，相交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若，平分，分别交，于点H，点G，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)证明：，分别是边，上的高， ，， ，， ， 又， ； (2)证明：过点D作于点M，于点N， ， ，， ， ， 平分； (3)． 理由如下： 过点G作于点P， 设， ， ， ， ， ， ， 平分， ， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据全等三角形的判定证明即可； （2）过点D作于点M，于点N，根据全等三角形的性质得到，再结合面积公式证明，最后根据角平分线的判定证明即可； （3）过点G作于点P，设，通过计算证明，即可证明结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【题型10】勾股定理及其逆定理的综合运用 1.核心知识点 　勾股定理与逆定理；求线段长与判断垂直 2.解题方法技巧 　① 先由勾股定理求线段长，再由三边关系用逆定理判断直角三角形 　② 综合运用两定理，先证直角再求线段，或先求线段再判直角 　③ 用于计算四边形面积、判断线段垂直等 【例题10】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)判断是否为直角，并说明理由； (3)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2)解：是直角，理由如下． 由（1）得，已知，． ， ． ， 根据勾股定理的逆定理，为直角三角形，且． (3)114 【分析】（1）在中，已知两条直角边，直接利用勾股定理求出斜边长度． （2）算出之后，在中，计算三边的平方，验证是否满足勾股定理的逆定理，以此判断是不是直角． （3）四边形的面积拆成与两个三角形面积之和，分别算出两个三角形面积再相加． 【详解】（1）解：，，， 在中，由勾股定理得： ， ． （2）略 （3）解：， ， ． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在四边形中，连接，，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵是等边三角形， ∴，， 又∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴． (2) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，利用等边三角形的性质得到，，再利用角度和差关系得到，从而得证结论； （2）由（1）的结论得到，根据已知条件证得是等边三角形，进一步利用勾股定理逆定理证得，从而可求出最终结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【变式题10-2】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 (1)如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 (2)如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【答案】(1)①∵在中，，， ∴， ∴是等腰直角三角形，且， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴； ②∵，， ∴ ∴， 又，， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，则； (2) 【分析】（1）①先根据勾股定理的逆定理得到，进而证明，然后利用“”证明三角形全等即可； ②先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质证明，，然后利用勾股定理可得结论； （2）先证明得到，再根据等腰直角三角形的性质得到，，进而可得，然后利用勾股定理可得结论． 【详解】（1）①略； ②略； （2）解：∵，， ∴，又，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，则． 【变式题10-3】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）【问题解决】 (1)如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 (2)如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连结，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，，则的面积为 ． 【答案】(1) (2)解：E为等腰直角三角形，理由如下： 延长至点，使得，连结，，如图， ∵等腰直角和等腰直角， ∴，，，， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴为等腰直角三角形； (3)28 【分析】（1）延长至点，使得，连结，结合中线利用证明，则，在中利用三边关系得到，求得即可； （2）延长至点，使得，连结，，由等腰直角三角形得，，，，结合中点利用证明，则和，再次利用证明，即有和，可证明为等腰直角三角形，进一步证明为等腰直角三角形； （3）延长至点，使得，连结，，，同理可证，则有，，，设，求得 ，利用证明，即有，，，得到为等腰直角三角形，利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，且，即可证明，且有，，三点共线，利用面积公式求得，结合中点得到． 【详解】（1）解：延长至点，使得，连结，如图， ∵为的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 在中，，即， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：延长至点，使得，连结，，，如图， ∵为中点， 同理即可证明， ∴，， 设， ∵ ， ∴， ∵等腰直角， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴，， ∴， 在中，， ∴为直角三角形，且， ∴，， ∴，且有，，三点共线， ∴， ∴， ∵为中点， ∴． 【点睛】解题的关键是灵活应用中线倍长方法和等腰三角形的性质． 【题型11】立体图形表面最短路径 1.核心知识点 　立体图形表面展开；两点之间线段最短；勾股定理 2.解题方法技巧 　① 沿棱剪开将立体表面展开成平面图形，找出起点与终点的对应点 　② 连接两点，构造直角三角形，用勾股定理求最短距离 　③ 长方体等需比较不同展开方式下路线长度，取最小值 【例题11】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，圆柱的高为，底面周长为，A、B分别是下底面、上底面上正相对的两点．一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将圆柱侧面展开为平面图形，由于A、B分别是下底面、上底面上正相对的两点， 故展开后到的水平距离为底面周长的一半，再由两点之间线段最短，并结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：将圆柱侧面展开为平面图形，由于A、B分别是下底面、上底面上正相对的两点， 故展开后到的水平距离为底面周长的一半，即， 由两点之间线段最短，， 即蚂蚁爬行的最短路程是． 【变式题11-1】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为3，，分别是两底面圆的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是______． 【答案】 【分析】先将图形展开，再根据两点之间线段最短和勾股定理求解． 【详解】解：将圆柱沿母线展开，则C点落在点的位置（如图），则小虫爬行的最短距离为的长， 在中，，， ， 所以小虫爬行的最短路线的长度是． 【变式题11-2】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）完成以下问题 (1)如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物点，均在圆柱的外壁，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ） A．   B．    C．    D． (2)这只蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【答案】(1)A (2) 【详解】（1）解：沿点所在的竖直线切块后得到一个长方形，与点相对、离上底面的点在长方形中间竖直线上，各个选项中只有A选项符合条件； （2）解：如图：    由题意可得，，， ∴， 解得（负值舍去）， ∴这只蚂蚁需要爬行的最短路程是． 【变式题11-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 【答案】(1) (2)   【分析】（1）以树底面的周长为长方形的长，绕树干一圈上升的高度为长方形的宽，将树的侧面展开，则长方形的对角线为最短路径；按照上面的方法画出长方形，使长方形两边长分别为，，再利用勾股定理求出长方形对角线长即为最短路程； （2）先根据勾股定理求出绕树圈的高度，再求出绕树圈的高度，即为树干高． 【详解】（1）解：如图①，将树的一部分沿侧面展开，得到长方形， 则长方形的对角线的长为最短路径． 由题意，得，． 由勾股定理，得． 故葛藤绕树盘旋的最短路程是． （2）解：如图②，同（1）得到长方形，则由题意得，． 由勾股定理，得， 葛藤绕树1圈升高． 若绕树圈到达树顶，则树干的高为． 【点睛】本题考查了圆柱的侧面展开图的运用以及勾股定理的应用，利用圆柱的侧面展开图为长方形，最短路径为长方形的对角线长得出是解题关键． 【题型12】动点问题中的勾股定理与最值 1.核心知识点 　动点问题；勾股定理；最值的求解 2.解题方法技巧 　① 确定动点位置，构造含未知量的直角三角形，用勾股定理表示目标量 　② 利用二次函数、不等式或几何性质（垂线段最短）求最值 　③ 结合等腰直角三角形、旋转等构造，寻找关键位置 【例题12】.（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）“数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… (1)【解决问题】的最小值为________； (2)【知识应用1】代数式的最小值为________； (3)【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． (4)【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 【答案】(1)． (2)． (3) km． (4)． 【分析】（1）按题干模型， 的最小值等于 的长，在直角边为 、 的直角三角形中用勾股定理求 ； （2）把 、 看作两条共线直角边 、 上的斜边，最小值等于直角边为 与 的直角三角形的斜边长； （3）桥长固定为河宽 ，把点 沿垂直于河岸的方向平移一个河宽，用“两点之间线段最短”求 的最小值，再加上桥长； （4）是模型的逆向运用：把 、 看作斜边为 、、公共直角边为 的两个直角三角形的另一条直角边，由 用勾股定理的逆定理与等积法求 ． 【详解】（1）解：如图，由题干的模型，，，， 的最小值即为 的长． ∵ ，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （2）解：如图，在直线 上取 ，作 于点 ，；作 于点 ，，点 、 在 的两侧． 在 上取点 ，使 ，则 ， ∴ ，， ∵ ，当点 在线段 上时取等号， ∴ 代数式的最小值即为 的长． 过点 作 ，交 的延长线于点 ， 则四边形 是长方形，，，， ∴ ， ∴ 的最小值为 ． （3）解：∵ 桥 垂直于河岸，河宽 ， ∴ ，从 到 的路程为 ． 如图，将点 沿垂直于河岸的方向向对岸平移 ，得点 ，连接 、． ∵ ，且 km， ∴ 四边形 是平行四边形， ∴ ， ∴ ，当 、、 三点共线时取等号． 过点 作 于点 ，其中 是过点 的河岸垂线， ∵ 平移的距离等于河宽， ∴ 点 到北岸的距离等于点 到南岸的距离，即 ， ∵ 点 到北岸的距离为 km，且点 、 在北岸的两侧， ∴ ()， ，， ∴ ()， ∴ 最短路程为 ()． （4）解：如图，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边，把 看作斜边为 、一条直角边为 的直角三角形的另一条直角边． 构造两个直角三角形，使它们有公共直角边 ，直角顶点重合于点 ，且点 、 在直线 的两侧，连接 、，则 ，，，，，且点 、、 在同一条直线上． ∵ ， ∴ ，即 ． ∵ ， ∴ （勾股定理的逆定理）， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ，即 ． 经检验，当 时，，符合题意， ∴ ． 【点睛】本题考查勾股定理、勾股定理的逆定理、“两点之间线段最短”，以及构造直角三角形求最值的方法；解题关键是读懂题干的模型：两条被开方数对应共线直角边上的两条斜边，其和的最小值等于以“水平总长”与“竖直线段之和”为直角边的直角三角形的斜边长；第（4）问是模型的逆向运用，由 得直角三角形，再用等积法求出公共直角边 的长． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，且 ． (1)直接写出的面积为______； (2)若一个三角形的三边长分别为 （），请在网格中画出该三角形，并求其面积； (3)求代数式（）的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查勾股定理与网格问题，坐标与轴对称． （1）分割法求出三角形的面积即可； （2）易得此三角形的三边分别是直角边长为，的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边；直角边长为的直角三角形的斜边．同样把它整理为一个长方形的面积减去三个直角三角形的面积． （3）将代数式转化为平面直角坐标系中轴上一点的距离与到点的距离和的最小值，利用成轴对称的性质，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示 由图可知：的面积是； 故答案为：； （2）解：如图所示，即为所求 ，， 的面积是 （3），可以看成平面直角坐标系中轴上一点到点的距离与到点的距离和的最小值，如图：    设，，，则：， 过点作轴的对称点，则：，，当且仅当，，三点共线时，的值最小，即为的长， ∵，， ∴． ∴的最小值为． 【变式题12-2】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导： (1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________； (2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值； (3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值． 【答案】(1)10 (2)25 (3) 【分析】（1）作，交的延长线于点F，连接交于点，再求出，，然后根据勾股定理求出答案； （2）仿照（1）解答即可； （3）先根据“角边角”证明，可求出．再设，则，根据勾股定理得，然后仿照（1）解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，交的延长线于点F，连接交于点， ∴， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； （2）解：如图所示，令，， 则，，，，． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为； （3）解：如图所示，记与交于点， ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 设，则， 根据勾股定理，得， 则． 如图所示，令，设，则， 则， ∴． ∵， ∴当三点共线时最小，即的最小值为． 【变式题12-3】.（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 【答案】(1) (2)如图，即为所求， ； 3 (3)的长为5，理由如下： 如图，过点C作交的延长线于点， ，，， ， 四边形是矩形， ，， ，， ，， 在中，， 则的长为5； 5 (4)5 【分析】（1）根据构图法，用正方形的面积减去周围三角形的面积，即可求解； （2）利用构图法及勾股定理，画出，再计算出面积即可； （3）过点C作交的延长线于点，利用勾股定理即可求出的长；从而求出的最小值； （4）根据（3）的思路，构造图形，将代数式的最小值转化为求线段的长，即可求解． 【详解】（1）解：如图， ， 则的面积是； （2）解：如图，即为所求， ， 则的面积是； （3）解： ， 当、、共线时，取得最小值，即的长为5， 的最小值是5； （4）解：如图，，，，，，，则、的长分别表示为，， 则（）的最小值即为的最小值，即的长， 如图，过点C作交的延长线于点， 同（3）可得，，， 在中，， 则（）的最小值为5． 易错点 1.　误用勾股定理：在非直角三角形中直接使用，或混淆直角边与斜边。 2.　用逆定理判断直角三角形时，未先找最大边，导致判断出错。 3.　勾股数必须是正整数，误将小数、根式或近似值当作勾股数。 4.　已知"两边长"求第三边时忽略分类讨论（可能为直角边或斜边）。 5.　折叠、最短路径问题中未正确识别相等线段或展开方式，构造的直角三角形不正确。 重点 1.　勾股定理的内容与简单应用，已知两边求第三边。 2.　勾股定理的逆定理及判断直角三角形。 3.　勾股数的判断与构造。 4.　勾股定理与折叠、面积、实际问题的综合应用。 5.　常见几何模型（勾股树、弦图、垂美四边形）中的勾股定理。 难点 1.　勾股定理与折叠、动点问题的综合，设未知数列方程。 2.　利用勾股定理证明线段的平方关系，作辅助线构造直角三角形。 3.　立体图形表面最短路径的展开与求解。 4.　垂美四边形等新定义、探究型问题中勾股定理的灵活运用。 【对应练习题】 一、单选题 1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】先根据三角形三边关系、直角三角形斜边最长的性质排除不能构成三角形的选项，再判断剩余选项的三角形是否唯一． 【详解】解：A、若，，，如下图， ∵， ∴为斜边，，符合直角三角形三边关系， 由勾股定理得， 三边长度确定，三角形形状大小唯一，故能唯一画出，本选项符合题意； B、若，，， ∵不是与的夹角，为两边及其中一边的对角， ∴不能唯一确定三角形，本选项不符合题意； C、若，，， ∵，不满足三角形三边关系， ∴不能构成三角形，本选项不符合题意； D、 若，，， ∵， ∴为斜边，，与斜边最长矛盾， ∴不能构成三角形，本选项不符合题意． 2．已知一个直角三角形的两条直角边之和为14，斜边长为10，则它的面积为（     ） A．20 B．48 C．30 D．24 【答案】D 【分析】设两直角边长为a、b，斜边长为c，根据勾股定理得到，根据完全平方公式求出的值，再由三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设两直角边长为a、b，斜边长为c， 则，， 由勾股定理有， ∴， ∴， ∴该直角三角形的面积为． 3．如图，在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由勾股定理可得，再根据圆的面积公式得出，即可得解． 【详解】解：在中，， ， 以为直径作半圆，面积分别记为， ，， ． 二、填空题 4．已知，则以x、y为两条直角边的直角三角形的斜边长为________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求出x，y的取值，再结合勾股定理计算斜边长． 【详解】解：∵ 绝对值和算术平方根的运算结果均为非负数，且满足. ∴ ，. ∴ ，. ∵ 题目明确x、y为该直角三角形的两条直角边， ∴ 根据勾股定理，斜边长为． 5．在如图所示的数轴上，先以单位长度为边长画一个正方形，再以实数对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴相交于，两点（点在点的右边），则点所表示的实数是______． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出圆的半径，再根据数轴解答即可． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴正方形的对角线长为， 即圆的半径为， 又∵点在原点右侧， ∴点所表示的实数是． 6．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与边平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是______米． 【答案】 【分析】将草坪表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将草坪展开，即为所求， 则（米），米， ∴（米）． 三、解答题 7．《九章算术》中记载了“折竹求高”问题：“今有竹高一丈，末折着地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈（丈尺），竹梢被折断后，顶端恰好落在地面上，落地点与竹根的距离为三尺． (1)这个问题可以运用哪一定理来解决？请写出这一定理的内容； (2)求竹子折断处到地面的高度． 【答案】(1)勾股定理；如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么 (2)尺 【分析】（1）从实际问题中抽象出直角三角形，利用勾股定理解决即可； （2）设折断后的竹子的高为x尺，则折断部分的长为尺，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：这个问题可以运用勾股定理来解决，该定理的内容：如果直角三角形的两条直角边长分别为、，斜边长为，那么； （2）解：如图，在中，，设折断后的竹子的高为x尺，则折断部分的长为尺，尺， 依题意，得：， 解得：， 答：竹子折断处到地面的高度为尺． 8．如果一个三角形三条边的长分别为（为整数，且），那么人们把这样的三个数称为一组“勾股数通式”． (1)请说明以a、b、c为三边的三角形一定是直角三角形； (2)当时，求这个三角形的周长和面积． 【答案】(1)证明： ． 由勾股定理的逆定理可知，以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，且c边所对的角是直角． (2)周长：30；面积：30 【分析】（1）因为要判断三角形为直角三角形，所以先计算三条边长的平方，验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方，用到完全平方公式展开计算． （2）因为已知m、n的取值，所以先将数值代入三个边长的表达式求出a、b、c的具体值，再将三边相加得到周长，根据直角三角形直角边乘积的一半计算面积． 【详解】（1）略 （2）解：当时， ． ∴ 周长． ∵ 该三角形是直角三角形，两条直角边分别为5和12， ∴ 面积． 9．如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理得到是直角三角形，再根据三角形内角和定理计算即可． （2）根据折叠性质得到，从而得到对应边相等，再利用求三角形面积求出，根据三角形内角和定理得到是直角三角形，利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵为的中点，， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， 根据三角形内角和定理得， ∴． （2）解：连接交于， ∵，为的中点， ∴， ∵（折叠的性质）， ∴，， ∴是线段的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形， 根据勾股定理得， ∴． 10．在学习八上课本等腰三角形的“三线合一”时，赵老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】 定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． ①根据图形用几何语言写出该定理． 已知：如图，在中，，平分，点在上． 求证：________，________． ②在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为________； (2)【问题提出】 赵老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们发现该命题正确．请你写出该命题的证明过程． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点． 求证：； (3)【拓展延伸】 如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为、，若，则的最大值为________． 【答案】(1)①， ② (2)证明： 延长到点，使得，连接 为的中点 在和中， 为的角平分线 （等角对等边） 即 (3) 【分析】①根据等腰三角形三线合一的性质完成填空即可， ②根据等腰三角形的性质通过等量代换，再代数运算即可 求通过倍长中线法构造三角形，之中证明全等再等量代换即可 需结合前两个问所用的方法来代入到第三个问进行求解 【详解】（1）解：①略 ②于点 即 （2）略 （3）解：如图， 设，并记 在角平分线上，所以到距离相等， ∴① 与同高 又为的中点 ，而， ② 作点关于的对称点 平分， 落在上，且，于是， 由于共线， ③ 又由①知，，而与共用顶点，底边分别为， ，因此， 又是的中点 代入③：④ 由④： 代入②： ， 设点到直线的距离为，则， 于是，，且， 因此， 当时取等， 设 由勾股定理， 解得， 所以可以取到． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 勾股定理 知识点1：勾股定理 　　1.内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边为、，斜边为，则。 　　2.适用前提：只适用于直角三角形，已知其中任意两边可求第三边。 3.变形：，，即，。 知识点2：勾股定理的验证 　　1.拼图法验证：以"算两次"思想，用两种方式表示同一图形的面积，由面积相等建立等量关系，经等量变换得到。 　　2.常见图形：赵爽弦图（四个全等直角三角形与小正方形拼成正方形）、达·芬奇拼图等。 3.数形结合：勾股定理的验证体现"以形助数、以数解形"的数学思想。 知识点3：勾股定理的应用 　　1.已知直角三角形任意两边长，求第三边长。 　　2.已知一边及另两边的关系，确定线段长（常设未知数列方程）。 　　3.解决含平方关系的几何问题、求两条线段的平方和（差）。 　　4.构造直角三角形解决生产生活中的实际问题（梯子、航行、测量、沙尘暴等）。 知识点4：勾股定理的逆定理 　　1.内容：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形，且所对的角为直角。 　　2.判断方法：先找最大边，计算两条较小边平方和与最大边平方是否相等，相等即为直角三角形。 　　3.作用：判断三角形是否为直角三角形（角的关系），常用于证明线段垂直。 知识点5：勾股数 　　1.定义：能够成为直角三角形三条边的三个正整数，称为勾股数。 　　2.判断方法：先确定三个数是正整数；比较最大数的平方与另外两个数平方和是否相等。 　　3.常见勾股数：3、4、5；5、12、13；6、8、10；7、24、25；8、15、17；9、12、15等。 知识点6：勾股定理与逆定理的比较 比较项 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 直角三角形 （三边关系） 结论 三边数量关系（边的性质） 三角形是直角三角形（角的性质） 用途 已知两边求第三边、求线段长 判断三角形形状、证明垂直 联系 互为逆定理，常综合运用解决问题 知识点7：常见几何模型中的勾股定理 　　1.勾股树：以直角三角形三边为边向外作正方形，两直角边上的正方形面积之和等于斜边上正方形面积。 2.赵爽弦图：由四个全等直角三角形和小正方形拼成，大正方形边长，小正方形边长。 3.垂美四边形：对角线互相垂直的四边形，两组对边的平方和相等，即。 知识点8：最短路径问题 　　1.立体图形表面最短路径：将侧面（表面）展开成平面，利用"两点之间线段最短"转化为求两点间距离。 　　2.方法：沿棱剪开展开，构造直角三角形，用勾股定理求线段长度。 　　3.常见类型：圆柱侧面、长方体表面、台阶面、三棱柱侧面等。 【基础必考题型】 【题型1】已知直角三角形两边求第三边 1.核心知识点 　勾股定理；直角边的判断 2.解题方法技巧 　① 判断已知两边是直角边还是斜边，再代入勾股定理公式 　② 已知两直角边求斜边，用；已知斜边和一直角边，用勾股定理变式求另一直角边 　③ 注意"两边长"未指明直角边时需分类讨论 【例题1】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）《算法统宗》中有一道田地计算题：一块长方形田地，长为16步，宽与对角线长度之和为32步，则这块田地的宽为_____步． 【变式题1-1】.（26-27八年级上·贵州毕节·阶段检测）在中，，，则___________． 【变式题1-2】.（26-27八年级上·全国·单元复习）在生活中，我们经常会看到为抄近道而踩踏草坪的不文明现象．如图，在中，，表示两条互相垂直的小路，表示在草坪上踩踏出来的“小路”，经测量，得，，那么抄近道可以少走________． 【变式题1-3】.（26-27八年级上·全国·课后作业）求出图中直角三角形未知边的长度． 【题型2】判断三边能否构成直角三角形 1.核心知识点 　勾股定理的逆定理；判断直角三角形 2.解题方法技巧 　① 先找出最大边，计算两较小边平方和与最大边平方比较 　② 满足则为直角三角形，否则不是 　③ 注意三边是否为正数，常用于判断三角形形状 【例题2】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）下列各组数据为边，不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-1】.（26-27八年级上·广东清远·期中）下列几组数中，不能作为直角三角形三边长度的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-2】.（26-27八年级上·广东揭阳·阶段检测）以下面每组中的三条线段为边的三角形中，是直角三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题2-3】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【题型3】勾股数 1.核心知识点 　勾股数的定义；勾股数的判断与构造 2.解题方法技巧 　① 勾股数是正整数且满足 　② 判断勾股数先看是否为正整数，再验证最大数平方等于另两数平方和 　③ 勾股数组同乘以正整数仍为勾股数，观察规律可构造新的勾股数组 【例题3】.（26-27八年级上·广东佛山·期中）下列各组数据是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26八年级下·陕西榆林·期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，如果正方形A，B，C，D的面积分别为2，4，1，2．则最大的正方形E的面积是________． 【变式题3-2】.（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，如图1所示；再经过1次“生长”后，形成的图形如图2所示．如果继续“生长”下去，它将变成一棵“枝繁叶茂”的大树，如图3所示，那么“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（     ） A．2026 B．2027 C． D． 【变式题3-3】.（26-27八年级上·山东枣庄·阶段检测）凡是可以构成一个直角三角形三边长的一组正整数，称之为“勾股数”． (1)请你写出两组勾股数：6，________，________；5，________，________． (2)清朝的数学家罗士琳提出了如下两个构造勾股数的法则： ①如果是大于1的奇数，那么，，是一组勾股数； ②如果是大于2的偶数，那么，，是一组勾股数． 根据上面两个法则，若一组勾股数中有一个数为24，求出符合上述法则的所有勾股数． 【培优高频题型】 【题型4】勾股定理与折叠问题 1.核心知识点 　轴对称与折叠；勾股定理求线段长；设未知数 2.解题方法技巧 　① 折叠前后对应线段相等、对应角相等，先标出相等线段 　② 设所求线段为，用含的式子表示相关线段，构造直角三角形列方程 　③ 用勾股定理建立方程求解，注意检验 【例题4】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）如图，是一张纸片，，，，现将其折叠，使点B与点A重合，折痕为，求的长． 【变式题4-1】.（2026八年级上·全国·专题练习）如图，长方形中，点E在边上，将一边折叠，使点A恰好落在边的点F处，折痕为．若，则的长是（ ） A． B．3 C． D． 【变式题4-2】.（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在长方形中，，，将该长方形沿对角线折叠，点C的对应点为，交于点E． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【变式题4-3】.（25-26八年级下·云南德宏·阶段检测）如图，在中，已知，，点D在边上． 【基础探究】如图1，若D是的中点，E是边上一点，连接． (1)求的长； (2)若平分，过点E作于点F，求的长； 【拓展探究】 (3)如图2，点M是边上一点，将沿直线折叠，使点B落在边的三等分点N处，求的长． 【题型5】以弦图为背景的计算 1.核心知识点 　赵爽弦图；勾股定理；面积关系 2.解题方法技巧 　① 弦图中大正方形面积等于四个直角三角形面积与小正方形面积之和 　② 利用直角三角形边长关系与小正方形边长（）建立方程 　③ 结合面积法、勾股定理求边长或面积 【例题5】.（2026八年级上·浙江温州·专题练习）如图是我国古代著名的赵爽弦图的示意图，其由四个全等的直角三角形拼接成一个正方形，其中，为的中点，则的值是（） A． B． C． D． 【变式题5-1】.（26-27八年级上·全国·课后作业）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（26-27八年级上·广东佛山·阶段检测）【课本再现】 (1)如图的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是一个小正方形，其中直角三角形两直角边长分别为，斜边长为．请利用图验证勾股定理； 【知识应用】 (2)如图，将这四个全等的直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓线的周长为，，求该飞镖状图案的面积； 【拓展提升】 (3)如图，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为、、，若，则_______． 【变式题5-3】.（26-27八年级上·福建泉州·阶段检测）在学习“第11章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． (1)如图1，已知长方形纸片的长为，宽为，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 (2)连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为，较长直角边为，斜边为）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边和斜边有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 (3)在直角中，为直角边，为斜边，已知，求的面积； (4)如图4，四边形中，线段，在直角中，，其周长为，当为何值时，三角形的面积为定值，并说明理由． 【题型6】勾股定理的验证 1.核心知识点 　拼图法验证勾股定理；面积法"算两次" 2.解题方法技巧 　① 用两种方法表示拼图总面积或某部分面积，建立等量关系 　② 通过面积恒等化简，得到 　③ 能识别赵爽弦图、达·芬奇拼图等验证图形 【例题6】.（26-27八年级上·江苏泰州·阶段检测）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 数学爱好者利用长方体火柴盒在桌面上推倒的过程，发现了另一种证明勾股定理的方法． 如图②，火柴盒的一个侧面倒下到的位置，连接，此时，．请利用直角梯形的面积完成勾股定理的证明． 【变式题6-1】.（26-27八年级上·全国·单元复习）中考新角度|阅读理解【问题提出】如图1，著名的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）拼成的，用它可以验证勾股定理； 如图2，美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”是用两个全等的直角三角形（直角边长分别为a，b，斜边长为c）和直角边长为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边长分别为a，b，斜边长为c，从上述两种方法中，任选一种方法验证勾股定理； 【知识应用】 (2)如图3，在一条东西走向的河流一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得，，，则新修的路最短是多少？ 【变式题6-2】.（25-26七年级上·上海徐汇·期中）【阅读材料】教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理． (2)如图③，在中，是边上的高，，设，求的值． (3)试构造一个图形，使它的面积能够解释，画在如图④的网格中，并标出字母所表示的线段． (4)问题解决：如图⑤，直线为一水渠渠岸，经测量知渠岸上点到引水点的距离为12米，渠岸上点到引水点的距离为5米，且．利用上面结论求在渠岸的什么地方开沟，才能使沟最短？画出图形，并直接写出最短距离． 【变式题6-3】.（2026八年级上·全国·专题练习）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，聪聪在学习了教材中介绍的拼图证法以后，突发灵感，给出了如下拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点在边上，顶点、重合，连接、．设、交于点，若，，，．请你回答以下问题： (1)填空：___，___； (2)请用两种方法计算四边形的面积，并以此为基础证明勾股定理． 【题型7】勾股定理与网格问题 1.核心知识点 　勾股定理与逆定理；网格中的线段长度 2.解题方法技巧 　① 利用网格中格点间的水平、竖直距离构造直角三角形求线段长 　② 判断网格中三角形是否为直角三角形，用勾股定理的逆定理 　③ 利用、等无理数长度画格点图形 【例题7】.（26-27八年级上·福建漳州·阶段检测）在图1、图2所示的方格中，每个小方格的边长都为1． (1)在图1中分别画出长度为和的线段和，要求线段的端点在格点上； (2)在图2中画出一个三条边长分别为，，的三角形，使它的顶点都在格点上，并求出这个三角形的面积． 【变式题7-1】.（26-27八年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，在正方形方格纸中，每个小正方形边长为1个单位长度，利用网格作图．要求：只能用无刻度的直尺，保留作图痕迹． (1)在图①中边上找一点P，使点P到点B和点C的距离相等； (2)在图②中，以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边长分别为，，． 【变式题7-2】.（26-27八年级上·江苏盐城·阶段检测）在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是，每个小方格的顶点叫做格点．以格点为顶点，分别按下列要求在网格中画出图形并回答问题． (1)在图1中，以线段为一边画一个正方形，所画正方形的面积为_______； (2)在图2中，画一个三边长分别为，，的三角形． 【变式题7-3】.（26-27九年级上·湖北武汉·阶段检测）利用无刻度直尺完成下列作图． (1)在图中，过作，垂足为； (2)在图中，作的平分线； (3)在图中的内画一点，使，，的面积都相等； (4)在图中，找格点，使，这样的格点共有________个． 【题型8】勾股定理与实际问题 1.核心知识点 　勾股定理解决实际问题；构造直角三角形 2.解题方法技巧 　① 从情境中抽象出直角三角形，确定直角边与斜边 　② 梯子、绳索、测量等实际问题中，斜边保持不变，利用勾股定理列式 　③ 航行、沙尘暴等问题常结合方位角、速度时间求距离 【例题8】.（26-27八年级上·黑龙江大庆·阶段检测）大庆市一处施工现场，一架长 的梯子斜靠在竖直的墙上，梯子底端离墙脚 ，梯子顶端离地面的高度为 ． (1)用含 a、b 的式子表示 h； (2)当 ， 时，求 h 的值； (3)在（2）的条件下，梯子顶端沿墙下滑 ，梯子底端将向外移动多少米？ 【变式题8-1】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里/时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里/时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若在两艘轮船沿航线汇合途中，其中一艘轮船突发机械故障，无法继续航行．港口指挥中心接到求救信号后，立刻派出一艘救援快艇从港口出发，全速前往航线进行紧急接应．为了以最快时间到达，求救援快艇行驶的最短距离． 【变式题8-2】.（26-27八年级上·陕西西安·阶段检测）一架云梯长，如图那样斜靠在一面墙上．当这架云梯的顶端位于处时，它的底端位于处，底端离墙．当这架云梯的顶端从处下滑到达处时，它的底端从处滑动到处，云梯底端在水平方向滑动多少米？ 【变式题8-3】.（25-26八年级下·云南德宏·期中）图是某品牌手推车，图为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【压轴素养题型】 【题型9】利用勾股定理证明线段数量关系 1.核心知识点 　勾股定理的证明运用；线段平方关系 2.解题方法技巧 　① 通过作辅助线构造直角三角形，用勾股定理表示相关线段的平方 　② 分析线段间的数量关系，利用等式变形（相加、相减）得到结论 　③ 常结合中线、垂线、中点等构造直角三角形 【例题9】.（26-27八年级上·山西太原·阶段检测）如图．在中，点为边上的一点，，，，． (1)试说明； (2)求的长及的面积； (3)小华通过计算发现的三边满足，从而得到是直角三角形，她判断的依据是：___________ 【变式题9-1】.（26-27九年级上·湖北襄阳·阶段检测）按要求解答： (1)【问题发现】在数学活动课上，老师提出如下问题：如图1，是等腰直角三角形，，，点在上，连接，探究，，之间的数量关系．王林思考片刻后，利用手拉手模型解答问题如下： 如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，易证，，，，在中，，由，，可得 ，则，，之间的数量关系为______； (2)如图3，当点在线段的延长线上时，请问(1)中的结论还成立吗？请作出判断，并写出你的推导过程． 【变式题9-2】.（26-27八年级上·河南郑州·阶段检测）定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为_____； (2)如图2，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点； (3)如图3，已知点在线段上，且，点在上，且是线段的勾股分割点，请直接写出线段的长． 【变式题9-3】.（26-27八年级上·广西南宁·期中）已知，在中,，分别是边，上的高，且，相交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，连接，求证：平分； (3)如图3，在（2）的条件下，若，平分，分别交，于点H，点G，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【题型10】勾股定理及其逆定理的综合运用 1.核心知识点 　勾股定理与逆定理；求线段长与判断垂直 2.解题方法技巧 　① 先由勾股定理求线段长，再由三边关系用逆定理判断直角三角形 　② 综合运用两定理，先证直角再求线段，或先求线段再判直角 　③ 用于计算四边形面积、判断线段垂直等 【例题10】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，，． (1)连接，求的长； (2)判断是否为直角，并说明理由； (3)求四边形的面积． 【变式题10-1】.（26-27九年级上·北京·阶段检测）如图，在四边形中，连接，，是等边三角形．线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【变式题10-2】.（26-27八年级上·陕西咸阳·阶段检测）【问题提出】 (1)如图1，在中，，，点、在边上（点在点的左侧），连接、，．过点作，且，连接、． ①试说明：； ②试说明：； 【拓展应用】 (2)如图2，校园中心有一个形如等腰的花圃，其中，，观景石在花圃的内部，测得，现在为了安装喷水装置，以点为起点向外作延伸管道，满足，，工人现需要根据、、三段小路的长度，规划水管的铺设长度，请你帮助工人探究线段、、之间的数量关系．（观景石的大小以及小路、管道的宽度均忽略不计） 【变式题10-3】.（26-27八年级上·四川达州·开学考试）【问题解决】 (1)如图1，在中，为的中线，若，，请求出的取值范围． 【思考探究】 (2)如图2，为线段上一点，，分别以、为斜边向上作等腰直角和等腰直角，为中点，连结，，．请判断的形状，并说明理由； 【拓展延伸】 (3)若将图2中的等腰绕点转至图3的位置（，，不在同一条直线上），连结，为中点，且，在同侧，连结，．若，，，则的面积为 ． 【题型11】立体图形表面最短路径 1.核心知识点 　立体图形表面展开；两点之间线段最短；勾股定理 2.解题方法技巧 　① 沿棱剪开将立体表面展开成平面图形，找出起点与终点的对应点 　② 连接两点，构造直角三角形，用勾股定理求最短距离 　③ 长方体等需比较不同展开方式下路线长度，取最小值 【例题11】.（26-27八年级上·广东深圳·阶段检测）如图，圆柱的高为，底面周长为，A、B分别是下底面、上底面上正相对的两点．一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬到点B，则蚂蚁爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【变式题11-1】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为3，，分别是两底面圆的直径．若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是______． 【变式题11-2】.（26-27八年级上·福建三明·阶段检测）完成以下问题 (1)如图，圆柱的高为，底面周长为，在圆柱的下底面点处有一只蚂蚁，它想吃到与点相对、离上底面的点处的食物点，均在圆柱的外壁，那么它沿圆柱侧面爬行的最短路径示意图是（ ） A．   B．    C．    D． (2)这只蚂蚁需要爬行的最短路程是 ． 【变式题11-3】.（2026八年级下·全国·专题练习）葛藤是一种植物，它自己腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一个绝招，就是绕树盘旋上升的路线总是沿着最短路线．难道植物也懂得数学吗？阅读以上信息，试解决下列问题（假设树是圆柱形）： (1)如图，若树底面的周长为，从点绕1圈到点，葛藤升高，则它绕树盘旋的最短路程是多少分米？ (2)若树底面的周长为，葛藤绕树1圈的路程是，则绕树1圈升高多少分米？若绕树10圈到达树顶，则树干的高为多少分米？ 【题型12】动点问题中的勾股定理与最值 1.核心知识点 　动点问题；勾股定理；最值的求解 2.解题方法技巧 　① 确定动点位置，构造含未知量的直角三角形，用勾股定理表示目标量 　② 利用二次函数、不等式或几何性质（垂线段最短）求最值 　③ 结合等腰直角三角形、旋转等构造，寻找关键位置 【例题12】.（26-27八年级上·江苏淮安·阶段检测）“数形结合”和“建模思想”是很重要的数学思想方法，阅读并解决以下问题． 【提出问题】求的最小值． 【建立模型】如图1，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边为和2的直角三角形的斜边．构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，，，问题就转为“在上求点B，使最小”问题． 如图2，连接交于点B，此时的最小值即为的长度．将延长至点H，使得，连接．则，，…… (1)【解决问题】的最小值为________； (2)【知识应用1】代数式的最小值为________； (3)【知识应用2】如图3，一条河的两岸平行，河宽，村庄A点到河岸的垂直距离为，村庄B点到河岸的垂直距离为，且点A，B到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到P，过桥，再从Q到B的路程最短，则最短路程为________． (4)【思维拓展】已知正数x满足，求x的值． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）在边长为1的正方形网格中，的顶点都在格点上，且 ． (1)直接写出的面积为______； (2)若一个三角形的三边长分别为 （），请在网格中画出该三角形，并求其面积； (3)求代数式（）的最小值． 【变式题12-2】.（26-27八年级上·四川成都·阶段检测）我们知道，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．为了探索代数式的最小值，老师进行了如下引导： (1)问题解析：如图1，作线段为线段上一动点，设，则，以为边作直角三角形，，再构造，求出得长度即可求出的最小值=__________； (2)类比迁移：已知均为正数，且，，求的最小值； (3)方法应用：如图2，在中，，已知．过点作垂足为，若，求的最小值． 【变式题12-3】.（26-27八年级上·广东深圳·开学考试）综合探究： “在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积”． 小明同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．我们把上述求面积的方法叫做构图法． (1)直接写出图1中的面积是________； (2)若的三边的长分别为、、，请你利用构图法在图2中，画出符合题意的，并写出它的面积________． (3)已知，均为正实数，且，求的最小值． 小明同学发现可看作两直角边分别为和1的直角三角形的斜边长，可看作两直角边分别是和3的直角三角形的斜边长，通过分析，小明想到了构图法解决此问题，于是构造出图3，将问题转化为求线段的长，如图，，，，，，，则、的长分别表示为，．由于，当、、共线时，取等号，所以只要求出的长，就可以解决问题．请在图3中，求出的长，并说明理由．所以的最小值是________． (4)拓展应用：求代数式：（）的最小值． 易错点 1.　误用勾股定理：在非直角三角形中直接使用，或混淆直角边与斜边。 2.　用逆定理判断直角三角形时，未先找最大边，导致判断出错。 3.　勾股数必须是正整数，误将小数、根式或近似值当作勾股数。 4.　已知"两边长"求第三边时忽略分类讨论（可能为直角边或斜边）。 5.　折叠、最短路径问题中未正确识别相等线段或展开方式，构造的直角三角形不正确。 重点 1.　勾股定理的内容与简单应用，已知两边求第三边。 2.　勾股定理的逆定理及判断直角三角形。 3.　勾股数的判断与构造。 4.　勾股定理与折叠、面积、实际问题的综合应用。 5.　常见几何模型（勾股树、弦图、垂美四边形）中的勾股定理。 难点 1.　勾股定理与折叠、动点问题的综合，设未知数列方程。 2.　利用勾股定理证明线段的平方关系，作辅助线构造直角三角形。 3.　立体图形表面最短路径的展开与求解。 4.　垂美四边形等新定义、探究型问题中勾股定理的灵活运用。 【对应练习题】 一、单选题 1．根据下列已知条件，能唯一画出的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．已知一个直角三角形的两条直角边之和为14，斜边长为10，则它的面积为（     ） A．20 B．48 C．30 D．24 3．如图，在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 4．已知，则以x、y为两条直角边的直角三角形的斜边长为________． 5．在如图所示的数轴上，先以单位长度为边长画一个正方形，再以实数对应的点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，弧与数轴相交于，两点（点在点的右边），则点所表示的实数是______． 6．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与边平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是______米． 三、解答题 7．《九章算术》中记载了“折竹求高”问题：“今有竹高一丈，末折着地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子原高一丈（丈尺），竹梢被折断后，顶端恰好落在地面上，落地点与竹根的距离为三尺． (1)这个问题可以运用哪一定理来解决？请写出这一定理的内容； (2)求竹子折断处到地面的高度． 8．如果一个三角形三条边的长分别为（为整数，且），那么人们把这样的三个数称为一组“勾股数通式”． (1)请说明以a、b、c为三边的三角形一定是直角三角形； (2)当时，求这个三角形的周长和面积． 9．如图，在中，，，为的中点，已知． (1)如图①，____________； (2)如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 10．在学习八上课本等腰三角形的“三线合一”时，赵老师在课堂上进行了探究式教学． (1)【问题原型】 定理：等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合． ①根据图形用几何语言写出该定理． 已知：如图，在中，，平分，点在上． 求证：________，________． ②在中，，于点，的周长为，的周长为，则的长为________； (2)【问题提出】 赵老师提出：当三角形的一条角平分线恰好也是这个三角形的中线时，这个三角形是等腰三角形吗？经过小组合作探究后同学们发现该命题正确．请你写出该命题的证明过程． 已知：如图，在中，平分，且点是的中点． 求证：； (3)【拓展延伸】 如图，在中，，平分，点为中点，与相交于点，过点作交延长线于点，设、的面积分别为、，若，则的最大值为________． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $