精品解析：天津市武清区城关中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

城关中学月练1数学试卷 一、单选题（共10题，每题4分，共计40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 点关于坐标平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. C. D. 与重合 5. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 6. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 7. 方程表示的直线可能是 A. B. C. D. 8. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 9. 若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 二、填空题（共5题，每题4分，共计20分） 11. 若点关于y轴的对称点为B，则线段的长为___________. 12. 已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 13. 已知直线，若，则___________ 14. 已知，，则在上的投影向量的长度为________． 15. 已知点，，则点到直线的距离为______． 三、解答题（共5题，每题12分，共计60分） 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）经过两点； （3）在x轴、y轴上的截距分别是，． 17. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 18. 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 19. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 20. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 城关中学月练1数学试卷 一、单选题（共10题，每题4分，共计40分） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程得斜率，由斜率得倾斜角． 【详解】由直线方程为可知直线的斜率为， 因此倾斜角为． 故选：B． 2. 点关于坐标平面对称点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】点A的坐标中横、竖坐标不变，纵坐标变为原来的相反数即得的坐标为． 3. 经过，两点的直线的方向向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用直线方向向量的定义，结合向量共线的坐标表示求解. 【详解】过，两点的直线的方向向量，其中为原点， 依题意，，所以. 故选：A 4. 已知平面，的法向量分别是，，则平面与的位置关系是（ ） A. 相交但不垂直 B. C. D. 与重合 【答案】C 【解析】 【分析】直接用法向量的垂直关系来判断两个平面的垂直可得. 【详解】因为平面，的法向量分别是，， 所以， 所以，因此. 5. 已知空间向量，，且，则（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的坐标表示，列出等式求解即可. 【详解】因为， 所以，解得：， 故. 6. 已知空间单位向量的夹角为，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算律，即可求解. 【详解】因为向量是单位向量，且两向量的夹角为，则， 所以， 故选：D. 7. 方程表示的直线可能是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，即得答案. 【详解】由题意，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的负半轴上，排除. 当时，，此时直线与轴的交点在轴的正半轴上，排除，选. 故选：. 【点睛】本题考查由直线方程识别图象，考查分类讨论，属于基础题. 8. 已知空间向量，若共面，则实数的值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由空间共面向量可得，代入解方程即可得出答案. 【详解】若空间向量共面， 则，所以， 所以，解得：. 故选：B. 9. 若直线的截距式方程化为斜截式方程为，化为一般式方程为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将化为一般式，结合条件有，且，即可求解. 【详解】易知，由，得到， 由已知一般式方程为，所以有， 则，解得， 又，， 所以，则， 故选：A. 10. 已知两点，，过点的直线l与线段AB（含端点）有交点，则直线l的斜率的取值范围为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出直线 、 的斜率后即可求直线/的斜率的范围. 【详解】如图所示： ，而， 故直线的取值范围为. 故选：A. 二、填空题（共5题，每题4分，共计20分） 11. 若点关于y轴的对称点为B，则线段的长为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件求出点B的坐标，再用两点间距离公式求解即得. 【详解】依题意，点关于y轴对称的点， 所以. 故答案为： 12. 已知四面体，向量，，则异面直线所成角的大小为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】求出，得到答案. 【详解】向量，， 则， 设异面直线所成角的大小为，则， 所以. 故答案为： 13. 已知直线，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】由一般式得到两直线斜率，再由两直线平行，斜率相等求解即可； 【详解】当时，，，两直线不平行， 当时，两直线平行斜率相等， ，则 ，则， 又，则两直线斜率相等，即， 化简计算得：，解得：或， 又时，，，两直线重合， 故. 故答案为： 14. 已知，，则在上的投影向量的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用空间向量投影的定义求解即可． 【详解】解：因为，，所以， ， 所以在上的投影为． 所以在上的投影向量的长度为； 故答案为：． 15. 已知点，，则点到直线的距离为______． 【答案】 【解析】 【详解】依题意得，，则， 又，，所以， 则点到直线的距离为. 三、解答题（共5题，每题12分，共计60分） 16. 根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程． （1）斜率是3，且经过点； （2）经过两点； （3）在x轴、y轴上的截距分别是，． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合点斜式方程，即可求解； （2）根据已知条件，结合两点式方程，即可求解； （3）根据已知条件，结合截距式方程，即可求解. 【小问1详解】 直线斜率是3且经过点，则直线方程为，化为一般式为； 【小问2详解】 直线经过两点，则直线方程为，化为一般式为； 【小问3详解】 直线在x轴、y轴上的截距分别是，，则直线方程为，化为一般式为. 17. 已知向量，. （1）求； （2）求与的夹角； （3）若与垂直，求实数的值. 【答案】（1）3 （2） （3）1 【解析】 【分析】（1）先求空间向量和的坐标，再求其模长； （2）代入夹角公式，求两个空间向量的夹角余弦值，最后求角； （3）由垂直关系推得数量积为零，注意两个向量均为非零向量. 【小问1详解】 因为，， 所以， . 【小问2详解】 ， ， ， 所以与的夹角为； 【小问3详解】 ， ， 因为与垂直，所以， 即，解得， 此时，与均为非零向量， 所以. 18. 如图，在空间四边形OABC中，点D、E分别为BC、AD的中点，设，，． （1）试用向量，，表示向量； （2）若，，，求的值． 【答案】（1） （2）11 【解析】 【分析】（1）运用向量加法的线性运算及中点向量公式，通过两次中点（D为BC中点，E为AD中点）逐步将所求向量用已知基底表示； （2）利用向量模长与夹角余弦值求各基底向量间的数量积，再代入第一问结果进行向量数量积的分配律展开并求值. 【小问1详解】 由题可得向量； 【小问2详解】 由题，， 由（1）得， 所以． 19. 如图，直三棱柱中，，分别是，的中点，. （1）求异面直线与所成角的余弦值； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)利用空间向量法求异面直线所成角的余弦值即可； (2)利用空间向量法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 由直三棱柱中，，可如图建立空间直角坐标系， 因为分别是，的中点，， 所以， 即， 所以有， 即异面直线与所成角的余弦值； 【小问2详解】 设平面的法向量为， 则令可得：， 所以， 即点到平面的距离为. 20. 如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点． （1）求证：∥平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明：在棱长为2的正方体中,以点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，得， 又，则， 因此，又平面，所以平面. （2） （3）存在； 【解析】 【分析】（1）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）由（1）中信息，利用线面角的向量法求解. （3）假定存在并求出平面的法向量，利用面面角的向量法列式求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在点使得二面角的余弦值为， 当点与点重合时，显然二面角为钝角，余弦值小于0，不符合题意； 过作于点，取，则， 由（1）可知，，平面的法向量， 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 则，解得，符合题意， 因此线段上存在点，使得二面角的余弦值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $