2.6-2.8直角三角形与直角三角形全等的判定（4知识点+6题型+课后练习）-同步讲义-2025-2026学年八年级数学上册浙教版（2024）

第2章 特殊三角形 2.6-2.8直角三角形与直角三角形全等的判定 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 理解直角三角形的概念，掌握其基本性质。 2. 掌握直角三角形全等的判定方法（含 HL 定理）。 3. 能运用相关知识进行简单推理和计算。 . . . 一：直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 二：直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 三：直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 四：判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 考点一： 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，D为上一点，，过点C作于点E，交于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点二：锐角互余的三角形是直角三角形 5．小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 6．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．有下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等，其中逆命题成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 考点三. 斜边的中线等于斜边的一半 8．如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 9．如图，在中，是斜边上的中线，，则(    ) A． B． C． D． 10．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（    ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定 考点四.含30度角的直角三角形 12．如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 13．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 14．如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 15．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 考点五.用HL证明全等 16．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 17．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 18．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 19．如图，点在内部的一条射线上，，垂足为，且．已知点到射线的距离为4，且则的度数为（   ） A． B． C． D． 考点六.全等的性质与HL综合 20．已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 21．在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 22．如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 23．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 一、单选题 1．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 2．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．如图，将直角三角形纸片进行折叠，使得点B恰好落到纸片边缘上的点处，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 5．如图，小昆同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点，，分别对应刻度尺上的刻度2，8，5，若，则的长为（    ） A．2cm B．3cm C．4.5cm D．5cm 6．如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 9．如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 2、 填空题 11．如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为 度 12．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 13．在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为 ． 14．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 15．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第2章 特殊三角形 2.6-2.8直角三角形与直角三角形全等的判定 模块导引： 学习目标 知识精讲 思维导图 考点解析 课后作业 1. 理解直角三角形的概念，掌握其基本性质。 2. 掌握直角三角形全等的判定方法（含 HL 定理）。 3. 能运用相关知识进行简单推理和计算。 . . . 一：直角三角形的概念 有一个角是直角的三角形是直角三角形.直角三角形表示方法：Rt△.如下图，可以记作“Rt△ABC”. 要点：三角形有六个元素，分别是：三个角，三个边，在直角三角形中，有一个元素永远是已知的，就是有一个角是90°.直角三角形可分为等腰直角三角形和含有30°的直角三角形两种特殊的直角三角形，每种三角形都有其特殊的性质. 二：直角三角形的性质 直角三角形的两个锐角互余. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 要点：直角三角形的特征是两锐角互余，反过来就是直角三角形的一个判定：两个角互余的三角形是直角三角形. 含有30°的直角三角形中，同样有斜边上的中线等于斜边的一半，并且30°的角所对的直角边同样等于斜边的一半. 三：直角三角形判定 两个角互余的三角形是直角三角形. 在一个三角形中，如果一边的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. 四：判定直角三角形全等的特殊方法——“HL” 定理：在两个直角三角形中，有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“HL”）. 要点诠释：（1）“HL”从顺序上讲是“边边角”对应相等，由于其中含有直角这个特殊条件，所以三角形的形状和大小就确定了. （2）判定两个直角三角形全等首先考虑用斜边、直角边定理，再考虑用一般三角形全等的证明方法. （3）应用“斜边、直角边”判定两个直角三角形全等的过程中要突出直角三角形这个条件，书写时必须在两个三角形前加上“Rt”. 考点一： 直角三角形的两个锐角互余 1．如图，，点E是线段上一点，，则与相等的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了同角的余角相等，解题的关键是：熟练掌握同角的余角相等．根据得到，根据，得到，即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 2．如图，在中，，于点，若，是斜边的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，三角形的外角的性质，先求得，由题意得，结合三角形的外角的性质，推出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵是斜边的中点， ∴， 又∵， ∴， 故选：B 3．如图，在中，，D为上一点，，过点C作于点E，交于点F．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，熟练掌握等腰三角形的性质是解决问题的关键． 根据三角形外角性质求出，根据等腰三角形的性质求出，进而得，然后根据即可得出的度数． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 4．如图，在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形两个锐角互余，掌握直角三角形两个锐角互余是解题的关键． 根据直角三角形两个锐角互余即可求解． 【详解】解：∵中，， ， 故选：B． 考点二：锐角互余的三角形是直角三角形 5．小明同学在学习了“三角形”、“特殊三角形”两堂课后，发现学习内容是逐步特殊化的过程，于是便整理了如图，那么下列选项不适合填入的是（   ） A．两条边相等 B．一个角为直角 C．有一个角 D．两条直角边相等 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的分类以及性质，根据等腰三角形，直角三角形，等腰直角三角形的定义一一判断即可． 【详解】解：．两边相等，是等腰三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角是直角的三角形是直角三角形，适合填入，故该选项不符合题意； ．有一个角，可以是顶角的锐角三角形，也可是底角的等腰直角三角形，故不一定是等腰直角三角形，故该选项符合题意； ．两条直角边相等的直角三角形是等腰直角三角形 ，适合填入，故该选项不符合题意； 故选：C． 6．如图，在等腰三角形中，，为边上的中线，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质等知识，理解等腰三角形底边上的高、底边的中线及顶角的平分线互相重合是解题的关键．首先根据三角形“三线合一”的性质得到，，然后根据直角三角形的两锐角互余得到答案即可． 【详解】解：∵，为边上的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 7．有下列命题：①对顶角相等；②直角三角形的两锐角互余；③两直线平行，内错角相等；④相等的两个数的平方也相等，其中逆命题成立的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查了逆命题的概念及判断命题的真假，直角三角形的判定与性质，熟练掌握逆命题的概念及判断命题的真假是解题的关键．逐一分析各命题的逆命题是否成立即可． 【详解】解：①原命题“对顶角相等”的逆命题为“相等的角是对顶角”，是假命题，不符合题意； ②原命题“直角三角形的两锐角互余”的逆命题为“两锐角互余的三角形是直角三角形”，是真命题，符合题意； ③原命题“两直线平行，内错角相等”的逆命题为“内错角相等，则两直线平行”，是真命题，符合题意； ④原命题“相等的两个数的平方相等”的逆命题为“平方相等的两个数相等”，是假命题，不符合题意． 综上，逆命题成立的为②和③，共2个． 故选：C． 考点三. 斜边的中线等于斜边的一半 8．如图，在中，，点是的中点，，则的长是（　　） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质；熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键． 根据直角三角形斜边上中线等于斜边的一半求解． 【详解】解：中，是的中点， ， 故选：B． 9．如图，在中，是斜边上的中线，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解． 【详解】解：∵在中，是斜边上的中线，， ∴， 故选：D． 10．如图，将直角三角尺放置在刻度尺上，斜边上三个点A，D，B对应的刻度分别为1，4，7（单位：），则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是直角三角形斜边上的中线，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．根据直角三角形斜边上的中线的性质解答即可． 【详解】解：由题意可知：， 在中，是的中线， ， 故选：A． 11．如图，在中，，D为的中点，若，则的长为（    ） A．5 B．4.8 C．2.4 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形性质．熟练掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，是解题的关键． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵中，，D为的中点，， ∴． 故选：A． 考点四.含30度角的直角三角形 12．如图，在中，，，于点，是的中点，若，则的长为（    ） A．2.5 B．5 C．7.5 D．10 【答案】D 【分析】本题考查了三角形内角和定理、直角三角形斜边的中线的性质、等边三角形的判定与性质、含有角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 先根据三角形内角和定理可得，由直角三角形斜边的中线性质定理可得，利用等边三角形的性质及含有角的直角三角形的性质进行计算，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵E是的中点， ∴， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 13．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的两锐角互余，解题的关键是掌握三角形内角和定理 根据直角三角形的两个锐角互余即可求解 【详解】解：在中，，， ∴， 故选：D 14．如图，中，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的性质，先根据直角三角形两锐角互余求出，结合已知可得的度数，然后利用补角的定义求出即可，熟知在直角三角形中，两个锐角互余是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 15．在一个直角三角形中，有一个锐角等于，则另一个锐角的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，已知一个锐角为，另一个锐角的度数即为减去已知锐角的度数． 【详解】解：∵在直角三角形中，两个锐角的和为， ∴． 故选：D． 考点五.用HL证明全等 16．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 17．如图，为的高，E为上一点，交于点F，且有，，要证明需要的判定方法是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定. 根据是三角形的高，得到，故可根据可以判定． 【详解】解：∵是三角形的高， ∴， ∵，， ∴（）， 故选A． 18．如图，在与中，于点E，于点D，，，则可判定的理由是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形判定．根据题意利用判定即可得到本题答案． 【详解】证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：C． 19．如图，点在内部的一条射线上，，垂足为，且．已知点到射线的距离为4，且则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，根据题意，可证，得到，由直角三角形两锐角互余得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵．已知点到射线的距离为4， ∴，， 在中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：B． 考点六.全等的性质与HL综合 20．已知：如图，，，，则的度数为（    ） A．40° B．50° C．60° D．75° 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的内角和定理，先根据三角形的内角和定理求解，再证明得到即可； 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴ 故选：B． 21．在中，，垂足为，为上一点，连接交于点，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，证明可得，即得是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故选：． 22．如图，E是的中点，平分．有下列结论：其中正确的是（  ） A．②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】过E作于F，易证得，得到；而点E是BC的中点，得到，则可证得，得到，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过E作于F，如图， ∵，平分， ∴，， ∴，， ∴； 而点E是的中点， ∴，所以①错误； ∵， ∴， ∴， ∴，所以④正确；∴，所以③正确， ∴， ∴，所以②正确． 综上：②③④正确． 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 23．如图：在中，，是的平分线，于，在上，，，，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线的性质，勾股定理，关键是灵活运用这些性质解决问题． 根据题意可证，可得，，根据勾股定理可得，的长，再根据勾股定理可得的长，即可求的面积． 【详解】解：是的平分线，于， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，． ， ∴，， ， ， 在中，， 的面积为． 故选：B． 一、单选题 1．如图，一根木棍斜靠在与地面垂直的墙上，若测得木棍长为6米，且点P是木棍的中点，则O，P两点间的距离为（　　） A．6米 B．5米 C．4米 D．3米 【答案】D 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解题的关键．连接，根据直角三角形斜边上的中线的性质计算，得到答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，点P是的中点， 则（米）， 故选：D． 2．在中，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：在中，，， 所以，则， 故选：B． 3．如图，在中，，，和分别是的高和角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内角和及外角性质，三角形的高和角平分线，直角三角形两锐角互余，由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义得，由三角形外角性质得，又由三角形的高可得，最后根据直角三角形两锐角互余即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．如图，将直角三角形纸片进行折叠，使得点B恰好落到纸片边缘上的点处，折痕为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，根据折叠的性质，得，结合，解答即可． 本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形外角性质，熟练掌握性质是阶梯的关键． 【详解】解：∵， ∴， 根据折叠的性质，得， ∵， ∴． 故选：B． 5．如图，小昆同学利用刻度直尺（单位：cm）测量三角形纸片的尺寸，点，，分别对应刻度尺上的刻度2，8，5，若，则的长为（    ） A．2cm B．3cm C．4.5cm D．5cm 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的性质，掌握“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 先计算和，确定是斜边上的中线，再利用直角三角形斜边中线的性质求解． 【详解】由题意，得，， ∴， ∵， ∴是斜边上的中线， ∴， 故选：B． 6．如图，在中，，垂直平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是角平分线的判定，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，先证明，，再证明是的平分线，再进一步求解即可． 【详解】连接， ∵， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵，，， ∴是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7．某工程队要在如图所示的一块三角形绿地的边上建一个休息亭，使它到和两边的距离相等则下列方案中，能满足休息亭的位置要求的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查角平分线的性质，关键是掌握角平分线性质定理的逆定理．在角的内部，到角两边的距离相等的点在角的平分线上，由此即可判断． 【详解】解：由题意知平分在上， A、满足休息亭的位置要求，故A符合题意； B、不一定平分，故B不符合题意； C、不在上，故C不符合题意； D、垂直平分的直线交于，故D不符合题意， 故选：A． 8．如图，在中，点在边上，连接，，，与的面积之比为，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的判定定理，过点作，分别垂直于，，根据与的面积之比为，证的，可知平分，进而即可求解． 【详解】解：过点作，分别垂直于，， ∵与的面积之比为， ∴， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， 故选：C． 9．如图，点为内部一点，连接，过点分别作于点，于点，且，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角平分线的判定定理，根据题意得到平分，进而求解即可． 【详解】∵，，且 ∴平分 ∴． 故选：A． 10．如图，在的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，画射线，则平分的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的应用以及基本作图，利用判定方法“”证明和全等，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的平分线． 故选：D． 2、 填空题 11．如图，在中，是的角平分线，，，，则的度数为 度 【答案】 【分析】本题考查的是直角三角形的性质、角平分线的性质、三角形的外角性质，熟记以上知识点是解答此题的关键． 首先根据角平分线的定义求出，由可得出，然后根据三角形外角的性质即可解答． 【详解】解：在中，是的角平分线，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，在中，是斜边的中点，连接，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查直角三角形斜边的中线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，由此即可计算． 【详解】解：∵中，D是斜边的中点， ∴． 故答案为：3． 13．在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的性质，熟记直角三角形两个锐角互余是解决问题的关键． 在中，由直角三角形两个锐角互余直接求解即可得到答案． 【详解】解：在中，一个锐角为，另一个锐角的度数为， 故答案为：． 14．如图，在中，是边上的高，是边上一点，且，若，则 ． 【答案】4 【分析】本题重点考查三角形的高的定义、全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 由是边上的高，推导出 ，即可证明，则，于是得到问题的答案． 【详解】∵在中，是边上的高，是边上一点， ∴于点， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：4． 15．如图，在和中，，要使，若根据“”判定，则还需要添加条件： ． 【答案】（或） 【分析】根据题意，是公共边，只需添加或即可解答． 本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键． 【详解】解：根据题意，是公共边，只需添加或． 故答案为：或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$