精品解析：河北省承德市第二中学2026-2027学年高一上学期9月份月考数学试卷

河北省承德市第二中学 2026-2027学年上学期高一数学9月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 2. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 3. 集合的非空真子集个数为（　　） A. 5 B. 6 C. 14 D. 15 4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 8. 已知关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：，的否定是：. B. 命题：存在的否定是：任意 C. 是的充分不必要条件. D. 已知集合，则 11. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 集合可能只有一个元素 B. 集合的非空真子集个数个 C. ， D. ， 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知集合，则的真子集的个数为_______ 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 14. 若，，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合， （1）若求，； （2）若，求实数的取值范围． 16. 设集合． （1）若，求实数的值； （2）若集合中有两个元素，求；（用表示） （3）若，求实数的取值范围． 17. （1）已知 ，，且 ，求的最大值； （2）若正数 、 满足 ，求的最小值； （3）若 ，求 的最大值． 18. 已知不等式的解集为． （1）求，的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 19. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围; （3）命题“，使得”为真命题，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省承德市第二中学 2026-2027学年上学期高一数学9月份月考试卷 一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】由，得， 解得， 所以一元二次不等式的解集为. 2. 已知集合，，则（   ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】集合，，所以. 3. 集合的非空真子集个数为（　　） A. 5 B. 6 C. 14 D. 15 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得， 集合A中共有4个元素， 所以非空真子集个数为. 4. 使不等式成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，解得，选项中只有⫋，所以A正确. 5. 已知 ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】对A选项，因为，所以. 又因为幂函数在上为增函数，所以，故正确； 对B选项，作差可得. 因为，所以.又因为，所以，即，故错误； 对C选项，因为，所以，即，故错误； 对D选项，作差可得.因为且， 所以且，从而，即，故错误. 6. 已知为正实数，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由及，根据基本不等式得，所以． 当且仅当时等号成立，此时满足题设，因此原式的最小值为． 7. 若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是（ ） A. 或 B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意推出对应的全称量词命题为真命题，利用判别式法求解即可. 【详解】因命题“，”为假命题， 则命题“，”为真命题， 故，解得. 8. 已知关于的不等式对于一切实数都成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因二次项系数恒为正，故只需对应二次函数的判别式小于即可求解的取值范围. 【详解】关于的不等式对于一切实数都成立， 对应二次函数的判别式小于即可，即，得， 即实数的取值范围是. 二、多选题（本大题共3小题，共18分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】通过不等式的性质判断A、C选项的正误；通过取特殊值的方法验证B、D选项的正误. 【详解】对于A选项，已知且，则不等式两边同除可得：，即得：，故A选项正确； 对于B选项，取，，，，满足条件，，但，，不满足条件，故B选项错误； 对于C选项，已知，则，又，则有，故C选项正确； 对于D选项，已知，则取，，，得：，，由于不满足条件，故D选项错误. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 命题：，的否定是：. B. 命题：存在的否定是：任意 C. 是的充分不必要条件. D. 已知集合，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定判断AB；根据充分条件的判定判断C；根据集合的并集运算判判断D. 【详解】A：根据全称量词命题的否定为存在量词命题，原命题的否定为，对； B：根据存在量词命题的否定为全称量词命题，原命题的否定为，对； C：若，假设，此时不成立，故充分性不成立，错； D：集合， 把集合范围表示在数轴上，如图， 所以,D对. 故选：ABD 11. 设集合，，则下列结论正确的是（ ） A. 集合可能只有一个元素 B. 集合的非空真子集个数个 C. ， D. ， 【答案】AD 【解析】 【详解】对于A，因，当时，，故A正确； 对于B，由可得，则集合的非空真子集个数为，故B错误； 对于C，因为当取1或4时，，故C错误； 对于D，当取除1，3，4这三个数之外的数时，，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知集合，则的真子集的个数为_______ 【答案】15 【解析】 【详解】由，可得或或或， 解得，集合中有4个元素，所以其真子集的个数为． 13. 已知集合，，若，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【详解】，，， 则，解得， 故实数的取值范围是. 14. 若，，则的取值范围是_________，的取值范围是_________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】， ，， ， . 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知集合， （1）若求，； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【小问1详解】 当时，. 所以. 因为， 所以或， 则或 【小问2详解】 由可得： ， 解得. 所以实数的取值范围是. 16. 设集合． （1）若，求实数的值； （2）若集合中有两个元素，求；（用表示） （3）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可得是的解，将代入后即可求得的值，经验证或都满足题意； （2）由题意可得二次函数有两个根，则，由韦达定理即可计算； （3）由题意得集合是集合的子集，分情况讨论集合可能的取值，结合二次函数判别式与韦达定理即可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解，得或，则集合， 题意得，是的解， 即，解得或， 当时，，即，，满足题意， 当时，，即，，满足题意， 故或. 【小问2详解】 若集合中有2个元素，则二次函数有2个解， 即，解得， 由韦达定理得， 则. 【小问3详解】 若，则集合是集合的子集， 由（1）知集合， ①当集合，此时无解， 有，解得； ②当集合，则有，解得， 且，解得，此时的取值冲突，故舍； ③当集合，则有，解得或， 且，解得，故此时； ④当集合，则有，解得， 此时的取值冲突，故舍； 综上，的取值范围是 17. （1）已知 ，，且 ，求的最大值； （2）若正数 、 满足 ，求的最小值； （3）若 ，求 的最大值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）用基本不等式，关键是凑出“和为定值” （2）用基本不等式，关键是凑出“和为定值”； （3）换元后化为可求最值的形式，注意 时符号的变化． 【详解】（1）因为 ，，， 所以， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故的最大值为 ． （2）由 ，， 两边同除以得 ． 于是 ， 因为 ，当且仅当 ，即时取等号， 所以 ，此时 ，，故的最小值为 ． （3）令 ，则 ， ， 因为 ，所以，，即， 当且仅当，即时取等号， 所以，故的最大值为 ． 18. 已知不等式的解集为． （1）求，的值； （2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式． 【答案】（1），； （2）； （3）当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解集与对应方程根的对应关系，结合解集形式判断二次项系数的符号，将端点值代入方程求解，再解不等式确定的值. （2）将区间上的恒成立不等式分离参数，转化为求对勾函数在区间内的最小值，利用基本不等式求得最小值，进而得到的取值范围. （3）代入参数值整理不等式并因式分解，求出对应方程的两个根，根据参数的取值范围比较两根的大小关系，分三类讨论求解不等式的解集. 【小问1详解】 由不等式的解集为， 可知，且是方程的根. 将代入方程得，解得. 此时不等式化为， 即，解得，故. 【小问2详解】 不等式在上恒成立，等价于对任意恒成立. 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 故的最小值为，因此. 【小问3详解】 将，代入原不等式，整理得， 因式分解为，其中， 方程的两根为，，分类讨论如下， 当时，，不等式的解集为； 当时，不等式化为，解集为； 当时，，不等式的解集为. 综上，当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为. 19. 已知集合，{或}. （1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围; （3）命题“，使得”为真命题，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据列不等式，由此求得的取值范围. （2）对进行分类讨论，由此列不等式求得的取值范围. （3）根据题意可得，然后列不等式组，由此求得的取值范围；或先求出时的取值范围，然后由出其补集即可. 【小问1详解】 因为，{或}，， 所以， 解得，即的取值范围为． 【小问2详解】 当时，满足，此时，解得． 当时，或， 解得或，  综上，或，即的取值范围为． 【小问3详解】 方法一：命题“，使得”为真命题，即 ， 解得，即的取值范围为. 方法二：因为即 命题“，使得”为真命题，即 由（2）知时的取值范围为 所以时的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $