第三章 勾股定理（五大考点+六大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材苏科版八年级上册

第三章 勾股定理 知识点一 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【高分技巧】 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点二 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点三 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点四 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点五 勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 易错点1·分不清直角边、斜边，漏分类讨论 易错提醒 1.勾股定理只适用于直角三角形，斜边是最长边;题目没有指明斜边时，要分两种情况讨论。 2.公式:a2+ b2= c2，c一定是斜边，不能随便套公式。 【对点训练】1．若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【对点训练】2．若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【对点训练】3．在中，，，则的长为__________． 易错点2·勾股定理逆定理使用出错 易错提醒 1.判断直角三角形:必须用两条较短边的平方和，和最长边的平方比较。 2.逆定理不能随便选边验算，最长边对应的角才有可能是直角, 【对点训练】1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（） A．1，2，3 B．，， C．8，6，12 D．5，12，13 【对点训练】2．已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成求出三角形面积． 易错点3·三角形高的位置不唯一(高在形内、形外) 易错提醒 1.等腰、一般三角形，高可能在三角形外部，不要默认高都在内部。 2.高在外部时，底边线段是两条线段相减，不是相加。 【对点训练】1．在中，，是腰上的高，且，则__________． 【对点训练】2．已知，在中，，，边上的高，则边BC的长为__________． 易错点4·立体图形最短路径展开问题 易错提醒 1.圆柱、长方体求两点最短距离，需要先展开成平面直角三角形。 2.展开方式不止一种，要分别计算，再比较选出最短路径。 【对点训练】1．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与边平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是______米． 【对点训练】2．如图，长方体的底面长和宽都是，高为．若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______． 【对点训练】3．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（     ） A．10 B． C．9 D． 【对点训练】4．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所爬行的最短路程为________．（杯壁厚度不计） 易错点5·勾股数概念混淆 易错提醒 1.勾股数必须是正整数，满足两短边平方和等于最长边平方。 2.小数、分数即使满足等式，也不属于勾股数。 【对点训练】1．下列各组数是勾股数的是（     ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．5，12，15 【对点训练】2．选材新风向数学文化  清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．有下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，第⑥组勾股数为（     ） A．10，18，24 B．16，56，70 C．13，84，85 D．12，38，63 易错点6·折叠问题，找错等量边 易错提醒 1.折叠前后对应边相等、对应角相等，优先把相等线段标记出来。 2.常设未知数，在同一个直角三角形里列勾股方程求解, 【对点训练】1．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【对点训练】2．如图，在长方形中，，，点P是射线上的一点，直线l是长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在直线l上时，的长是______． 1．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 2．如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．5，11，12 3．在中，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 4．判断下列各组数，其中为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 6．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子外部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（    ） A．8 B．10 C．13 D． 7．如图，在中，，，点D在边上，E在边上，．当时，的长度是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在等边中，，作，使，，则的长为_________． 9．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 10．如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 11．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 12．如图，圆柱的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 勾股定理 知识点一 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如图：直角三角形ABC的两直角边长分别为，斜边长为，那么. 【高分技巧】 1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边； 2.用于解决带有平方关系的证明问题； 3.利用勾股定理，作出长为的线段 知识点二 勾股定理的证明 方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形. 　 图（1）中，所以. 　　　　　 　方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形. 　图（2）中，所以. 　　　　　　 方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. 　　　　　 　　　　 ，所以. 知识点三 勾股定理逆定理 1.定义：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形 （1） 首先确定最大边（如）. （2） 验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 知识点四 勾股数 像 15，8，17 这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数 。 勾股数满足两个条件：①满足勾股定理 ②三个正整数 知识点五 勾股定理应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．　本专题分类进行巩固解决以下生活实际问题 易错点1·分不清直角边、斜边，漏分类讨论 易错提醒 1.勾股定理只适用于直角三角形，斜边是最长边;题目没有指明斜边时，要分两种情况讨论。 2.公式:a2+ b2= c2，c一定是斜边，不能随便套公式。 【对点训练】1．若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题已知直角三角形的两边长，未明确是直角边还是斜边，因此需要分类讨论，利用勾股定理计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况一：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 情况二：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 综上，的值为或． 【对点训练】2．若直角三角形的两边长分别是5和4，则它的第三边边长是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：长为5的边是斜边和长为5的边是直角边，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：当长为5的边是斜边时，则第三边长； 当长为5的边是直角边时，则第三边长 ∴该直角三角形的第三边长为或． 【对点训练】3．在中，，，则的长为__________． 【答案】或 【详解】解：当为斜边时，和为直角边， ∵ 在中，，， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，和为直角边， ∴ 由勾股定理得：； 当为斜边时，，斜边长度小于直角边，此种情况不存在，舍去； 综上，的长为或． 易错点2·勾股定理逆定理使用出错 易错提醒 1.判断直角三角形:必须用两条较短边的平方和，和最长边的平方比较。 2.逆定理不能随便选边验算，最长边对应的角才有可能是直角, 【对点训练】1．下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是（） A．1，2，3 B．，， C．8，6，12 D．5，12，13 【答案】D 【分析】先通过三角形三边关系排除无法构成三角形的选项，再利用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形． 【详解】解：A．，无法构成三角形． B．，无法构成直角三角形． C．，无法构成直角三角形． D．，能构成直角三角形． 【对点训练】2．已知a，b，c满足． (1)求a，b，c的值； (2)试问以a，b，c为边长能否构成直角三角形？若能构成求出三角形面积． 【答案】(1)，， (2)能构成直角三角形，面积为 【分析】（1）几个非负数（平方、算术平方根、绝对值）之和为，则每一个都为，由此求出、、； （2）用勾股定理的逆定理判断直角三角形并求面积，注意最大边应为斜边． 【详解】（1）解：∵，，， 且， ∴，，， ∴，，． （2）解：∵，， ∴， ∴以，，为边长能构成直角三角形，其中为斜边， ∴． 易错点3·三角形高的位置不唯一(高在形内、形外) 易错提醒 1.等腰、一般三角形，高可能在三角形外部，不要默认高都在内部。 2.高在外部时，底边线段是两条线段相减，不是相加。 【对点训练】1．在中，，是腰上的高，且，则__________． 【答案】或 【分析】先根据三角形面积公式求出高的长度，再用勾股定理求出的长度，分高在三角形内部和外部两种情况计算． 【详解】解：∵是边上的高，，， ∴，可得， 解得， ∵ 是高，是直角三角形，， ∴ 由勾股定理得， 分两种情况讨论： 当高在内部时，如图， ； 当高在外部时，如图， ， 综上，的长度为或． 【对点训练】2．已知，在中，，，边上的高，则边BC的长为__________． 【答案】或 【分析】本题主要考查了勾股定理，根据题意，可能是锐角三角形或钝角三角形，分两种情况讨论，利用勾股定理分别计算和，再根据点D的位置求． 【详解】在中，，，，由勾股定理得：； 在中，，，，由勾股定理得：； 当为锐角三角形时，点D在上，， 当为钝角三角形时，且为钝角，点D在BC的延长线上，． 故答案为：或． 易错点4·立体图形最短路径展开问题 易错提醒 1.圆柱、长方体求两点最短距离，需要先展开成平面直角三角形。 2.展开方式不止一种，要分别计算，再比较选出最短路径。 【对点训练】1．如图，在一个长方形草坪上，嵌入一根长方体的木条，已知米，米，该木条的较长的棱长与边平行，露出地面部分的横截面是边长为1米的正方形，一只蚂蚁从点A爬过木条到达点C处需要走的最短路程是______米． 【答案】 【分析】将草坪表面展开，然后根据两点之间线段最短解答． 【详解】解：如图，将草坪展开，即为所求， 则（米），米， ∴（米）． 【对点训练】2．如图，长方体的底面长和宽都是，高为．若一只蚂蚁从顶点P开始经过4个侧面爬行一圈到达顶点Q，则蚂蚁爬行的最短路径长为_______． 【答案】 【分析】将长方体侧面展开，利用“两点之间，线段最短”确定最短路径为线段，构造直角三角形，利用勾股定理求解． 【详解】解：根据题意把长方体沿其侧面展开 由题意得，，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路径长为． 【对点训练】3．如图所示的是放在地面上的一个长方体盒子，其中．点M在棱上，且，N是的中点．一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，它需要爬行的最短路程为（     ） A．10 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】结合题意，分三种情况讨论，然后比较即可获得答案． 【详解】解：∵长方体盒子中，且，N是的中点， ∴，， 分三种情况讨论： ①如图1， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：； ②如图2，过点作于点，则， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：； ③如图3， ∵在直角三角形中，， ∴由勾股定理得：． ∵， ∴蚂蚁沿长方体表面从点爬行到点的最短距离为10． 【对点训练】4．如图，圆柱形玻璃杯的杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点A处有一滴蜂蜜．此时，一只蚂蚁正好在杯外壁上，它在离杯上沿，且与蜂蜜相对的点B处，则蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所爬行的最短路程为________．（杯壁厚度不计） 【答案】 【分析】先将圆柱侧面展开，根据点A、点B正好相对，即二者水平距离为底面周长的一半，蚂蚁在外壁，因此需要先越过杯沿才能进入到杯内壁吃蜂蜜，即展开后蚂蚁需先到达上沿所在的直线，再爬向点A，问题类似“将军饮马”，此时作点B关于杯沿（展开后的）所在直线的对称点C，连接，过点A作，交所在直线于点D，在中，利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点B关于杯沿（展开后的）所在直线的对称点C，连接，过点A作，交所在直线于点D，如图， 根据点A、点B正好相对，即二者水平距离为底面圆周长的一半，即， 根据题意有：，，， 根据对称有：， ∴， ∴在中，， 即：蚂蚁从外壁点B处到内壁点A处所爬行的最短路程为． 易错点5·勾股数概念混淆 易错提醒 1.勾股数必须是正整数，满足两短边平方和等于最长边平方。 2.小数、分数即使满足等式，也不属于勾股数。 【对点训练】1．下列各组数是勾股数的是（     ） A．2，3，5 B．，2， C．8，15，17 D．5，12，15 【答案】C 【分析】先排除非正整数选项，再验证两小边平方和是否等于最长边平方． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不是正整数，不符合题意； C、，且均为正整数，符合题意； D、，不符合题意． 【对点训练】2．选材新风向数学文化  清代数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．该法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．有下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…．根据上述规律，第⑥组勾股数为（     ） A．10，18，24 B．16，56，70 C．13，84，85 D．12，38，63 【答案】C 【分析】归纳已知勾股数的数字规律，结合勾股定理列方程求解． 【详解】解：∵ 第①至④组勾股数的第一个数依次为3，5，7，9，是从3开始的连续奇数， ∴ 第组勾股数的第一个数为， ∴ 第⑥组第一个数为． ∵ 每组勾股数的后两个数相差1，且第三个数最大， ∴ 设第⑥组第二个数为，第三个数为， 由勾股定理得 ， 即 ， 化简得 ， 解得 ， ∴ ， 即第⑥组勾股数为13，84，85． 易错点6·折叠问题，找错等量边 易错提醒 1.折叠前后对应边相等、对应角相等，优先把相等线段标记出来。 2.常设未知数，在同一个直角三角形里列勾股方程求解, 【对点训练】1．如图，长方形中，点在边上，将一边折叠，使点恰好落在边的点处，折痕为．若，，则的长是（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】设，在中，由勾股定理建立方程求解即可 【详解】解：设， 则， 由折叠的性质可得：， ∵四边形是长方形， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得， 即的长为． 【对点训练】2．如图，在长方形中，，，点P是射线上的一点，直线l是长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在直线l上时，的长是______． 【答案】5或20 【分析】根据折叠的性质可知，，设对称轴l与，的交点分别为点E，F，则，，分两种情况讨论：当点P在线段上时，点落在l上或当点P在线段的延长线上时，点落在l上，画出图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知，， 设对称轴l与，的交点分别为点E，F， 则，， 分两种情况讨论： 当点P在线段上时，点落在l上，如图①， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， 即： 解得，及 当点P在线段的延长线上时，点落在l上，如解图②， 在中，， 则， 设，则，， 在中，， 解得，及， 综上所述，的长为5和20． 1．在中，，若两边长为5和13，则第三边的长为 _____． 【答案】12或 【分析】根据直角三角形的性质，分为13为斜边和13为直角边两种情况，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据题意，当13为斜边时，第三边为， 当13为直角边时，第三边为， 故第三边的长为12或． 2．如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．5，11，12 【答案】A 【分析】先确定每组数中的最长边，验证两较短边的平方和与最长边的平方是否相等，即可判断能否组成直角三角形. 【详解】解：A选项：∵最长边为，，∴能组成直角三角形； B选项：∵最长边为，，∴不能组成直角三角形； C选项：∵最长边为25，，∴不能组成直角三角形； D选项：∵最长边为12，，∴不能组成直角三角形. 3．在中，，，，则下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】A 【分析】根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴最长边所对的为直角，即． 4．判断下列各组数，其中为勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】勾股数就是能构成直角三角形三边的三个正整数‌，它们要同时满足“是正整数”和“符合勾股定理”这两个条件． 【详解】解：A、，，均为小数，均不是正整数，不是勾股数； B、，且，，均为正整数，是勾股数； C、，，，不是勾股数； D、，，均为分数，均不是正整数，不是勾股数． 5．如图，在中，，，，为上一点，将沿折叠使点落在点处，则线段的长是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，得，，利用勾股定理，解答即可． 【详解】解：，，， ， 根据折叠的性质，得，，， ，， 根据勾股定理，得， 解得． 6．如图是一个无盖的长方体形盒子，长为，宽为，高为，点M在棱上，并且．一只蚂蚁在盒子外部，想从盒底的点爬到盒顶的点，则蚂蚁要爬行的最短路程是（    ） A．8 B．10 C．13 D． 【答案】B 【分析】将长方体不同侧面展开，分别用勾股定理计算路径长度，比较后得出最短距离即可． 【详解】解：将“点所在的面”与“顶点所在的面” 展开成平面， 情况1：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此时蚂蚁要爬行的最短路程是； 情况2：如图， 由题意得，， ∴， ∴， ∴此时蚂蚁要爬行的最短路程是； ∵， ∴蚂蚁要爬行的最短路程是． 7．如图，在中，，，点D在边上，E在边上，．当时，的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理和等边对等角求得，，再根据三角形的外角性质得到，然后证明得到，，进而可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，， ∵，， ∴，又， ∴， ∴，， ∴． 8．如图，在等边中，，作，使，，则的长为_________． 【答案】4或 【分析】分“点D在上方”和“点D在下方”两种情况进行分类讨论，通过构造直角三角形利用勾股定理求解． 【详解】解∶过点A作，垂足为E， ． 是等边三角形， ， ． ． ． 当在上方时，如图 ∴． ． 当在下方时，如图 ∴． ．． 或． 9．如图，在长方形纸片中，点为边上一点，将长方形纸片沿过点的直线折叠，使点落在边上的点处，点落在点处，折痕交于点．若，，，则线段的长为__________． 【答案】 【分析】由折叠的性质得出，，，，，由勾股定理求出，进而得出，证明，由全等三角形的性质得出，， 由线段的和差关系得出，，设，则， 由勾股定理得出，代入求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可知：，，，，， ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 即． 10．如图，直角三角形两直角边长分别为5和12，以直角三角形的三边为直径作半圆，则图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为________． 【答案】30 【分析】由图形的构成可得图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和为以为直径的半圆面积加上以为直径的半圆面积加上的面积，再减去以为直径的半圆面积． 【详解】解：在中，，， 由勾股定理得：， ∴图中两个月牙形图案（阴影部分）的面积之和 ． 11．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 12．如图，圆柱的底面圆的半径为，高为，一只蚂蚁从点A出发沿着圆柱的侧面爬行到点C，则蚂蚁爬行的最短路程为________． 【答案】25 【分析】将圆柱的侧面展开，得到一个长方体，再然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】解：圆柱展开图如下， 由题意可知，，， 由勾股定理可得：， ∴爬行的最短路程为． 4 / 17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $