专题05探索勾股定理、直角三角形全等的判定期中复习讲义（核心知识点+典例精讲+分层专项训练）2026-2027学年浙教版八年级数学上册
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精品
内容正文：
专题05探索勾股定理、直角三角形全等的判定期中复习讲义
✵复习目标
掌握直角三角形性质、勾股定理及其逆定理，分清定理区别，规范几何书写。
熟练运用直角三角形性质、勾股定理计算边长、角度、面积，掌握常用模型。
掌握 HL 判定，能灵活选用判定方法证明直角三角形全等。
会解决折叠、最短路径、方位测量、动点等综合题型，注意分类讨论。
✵高频题型梳理
题型1.运用勾股定理求直角三角形边长
题型2.勾股数的识别与简单计算
题型3.以直角三角形三边为边的图形面积问题
题型4.勾股定理与网格长度计算
题型5.勾股定理与无理数
题型6.利用勾股定理求线段平方和、平方差
题型7.勾股定理实际应用-梯子滑落高度问题
题型8.勾股定理实际应用-旗杆高度、大树折断问题
题型9.勾股定理实际应用-小鸟飞行距离问题
题型10.勾股定理实际应用-航海方位问题
题型11.勾股定理实际应用-水杯筷子、台阶地毯长度问题
题型12.勾股定理与折叠综合问题
题型13.勾股定理逆定理-依据三边长判定直角三角形
题型14.网格中利用逆定理判定直角三角形
题型15.勾股定理逆定理的实际应用
题型16.利用HL证明直角三角形全等
题型17.全等性质与HL综合证明
题型18.分层专项训练
✵核心知识梳理
知识点一、直角三角形的性质
1.直角三角形两锐角互余。 几何语言：在 Rt△ABC中，∠C=90°，∴ ∠A+∠B=90°。
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
补充：有两个角互余的三角形是直角三角形。
知识点二、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，a²+b²=c²（c 为斜边）
变形：a²=c²−b²，b²=c²−a² 勾股数：满足 a²+b²=c² 的正整数；
常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25。 勾股数的正整数倍仍是勾股数。
知识点三、勾股定理的逆定理
若△ABC 三边满足 a²+b²=c²，则△ABC 是直角三角形，最长边 c 的对角为直角。
用途：判定直角、证明线段垂直。
辨析：勾股定理：直角→边的数量关系；逆定理：边的数量关系→直角。
知识点四、直角三角形全等判定（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
注意：HL 仅适用于直角三角形；
直角三角形除可以用SSS、SAS、ASA、AAS外，还可用HL判定全等。
知识点五、勾股定理典型应用
面积法：利用两种面积表达式求斜边上的高。
折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，设未知数，构造直角三角形列方程。
实际测量：梯子滑动、航海方位、距离测量，建立直角三角形模型。
立体最短路径：将侧面展开为平面图形，两点之间线段最短，结合勾股定理计算。
数轴作图：利用勾股定理构造直角三角形，在数轴上画出无理数对应的点。
✵易错提醒
1.勾股定理只在直角三角形中使用，斜边为最长边。
2.两边长未指明斜边时，必须分类讨论。
3.HL 只能用于直角三角形，禁止当成普通三角形判定。
4.逆定理必须用最长边平方比对。
5.30°直角三角形性质，看清哪个角是 30°，找准对边。
6.斜边上中线性质前提：直角三角形。
7.根式结果无要求保留最简二次根式，不取近似小数。
✵典例精讲
题型1.运用勾股定理求直角三角形边长
1．已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
【答案】B
【分析】连接、，根据垂直平分线的性质，得；根据角平分线的性质，得，,，通过证明，得；设，根据勾股定理，列一元一次方程并求解，得，从而完成求解．
【详解】解：连接、，如下图：
∵是的中点，，
∴，
∵平分，，，
∴，,，
在和中
，
∴，
∴，
设，
∵，，
∴，，
∵，
∴，，
∵，，
∴，
∴ ，
∴
∴．
2．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为米，宽为米，一辆宽为米的卡车装满货物后能够通过该隧道，那么这辆卡车装满货物后的高度最大为______米．
【答案】
【分析】设半圆的圆心为，连接圆心与半圆上对应卡车边缘的点，过点作直径于点，则米，米，根据勾股定理求出米，即可求解．
【详解】解：如图，设半圆的圆心为，连接圆心与半圆上对应卡车边缘的点，过点作直径于点，
由题意得，半圆的直径为米，则半径为米，
卡车宽米，则卡车边缘距离中心线的水平距离为米，
在中，由勾股定理得米，
这辆卡车装满货物后的高度最大为米．
3．如图，四边形中，，，，，．
(1)连接，求的长；
(2)求四边形的面积．
【答案】(1)的长为5；
(2)四边形的面积为36
【分析】（1）在中，根据勾股定理求得的长即可；
（2）在中，根据得到是直角三角形，利用进行求解即可．
【详解】（1）解：如图，
在中，，
∴；
（2）解：在中，∵，即，
∴是直角三角形，
∴．
题型2.勾股数的识别与简单计算
1．下列各组数中，不是“勾股数”的是（ ）
A．5，3，4 B．7，24，25 C．30，40，50 D．0.3，0.4，0.5
【答案】D
【分析】勾股数需为正整数，可先据此快速排查选项．
【详解】解：满足的三个正整数称为勾股数．
∵ A、B、C中的数均为正整数，且分别满足，，，
∴ A、B、C均是勾股数，
∵ D中的数为，，，不是正整数，
∴ D不是勾股数．
2．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是、、、，则最大正方形的边长是___________
【答案】
【分析】分别设中间两个正方形和最大正方形的边长为 ，由勾股定理得出，即可求得最大正方形的边长．
【详解】设中间左，右两个正方形的边长分别为 ，最大正方形的边长为 ，
则由勾股定理得：，
，
，
即最大正方形的边长是．
3．按要求解答问题：
(1)已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一直角边长为8，求这个直角三角形的另两边长；
(2)根据求解（1）的经验，尝试探索出更多的勾股数组．
【答案】(1)
另两边长为6和10或15和17
(2)
可通过以下方法构造勾股数组，例如3,4,5；5,12,13；7,24,25；10,24,26；9,12,15等：
① 大于1的奇数对应勾股数：，，；
② 大于2的偶数（为大于1的正整数）对应勾股数：，，；
③ 勾股数的正整数倍仍为勾股数
【分析】（1）先设这个直角三角形的另两边长为a，c，（），根据题意，得
，再根据平方差公式可得，然后结合题意可得二元一次方程组，并求出解；
（2）分奇数和偶数，及勾股数的正整数倍也是勾股数解答．
【详解】（1）解：设这个直角三角形的额另两边长为a，c，（），根据题意，得
，
∴，即．
∵a，c都是正整数，且，
∴，
当或，
解得或，
所以这个直角三角形的另两边长为17,15或10,6；
（2） 略
题型3.以直角三角形三边为边的图形面积问题
1．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示．“生长”了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是（ ）
A．2027 B．2026 C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理和正方形的面积找到规律即可求出答案．
【详解】解：如图，由题意得，正方形A的面积为1，
由勾股定理得，正方形B的面积+正方形C的面积=正方形A的面积，
所以“生长”了1次后形成的图形中所有正方形的面积之和为．
同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有正方形的面积之和为3，
“生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积之和为4，
……依此类推，“生长”了次后形成的图形中所有正方形的面积之和为，
∴“生长”了2026次后形成的图形中所有正方形的面积之和为．
2．如图，分别以的三边为直径向外作半圆，斜边，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【分析】根据勾股定理可得两直角边的平方和等于斜边的平方，阴影部分面积为三个半圆面积之和，利用圆面积公式结合勾股定理即可求解．
【详解】解：是直角三角形，
，
由图可得，
，
．
3．已知： ，，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E．
（1）如图1，线段之间的数量关系是___________________；
（2）如图2，，则阴影部分的面积_______________
【答案】
【分析】（1）一线三垂直模型中可证，得，故 ；
（2）同理可证，，再根据 求出，结合三角形面积公式求解．
【详解】解：（1） ，，，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
又，
故；
（2），，，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
则阴影部分的面积为．
题型4.勾股定理与网格长度计算
1．如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【答案】B
【详解】解：连接，
∵平移的距离即为对应点所连线段的长度，
∴平移距离为．
2．如图，点A、B、C都在格点上，连接、，则的度数是 _______．
【答案】45
【分析】
连接，由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论．
【详解】
解：如图，连接，
设每个小网格的边长为1，
由勾股定理得：
，，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，，
∴．
3．线段的端点，在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可）．
(1)在图①中找出格点，使；
(2)在图②中画出非格点的点，使．
【答案】(1)如图所示，点即为所求．（答案不唯一）
(2)如图所示，点即为所求．（答案不唯一）
【分析】（1）利用勾股定理计算出的长度，构造等腰直角三角形，使且，这样的格点可使得；
（2）在格点上找一点，使得，，如图，构造，从而得到，延长交于点即为所求．
【详解】（1）解：由勾股定理，，
构造等腰直角三角形，使得．
设，则由得，
，
解得，
，
，是格点长方形的对角线，由此即可找出格点．
（2）解：是格点长方形的对角线，
如图，找一格点，使得，，
连接点与中点，构造和，
使得，，，
，
，
延长交于点，则，
又，
，即，
所求非格点即为与的交点．
题型5.勾股定理与无理数
1．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A． B． C．2.6 D．
【答案】B
【分析】先求出，再由勾股定理可求得，再由，即可得点D表示的数．
【详解】解：∵点A表示的数是，点B表示的数是2，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵点A表示的数是，
∴点D表示的数是．
2．如图，已知点的坐标为，以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是__________．
【答案】
【分析】本题考查数轴上的点表示无理数，涉及勾股定理、图形与坐标等知识，理解题意，数形结合是解决问题的关键．由题意得到，在中，，由勾股定理求出长，再由以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，确定，从而得到点所表示的数．
【详解】解：如图所示：
的坐标为，
在中，，则由勾股定理可得，
以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，
，
则点所表示的数是，
故答案为：．
3．解答：
(1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，则______；以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是______；
(2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置．
【答案】(1)，
(2)如图，点表示的实数为．
【分析】（1）根据勾股定理求出，由作图可知， 即可解答；
（2）以实数为圆心，半径长作弧与数轴的交点即为表示的实数为，通过构造直角三角形得到半径长即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴，
由作图可知，
∵点与数轴原点重合，
∴， 点表示的实数是；
（2）解：构造直角，直角边落在数轴上，点表示的数为，点表示的数为，则，，，
由勾股定理得，
以点为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则，
∴点表示的实数为．
题型6.利用勾股定理求线段平方和、平方差
1．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
【答案】C
【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可．
【详解】解：取斜边中点，
∵是等腰直角三角形，
则，且，
设，则，
在中，由勾股定理：，
则，
即：，
故．
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是________
【答案】13
【分析】利用基本作图可判断EF垂直平分AB，则AD=BD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得CD=AB，再由勾股定理解出AB的长即可解答．
【详解】解：由题意可知，EF垂直平分AB，则AD=BD，
CD=AB，
BC＝10，AC＝24，
，
CD=AB=13，
故答案为：13．
【点睛】本题考查基本作图—垂直平分线，勾股定理、直角三角形斜边中线性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
3．某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
(1)如图，在中，若，，则有；
证明：∵，，
∴（依据： ① ）
∴（依据： ② ）
(2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
小军
小民
证明：分别延长，至，两点，使得……
证明：∵，
∴与均为直角三角形
根据勾股定理，得……
请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整．
【答案】(1)①垂直平分线的性质；②等边对等角
(2)
小军的证明过程：
分别延长至两点，使得，如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
小民的证明方法
证明：∵，
∴与均为直角三角形
根据勾股定理，得
∴
∴
∵①
∴②
①+②得，，即
∴．
【分析】本题考查了垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，勾股定理．
（1）根据，可以得到，然后根据可以证明，从而可以得到结论成立；
（2）根据小军的证明过程可知：分别延长至两点，使得，然后作出辅助线，再根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，可以证明结论成立；
根据小民的证明方法，根据勾股定理得出，根据平方差公式结合已知，即可到结论成立．
【详解】（1）证明：∵，，
∴（依据：垂直平分线的性质）
∴（依据：等边对等角）
（3） 略
题型7.勾股定理实际应用-梯子滑落高度问题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】勾股定理求出梯子的长，再利用勾股定理求出的长，然后根据线段的和差关系即可得出结果.
【详解】解：由题意和勾股定理，得，
，
∴，即小巷的宽为.
2．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离是___________米．
【答案】8
【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中正确的使用勾股定理求的长度是解题的关键．
根据梯子长度不会变这个等量关系，根据勾股定理分别求出米，米，然后根据，计算，即可解题．
【详解】解：由题意知米，米，米，
在直角中，为直角边，
∴米，
已知米，则（米），
在直角中，为直角边，
∴米，
∴（米）．
故答案为：8．
3．如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米．
(1)求B处与地面的距离；
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
【答案】(1)米
(2)米
【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离；
（2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果．
【详解】（1）解：在中，
米，米，米，
（米），
（米），
答：处与地面的距离是米；
（2）解：由题意得米，
米，（米），
（米），
（米）．
答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米．
题型8.勾股定理实际应用-旗杆高度、大树折断问题
1．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（ ）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
【答案】C
【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据勾股定理即可解答．
【详解】解：设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为米，
在中，由勾股定理得：，
解得：，
∴旗杆的高度为12米，
故选：C．
2．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米．
【答案】
16
【分析】根据题意构建直角三角形模型，利用勾股定理求出折断部分的长度，再加上未折断部分的高度即可得出结果．
【详解】解：设树折断部分的长度为米．
由题意可知，未折断部分、折断部分与地面构成直角三角形，
其中一条直角边长为米，另一条直角边长为米．
根据勾股定理，得．
所以树折断之前的高度为米．
3．一场大风后，山坡上的一棵树在A点处被拦腰折断．如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部C处，甲、乙两棵树均沿竖直方向生长，已知，，甲、乙棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内）
【答案】树折断前的高度是米
【分析】过点C作，交的延长线于点D，在和中用勾股定理即可得到甲树折断前的高度．
【详解】解：过点C作，交的延长线于点D，
，，
，
∵，
∴，
∴．
答：树折断前的高度是米．
题型9.勾股定理实际应用-小鸟飞行距离问题
1．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了勾股定理的应用．如图，根据题意得：，利用勾股定理即可求出结果．
【详解】解：如图，
根据题意得：，
，
一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞，
故选：B．
2．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则它至少飞行________米．
【答案】
【分析】根据题意，作出合适的直角三角形，然后根据勾股定理即可求得的长．
【详解】解：如图所示，
由题意可得，（米），米，，
（米），
即小鸟至少飞行10米．
3．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．
【答案】(1)；
(2)P点的位置如图所示，的距离为16千米；
(3)15．
【分析】（1）连接，作于点E，根据，得到，，由平行线间的距离处处相等可得千米，千米，求出，然后利用勾股定理求得CD两地之间的距离；
（2）连接，作的垂直平分线交于P，根据线段垂直平分线的性质可得，点P即为所求；设千米，则千米，分别在和中，利用勾股定理表示出和，然后根据建立方程，解方程即可；
（3）如图3，，，，，，设，
则，然后根据轴对称求最短路线的方法求解即可．
【详解】（1）解：如图1，连接，作于点E，
∵，，
∴，，
∴千米，千米，
∴千米，
∴（千米），
即两个村庄的距离为千米，
故答案为：；
（2）解：如图2，连接，作的垂直平分线交于P，则点P即为所求，
设千米，则千米，
在中，，
在中，，
∵，
∴，
解得，
即的距离为16千米；
（3）解：如图3，，，，，，设，
则，
作点C关于的对称点F，连接，过点F作于E，
则是的最小值，即代数式的最小值，
∵，，，
∴代数式最小值为：，
故答案为：15．
【点睛】此题考查了勾股定理的应用，线段垂直平分线的性质，轴对称—最短路线问题等知识，（3）中构造出是解本题的难点．
题型10.勾股定理实际应用-航海方位问题
1．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（ ）．
A．10海里 B．12海里 C．16海里 D．20海里
【答案】D
【分析】根据题意可得，，，，根据勾股定理求得即可．
【详解】解：渔船A从O出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船B同时从O出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，
∴，
小时后，海里，海里，
由勾股定理可得，（海里）．
2．如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______海里．
【答案】
【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算即可．
【详解】解：设轮船向东北航行到，向东南方向航行到，
由题意得，海里，
海里，
，
故答案为：．
3．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里）
【答案】此时灯塔与客轮的距离为
【分析】先求出，再由勾股定理即可得出结果．
【详解】解：由题意得：，，，
在中，由勾股定理得：．
答：此时灯塔与客轮的距离为．
题型11.勾股定理实际应用-水杯筷子、台阶地毯长度问题
1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据勾股定理计算笔筒内最长线段长度，结合图形铅笔露出笔筒，确定铅笔长度的取值范围，进而判断选项．
【详解】解：设铅笔长度为L，
由题意得，笔筒内能容纳的最长线段长度为，笔筒内能容纳的最短线段长度为，
铅笔露出笔筒，
铅笔长度L大于笔筒内部部分长度，
∵笔筒内部部分长度最小值为，
∴，
A选项中的不满足，B、C、D选项均大于．
2．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要________元钱．
【答案】
【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键；
地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积.
【详解】解：由题意得：
由勾股定理可得：，
则地毯总长为，
则地毯的总面积为，
所以铺完这个楼道至少需要（元）；
故答案为：
3．王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面形如长方形，点B与点C之间的距离．池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且比高出（即于点O，于点E，），为同样大小的遮阳网，，一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且，图中所有点均在同一平面内．求支撑杆的长．
【答案】
【分析】求出，，设，得到，，，在中，，据此列出方程并解方程即可．
【详解】解：∵，于点E，
∴，
设，则，
∵一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且，
∴，
在中，，
即，
解得
即支撑杆的长为．
题型12.勾股定理与折叠综合问题
1．如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设，由折叠的性质可得，在中，利用勾股定理构造方程，求解出即可．
【详解】解：设，则，
由折叠的性质可得，
在中，，
∴，
∴，
∴．
2．如图，有一块直角三角形纸片，，，．现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点与点重合，则的长为________，的长为________cm．
【答案】 10 3
【分析】先在直角三角形中用勾股定理算出斜边，根据折叠性质得到、，设，在中列勾股方程求出．
【详解】解：∵ ，，，
∴ 在中，由勾股定理得
∴ ．
由折叠的性质可知，，，，
∴ ，．
设，则，
在中，由勾股定理得
，即：
．
∴．
3．如图，在中，，．将分别沿直线，折叠，使点，都与点重合．若，求的长．
【答案】
【分析】先利用三角形内角和算出，由折叠性质得到，，，，推出，设，用总长表示，再在中列勾股方程求解．
【详解】解：，
，
由折叠的性质得，，，，
，
设，则，
在中，，
，
，
，即．
题型13.勾股定理逆定理-依据三边长判定直角三角形
1．在中，，，分别是，，的对边，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则是直角三角形
D．若，则不是直角三角形
【答案】D
【分析】根据直角三角形性质、三角形内角和定理、勾股定理逐一判断选项即可．
【详解】解：选项，若，则，所以是直角三角形，说法正确．
选项，若，则，所以是直角三角形，说法正确．
选项，若，不妨设，，，则，所以是直角三角形，说法正确．
选项，若，则是直角三角形，说法不正确．
2．把一根长为的木棒，从一端起顺次截下长和的两段，用得到的三根木棒首尾顺次相接，摆成三角形，则三角形的形状是________．
【答案】直角三角形
【分析】求出截下两段后剩下的木棒长度，再根据勾股定理的逆定理即可判断这三根木棒摆成的三角形是直角三角形．
【详解】解：截下两段后，剩下的木棒长为，
∴这三根木棒的长分别为，，，
∵，
∴这三根木棒摆成的三角形是直角三角形．
3．如果一个三角形三条边的长分别为（为整数，且），那么人们把这样的三个数称为一组“勾股数通式”．
(1)请说明以a、b、c为三边的三角形一定是直角三角形；
(2)当时，求这个三角形的周长和面积．
【答案】(1)证明：
．
由勾股定理的逆定理可知，以a、b、c为三边的三角形是直角三角形，且c边所对的角是直角．
(2)周长：30；面积：30
【分析】（1）因为要判断三角形为直角三角形，所以先计算三条边长的平方，验证较小两边的平方和是否等于最大边的平方，用到完全平方公式展开计算．
（2）因为已知m、n的取值，所以先将数值代入三个边长的表达式求出a、b、c的具体值，再将三边相加得到周长，根据直角三角形直角边乘积的一半计算面积．
【详解】（1）略
（2）解：当时，
．
∴ 周长．
∵ 该三角形是直角三角形，两条直角边分别为5和12，
∴ 面积．
题型14.网格中利用逆定理判定直角三角形
1．如图是由个边长为的小正方形拼成的网格，，，均为格点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接，利用勾股定理逆定理可得，即，，进而求解即可．
【详解】解：如图，连接．
根据勾股定理，得，，．
∵，
∴，，
∴，，
∴．
2．如图在的网格中， _____
【答案】45
【分析】本题主要考查了网格与勾股定理，直角三角形的判定，等腰三角形的性质，平行线的性质，解题的关键是作出辅助线．
连接，证明得，根据平行线的性质得出，根据网格判定为等腰直角三角形，得出，根据即可求出结果．
【详解】解：如图，连接，
在和中，
，
∴
∴．
∵，
∴．
∵，，，
∴，，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴．
故答案为：45．
3．如图，在边长为的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的．
(1)利用网格线画，使它与关于直线对称；
(2)在直线上作点，使的值最小，此时 ．
【答案】(1)
(2)如图所示，点P即为所求，
【分析】（1）先分别画出点A，B，C关于直线l的对称点，再顺次连接即可得；
（2）连接，与直线l的交点即为点P，再证明为直角三角形，即可得的度数；
【详解】（1）略
（2）解：连接，与直线l的交于点P，
由轴对称的性质可得，
∴，
∴当三点共线时，有最小值，最小值为的长，
由网格的特点和勾股定理可得，
，，
∴，
∴是直角三角形，且．
题型15.勾股定理逆定理的实际应用
1． 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里（1里），中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？其大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为7里，24里，25里，则这块沙田的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先利用勾股定理逆定理判定三角形为直角三角形，再统一长度单位后计算面积．
【详解】解：∵，，
∴，
∴该三角形是直角三角形，两条直角边长为7里，24里，
∵里，
∴里，里，
∴沙田面积为．
2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是_________．
【答案】北偏西
【分析】首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【详解】解：如图，
由题意得，甲的路程：，
乙的路程：，
，即
∴
甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
甲客轮沿着北偏东，即
∴
乙客轮的航行方向是北偏西．
3．一块四边形的空地如图所示，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，，，，，，求这块空地的面积．
【答案】
【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理逆定理得出，最后根据直角三角形的面积公式分别求出和的面积，即可求出这块空地的面积．
【详解】解：如图，连接，
在中，，，，
，
∴，
在中，，，
，，
，
∴是直角三角形，，
，
，
即这块空地的面积为．
题型16.利用HL证明直角三角形全等
1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
【答案】D
【分析】判定两个三角形全等需至少一组对应边相等，仅角相等无法判定全等．
【详解】解：∵一锐角和斜边对应相等，且两直角三角形的直角相等，
∴可由判定两个直角三角形全等，A不符合题意；
∵两条直角边对应相等，且两直角三角形的直角相等，
∴可由判定两个直角三角形全等，B不符合题意；
∵斜边和一直角边对应相等，
∴可由判定两个直角三角形全等，C不符合题意；
∵两个锐角对应相等，无对应边相等，
∴不能判定两个直角三角形全等，D符合题意．
2．如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______．
【答案】
【分析】“”判定定理仅适用于直角三角形，判定规则为：若两个直角三角形的斜边和其中一条直角边分别对应相等，则两个直角三角形全等，据此解答即可．
【详解】解：∵在和中，，，
∴要用“”直接证明，则还需要添加的条件是．
3．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)试判断的位置关系，并说明理由（适当做辅助线）．
【答案】(1)证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴；
(2)解：，理由如下：
如下图，延长，交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【分析】（1）首先证明，然后利用“”证明全等即可；
（2）延长，交于点，首先由三角形内角和定理证明，再根据全等三角形的性质证明，进而可得，即可证明结论．
【详解】（1）略
（2） 略
题型17.全等性质与HL综合证明
1．如图，在中，、为边上两点，连接、，于点，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据已知得出是的角平分线，进而得出，再根据直角三角形的两个锐角互余求得，最后根据邻补角的定义，即可求解．
【详解】解：，
，
，
在和中，
，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
．
2．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______．
【答案】①②④
【分析】根据角平分线的性质得到，可判定①；根据证明，可判断②；证明得到，，结合，，可判断③；由得到，结合以及线段的和差可判断④．
【详解】解：为的角平分线，，，
，故①正确；
在和中，
，
，故②正确；
在和中，
，
，
，，
，，且，
，故③不正确；
，
，
，
，故④正确．
3．如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
【答案】(1)证明：在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
(2)证明：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【分析】（1）利用证明，得出，根据角的和差关系即可得出；
（2）根据全等三角形的性质得出，利用证明，得出，根据线段的和差关系即可得出．
【详解】（1）略
（3） 略
✵分层专项训练
一、单选题
1．下列条件中能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形内角和为，结合各选项角的数量关系判断是否存在的角．
【详解】解：A、，，
，
解得，
∴
∴不是直角三角形，故选项A不符合题意；
B、，，
，
解得，是直角三角形，故选项B符合题意；
C、，，
，
解得，最大角为，不是直角三角形，故选项C不符合题意；
D、，，
，
解得，不是直角三角形，故选项D不符合题意．
2．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
【答案】A
【分析】根据直角三角形的性质得：，，结合两点之间线段最短，即可求解．
【详解】解：如图，连接，，
∵中，，，，点M、N分别是、的中点，
，
当C、M、N在同一直线上时，取最小值，
的最小值为：．
3．如图，在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由勾股定理可得，再根据圆的面积公式得出，即可得解．
【详解】解：在中，，
，
以为直径作半圆，面积分别记为，
，，
．
4．如图，为的角平分线，，过点作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据全等三角形的判定证明①正确；再证明，得到，证明，故②正确；设与交于点，证明，得到③正确；根据证明④错误．
【详解】解：，为的角平分线，
，
，
，故①正确；
，
，，
，
，
，
，故②正确；
设与交于点，如图，
，
，
，
，故③正确；
，故④错误．
二、填空题
5．如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________．
3
5
7
9
11
…
4
12
24
40
…
5
13
25
41
…
【答案】60
【分析】先理解题意，再依据表中的规律，得出，，再把代入计算，即可作答．
【详解】解：依据表中的规律，得出，，
即
∴
解得．
6．如图，长方形的边落在数轴上，、两点在数轴上对应的数分别为和，，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上所表示的数为__________．
【答案】
【分析】在中，根据勾股定理求出的长，从而得到的长，即可得到点表示的数．
【详解】解：在中， ，，
∴，
∵以为圆心，为半径画弧交数轴于点，
∴，
∴点表示的数为．
7．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树、恰好隔岸相望．棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，其中，，两棵棕榈树的树顶、处各停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两只鸟的飞行路线为直线）．则这条鱼出现的地方离棕榈树的距离为______________时尺．
【答案】
【分析】设，则，由速度时间相同得，利用勾股定理列方程，化简求解得到．
【详解】解：设时尺，
小溪的宽度时尺，
时尺，
棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，
在中，，
在中，，
两只鸟以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标，
，
，
化简得，
解得，
时尺．
8．．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响______秒．
【答案】
【分析】本题考查了勾股定理与勾股定理的逆定理的应用，等腰三角形的性质，过点C作，垂足为D，勾股定理的逆定理证明是直角三角形，进而等面积法求得长度，以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，勾股定理求得，进而求得的长，根据飞机的速度求得到飞行时间即可解决问题．
【详解】过点C作，垂足为D，
∵，，，且
∴，
∵，
∴
以点C为圆心，为半径作圆，交于点E、F，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴着火点C受到洒水影响时间为．
三、解答题
9．【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．如图，已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高（即），救人时云梯伸长至最长．
【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两个求救点的救援．
【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，．
【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离多少米才能完成处救援任务？
【答案】消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务．
【分析】由勾股定理求出、的长，即可解决问题．
【详解】解：由题意，，，
，
在中，由勾股定理，得，
在中，由勾股定理，得，
．
答：消防车需要向着火楼房靠近的距离为才能完成处救援任务．
10．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上．
(1)若，求的度数；
(2)若，求长．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据长方形的性质可得，可得，再根据折叠可得，即可求出；
（2）设，则，根据勾股定理列方程即可解答．
【详解】（1）解：在长方形中，，
，
根据折叠可得，
；
（2）解：在长方形中，，
设，则，
根据折叠可得，
根据勾股定理可得，
即，
解得，
则．
11．如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，．
(1)求这块试验田的面积；
(2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据勾股定理得到，再利用勾股定理逆定理可得，然后根据求解：
（2）由垂直平分线的性质可得，设，则，再利用勾股定理求解．
【详解】（1）解：，，，
，
又，，，
，即，
，
答：这块试验田的面积为；
（2）解：连接，
在的垂直平分线上，
，
设，则，
由（1）知，
，即，
解得，
答：点到点的距离为．
12．如图，已知于点D，，，的延长线交边于点E．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
【答案】(1)的长为2
(2)证明：由（1）知，，
∴，
又∵（对顶角相等），
∴．
在中，，
∴，
∴．
在中，，
∴．
【分析】（1）根据垂直关系得到两个直角，根据线段和差关系得出的长，利用直角三角形的全等判定定理证明三角形全等，根据全等性质得到的长，进而求出的长．
（2）由（1）的全等三角形得到，然后根据角度关系等量代换得到，结合三角形内角和定理推出，进而推出，可证明结论．
【详解】（1）解：∵，
∴．
∵，，
∴，
又∵，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴．
（2）略
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
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专题05探索勾股定理、直角三角形全等的判定期中复习讲义
✵复习目标
· 掌握直角三角形性质、勾股定理及其逆定理，分清定理区别，规范几何书写。
· 熟练运用直角三角形性质、勾股定理计算边长、角度、面积，掌握常用模型。
· 掌握 HL 判定，能灵活选用判定方法证明直角三角形全等。
· 会解决折叠、最短路径、方位测量、动点等综合题型，注意分类讨论。
✵高频题型梳理
题型1.运用勾股定理求直角三角形边长
题型2.勾股数的识别与简单计算
题型3.以直角三角形三边为边的图形面积问题
题型4.勾股定理与网格长度计算
题型5.勾股定理与无理数
题型6.利用勾股定理求线段平方和、平方差
题型7.勾股定理实际应用-梯子滑落高度问题
题型8.勾股定理实际应用-旗杆高度、大树折断问题
题型9.勾股定理实际应用-小鸟飞行距离问题
题型10.勾股定理实际应用-航海方位问题
题型11.勾股定理实际应用-水杯筷子、台阶地毯长度问题
题型12.勾股定理与折叠综合问题
题型13.勾股定理逆定理-依据三边长判定直角三角形
题型14.网格中利用逆定理判定直角三角形
题型15.勾股定理逆定理的实际应用
题型16.利用HL证明直角三角形全等
题型17.全等性质与HL综合证明
题型18.分层专项训练
✵核心知识梳理
知识点一、直角三角形的性质
1.直角三角形两锐角互余。 几何语言：在 Rt△ABC中，∠C=90°，∴ ∠A+∠B=90°。
2.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
3.在直角三角形中，30° 角所对的直角边等于斜边的一半。
补充：有两个角互余的三角形是直角三角形。
知识点二、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
几何语言：在Rt△ABC中，∠C=90°，a²+b²=c²（c 为斜边）
变形：a²=c²−b²，b²=c²−a² 勾股数：满足 a²+b²=c² 的正整数；
常见勾股数：3,4,5；5,12,13；7,24,25。 勾股数的正整数倍仍是勾股数。
知识点三、勾股定理的逆定理
若△ABC 三边满足 a²+b²=c²，则△ABC 是直角三角形，最长边 c 的对角为直角。
用途：判定直角、证明线段垂直。
辨析：勾股定理：直角→边的数量关系；逆定理：边的数量关系→直角。
知识点四、直角三角形全等判定（HL）
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。
注意：HL 仅适用于直角三角形；
直角三角形除可以用SSS、SAS、ASA、AAS外，还可用HL判定全等。
知识点五、勾股定理典型应用
面积法：利用两种面积表达式求斜边上的高。
折叠问题：折叠前后对应边、对应角相等，设未知数，构造直角三角形列方程。
实际测量：梯子滑动、航海方位、距离测量，建立直角三角形模型。
立体最短路径：将侧面展开为平面图形，两点之间线段最短，结合勾股定理计算。
数轴作图：利用勾股定理构造直角三角形，在数轴上画出无理数对应的点。
✵易错提醒
1.勾股定理只在直角三角形中使用，斜边为最长边。
2.两边长未指明斜边时，必须分类讨论。
3.HL 只能用于直角三角形，禁止当成普通三角形判定。
4.逆定理必须用最长边平方比对。
5.30°直角三角形性质，看清哪个角是 30°，找准对边。
6.斜边上中线性质前提：直角三角形。
7.根式结果无要求保留最简二次根式，不取近似小数。
✵典例精讲
题型1.运用勾股定理求直角三角形边长
1．已知，如图，平分，是的中点，，，，若，，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．3
2．如图，某隧道的横截面由半圆和长方形构成，其中长方形的长为米，宽为米，一辆宽为米的卡车装满货物后能够通过该隧道，那么这辆卡车装满货物后的高度最大为______米．
3．如图，四边形中，，，，，．
(1)连接，求的长；
(2)求四边形的面积．
题型2.勾股数的识别与简单计算
1．下列各组数中，不是“勾股数”的是（ ）
A．5，3，4 B．7，24，25 C．30，40，50 D．0.3，0.4，0.5
2．如图，这是一株美丽的勾股树，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的边长是、、、，则最大正方形的边长是___________
3．按要求解答问题：
(1)已知直角三角形的三边长均为正整数，其中一直角边长为8，求这个直角三角形的另两边长；
(2)根据求解（1）的经验，尝试探索出更多的勾股数组．
题型3.以直角三角形三边为边的图形面积问题
1．有一个边长为1的正方形，经过1次“生长”后，在它的左、右肩上各“生长”出一个小正方形，这三个正方形围成的三角形是直角三角形．再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，如图2所示．“生长”了2026次后，形成的图形中所有正方形的面积之和是（ ）
A．2027 B．2026 C． D．
2．如图，分别以的三边为直径向外作半圆，斜边，则图中阴影部分的面积为_____．
3．已知： ，，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E．
（1）如图1，线段之间的数量关系是___________________；
（2）如图2，，则阴影部分的面积_______________
题型4.勾股定理与网格长度计算
1．如图，网格中小正方形的边长均为1，和的顶点都在格点上，其中是由经过一次平移得到的，则平移距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
2．如图，点A、B、C都在格点上，连接、，则的度数是 _______．
3．线段的端点，在的正方形网格的格点上．只用无刻度的直尺在网格中画图（保留画图痕迹，每小题画出一个即可）．
(1)在图①中找出格点，使；
(2)在图②中画出非格点的点，使．
题型5.勾股定理与无理数
1．如图，数轴上的点A表示的数是，点B表示的数是2，于点B，且，以A点为圆心，为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数是（ ）
A． B． C．2.6 D．
2．如图，已知点的坐标为，以原点为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点所表示的数是__________．
3．解答：
(1)如图①，一个直角三角形的直角边落在数轴上，点与数轴原点重合，，，，则______；以为圆心，长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的实数是______；
(2)在图②中，作出实数所在的位置．（保留必要的作图痕迹）我们知道，实数和数轴上的点是一一对应的，因此，实数都可以在数轴上找到相应的位置．
题型6.利用勾股定理求线段平方和、平方差
1．如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（）
A．1 B．2 C．4 D．不能确定
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝10，AC＝24，分别以点A、B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，两弧相交于点E，F，作直线EF交AB于点D，连接CD，则CD的长是________
3．某校数学社团在研究等腰三角形“三线合一”性质时发现：
(1)如图，在中，若，，则有；
证明：∵，，
∴（依据： ① ）
∴（依据： ② ）
(2)某同学顺势提出一个问题：既然，即知．若把（1）中的条件替换为，还能推出吗？
基于此，社团成员小军、小民进行了探索研究，发现确实能推出，并分别提供了不同的证明方法．
小军
小民
证明：分别延长，至，两点，使得……
证明：∵，
∴与均为直角三角形
根据勾股定理，得……
请你填写（1）中的推理依据，并选择（2）中小军或小民的证明方法，把过程补充完整．
题型7.勾股定理实际应用-梯子滑落高度问题
1．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，当一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙脚的距离为，梯子顶端到地面的距离为，若保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙，此时梯子顶端到地面的距离为，则小巷的宽为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，一架云梯长25米，斜靠在一面墙上，此时云梯底端离墙是7 米，若云梯顶端下滑4米（即米），则云梯的底部B 在水平方向上滑行的距离是___________米．
3．如图，消防车上的云梯最多能伸长到25米，消防车高5米，某栋楼发生火灾，在这栋楼的B处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置A与楼房的距离为20米．
(1)求B处与地面的距离；
(2)完成B处的救援后，消防员发现在B处的上方5米的D处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从A处向着火的楼房靠近的距离为多少米？
题型8.勾股定理实际应用-旗杆高度、大树折断问题
1．学校需要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆的绳子垂到了地面，并多出了一段，经测量绳子垂直落地后还剩1米（如图1），将绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离米（如图2），则旗杆的高度为（ ）
A．10米 B．11米 C．12米 D．13米
2．4月27日呼和浩特全域出现大风扬沙天气，瞬时最大阵风达到12级．如图，受大风影响，一棵树在离地面6米处断裂，树顶端落在离底部8米的地面上，大树底部与地面垂直，则树折断之前有_______米．
3．一场大风后，山坡上的一棵树在A点处被拦腰折断．如图所示，其中甲树顶端恰好落在乙树的根部C处，甲、乙两棵树均沿竖直方向生长，已知，，甲、乙棵树之间的水平距离为，求甲树折断前的高度．（图中点均在同一平面内）
题型9.勾股定理实际应用-小鸟飞行距离问题
1．如图，一段斜坡上有两棵树，两棵树之间的水平距离为，竖直距离为，树的高度都是2m．一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，至少要飞（ ）
A． B． C． D．
2．如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，则它至少飞行________米．
3．【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．
【知识运用】
(1)如图，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为 米．
(2)在（1）的背景下，若千米，千米，千米，现要在上建造一个供应站P，使得，请用尺规作图在图中作出P点的位置并求出的距离．
(3)【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，则代数式（其中）最小值为 ．
题型10.勾股定理实际应用-航海方位问题
1．如图，点是一港口，渔船从出发沿北偏东方向以4海里/时的速度出海，渔船同时从出发沿南偏东方向以3海里/时的速度出海，4个小时后，两艘渔船的距离为（ ）．
A．10海里 B．12海里 C．16海里 D．20海里
2．如图，已知一货轮以30海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一集装箱船以40海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距______海里．
3．如图，货轮在航行过程中，发现灯塔在它的南偏西方向，且与货轮相距．同时，在它的南偏东方向又发现客轮，且与货轮相距，求此时灯塔与客轮的距离．（：海里）
题型11.勾股定理实际应用-水杯筷子、台阶地毯长度问题
1．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度不可能是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要________元钱．
3．王爷爷家有一片露天鱼池，为避免太阳直射，王爷爷在鱼池上方搭建了遮阳网．如图，鱼池的截面形如长方形，点B与点C之间的距离．池子正中央的支撑杆垂直于鱼池底部且比高出（即于点O，于点E，），为同样大小的遮阳网，，一根与同规格长度的支撑杆斜放在池内，点D、B、O在同一条直线上，且，图中所有点均在同一平面内．求支撑杆的长．
题型12.勾股定理与折叠综合问题
1．如图，在中，，，，将沿直线折叠，使点与点重合，折痕交于点，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，有一块直角三角形纸片，，，．现将直角边沿直线折叠，使恰好落在斜边上，且点与点重合，则的长为________，的长为________cm．
3．如图，在中，，．将分别沿直线，折叠，使点，都与点重合．若，求的长．
题型13.勾股定理逆定理-依据三边长判定直角三角形
1．在中，，，分别是，，的对边，则下列说法不正确的是（ ）
A．若，则是直角三角形
B．若，则是直角三角形
C．若，则是直角三角形
D．若，则不是直角三角形
2．把一根长为的木棒，从一端起顺次截下长和的两段，用得到的三根木棒首尾顺次相接，摆成三角形，则三角形的形状是________．
3．如果一个三角形三条边的长分别为（为整数，且），那么人们把这样的三个数称为一组“勾股数通式”．
(1)请说明以a、b、c为三边的三角形一定是直角三角形；
(2)当时，求这个三角形的周长和面积．
题型14.网格中利用逆定理判定直角三角形
1．如图是由个边长为的小正方形拼成的网格，，，均为格点，连接，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2．如图在的网格中， _____
3．如图，在边长为的小正方形方格纸中，有一个以格点为顶点的．
(1)利用网格线画，使它与关于直线对称；
(2)在直线上作点，使的值最小，此时 ．
题型15.勾股定理逆定理的实际应用
1． 我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题：问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里（1里），中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？其大意：有一块三角形沙田，三条边长分别为7里，24里，25里，则这块沙田的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是，甲客轮用到达点A，乙客轮用到达点B，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是_________．
3．一块四边形的空地如图所示，现在计划对这块空地进行改造，工作人员利用机器人对空地进行测量．通过测量得知，，，，，，求这块空地的面积．
题型16.利用HL证明直角三角形全等
1．下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是（ ）
A．一锐角和斜边对应相等 B．两条直角边对应相等
C．斜边和一直角边对应相等 D．两个锐角对应相等
2．如图，在和中，，，点A、E、C、F在同一条直线上，若要用“”直接证明，则还需要添加的条件是______．
3．如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接．
(1)求证：；
(2)试判断的位置关系，并说明理由（适当做辅助线）．
题型17.全等性质与HL综合证明
1．如图，在中，、为边上两点，连接、，于点，若，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．如图，为的角平分线，，过作于，交的延长线于点，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号有_______．
3．如图，在和中，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
✵分层专项训练
一、单选题
1．下列条件中能判断为直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，中，，，，，线段的两个端点D、E分别在边，上滑动，且，若点M、N分别是、的中点，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C． D．
3．如图，在中，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，为的角平分线，，过点作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
5．如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫作勾股数，某同学用下表呈现了一系列的勾股数，依据表中的规律，可知的值为___________．
3
5
7
9
11
…
4
12
24
40
…
5
13
25
41
…
6．如图，长方形的边落在数轴上，、两点在数轴上对应的数分别为和，，连接，以为圆心，为半径画弧交数轴于点，则点在数轴上所表示的数为__________．
7．11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题，其示意图如图所示：小溪的宽度时尺（时尺是古代的长度单位），两棵棕榈树、恰好隔岸相望．棕榈树高时尺，棕榈树高时尺，其中，，两棵棕榈树的树顶、处各停着一只鸟．忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上处游出一条鱼，它们立刻以同样的速度飞去抓鱼，并且同时到达目标（假设两只鸟的飞行路线为直线）．则这条鱼出现的地方离棕榈树的距离为______________时尺．
8．．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响，若该飞机的速度为，则着火点C受到洒水影响______秒．
三、解答题
9．【背景】消防云梯的作用主要是用于高层建筑火灾等救援任务，大幅提高消防救援的效率，缩短救援时间．如图，已知云梯最多只能伸长到，即，消防车高（即），救人时云梯伸长至最长．
【任务】在演练中消防员接到命令：必须完成处、处两个求救点的救援．
【前期工作】勘察处与处离地面M的高度分别为，．
【解决问题】消防车到达A处后，已经完成处的救援，问：消防车需要向着火楼房靠近的距离多少米才能完成处救援任务？
10．如图，把长方形纸片沿折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点的位置上．
(1)若，求的度数；
(2)若，求长．
11．如图，某试验基地有一块四边形试验田，基地管理处计划修一条到的小路，经测量，，，，，．
(1)求这块试验田的面积；
(2)基地现计划在上建立一个观测点，要求点在的垂直平分线上，请你计算出点到点的距离．
12．如图，已知于点D，，，的延长线交边于点E．
(1)若，，求的长；
(2)求证：．
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