精品解析：河北承德市第一中学2026-2027学年上学期高一9月份月考数学试卷

河北省承德第一中学 2026-2027学年上学期高一数学9月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据自然数集的定义写出集合中的全部元素，再解绝对值不等式求出集合的取值范围，最后找出两个集合中的公共元素，即可求出交集. 【详解】， ， ， ， ， 即， . 2. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由的解集为知，且、是方程的两根， 所以，，即，． 则不等式即为， 代入得，因为，所以，解得， 则不等式的解集为. 3. 已知集合，，若，则实数不可能取（　　） A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】集合，而， 当时，，满足，因此； 当时，，由，得或，因此或， 所以实数可能取，不能取2. 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A选项，，若，则，故A错误； 对于B选项，因为，在，两边同时乘，则；在，两边同时乘，则，所以，故B正确； 对于C选项，令，，则，故C错误； 对于D选项，令，，则，故D错误. 5. 若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用“乘 1 法”把 化为 ，再用基本不等式求解即可． 【详解】因为 ，，且 ， 所以． 当且仅当 ，即 时取等号，即 ，，等号成立． 故 的最小值为 ． 6. 已知实数a，b满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】设，，展开可得：. 由等式两边同类项系数相等，得方程组： ，解得. 因此. 由，根据不等式的基本性质，不等式两边同乘2，得. 又，根据同向不等式相加的性质，得， 整理得. 故的取值范围是. 7. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对条件等式变形得到，结合柯西不等式求出代数式的最小值，再根据恒成立原理列不等式求解． 【详解】因为，为正实数，所以由得，即， 所以， 当且仅当，且，即，时，等号成立， 所以，即， 因为对满足的所有正实数，都成立， 所以，即，整理得， 解得，所以正数的最大值为． 8. 已知表示不超过的最大整数，例如 ，，，集合 ，，且，则集合 的真子集个数为（　　） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】 即，先化简，再由确定，最后数元素个数． 【详解】． 由得，即，． ∵ 方程的两根之和为 ，∴ 该方程不可能同时以为根． ∴ 中必有一个是的根，另一个是的根． 若分别是，的根， 则，，此时，共4个元素； 若分别是，的根， 则，，此时，共4个元素； ∴ 集合有 4 个元素，其真子集个数为 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. “”是“或”的充分不必要条件，则实数的值.可以是（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】AD 【解析】 【分析】利用充要关系转换为集合的真包含关系，再求参数的范围即可. 【详解】由“”是“或”的充分不必要条件， 则是的真子集， 所以有或，即或 即AD正确，BC错误. 故选：AD 10. 使得成立的充分不必要条件是（ ） A. m3 B. m<3 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先求出集合包含关系成立的充要条件为，再根据充分不必要条件对应集合是充要条件对应集合的真子集，逐项判断即可. 【详解】 首先求解的充要条件， 分两种情况讨论： 当左边集合为空集时，满足，解得，此时包含关系显然成立； 当左边集合非空时，需满足，解得；综上，包含关系成立的充要条件是，对应集合为， 充分不必要条件对应的集合是的真子集， 选项A：对应集合就是，属于充要条件，不符合要求，错误； 选项B：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确； 选项C：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确； 选项D：对应集合为，是的真子集，满足充分不必要要求，正确. 11. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“，”的否定是“，” B. 集合 与集合 是同一个集合 C. 集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D. ，则 的子集个数为 【答案】AD 【解析】 【详解】逐项判断：A 考查存在量词命题的否定，B 考查集合元素的属性，C 注意 的情形，D 先求 的元素个数． 【解答】对于A项：存在量词命题的否定是全称命题，， 的否定为 ，，故A正确； 对于B项：是数集， 是点集，二者不是同一个集合，故B错误； 对于C项：由 得 ．当 时 ，符合；当 时 ，由 或 得 或 ， 所以 的取值集合是 ，故C错误； 对于D项：由 且 得 ，即 ，所以 ，其子集个数为 ，故D正确． 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【详解】不等式的解集为， 因为不等式成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 当时为，此时是不等式成立的充要条件， 所以的取值范围为. 13. 若 ，，且 恒成立，则满足条件的的值组成的集合是______. 【答案】 【解析】 【分析】令，，求得的最小值，再把恒成立转化为关于 的不等式进行求解． 【详解】令，，则， 等价于， 即， 又 当且仅当（即 ）时取等号． 要使不等式对任意恒成立， 只需． 由，得， 即： 又，所以． 14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】将转化为，分和两种情况列不等式求解后合并取值范围. 【详解】由集合运算的性质可知，等价于，分两种情况讨论： 当时，满足，此时区间左端点大于右端点，即，解得； 当时，需同时满足区间有意义和子集的条件，即：  故此时的取值范围为， 将两种情况的取值范围合并，可得实数的取值范围是. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合 ，集合 ． （1）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）“，”即，需分类讨论为空集与非空集，再列不等式求解即可； （2）“，”即，需先保证非空，再列不等式求解即可. 【小问1详解】 “，”即； ①当，即时，，符合题意； ②当时，，由得且， 即，与矛盾，无解. 综上所述，实数的取值范围为； 【小问2详解】 “，”即； ①当，即时，，不符合题意； ②当时，，由得且，即. 综上所述，实数的取值范围为． 16. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设总造价为（单位：元），长为（单位：）． （1）用表示的长度，并求的取值范围； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值． 【答案】（1）， （2）时最小，最小值为元 【解析】 【分析】（1）以十字形总面积为等量关系，通过“双矩形面积减重叠正方形面积”的模型求解矩形边长，进而表示出的长度，再由长度为正确定的取值范围； （2）按三类区域拆分造价并求和得到总造价函数，化简后利用基本不等式求解最小值，同时验证等号成立条件在定义域内. 【小问1详解】 设矩形的宽（即）为，由两个矩形构成面积为的十字形（重叠部分为边长为的正方形）得，所以， 于是． 由得，又，所以． 【小问2详解】 正方形的面积为；四个矩形（阴影）的面积和为； 四个三角形的面积为 ， 所以 ， 由基本不等式， 当且仅当，即时取等号， 所以当时最小，最小值为 （元）． 17. 已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”． （1）已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，化简、，然后根据为假命题，为真命题，列出不等式，即可得到结果. （2）先根据条件化简、得到，然后根据是的充分不必要条件，列出不等式，即可得到结果. 【小问1详解】 当时，由， 得，即：若为真命题，则； 若为真命题，即恒成立， 则当时，满足题意； 当时，，解得， 故． 故若为假命题，为真命题， 则，解得， 即实数的取值范围为． 【小问2详解】 对于，且． 对于，，则：或． 因为是的充分不必要条件， 所以，解得． 故的取值范围是. 18. 设函数. （1）若时，，求的最小值； （2）若，的解集为，求实数的取值范围. （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3）当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由已知得出，利用“乘1法”结合基本不等式求解； （2）将解集为转化为恒大于的问题，结合判别式求解； （3）代入，将不等式因式分解，按参数的符号及两根大小分类讨论求解. 【小问1详解】 由题意，即. 因为，所以. . 当且仅当且，即时等号成立. 故的最小值为. 【小问2详解】 即的解集为， 等价于不等式的解集为. 由，代入得在上恒成立. 因为，所以需满足，解得. 故实数的取值范围为. 【小问3详解】 若，则，得，即. ①当时，，解得，解集为； ②当时，方程的两根为，且.开口向下，解集为； ③当时，开口向上： 若，即，解集为； 若，即，解集为； 若，即，解集为. 综上所得，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 19. 已知函数，． （1）若a为负数，且关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求a的取值范围 （2）求关于x的不等式yx的解集； （3）若且方程有两个正实数根，，求的最小值． 【答案】（1）； （2）时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． （3）． 【解析】 【分析】（1）通过因式分解解出的解集，通过题干条件有3个整数解确定a的范围； （2）通过讨论a的取值范围确定不等式的解集； （3）根据韦达定理计算出两根和与两根积，根据题干所给正根建立不等式，利用基本不等式求得所得式子的最小值． 【小问1详解】 由； 因为a为负数，故图象开口向下； 故，即，解得； 因为解集中恰有3个整数，由范围可得整数为； 故，解得； 综上a的取值范围为； 【小问2详解】 ，即； ①当时，恒成立，解集为； ②当时，； i）当时，即，解得时， 不等式的解集为； ii）当时，即时，恒成立，解集为； ③当时，必有， 故不等式的解集为； 综上：时，解集为； 时，解集为； 时，解集为． 【小问3详解】 由可得，，即； ， 因为方程有两个正根，，则，；解得； 因为， 由； 因为，故，故， 当且仅当时，即时，等号成立； 故的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德第一中学 2026-2027学年上学期高一数学9月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知集合，集合，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若不等式的解集为，则不等式的解集为（　　） A. B. C. D. 3. 已知集合，，若，则实数不可能取（　　） A. 0 B. 1 C. D. 2 4. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 若 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A. B. C. D. 6. 已知实数a，b满足，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知不等式对满足的所有正实数，都成立，则正数的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知表示不超过的最大整数，例如 ，，，集合 ，，且，则集合 的真子集个数为（　　） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. “”是“或”的充分不必要条件，则实数的值.可以是（ ） A. B. C. 1 D. 4 10. 使得成立的充分不必要条件是（ ） A. m3 B. m<3 C. D. 11. 下列说法正确的是（　　） A. 命题“，”的否定是“，” B. 集合 与集合 是同一个集合 C. 集合 ，，若 ，则符合条件的实数 的取值集合是 D. ，则 的子集个数为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围为________． 13. 若 ，，且 恒成立，则满足条件的的值组成的集合是______. 14. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合 ，集合 ． （1）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围； （2）若命题“，”是真命题，求实数的取值范围． 16. 如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为的十字形地域，计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设总造价为（单位：元），长为（单位：）． （1）用表示的长度，并求的取值范围； （2）当为何值时，最小？并求出这个最小值． 17. 已知命题：“实数满足”，命题：“，都有意义”． （1）已知，为假命题，为真命题，求实数的取值范围； （2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． 18. 设函数. （1）若时，，求的最小值； （2）若，的解集为，求实数的取值范围. （3）若，求不等式的解集. 19. 已知函数，． （1）若a为负数，且关于x的不等式的解集中恰有3个整数，求a的取值范围 （2）求关于x的不等式yx的解集； （3）若且方程有两个正实数根，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $