天津市南开中学滨海生态城学校2026-2027学年高二年级上学期第一次限时训练数学学科试卷

天津市南开中学滨海生态城学校2026-2027学年（上) 高二年级第一次限时训练数学学科试卷 注意事项 本试卷分为第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时100 分钟。第I卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。祝各位考生考试顺利！ 第I卷 本卷共12题，每题5分，共60分。在每题列出的四个选项中，只有一项最符合 题目要求。 一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分） 1.已知直线x+my-3=0的倾斜角为30°，则实数m的值为() A.-5 B.3 c. D.5 3 3 2 2.图中的直线4，，的斜率分别为，k2,飞3，则有（) A.店<k2<k B. C.k<ks<k D.飞<k<k2 3.直线4的倾斜角为120°，2的一个方向向量为1，)，若411，，则k=() A.3 B.3 C.5 D.5 3 3 4.在空间直角坐标系Oyz中，若点M（a,b+3,2c+1)关于y轴的一个对称点M'的坐标 为(-4，-2,15)，则a+b+c的值（) A.10 B.-17 C.-9 D.2 5.直线：(a+1)x+y-1=0,2:2x+y+a-2=0,则“a=1”是“4川2”的（ A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 6.己知空间内三点A(1,1,2),B(-1,2,0),C(0,3,1),则点A到直线BC的距离是() A.6 B.1 C.4v6 D.25 3 3 7.设xy∈R,向量a=(x1,),6=(L,y,,=(2,4,2)且ā16,6∥c,则a+b=（) A.22 B.3 ℃.√1o D.4 8.若两条直线y=c+2k+1和2x+y-4=0的交点在第四象限，则k的取值范围是() A2<< Bk<0 C.4<k<-2 D.k>-2 9.设空间向量g=(1,1,0)，马2=(2,4,2)，只=(2,3，).若g、马2、乌不能构成空间的-个 基底，则实数兄=() A.0 B.√2 C.2 D.1 10.若点(a,b)关于直线y=2x的对称点在y轴上，则a,b满足的条件为() A.4a-3b=0 B.3g-4b=0 C.2a-3b=0 D.3a-2b=0 11.已知点P是棱长为2的正方体ABCD-ABC,D的底面ABCD上一点，则PA·PC的最 小值为() A B.0 C.-2 D.-1 12.已知直四棱柱ABCD-4BCD的棱长均为2，∠ABC=120°，设棱AD,BC的中点分 别为M,N,若菱形ABCD内（含边界）的动点P满足PM.PN=0,则点P的运动轨迹的 长度为() A. 2x 3 B.√5 C. 4元 3 D.V5+1 第Ⅱ卷 本卷共12题，共90分。 二、填空题（共8小题，每小题5分，共40分） 13.已知点A(1,2,3),B(2,4,3),C(3,y)三点共线，则x+y=」 14.经过点A(1,2),且到点P(0,4)距离为2的直线方程为 15.已知向量a=(-1,0,1),b=（-2,1,1),则a在6方向上的投影向量的坐标为 16.已知直线4：x+(m+1)y+m-2=0,2:2mx+4y+16=0平行，则这两条平行直线之间 的距离为 17、如图，在直三棱柱ABC-ABG中，AB⊥AC,D=2DC,则正确的是 C ①向量D在向量AA上的投影向量为AA B ②向量而在向量4G上的投影向量为子4G ③AD与B的夹角为钝角 B 18.过点P(2,)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A、B两点，则使亚.PB的值最小时 直线1的方程为 19.对于两个空间向量ā=(：，，)与方=(x2,2,2),我们定义它们之间的曼哈顿距离为 D d(ā，6)=k-x+y-y2+名-z如图，在棱长为1的正方体 ABCD-AB,CD,中，点P是底面ABCD内（含边界)的动点，且 D,P=√，则d(Da,PD)的最大值是 20.四面体BCD中，已知亚=孤0=号C孤=}D,若点K为aBCD的重心， A丞=x亚+yO+zAR,则x+y+z=三棱锥K-POR与三棱锥A-PDR的体积比等于一 三、解答题（共4小题，共50分） 21.(12分)如图，在四面体OABC中：∠A0B=60°，∠AOC=∠B0C=120°， OA=OB=OC=l,M是四面体OABC的棱BC的中点，点N在线段OM上，点P在线段 4v上，且N=oNAP=号aN. (1)求4COB； (2)设OA=a,OB=五，OC=c· ①用向量a五，c表示Od; ②求o丽的值. 22.（12分)已知在△ABC中，AB边上的高所在的直线方程为x+y=0,AC边上的高所在 的直线方程为2x-3y+1=0,点A的坐标为(12 (1)求垂心H的坐标： (2)求BC所在的直线方程， 23.(13分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB,AB/1DC, AD=DC=AP=2,MB=1,点E为棱PC的中点. D ⊙ (1)证明：直线BE∥平面PAD; (2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值； (3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC,求二面角F-AB-P的余弦值. 24.(13分)如图，菱形ABCD的边长为4，∠BAD=60°，E为AB的中点将△DE沿DE折 起，使A到达∥，连接B,AC,得到四棱锥-BCDE (1)证明：DE⊥A'B; (2)若△A'BE为等边三角形，求直线A'C与直线DE所成角的余弦值： (间当二面角《-D8-B的平面角在[行内变化时，求直线4C与平面4DE所成角的正 弦值的最大值.天津市南开中学滨海生态城学校2026-2027学年（上) 高二年级第一次限时训练数学学科参考答案 一、选择题 1.A 【详解】解：直线x+my-3=0的倾斜角为30，÷tan30=-,则实数m=-V5. 故选A. 【点睛】本题考查了斜率与倾斜角的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题 2.C 【详解】由图象可得，k<0<k<k2, 故选：C 3.B 【详解】直线的斜率k=tan120°=-V3,直线l2的斜率k2=k, 由4⊥l2,得-V3k=-1, 故k= 3 故选：B. 4.C 【详解】M(a,+3,2c+1)关于y轴的一个对称点M应为M(-a,b+3,-2c-1), 所以： -=-4,解得a=4; b+3=-2,解得b=-5: -2c-1=15,解得c=-8: 所以ab+c的值为-9， 故选：C. 5.D 【详解】当4l,时，a(a+l)-2=0,解得a=-2或a=1, a=-2时，：-x+y-1=0,1:2x-2y-4=0,此时41l2, a=1时，1：2x+y-1=0,12:2x+y-1=0,此时4，l2重合， 所以若L儿2，则a=-2, 故“a=1”是“(l2”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 6.A 【详解】空间内三点A(1,1,2),B(-1,2,0),C(0,3,1), 所以AB-3,BC=V5,BC=1,1,BA=(2,-1,2), 由cOs∠ABC= BA.BC 3 BBC3xN5=3,所以sin∠ABC=-eos2乙ABc- 3 所以点A到直线BC的距离a=HB,sin∠ABC=3x6-N6. 3 故选：A. 7.B 【详解】向量à=(x,l,1),b=(1,y,1),c=(2,4,2),且ā⊥b,b11c, a.b=x+y+1=0 x=1 .1 y 2=4 ,解得y=-2 .a+b=(x+1,1+y,2)=(2,-1,2), ā+b=V4+1+4=3, 故选：B 8.A [3-2k y=c+2k+1 X k+2 【详解】联立 2x+y-4=0’可解得 8k+2 y= k+2 3-2k 20 因为交点在第四象限，所以 k+2 8k+2 解得-2<k<-} k+2 <0 故选：A. 9.c 【详解】由题意可知，e、e、C共面， 设e2=me+ne(m,neR),即(2,4，)=m1,1,0)+n(2,3,1), m+2n=2 m=-2 即m+3n=4,解得{n=2. n=A 2=2 故选：C 10.B 【详解】因为点(a,b)关于直线y=2x的对称点在y轴上， 设点(a,b)关于直线y=2x的对称点为(0，)， b-1x2=-1 则有 a-0 ,解得3a-4b=0. +l-2xa+0 2 2 故选：B. 11.c 【详解】以点D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴， 以DD所在的直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示： 则点A(2,0,0),C(0,2,2),设点P的坐标为(x,y,0),由题意可得0≤x≤2,0≤y≤2， .PA=(2-x,-y,0),PC=(-x,2-y,2), PAPC1=-x(2-x)-y(2-y)+0=x2-2x+y2-2y=(x-12+(y-1)-2 由二次函数的性质可得，当x=y=1时，PA·PC取得最小值-2， 故选：C. ZA D C A 心 D …p B 12.A 【详解】由PM.PW=0,知∠MPN=90°，所以点P在以MN为直径的球与底面ABCD的交线上. 以B为坐标原点，平面ABCD内垂直于BC方向，BC方向，BB方向分别为x,y,z轴建立空间直角坐 标系， B M D C Yx 则N(0l,0),MN3,0,2,故球的直径MN长为2√2， 球心为MN的中点 因为球心到底面ABCD的距离为1， 所以底面ABCD截球所得圆的半径为r=, 2-P=1,圆心为 则P在以BD为直径的圆与菱形ABCD的交线上， 如图，由平面几何关系得，菱形ABCD中∠ABC=120°，则∠ABD=∠BDC=∠BCD=60°， B E G D 实际交线为劣弧EF和劣弧G丑， 易知aBMF和△DME为等边三角形，劣弧EF和劣弧G丑相等， 则∠EMF=∠GMH=60°， 2π 故P的运动轨迹长为x2= 3 故选：A 二、填空题 13.9 【详解】因为A,B.C三点共线，所以设AB=1AC,且AB=(,2,0),AC=(2,x-2,y-3),则有： 1=2元 1 -2 2=(x-2),解得： x=6,所以x+y=9 0=(y-3) y=3 14.y=2或4x-3y+2=0 【详解】由于点P0,4)到所求直线的距离为2，可得2=2- V1+k2 整理得3沙-=0，解得太=0或太-专 综上所述，所求直线的方程为y=2或4x-3y+2=0. 故答案为：y=2或4x-3y+2=0 【详解】由题意向量ā=(-1,0,1)，b=(-2,1,1) 则在方向上的投影向量的坐标为 以明--品4a- 故答案为： 16.95 5 【详解】已知两直线平行， 则1×4-2m×(m+1)=0,解得m=-2或1， 当m=一2时，两直线方程相同，舍去， 当m=1时，1：x+2y-1=0,Z2:x+2y+8=0, 则两直线间距离为 -1-89√5 1+225 故答案为： 9V5 5 17.①② 18.x+y-3=0 【详解】如图所示：设∠BAO=0,0°<0<90°， B n'IPBE-2 IP4=-1 cose 2 4 .AP.PB=PA.PB=- nθ.cosθsin2θ 20=90°，即0=45°时，|PA|PB|取最小值， 此时，直线的倾斜角为135°，斜率为-1， 直线的方程为y-1=-1(x-2),即x+y-3=0. 故答案为：x+y-3=0. 19.V2+2 【详解】如图，以D为原点建立空间直角坐标系设P(x,y,0),x,y∈[0，， D(0,0,0),B=(1,1,1),D(0,0,), Z D B DB=(L,1,1),PD=（-x,-y,1), B 由D,=V2可知，2+y2+1=√2，整理为x2+y2=1, dDB,PD)=|1+x+1+y+l-1=x+y+2, 因为x2+y2=(x+y2-2y=12(x+y}2-(x2+y2）,得(x+y)2≤2， 且(x+y)}≥2y+1≥1，所以1≤x+y≤V2, 所以x+y的最大值为2，当x=y=2时等号成立， 2 所以dDB,PD)的最大值为V2+2 20.32 三、解答题 21. 【详解】(1)由题意可知：AC=0C-OA,因为∠AOB=60°，∠B0C=120°，OA=OB=OC=1, 所以AC.0B=(OC-OAOB=0C.0B-OA.OB=0 COB cos∠B0C-0OB cos.∠A0B -Ixbx-2)-lxlx-- (2)由题可得：因为M是BC的中点，所以OM=)(OB+0C), 且woN,所以oN-号ow,又因为4P-号N, 所以or-0i+-0i+号N=01+号o丽-0网-0i+oN -oi+号ow-oi+号*xo5+oc-oi+o丽+oc 0 3 92 9 0 根据题意即：0妒=a+2方+2：. 3 99 8划a6-行证=-所=片 81 81 27 27 81 81 所以0o网-西 22. 【详解】(1)如图所示：设△ABC的边AB上的高为CD,边AC上的高为BE, 设CD:x+y=0,BE:2x-3y+1=0,联立得 x+y=0 2x-3y+1=01 ts、1 解5 y=. 5 2 5 (2)= 12 5 由三条高线交于一点可得：MH上BC,所以kc三 因为AC⊥BE,设AC所在直线方程为3x+2y+m=0,代入A1,2)解得：m=-7, 所以AC所在直线方程：3x+2y-7=0,联立直线AC与CD的方程， 3x+2y-7=0 可得 x+y=0 x=7 解得 7·所以C7,-列，所以BC所在直线方程：y+7=(x-7), 整理后可得：2x+3y+7=0. +y0A2x-3y+1=0 O 23. 【详解】 (1)取PD的中点M,连接AM,EM 因为E是PC的中点，所以在△PDC中，EMIDC且EM=DC=1 又因为ABIIDC且AB=1,所以EMIAB且EM=AB 因此四边形ABEM是平行四边形，所以BE‖AM 又因为AMC平面PAD,BE丈平面PAD, 所以直线BE‖平面PAD n·BD=0 (2)向量BD=(-1,2,0),PB=(L,0,-2),设%=（x,y,z)为平面PBD的法向量，则 .PB=0即 -x+2y=0 x-2z=0, 不妨令z=1,可得n=(2,l1)为平面PBD的一个法向量. 于是有cos(m,B面=，nxBE 2V3 lxBE1√6x√2-3？ 直线BE与平面PBD所成角的正弦值为 3 (3)CP=(-2,-2,2),AC=(2,2,0),AB=L,0,0), 由点F在棱PC上，故BF=BC+CF=BC+lCP=I-2L,2-2L,2, 由B那14C,得20-20+22-20-0，解得1-}即F-（222) 113Y n·AB=0 x=0 设n=(x,y,z)为平面ABF的法向量，则 2x+2+2=0不妨令2=1，可得 即1,13。 n·BF=0 2 n=(0,-3,1)为平面ABF的一个法向量.取平面PAB的法向量n,=(0,1,0),则 cosm,n2= hn2_-33√10 m010· 所以，二面角F-AB-P是锐角，其余弦值为30 10 24【详解】 (1)证明：在菱形ABCD中，E为AB的中点，∠BAD=60°， ∴△ABD是等边三角形，∴DE L AB, 在翻折过程中，恒有DE⊥A'E,DE⊥BE, 又AE∩BE=E,A'E,BEC平面ABE, DE⊥平面ABE,A'BC平面ABE, DE⊥AB: (2)因为△A'BE为等边三角形，∠A'EB=60°，且A'E=2,故A'(2cos60°，0,2sin60)即(1,0，V3) 所以 A'C=(3,23,-V3),ED=(0,2W3,0). 设直线AC与DE所成角为日，则 A'C.ED 2√3V2 c0s0= A'C·ED1 2W6.2V5-2 故直线A'C与直线DE所成角的余弦值为三 2 (3)由题意及(1)得， ∠'EB为二面角'-DE-B的平面角，记其为B,则B∈ π3π 4’4 以EB的方向为x轴的正方向，ED的方向为y轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则 B yE(0,0,0),A(2cos0,0,2sin0),D(0,23,0,C(4,2V3,0）: C EA=(2cos0,0,2sin0),ED=(0,2W3,0, [2xcos0+2zsin0=0, 设平面4'DE的法向量i=(x,y,z),则EA.n=ED·n=0,得 12√5y=0, x=sin0,=(sin0,0,-cos0),4'C=(4-2cos0,2 3,-2sin0), 则cosA'c,i= A'C.n 4sin0 sine 1 4C32-16c0s0 2-cos0 2-c0s0, V1-cos20 2 cosA'C,n= t {小4s-2-8-1 V-3+4t-t2 -+jr4 当且仅当1=3时，等号成立 设直线AC与平面'DE所成角为Ca, 则sina=cos4'C,i,“v5 2-2 2 故直线A'C与平面A'DE所成角的正弦值的最大值为V3-1.