第2章 实数的初步认识 单元复习（6大知识点+12大分层题型+易错重难点+巩固练习）2026-2027学年苏科版八年级数学上学期培优讲义

该初中数学单元复习讲义围绕“实数的初步认识”，通过分层梳理6大核心知识点，结合对比表格（如平方根与算术平方根、立方根与平方根的区别联系）和知识点框架图，系统呈现知识脉络，突出平方根、无理数、实数运算等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型聚焦概念辨析（如“没有平方根的数”判断），培优题型强化方法应用（如利用算术平方根双重非负性求代数式值），压轴题型注重规律探究与新定义运算，培养推理能力与创新意识。配套易错点总结和巩固练习，助力不同层次学生提升，为教师精准教学提供支持。

第2章 实数的初步认识 知识点1：平方根与算术平方根 1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫做二次方根）。 2.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 3.平方根与算术平方根的区别与联系： 算术平方根 平方根 定义 正数的正的平方根 若，则是的平方根 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 表示方法 取值范围 非负性：， 可正可负，也可为0 联系 算术平方根是平方根中正的那个 平方根包含算术平方根 关于0 0的算术平方根是0 0的平方根是0 4.开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，叫做被开方数。 被开方数必须是非负数 平方与开平方互为逆运算 5.重要性质： （） 知识点2：立方根 1.定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）。 2.表示方法：数的立方根表示为，读作"三次根号"。 3.性质： 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 任何数都有且只有一个立方根 4.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 5.立方根与平方根的对比： 立方根 平方根 定义 若，则是的立方根 若，则是的平方根 个数 任意数都有且只有一个立方根 正数有两个平方根，负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意实数 关于0 0的立方根是0 0的平方根是0 6.重要性质： 知识点3：无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.无理数的常见形式： 开方开不尽的数的方根，如，等 圆周率及一些含有的数，如，等 有规律但不循环的无限小数，如（两个1之间依次多一个0） 3.注意： 无理数的小数部分位数无限 无理数的小数部分不循环 无理数不能表示成分数的形式 知识点4：实数的概念与分类 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类： 有理数和无理数统称为实数。 按定义分类： 按正负性分类： 3.实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 数轴上的每一个点都表示一个实数 知识点5：实数的性质与运算 1.实数的性质： 相反数：实数的相反数是 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 倒数：非零实数的倒数是 2.实数的大小比较： 数轴上右边的点表示的数总比左边的大 正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数 两个负实数比较大小，绝对值大的反而小 3.实数的运算： 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的 运算结果：涉及无理数的运算，可根据要求取近似值 知识点6：近似数 1.近似数的概念：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。 2.精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 精确到哪一位：如精确到个位、十分位、百分位等 保留几位有效数字 3.四舍五入法： 看精确到的数位的下一位 下一位数字大于或等于5，则进1；小于5，则舍去 【基础必考题型】 【题型1】平方根与算术平方根的概念 1.核心知识点 平方根的定义；算术平方根的定义；平方根的性质；被开方数的非负性 2.解题方法技巧 ①判断平方根：若，则是的平方根，正数有两个平方根，互为相反数 ②算术平方根是平方根中正的那个，表示为，具有双重非负性 ③注意与的区别，前者为任意数，后者 ④求一个数的平方根时，不要漏掉负的平方根，注意符号 【例题1】.（青海省西宁市西宁市2025—2026学年第二学期末调研测试卷七年级数学）若实数没有平方根，则可以是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（25-26七年级下·四川南充·期末）下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．是的算术平方根 D．是的算术平方根 【变式题1-3】.（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【题型2】立方根的概念与计算 1.核心知识点 立方根的定义；立方根的性质；开立方运算；立方根与平方根的区别 2.解题方法技巧 ①任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负 ②利用性质，可将负数的立方根转化为正数的立方根的相反数 ③注意立方根的根指数3不能省略，与平方根的表示方法区分 ④立方与开立方互为逆运算，可用立方运算检验开立方的结果 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．立方根是负数的数一定是负数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根是非负数 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·单元复习）下列各数中，立方根一定是负数的是（   ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（23-24八年级上·广东深圳·阶段检测）立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【变式题2-3】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列说法中正确的是（     ） A．的立方根是 B．的平方根是 C． D．的立方根是 【题型3】无理数的识别与判断 1.核心知识点 无理数的定义；无理数的三种常见形式；有理数与无理数的区别 2.解题方法技巧 ①无理数是无限不循环小数，注意"无限"和"不循环"两个条件缺一不可 ②开方开不尽的数的方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数，如 ③含的数通常是无理数，但要注意是特定的无限不循环小数 ④有规律但不循环的小数是无理数，循环的是有理数，注意区分 【例题3】.（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【变式题3-2】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）下列实数0，，，，，，，，（每2个1之间的0依次增加1个），其中无理数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式题3-3】.（25-26七年级下·河南安阳·期末）在实数0.101001…（每相邻两个1之间依次多一个0），中，无理数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【题型4】利用平方根、立方根解方程 1.核心知识点 平方根的意义；立方根的意义；开平方与开立方运算；解方程的思想 2.解题方法技巧 ①形如（）的方程，直接开平方得，注意两个根 ②形如（）的方程，把看作整体开平方 ③形如的方程，直接开立方得，只有一个根 ④形如的方程，把看作整体开立方 ⑤解方程时注意先将方程化为左边是完全平方或完全立方的形式 【例题4】.（25-26七年级下·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·广东汕尾·阶段检测）解方程： (1) (2) 【变式题4-2】.（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程 (1) (2) 【变式题4-3】.（25-26七年级下·天津蓟州·期中）解方程： (1)； (2)． 【题型5】实数的大小比较 1.核心知识点 实数大小比较的法则；数轴比较法；作差比较法；估算比较法 2.解题方法技巧 ①数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的大，数形结合直观判断 ②法则比较法：正实数>0>负实数；两个负实数，绝对值大的反而小 ③作差比较法：若，则；若，则；若，则 ④估算比较法：估算无理数的大致范围，再比较大小 ⑤平方法：两个正数比较大小，平方大的数大，适用于含根号的数 【例题5】.（25-26七年级下·山西吕梁·期末）比较大小：________．（填“”、“”或“”） 【变式题5-1】.（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·北京·期末）比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【培优高频题型】 【题型6】算术平方根的双重非负性 1.核心知识点 算术平方根的非负性；被开方数的非负性；非负数的性质 2.解题方法技巧 ①双重非负性：中，被开方数，结果 ②若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如，则 ③求代数式有意义的条件时，被开方数必须大于等于0 ④利用非负性求字母的值，再代入计算代数式的值 【例题6】.（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）若，则的值为__________． 【变式题6-1】.（青海省西宁市西宁市2025—2026学年第二学期末调研测试卷七年级数学）如果，那么__________． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·北京·期末）已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【题型7】无理数的估算 1.核心知识点 算术平方根的估算；立方根的估算；夹逼法；无理数的范围确定 2.解题方法技巧 ①夹逼法：找到与被开方数相邻的两个完全平方数或完全立方数，确定范围 ②估算的大小：找到，则 ③估算的大小：找到，则 ④精确到某一位时，要多看一位，用四舍五入法确定 ⑤估算时注意精度要求，合理选择估算方法 【例题7】.（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知若n为整数且则n的值为（     ） A．43 B．44 C．45 D．46 【变式题7-2】.（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知为整数，且，则______________． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·北京大兴·期末）根据资料，回答问题． 如果，其中是整数，，那么，． (1)已知，其中是整数，，那么________，________； (2)已知，．其中，是整数，，，求的值． 【题型8】求无理数的整数部分与小数部分 1.核心知识点 无理数的估算；整数部分与小数部分的表示；代数式的化简求值 2.解题方法技巧 ①先估算无理数的范围，确定整数部分，则小数部分为无理数减去整数部分 ②若，则的整数部分为，小数部分为 ③小数部分一定是正数，且小于1，注意表示方法 ④求含有无理数的代数式的值时，利用整数部分和小数部分的关系整体代入 ⑤注意立方根的整数部分和小数部分的求法与平方根类似 【例题8】.（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【变式题8-1】.（25-26七年级下·广东惠州·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知：，． (1)求 (2)若的小数部分是，的小数部分是，求 【题型9】实数的混合运算 1.核心知识点 实数的运算法则；运算顺序；运算律；无理数的近似计算 2.解题方法技巧 ①运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的 ②有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用 ③含绝对值的运算，先判断绝对值内的正负，再去绝对值符号 ④涉及无理数的运算，若题目要求近似值，先化简再代入近似值计算 ⑤注意运算符号，特别是开方后的符号，避免出错 【例题9】.（25-26七年级下·福建福州·期末）计算：． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）计算∶ ． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·安徽亳州·期末）计算求值 (1)已知，求x，y的值； (2)先化简：，再在（1）的条件下求值． 【题型10】近似数与精确度 1.核心知识点 近似数的概念；精确度的意义；四舍五入法；有效数字 2.解题方法技巧 ①精确到哪一位，就看那一位的下一位，用四舍五入法取近似值 ②科学记数法表示的近似数，看的末位数字在原数中的位置 ③带单位的近似数，先还原，再看末位数字在哪一位 ④由近似数求原数的范围：近似数精确到某一位，则原数的范围是个单位到个单位 ⑤注意精确到的数位，特别是小数点后的位数，不要数错 【例题10】.（25-26七年级上·河南商丘·期末）用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.01） D．（精确到百位） 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）宝应县总面积为1461.53平方公里，用四舍五入法取近似数精确到个位_______． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是___________． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 【压轴素养题型】 【题型11】平方根与立方根的规律探究 1.核心知识点 平方根的变化规律；立方根的变化规律；从特殊到一般的归纳推理；规律探究方法 2.解题方法技巧 ①被开方数扩大（或缩小）100倍，算术平方根扩大（或缩小）10倍 ②被开方数扩大（或缩小）1000倍，立方根扩大（或缩小）10倍 ③从特殊例子入手，观察被开方数与方根的变化关系，归纳规律 ④利用规律进行简便计算，将大数的方根转化为已知小数的方根 ⑤注意区分平方根与立方根的变化规律，倍数不同，不要混淆 【例题11】.（25-26七年级下·安徽六安·期中）观察下表，然后回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决问题：已知，若，则（    ） A．32.4 B．324 C．3240 D．32400 【变式题11-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【变式题11-2】.（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读素材，并解决三个任务． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ， ． 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 深入探究 (1)思考1：步骤二中怎么确定立方根的个位上的数： 分析：___________，，，从而由，看出当被开方数尾数是9时，立方根结果尾数也是9． 思考2：步骤三中为什么要划去后面的三位319？ 分析：我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． 任务2 解决问题 (2)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是___________位数； ②它的立方根的个位上的数是___________；十位上的数是___________； 任务3 拓展应用 (3)一个实心正方体钢块的体积是，棱长为整数厘米．请不使用计算器，利用立方数的特征，写出完整推理过程，求正方体的棱长． 【题型12】新定义下的实数运算 1.核心知识点 新定义运算的理解；实数的四则运算与开方运算；阅读理解能力；转化思想 2.解题方法技巧 ①读懂新定义：仔细阅读定义，理解新运算的规则和运算顺序 ②转化为常规运算：按照定义将新运算转化为熟悉的实数运算 ③注意运算顺序：新定义运算也要遵循常规的运算顺序和括号规则 ④探究运算律：通过举例验证新运算是否满足交换律、结合律等 ⑤解新定义方程：将新定义代入，转化为常规方程求解 【例题12】.（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）阅读材料：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：设，则，∴，由对数的定义得，∴． 解决问题： （1）将指数转化为对数式___________； （2）①___________，②___________，③___________； （3）证明：； 拓展运用： （4）计算：． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算：，即当，；当，． (1)当，时，________； (2)当，，时，请你求出的取值； (3)当，，时，请你求出的取值范围． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． (1)根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（   ）；②等腰直角三角形（   ）； (2)若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． (3)如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 易错点 1.混淆平方根与算术平方根的概念，求平方根时漏掉负根，或求算术平方根时加号。 2.忽略被开方数的非负性，认为负数也有平方根，或在中不考虑的条件。 3.混淆与的性质，前者为任意数，后者要求。 4.立方根与平方根混淆，认为负数没有立方根，或立方根也有两个。 5.无理数的判断错误，认为带根号的数都是无理数，或认为无限小数都是无理数。 6.实数分类时漏掉0，或分类标准不统一导致重复或遗漏。 7.实数运算时，符号处理错误，特别是去绝对值和开方时的符号。 8.无理数估算时，找错相邻的完全平方数或完全立方数，导致范围错误。 9.求小数部分时，用整数部分减无理数，导致小数部分为负，应该用无理数减整数部分。 10.近似数的精确度判断错误，特别是科学记数法或带单位的近似数。 11.利用平方根解方程时，只取正根，漏掉负根，导致丢解。 重点 1.平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，以及它们的区别与联系。 2.无理数的概念与识别，实数的分类，实数与数轴的一一对应关系。 3.算术平方根的双重非负性及其应用，非负数的和为0的性质。 4.无理数的估算方法，求无理数的整数部分和小数部分。 5.实数的大小比较与混合运算，有理数的运算律在实数范围内的应用。 6.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、从特殊到一般的思想。 难点 1.算术平方根双重非负性的灵活应用，特别是多个非负数和为0的综合题。 2.无理数的估算与大小比较，特别是两个无理数的比较，需要灵活选用方法。 3.实数与数轴、几何图形的综合应用，数形结合思想的运用。 4.新定义、新情境、跨学科等创新题型，需要阅读理解和知识迁移能力。 5.规律探究与数学文化问题，需要从特殊到一般的归纳推理能力和阅读理解能力。 6.实数运算中的符号处理和化简技巧，特别是含绝对值和根号的混合运算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是分数 C．是无理数 D．无限小数是无理数 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（    ）米 x 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 x² 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A． B． C． D． 二、填空题 4．如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧，），则点所表示的数为__________． 5．对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 6．若，则_______． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)． 8．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 9．小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作． 探究性质： ①16的四次方根是__________； ②0的四次方根是__________； ③__________（填“存在”或“不存在”）； (2)巩固应用：计算：． 10．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 知识点1：平方根与算术平方根 1.平方根的定义：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（也叫做二次方根）。 2.算术平方根的定义：一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根。 3.平方根与算术平方根的区别与联系： 算术平方根 平方根 定义 正数的正的平方根 若，则是的平方根 个数 一个正数只有一个算术平方根 一个正数有两个平方根，它们互为相反数 表示方法 取值范围 非负性：， 可正可负，也可为0 联系 算术平方根是平方根中正的那个 平方根包含算术平方根 关于0 0的算术平方根是0 0的平方根是0 4.开平方：求一个数的平方根的运算，叫做开平方，叫做被开方数。 被开方数必须是非负数 平方与开平方互为逆运算 5.重要性质： （） 知识点2：立方根 1.定义：一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（也叫做三次方根）。 2.表示方法：数的立方根表示为，读作"三次根号"。 3.性质： 正数的立方根是正数 负数的立方根是负数 0的立方根是0 任何数都有且只有一个立方根 4.开立方：求一个数的立方根的运算叫做开立方。 5.立方根与平方根的对比： 立方根 平方根 定义 若，则是的立方根 若，则是的平方根 个数 任意数都有且只有一个立方根 正数有两个平方根，负数没有平方根 表示方法 取值范围 任意实数 关于0 0的立方根是0 0的平方根是0 6.重要性质： 知识点3：无理数 1.定义：无限不循环小数叫做无理数。 2.无理数的常见形式： 开方开不尽的数的方根，如，等 圆周率及一些含有的数，如，等 有规律但不循环的无限小数，如（两个1之间依次多一个0） 3.注意： 无理数的小数部分位数无限 无理数的小数部分不循环 无理数不能表示成分数的形式 知识点4：实数的概念与分类 1.实数的定义：有理数和无理数统称为实数。 2.实数的分类： 有理数和无理数统称为实数。 按定义分类： 按正负性分类： 3.实数与数轴的关系：实数与数轴上的点是一一对应的。 每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 数轴上的每一个点都表示一个实数 知识点5：实数的性质与运算 1.实数的性质： 相反数：实数的相反数是 绝对值：正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 倒数：非零实数的倒数是 2.实数的大小比较： 数轴上右边的点表示的数总比左边的大 正实数大于0，负实数小于0，正实数大于一切负实数 两个负实数比较大小，绝对值大的反而小 3.实数的运算： 有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然适用 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号的先算括号里的 运算结果：涉及无理数的运算，可根据要求取近似值 知识点6：近似数 1.近似数的概念：与实际接近但存在一定偏差的数称为近似数。 2.精确度：近似数与准确数的接近程度，可以用精确度表示。 精确到哪一位：如精确到个位、十分位、百分位等 保留几位有效数字 3.四舍五入法： 看精确到的数位的下一位 下一位数字大于或等于5，则进1；小于5，则舍去 【基础必考题型】 【题型1】平方根与算术平方根的概念 1.核心知识点 平方根的定义；算术平方根的定义；平方根的性质；被开方数的非负性 2.解题方法技巧 ①判断平方根：若，则是的平方根，正数有两个平方根，互为相反数 ②算术平方根是平方根中正的那个，表示为，具有双重非负性 ③注意与的区别，前者为任意数，后者 ④求一个数的平方根时，不要漏掉负的平方根，注意符号 【例题1】.（青海省西宁市西宁市2025—2026学年第二学期末调研测试卷七年级数学）若实数没有平方根，则可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵实数没有平方根, ∴. 故选项中只有满足条件. 【变式题1-1】.（25-26七年级下·四川南充·期末）下列各数中，没有平方根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“负数没有平方根”，判断各选项数值的正负性即可得到结果. 【详解】解：根据平方根的性质：正数有两个平方根，的平方根是，负数没有平方根， ∵ ，，， ∴ 只有是负数，因此没有平方根. 【变式题1-2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法正确的是（    ） A．是的算术平方根 B．是的算术平方根 C．是的算术平方根 D．是的算术平方根 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根的定义，掌握算术平方根的概念是解题的关键． 根据算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】A. ，所以是的算术平方根，故选项正确； B. ，所以是的算术平方根，故选项错误； C. ，所以是的算术平方根，故选项错误； D. ，所以是的算术平方根，故选项错误； 故选：A． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·上海·期中）两个连续的正整数，其中较小的数的算术平方根是，那么较大的数的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟知算术平方根的定义是解题的关键．根据算术平方根的定义，较小的数等于的平方，则较大的数是较小数加，再求算术平方根即可． 【详解】解：设较小的正整数为， 的算术平方根是， 则， 较大的正整数为：， 较大的数的算术平方根为：． 故选A． 【题型2】立方根的概念与计算 1.核心知识点 立方根的定义；立方根的性质；开立方运算；立方根与平方根的区别 2.解题方法技巧 ①任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根为正，负数的立方根为负 ②利用性质，可将负数的立方根转化为正数的立方根的相反数 ③注意立方根的根指数3不能省略，与平方根的表示方法区分 ④立方与开立方互为逆运算，可用立方运算检验开立方的结果 【例题2】.（25-26八年级上·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（    ） A．一个数的立方根有两个，它们互为相反数 B．立方根是负数的数一定是负数 C．如果一个数有立方根，那么它一定有平方根 D．一个数的立方根是非负数 【答案】B 【分析】本题主要考查了立方根和平方根的定义，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根和平方根的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A.一个数的立方根有一个，该选项错误，不符合题意； B.因为负数的立方是负数，所以立方根是负数的数一定是负数，该选项正确，符合题意； C.负数有立方根，但没有平方根，该选项错误，不符合题意； D. 一个数的立方根和这个数的符号一致，该选项错误，不符合题意； 故选：B． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·全国·单元复习）下列各数中，立方根一定是负数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了代数式的正负性判断以及立方根的性质，判断每个选项的正负性即可得出正确答案. 【详解】解：选项A：当时，，其立方根为正数或零，故A错误，不符合题意； 选项B：当时，其立方根为，故B错误，不符合题意； 选项C：无论取何值，，因此的立方根一定为负，故C正确，符合题意； 选项D：当时，，其立方根为正数，故D错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式题2-2】.（23-24八年级上·广东深圳·阶段检测）立方根等于它本身的有（　　） A．，0，1 B．0，1 C．0， D．1 【答案】A 【分析】本题考查了立方根，注意正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数．根据开立方的意义，可得答案． 【详解】解：立方根等于它本身的有，0，1． 故选：A． 【变式题2-3】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列说法中正确的是（     ） A．的立方根是 B．的平方根是 C． D．的立方根是 【答案】B 【分析】平方根的定义：若，则；立方根的定义：若，则． 【详解】解：，的立方根不是，A错误； 0的平方根是0，则B正确； ，C错误； 27的立方根是，D错误． 【题型3】无理数的识别与判断 1.核心知识点 无理数的定义；无理数的三种常见形式；有理数与无理数的区别 2.解题方法技巧 ①无理数是无限不循环小数，注意"无限"和"不循环"两个条件缺一不可 ②开方开不尽的数的方根是无理数，但带根号的数不一定都是无理数，如 ③含的数通常是无理数，但要注意是特定的无限不循环小数 ④有规律但不循环的小数是无理数，循环的是有理数，注意区分 【例题3】.（25-26七年级下·辽宁盘锦·期末）下列实数中，属于无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】无理数是无限不循环小数，有理数是整数和分数的统称，有限小数和无限循环小数都属于有理数. 解：A、是有限小数，属于有理数，故A错误； B、，是整数，属于有理数，故B错误； C、是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数，故C正确； D、，是整数，属于有理数，故D错； 故选：C． 【变式题3-1】.（25-26七年级下·辽宁铁岭·期末）下列实数：，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，再逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可得到答案． 【详解】解：是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 中是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数； 中是无限不循环小数，因此也是无理数； 综上，无理数共有个． 【变式题3-2】.（25-26七年级下·黑龙江大庆·期末）下列实数0，，，，，，，，（每2个1之间的0依次增加1个），其中无理数的个数是（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】无限不循环小数是无理数，再逐个化简判断每个数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是整数，是整数，是整数，是分数，是循环小数，是有限小数，属于有理数； 无理数是，，（每2个1之间的0依次增加1个），共个． 【变式题3-3】.（25-26七年级下·河南安阳·期末）在实数0.101001…（每相邻两个1之间依次多一个0），中，无理数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【详解】解：是开方开不尽的数，是无理数； 是分数，属于有理数； 中是无理数，因此是无理数； （每相邻两个1之间依次多一个0）是无限不循环小数，是无理数； 是整数，属于有理数； ∴ 无理数共有3个． 【题型4】利用平方根、立方根解方程 1.核心知识点 平方根的意义；立方根的意义；开平方与开立方运算；解方程的思想 2.解题方法技巧 ①形如（）的方程，直接开平方得，注意两个根 ②形如（）的方程，把看作整体开平方 ③形如的方程，直接开立方得，只有一个根 ④形如的方程，把看作整体开立方 ⑤解方程时注意先将方程化为左边是完全平方或完全立方的形式 【例题4】.（25-26七年级下·北京·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时除以8，最后把方程两边同时开立方即可得到答案； （2）先把常数项移到方程右边，再把方程两边同时开平方得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【变式题4-1】.（25-26七年级下·广东汕尾·阶段检测）解方程： (1) (2) 【答案】(1) ，； (2) 【详解】（1）解： ∴，； （2）解： ∴ 【变式题4-2】.（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程 (1) (2) 【答案】(1) (2)或 【详解】（1）解：， 开立方得：， 解得：； （2）解：， 移项得：， 方程两边同除以25得：， 开平方得：， 解得：或． 【变式题4-3】.（25-26七年级下·天津蓟州·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)或2 (2) 【详解】（1）解： 解得或2； （2）解： ． 【题型5】实数的大小比较 1.核心知识点 实数大小比较的法则；数轴比较法；作差比较法；估算比较法 2.解题方法技巧 ①数轴比较法：数轴上右边的数总比左边的大，数形结合直观判断 ②法则比较法：正实数>0>负实数；两个负实数，绝对值大的反而小 ③作差比较法：若，则；若，则；若，则 ④估算比较法：估算无理数的大致范围，再比较大小 ⑤平方法：两个正数比较大小，平方大的数大，适用于含根号的数 【例题5】.（25-26七年级下·山西吕梁·期末）比较大小：________．（填“”、“”或“”） 【答案】 【分析】将两个数分别与比较大小，即可得到结果． 【详解】解：∵，，且， ∴， ∵， ∴， ． 【变式题5-1】.（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）如图，数轴上点表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察数轴，确定点M所在的整数区间，明确点M对应的数值范围．对每个选项中的算术平方根，利用“若（为正整数），则”将各算术平方根的范围与点M的数值范围比对，找到符合条件的选项． 【详解】从数轴可知，点在和之间，即 ， 对不等式三边平方得：． 逐一分析选项： 选项A：，因为 ，所以 ，符合点M的范围； 选项B：，因为 ，所以 ，不符合； 选项C：，因为 ，所以 ，不符合； 选项D：，因为 ，所以 ，不符合． 因此答案选A． 【变式题5-2】.（25-26七年级下·北京·期末）比较大小：__________，__________ （填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； ∵ ∴ ∴ ∴ 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东佛山·阶段检测）如图所示，已知，，以点为圆心，为半径画弧交左侧数轴于点． (1)写出数轴上点所表示的数为______； (2)比较大小：点所表示的数______（填写“”或“”） (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了实数和数轴，勾股定理，实数大小比较，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出，然后得出点A表示的数即可； （2）先求出，，根据，得出即可； （3）过点D作，且，连接，以点O为圆心，为半径画弧，交数轴于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：； （2）解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：； （3）解：如图，点表示的数为． ∵，，， ∴， ∴． 【培优高频题型】 【题型6】算术平方根的双重非负性 1.核心知识点 算术平方根的非负性；被开方数的非负性；非负数的性质 2.解题方法技巧 ①双重非负性：中，被开方数，结果 ②若几个非负数的和为0，则每个非负数都为0，如，则 ③求代数式有意义的条件时，被开方数必须大于等于0 ④利用非负性求字母的值，再代入计算代数式的值 【例题6】.（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）若，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据非负数的性质得到方程组，解方程组求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 解得， ∴． 【变式题6-1】.（青海省西宁市西宁市2025—2026学年第二学期末调研测试卷七年级数学）如果，那么__________． 【答案】1 【分析】根据绝对值和算术平方根的非负性列出关于x，y的二元一次方程组，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 解得：，， ∴． 【变式题6-2】.（25-26七年级下·广东湛江·期末）已知．求的平方根． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：，，， ，，解得，．           ． 的平方根为， 的平方根为． 【变式题6-3】.（25-26七年级下·北京·期末）已知的三边长，，满足且为奇数．则___________ 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，有理数的乘方，三角形的三边关系；根据非负数的性质求出a和b的值，再根据三角形三边关系求出c的取值范围，结合c为奇数确定c的值. 【详解】解：∵，且，， ∴，， ∴，． ∴，即， 又∵为奇数， ∴． 故答案为：3. 【题型7】无理数的估算 1.核心知识点 算术平方根的估算；立方根的估算；夹逼法；无理数的范围确定 2.解题方法技巧 ①夹逼法：找到与被开方数相邻的两个完全平方数或完全立方数，确定范围 ②估算的大小：找到，则 ③估算的大小：找到，则 ④精确到某一位时，要多看一位，用四舍五入法确定 ⑤估算时注意精度要求，合理选择估算方法 【例题7】.（25-26七年级下·内蒙古通辽·期末）若为正整数，且满足，的值是_____． 【答案】 【分析】本题考查无理数大小的估算，有理数的乘方计算，确定所在的整数范围是解题关键，通过比较相邻完全平方数得到的范围，进而求出的值，再计算即可． 【详解】解：，， ， ，且为正整数， ， 则． 【变式题7-1】.（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知若n为整数且则n的值为（     ） A．43 B．44 C．45 D．46 【答案】D 【分析】本题根据已知平方数确定的范围，结合题目给出的不等式即可求出整数的值，用到正数大小比较与算术平方根大小比较的关系：若正数，则． 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ， 即 ． ∵ ，且为整数， ∴ ． 【变式题7-2】.（25-26七年级下·广西崇左·期末）已知为整数，且，则______________． 【答案】5 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，再结合已知不等式求出整数的值． 【详解】解：， ， 即， 为整数，且， ． 【变式题7-3】.（25-26七年级下·北京大兴·期末）根据资料，回答问题． 如果，其中是整数，，那么，． (1)已知，其中是整数，，那么________，________； (2)已知，．其中，是整数，，，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）先利用算术平方根估算，确定式子的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； （2）先利用算术平方根估算，确定式子，的整数部分，再根据题干给出的关系得到小数部分，最后代入计算得到结果即可解答； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，m是整数，， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 即， ∵，．其中，是整数，，， ∴，， ∴． 【题型8】求无理数的整数部分与小数部分 1.核心知识点 无理数的估算；整数部分与小数部分的表示；代数式的化简求值 2.解题方法技巧 ①先估算无理数的范围，确定整数部分，则小数部分为无理数减去整数部分 ②若，则的整数部分为，小数部分为 ③小数部分一定是正数，且小于1，注意表示方法 ④求含有无理数的代数式的值时，利用整数部分和小数部分的关系整体代入 ⑤注意立方根的整数部分和小数部分的求法与平方根类似 【例题8】.（25-26八年级上·四川宜宾·期中）已知的算术平方根是3，y是的整数部分，则的值为（     ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【分析】先根据算术平方根的定义求出，再通过估算无理数的大小得到，最后计算得到结果． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵y是的整数部分， ∴， ∴． 【变式题8-1】.（25-26七年级下·广东惠州·期中）若的整数部分为a，小数部分为b，求的值为______． 【答案】/ 【分析】先估算得到的整数部分和小数部分，再代入式子计算即可． 【详解】解：， ， ． ． 【变式题8-2】.（25-26七年级下·甘肃庆阳·期末）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求，，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（1）根据立方根及算术平方根的定义求得a，b的值，然后利用无理数的估算求得c的值即可； （2）将a，b，c的值代入中计算，再根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是， ， 解得：； ， ， 是的整数部分， ； （2），，， ， 的平方根为． 【变式题8-3】.（25-26八年级下·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知：，． (1)求 (2)若的小数部分是，的小数部分是，求 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴的整数部分是0，的整数部分是3， ∴的小数部分是，的小数部分是， ∴． 【题型9】实数的混合运算 1.核心知识点 实数的运算法则；运算顺序；运算律；无理数的近似计算 2.解题方法技巧 ①运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的 ②有理数的运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内仍然适用 ③含绝对值的运算，先判断绝对值内的正负，再去绝对值符号 ④涉及无理数的运算，若题目要求近似值，先化简再代入近似值计算 ⑤注意运算符号，特别是开方后的符号，避免出错 【例题9】.（25-26七年级下·福建福州·期末）计算：． 【答案】 【分析】先计算立方根、算术平方根和绝对值，再进行实数运算即可求解． 【详解】解： ． 【变式题9-1】.（25-26七年级下·安徽滁州·期末）计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 【变式题9-2】.（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）计算∶ ． 【答案】 【详解】解： ． 【变式题9-3】.（25-26七年级下·安徽亳州·期末）计算求值 (1)已知，求x，y的值； (2)先化简：，再在（1）的条件下求值． 【答案】(1)， (2)化简结果为，值为 【分析】（1）利用算术平方根和绝对值的非负性，几个非负数的和为时，每个非负数都为，据此列方程组求解即可得到，的值； （2）运用完全平方公式和多项式乘法法则展开，合并同类项化简后，代入（1）中得到的，的值计算结果即可． 【详解】（1）解：已知 ∵ ，，且两者的和为0 ∴ 解得 （2） 将，代入得： 【题型10】近似数与精确度 1.核心知识点 近似数的概念；精确度的意义；四舍五入法；有效数字 2.解题方法技巧 ①精确到哪一位，就看那一位的下一位，用四舍五入法取近似值 ②科学记数法表示的近似数，看的末位数字在原数中的位置 ③带单位的近似数，先还原，再看末位数字在哪一位 ④由近似数求原数的范围：近似数精确到某一位，则原数的范围是个单位到个单位 ⑤注意精确到的数位，特别是小数点后的位数，不要数错 【例题10】.（25-26七年级上·河南商丘·期末）用四舍五入法对下列各数取近似值，其中结果错误的是（    ） A．（精确到个位） B．（精确到十分位） C．（精确到0.01） D．（精确到百位） 【答案】C 【分析】本题考查近似数的四舍五入取法，关键是明确精确到某一位时，需观察该位的下一位数字，小于5则舍去，大于等于5则向该位进1，据此判断各选项的正误． 【详解】解：A选项中，304.25精确到个位，十分位数字2，，舍去，∴，正确． B选项中，1.804精确到十分位，百分位数0，，舍去，∴，正确． C选项中，0.0158精确到0.01（百分位），千分位数字5，需向百分位进位，百分位1进1变为2，∴，而选项中结果为0.016，错误． D选项中，1205精确到百位，看十位数字0，，舍去，∴，正确． 故选C． 【变式题10-1】.（25-26八年级上·江苏扬州·期末）宝应县总面积为1461.53平方公里，用四舍五入法取近似数精确到个位_______． 【答案】 1462 【分析】本题考查求一个数的近似数，精确到个位，需看十分位数字，十分位为5，向个位进1，据此作答即可． 【详解】解：． 故答案为：1462． 【变式题10-2】.（25-26八年级上·江苏盐城·期末）用四舍五入法将精确到，所得到的近似数是___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了近似数，解题的关键是掌握四舍五入的法则． 精确到即十分位，需看百分位数字，根据四舍五入法则决定进位． 【详解】解：精确到，百分位数字为9，，故向十分位进位，十分位8变为9， 因此近似数为， 故答案为：2.9． 【变式题10-3】.（25-26七年级上·全国·课后作业）用四舍五入法对下列各数取近似数： (1)（精确到）； (2)（精确到个位）； (3)（精确到百分位）； (4)（精确到）． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查近似数的求法，掌握最后一位所在的位置就是精确度，注意保留数位上的0不能去掉． （1）精确到，即保留小数点后面第一位，看小数点后面第二位，利用“四舍五入”法解答即可； （2）精确到个位，就看小数点后面第一位，利用“四舍五入”法解答即可； （3）精确到百分位，即保留小数点后面第二位，看小数点后面第三位，利用“四舍五入”法解答即可； （4）精确到，就看千分位，利用“四舍五入”法解答即可． 【详解】（1）解：（精确到）； （2）解：（精确到个位）； （3）解：（精确到百分位）； （4）解：（精确到）． 【压轴素养题型】 【题型11】平方根与立方根的规律探究 1.核心知识点 平方根的变化规律；立方根的变化规律；从特殊到一般的归纳推理；规律探究方法 2.解题方法技巧 ①被开方数扩大（或缩小）100倍，算术平方根扩大（或缩小）10倍 ②被开方数扩大（或缩小）1000倍，立方根扩大（或缩小）10倍 ③从特殊例子入手，观察被开方数与方根的变化关系，归纳规律 ④利用规律进行简便计算，将大数的方根转化为已知小数的方根 ⑤注意区分平方根与立方根的变化规律，倍数不同，不要混淆 【例题11】.（25-26七年级下·安徽六安·期中）观察下表，然后回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 0.1 1 10 100 … 从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决问题：已知，若，则（    ） A．32.4 B．324 C．3240 D．32400 【答案】D 【分析】根据被开方数每移动2位，算术平方根向相同的方向移动1位，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴. 【变式题11-1】.（2025七年级下·全国·专题练习）根据如表，回答下列问题： 0.000216 0.216 216 216000 0.06 0.6 6 60 (1)想一想表中数的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？ (2)根据你发现的规律解答： ①已知，则介于哪两个整数之间？ ②已知，则______． ③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到平方米） 【答案】(1)数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位 (2)①12和13之间；②12.26；③9.02平方米 【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键． （1）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解； （2）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：规律：数的小数点每移动三位，它的立方根的小数点就向相同方向移动一位； （2）解：①∵， ∴ ∴介于整数12和13之间； ②∵ ∴ 故答案为：12.26； ③设正方体的棱长为米，则， ， （平方米）， 答：需要大约9.02平方米的铁皮． 【变式题11-2】.（24-25七年级下·河南新乡·期中）在学习了《实数》这一章的内容后，徐老师带着同学们一起进行对知识的探究． 观察下面式子的规律，解答问题． ，，…… ，，…… 【发现规律】 （1）①如果被开方数的小数点向左移动两位，那么它的算术平方根的小数点向_____移动_____位． ②如果被开方数的小数点向右移动三位，那么它的立方根的小数点向_____移动_____位． 【应用规律】 （2）①已知，那么_____，_____． ②已知，，那么_____． 【拓展】 （3）已知，，则_____，_____． 【答案】（1）①左，1；②右，1（2）①2.828，0.2828；②（3） 【分析】本题考查算术平方根、立方根及规律探索问题，由题意总结出规律是解此题的关键． （1）根据题干中的例子总结规律即可； （2）根据总结的规律即可求得答案； （3）将原式变形后根据规律计算即可． 【详解】解：（1）①被开方数的小数点每向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动1位， ②被开方数的小数点每向右移动三位，其立方根的小数点向右移动1位， （2）①根据总结的规律可得：，， ②根据总结的规律可得：， ， （3），， ， ． 【变式题11-3】.（25-26七年级下·福建福州·期中）阅读素材，并解决三个任务． 核心素养：应用意识，创新意识 素材 素材背景 数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求59319的立方根．华罗庚脱口而出：39．众人感觉十分惊奇，请华罗庚给大家解读其中的奥秘． 步骤一 ， ． 能确定59319的立方根是个两位数． 步骤二 的个位数是， 能确定59319的立方根的个位上的数是9． 步骤三 如果划去59319后面的三位319得到数59，而，则，可得．由此能确定59319的立方根的十位上的数是3． 因此59319的立方根是39． 问题解决 任务1 深入探究 (1)思考1：步骤二中怎么确定立方根的个位上的数： 分析：___________，，，从而由，看出当被开方数尾数是9时，立方根结果尾数也是9． 思考2：步骤三中为什么要划去后面的三位319？ 分析：我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动___________位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． 任务2 解决问题 (2)已知是一个整数的立方，按上述方法求它的立方根，请完成下列填空． ①它的立方根是___________位数； ②它的立方根的个位上的数是___________；十位上的数是___________； 任务3 拓展应用 (3)一个实心正方体钢块的体积是，棱长为整数厘米．请不使用计算器，利用立方数的特征，写出完整推理过程，求正方体的棱长． 【答案】(1)； (2)①两；②， (3) 【分析】（1）计算，观察被开方数和立方根的特点即可求解． （2）仿照素材的解题步骤，计算即可得解． （3）仿照素材的解题步骤，计算即可求解． 【详解】（1）解： 我们知道，被开方数的小数点向右或向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动1位．划去后三位数字可以近似看成除以1000，从而立方根结果看成除以10，就能快速估算出立方根的十位数字了． （2）解：①， ， ， 的立方根是个两位数： ②由，可得当被开方数尾数是时，立方根结果尾数是． 它的立方根的个位上的数是 ， ， ， 立方根的十位上的数是5： （3），， ， ， 能确定的立方根是个两位数， ， ， 它的立方根的十位上的数是； ， 的个位上的数是2， ． ∴正方体的棱长 【题型12】新定义下的实数运算 1.核心知识点 新定义运算的理解；实数的四则运算与开方运算；阅读理解能力；转化思想 2.解题方法技巧 ①读懂新定义：仔细阅读定义，理解新运算的规则和运算顺序 ②转化为常规运算：按照定义将新运算转化为熟悉的实数运算 ③注意运算顺序：新定义运算也要遵循常规的运算顺序和括号规则 ④探究运算律：通过举例验证新运算是否满足交换律、结合律等 ⑤解新定义方程：将新定义代入，转化为常规方程求解 【例题12】.（25-26七年级下·广东广州·期中）【定义】用表示一个数对，其中a为任意数，．记，，将数对和称为数对的“开方对称数对”．例如：数对的开方对称数对为和． 【运用】 (1)直接写出数对的开方对称数对______； (2)若数对的一个开方对称数对是，求a，b的值； (3)若数对的一个开方对称数对是，求的值． 【答案】(1) (2) (3)24或 【分析】本题考查了立方根及算术平方根， （1）根据题意求出即可； （2）分情况讨论即可； （3）分情况讨论求出的值，再代入求值即可． 【详解】（1）解：由题意得， ∴数对的开方对称数对为； （2）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 此时无意义，故舍去； ②， 解得； 综上，； （3）解：数对的一个开方对称数对是， ①， 解得， ∴； ②， 解得； ∴； 综上，的值为24或． 【变式题12-1】.（25-26八年级上·广东汕头·阶段检测）阅读材料：一般地，若，则叫做以为底的对数，记作：．比如指数式可以转化为，对数式可以转化为．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：；理由如下：设，则，∴，由对数的定义得，∴． 解决问题： （1）将指数转化为对数式___________； （2）①___________，②___________，③___________； （3）证明：； 拓展运用： （4）计算：． 【答案】（1）；（2）①5，②3，③0；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，同底数幂的除法运算等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）根据定义计算即可； （2）①根据定义计算即可； ②根据定义计算即可； ③根据定义计算即可； （3）先设，从而可得，再根据对数的定义得出：，即可得出； （4）先由，得出，再化简小括号里的，可得出即可求解． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）①， 故答案为：5； ②， 故答案为：3； ③ 故答案为：0； （3）设， 则， 由对数的定义可得： 又∵， ∴； （4） ． 【变式题12-2】.（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）定义一种新运算：，即当，；当，． (1)当，时，________； (2)当，，时，请你求出的取值； (3)当，，时，请你求出的取值范围． 【答案】(1)0 (2) (3)或 【分析】（1）根据新定义求解即可； （2）（3）按和两种情况分类讨论，计算后验证结果是否满足对应情况的前提条件，最终得到正确结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ； （2）解：当时，即 解得， 此时， ∴ 解得，符合条件； 当时，即 解得， 此时， ∴ 解得，不满足条件，舍去； 综上，的取值为； （3）解：当时，即 解得， 此时， 令 解得，符合条件； 当时，即 解得， 此时， ∴所有都满足条件； 综上，的取值范围是或． 【变式题12-3】.（25-26八年级下·湖南长沙·开学考试）新定义：两边的平方和等于第三边平方的两倍的三角形叫做“骐骥三角形”．例如：某三角形三边长分别是2，4，，因为，所以这个三角形是“骐骥三角形”． (1)根据上述定义，判断以下三角形是否为“骐骥三角形”：（在题后相应的括号中，是打“√”，不是打“×”）； ①等边三角形（   ）；②等腰直角三角形（   ）； (2)若是“骐骥三角形”，，，， ①若，，则______；②若，求的值． (3)如图，在四边形中，，，若在四边形内存在点E使得，． ①求证：是“骐骥三角形”； ②当是直角三角形时，且，求线段的长． 【答案】(1)①√；②× (2)①；② (3)①证明见解析；②的长为或． 【分析】（1）①设等边三角形的边长为a，则两边平方和，第三边平方的两倍为：，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； ②设等腰三角形的腰长为b，底边长为c，则腰长的平方和为，底边长的平方为，再根据“骐骥三角形”的定义判断即可； （2）①分c为斜边和b为斜边，两种情况讨论，根据“骐骥三角形”的定义求解即可； ②由勾股定理得，再由是“骐骥三角形”， ，得到，进而求出，，则； （3）①由勾股定理得，，再由，，即可证明，则可证明是“骐骥三角形”； ②设，，则，，由（3）①得：，则；当时，由勾股定理得，当时，由勾股定理得，两种情况求出，再根据即可得到答案． 【详解】（1）解：①设等边三角形的边长为a， ∴两边平方和，第三边平方的两倍为：， ∵， ∴等边三角形一定是“骐骥三角形”； ②设等腰直角三角形的腰长为b，底边长为c， ∴腰长的平方和为，底边长的平方为， ∴， ∴等腰直角三角形不是“骐骥三角形”； （2）解：①若c为斜边， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴此情况不存在； 若b为斜边， ∴， ∵，， ∴，符合“骐骥三角形”的定义， 此时； ②∵是直角三角形，且， ∴， ∵是“骐骥三角形”，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是“骐骥三角形”； ②设，， ∴，， 由①得：， ∴ ∵为直角三角形，点E在四边形内部， ∴或， 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴ ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 易错点 1.混淆平方根与算术平方根的概念，求平方根时漏掉负根，或求算术平方根时加号。 2.忽略被开方数的非负性，认为负数也有平方根，或在中不考虑的条件。 3.混淆与的性质，前者为任意数，后者要求。 4.立方根与平方根混淆，认为负数没有立方根，或立方根也有两个。 5.无理数的判断错误，认为带根号的数都是无理数，或认为无限小数都是无理数。 6.实数分类时漏掉0，或分类标准不统一导致重复或遗漏。 7.实数运算时，符号处理错误，特别是去绝对值和开方时的符号。 8.无理数估算时，找错相邻的完全平方数或完全立方数，导致范围错误。 9.求小数部分时，用整数部分减无理数，导致小数部分为负，应该用无理数减整数部分。 10.近似数的精确度判断错误，特别是科学记数法或带单位的近似数。 11.利用平方根解方程时，只取正根，漏掉负根，导致丢解。 重点 1.平方根、算术平方根、立方根的概念与性质，以及它们的区别与联系。 2.无理数的概念与识别，实数的分类，实数与数轴的一一对应关系。 3.算术平方根的双重非负性及其应用，非负数的和为0的性质。 4.无理数的估算方法，求无理数的整数部分和小数部分。 5.实数的大小比较与混合运算，有理数的运算律在实数范围内的应用。 6.数学思想方法：数形结合思想、分类讨论思想、转化思想、从特殊到一般的思想。 难点 1.算术平方根双重非负性的灵活应用，特别是多个非负数和为0的综合题。 2.无理数的估算与大小比较，特别是两个无理数的比较，需要灵活选用方法。 3.实数与数轴、几何图形的综合应用，数形结合思想的运用。 4.新定义、新情境、跨学科等创新题型，需要阅读理解和知识迁移能力。 5.规律探究与数学文化问题，需要从特殊到一般的归纳推理能力和阅读理解能力。 6.实数运算中的符号处理和化简技巧，特别是含绝对值和根号的混合运算。 【对应练习题】 一、单选题 1．下列说法正确的是（     ） A．的平方根是 B．是分数 C．是无理数 D．无限小数是无理数 【答案】C 【分析】根据算术平方根的定义，平方根的定义，无理数与有理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、的平方根是，原说法错误，不符合题意； B、是无理数，而分数属于有理数，故不是分数，原说法错误，不符合题意； C、是无理数，原说法正确，符合题意； D、无限不循环小数是无理数，无限循环小数是有理数，原说法错误，不符合题意． 2．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据立方根性质，计算各选项即可判断正误． 【详解】解：选项A：，不符合题意； 选项B：，，符合题意； 选项C：，不符合题意； 选项D：，，不符合题意． 3．亩是中国传统土地面积单位，具有悠久的历史，1亩平方米．根据下列表格中的数据，面积为1亩的正方形土地，估计它的边长所在范围是（    ）米 x 25.79 25.80 25.81 25.82 25.83 x² 665.1241 665.6400 666.1561 666.6724 667.1889 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：面积为1亩的正方形面积约为平方米， 设正方形边长为，则正方形面积为， 由表格可知：当时，， 当时，， ∵， ∴， 即边长范围是． 二、填空题 4．如图，正方形的面积为3，点在数轴上，且表示的数为，以点为圆心，长为半径画弧，与数轴交于点（点在点的右侧，），则点所表示的数为__________． 【答案】/ 【详解】解：∵正方形的面积为3， ； ∵以A点为圆心，为半径，和数轴交于E点， ， ∵点在数轴上，且表示的数为 ∴点E所表示的数为． 5．对于完全平方数，其算术平方根能够直接算出，如；而非完全平方数的算术平方根无法直接笔算得出，借助计算器是可行的求解途径，如．除此之外，我们还能依托数字间存在的内在规律与关联，推导求出对应算术平方根．请你观察下表： … 0.2 2 20 200 … … 0.4472 1.414 4.472 ？ … 利用这一规律，计算________． 【答案】14.14 【分析】先观察表格中被开方数与对应算术平方根的变化规律，得到被开方数小数点向右移动两位，算术平方根小数点向右移动一位，结合即可求出的近似值． 【详解】解：观察表格数据可得： 当被开方数扩大为原来的倍时，其算术平方根扩大为原来的倍． ，， ． 6．若，则_______． 【答案】 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴，， ∴． 三、解答题 7．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先分别计算乘方、绝对值、立方根及算术平方根，再由有理数加减运算计算即可； （2）先去绝对值，再由实数加减运算法则计算即可； （3）由平方根定义，直接开平方得到一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， 直接开平方得， 或， 或． 8．已知一个正数x的两个平方根分别是和，的立方根是2． (1)求a，b的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1)a，b值分别为3，4 (2)的算术平方根为2 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数可得，求出，再根据立方根的定义得求出b； （2）根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得； ∵的立方根是2， ∴， 解得， 答：a，b值分别为3，4； （2）解：∵， ∴， 答：的算术平方根为2． 9．小甘同学学完《实数》这章知识后，类比平方根、立方根知识探究四次方根的内容，，． (1)尝试给四次方根下定义：定义：如果，那么这个数叫做的四次方根，记作． 探究性质： ①16的四次方根是__________； ②0的四次方根是__________； ③__________（填“存在”或“不存在”）； (2)巩固应用：计算：． 【答案】(1)①；②0；③不存在 (2) 【分析】（1）①根据四次方根即可求解；②根据四次方根即可求解；③根据四次方根的定义，即可获得答案； （2）首先根据立方根的定义、四次方根的定义及绝对值的性质进行计算，然后进行进一步运算即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴16的四次方根是； ②∵， ∴0的四次方根是0； ③∵， ∴不存在四次方根； （2）解：原式． 10．综合与实践：下面是小明学习了实数以后的感悟，请认真阅读，并完成相应的任务： 7是有理数，当一个正方形的面积为7时，它的边长是，而是无理数． 无理数是无限不循环小数，下面是小明确定的整数部分和小数部分的方法． ，，，， 的整数部分是2，小数部分是． (1)的整数部分是_________； (2)为的小数部分，为的整数部分，求的值； (3)已知，其中是一个正整数，，求的值． 【答案】(1)3； (2)1； (3)19 【分析】（1）根据阅读材料解答即可； （2）根据阅读材料分别求得a和b的值，然后代入计算即可； （3）根据，可知，结合题意可求得x和y的值，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的整数部分是3； （2）解：，，， ， 的小数部分是，即， ，，， ， 的整数部分是2，即， ； （3）解：由（2）得，， ∴， ∵，其中x是一个正整数，， ， ∴． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $