专题08勾股定理及逆定理期中复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版八年级数学上册

专题08勾股定理及逆定理期中复习讲义 ☆ 复习目标 1.了解勾股定理的探索过程，熟记勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和 等于斜边的平方；分清直角边、斜边，会用勾股定理已知两边求第三边。 2,掌握勾股定理逆定理：如果三角形三边中较短两边的平方和等于最长边的平方 这个三角形就是直角三角形；能结合前面逆命题、逆定理知识，理解勾股定理和逆 定理是一对互逆定理。 3认识勾股数，能识别常见勾股数，知道勾股数必须是正整数：会利用逆定理判定 三角形形状，区分直角、锐角、钝角三角形。 4熟练运用勾股定理解决实际问题：折叠问题、梯子下滑问题、航海方位问题等， 会构造直角三角形，用方程思想求解边长。 5会用勾股定理求网格、不规则图形的面积，能结合轴对称、等腰三角形、全等三 角形进行综合推理计算。 6掌握分类讨论思想：题目没有指明斜边时，要分情况讨论，同时检验结果是否符 合三角形边长要求。 7理清易错点： ①勾股定理只适用于直角三角形： ②使用逆定理时一定要找最长边来验证； ③计算边长时不要漏开平方。 ☆ 题型梳理 题型 考察方向 难度 ★★ 题型一 用勾股定理解三角形 ★★★ 题型二 勾股树（数）问题 试卷第1页（共3页） ★★ 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★★ 题型四 勾股定理与网格问题 ★★★★ 题型五 勾股定理与折叠问题 ★★★ 题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★★ 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★ 题型八 勾股定理的证明方法 ★★★ 题型九 以弦图为背景的计算题 ★★★★ 题型十 用勾股定理构造图形解决问题 ★ 题型十一 勾股定理与无理数 题型十二 判断三边能否构成直角三角形 ★★ 题型十三 在网格中判断直角三角形 ★★★ 题型十四 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档：★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 ☆ 知识梳理 知识点01：勾股定理标准定义 试卷第2页（共3页） 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等 于斜边的平方。 几何定义：在Rt△ABC中，∠C=90°，直角边为a、b,斜边为C,则 a2+h2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 B c(弦 a(勾)】 6(股)】 知识点02：定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角 边上正方形面积之和=斜边上正方形面积。 6 面积推导逻辑 试卷第3页（共3页） 。大正方形面积：(a+b)2=a2+2ab+b2 。大正方形面积也等于：4个直角三角形面积+中间小正方形 面积 4×号ab+c2=2ab+c2 。联立得：a2+2ab+b2=2ab+c2,化简后得到 a2+b2=c2,完美推导勾股定理。 知识点03：勾股定理符号表达 在Rt△中，设两条直角边长为a、b,斜边长为ca2+h2=c2 常用变形 1已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2=c2-b2b2=c2-a2 2边长计算式： c=Ya+ba-Vc2-b2;b=Vc2-a; 欲记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 试卷第4页（共3页） 文字语言 如果直角三角形的两条直角边长分别为a,b,斜边长为c,那么a2十b2=c2 图示 c(弦 a(勾) 6(股) 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A,∠B,∠C的对边长分别为a,b,c,则a2+b2 符号语言 =c2 a2=c2-b2,b2=c2-a2: 变式 c=√a2+b3,a=Vc2-b2,b=V02-4 勾股定理把“形”与“数”有机地结合起来，即把直角三角形这个“形”与三边关系这 基本思想方法 “数”结合起来，它是数形结合思想的典范 设三角形的三边长分别为a,b,c(c为最长边)，则在锐角三角形中满足ad+b2=c 拓展 在钝角三角形中满足d2+b2=c2 知识点04：勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则这个三角形是直角三角 形，最长边c所对的角为直角。 2标准判定步骤 ①找出三边中最长边； ②分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 如果在Rt△ABC中，∠C=90°， 那么2+b2=c2. 试卷第5页（共3页） 3,勾股定理与逆定理对比 勾股定理的逆定理与勾股定理的关系： 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC中，∠A,∠B,∠C的 在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对 对边长分别为a,b,c,∠C=909 边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2 结论 a2+b2=c2 △ABC为直角三角形，且∠C=90° 勾股定理 关系 a2+b2=c2 勾股定理的逆定理 知识点05：三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+h2=c2→直角三角形 a2+b2>c2一锐角三角形 a2+h2<c2→钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方一→对比大小一→下结论。 知识点06：勾股数 定义：满足a2+b2=c2的正整数组(a,b,c)称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若(a,b,c)是勾股数，则其正整数倍ka,kb,kc)(k>0且 试卷第6页（共3页） 为整数)也是勾股数，如(6,8,10)、(9,12,15) 知识点07：基础应用 1.解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边/一直角边+斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边一代入对应公式计算。 2.网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用 勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3.两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1,y1)、B(x2,y2), 则AB=(x2-x1P+(y2-y1 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点08：几何与实际应用拓展) 1.勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积=两直 角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 试卷第7页（共3页） 2.折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方 程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为x; (2)用x表示折叠后相关线段： (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 矩形ABCD沿BD折叠，点C落在C'处，满 足： 对应线段相等：BC'=BC,C'D=CD,ED=ED 对应角相等：∠C'=∠C=90,∠C'BD=∠CBD 可构造直角三角形（如△ABE或△DEC'),利用勾 股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 知识点09高频易错点（考场避坑专区） 1乱用定理：在非直角三角形中直接套用勾股定理； 2概念混淆：分不清直角边与斜边，计算时代入数据错误； 3忽略分类讨论：已知两边长，未分“两边均为直角边””一斜边一直 角边”两种情况： 试卷第8页（共3页） 4.勾股数误区：小数、分数不属于勾股数（勾股数必须是正整数）； 5折叠题型失误：不会利用折叠的等量关系，无法构造直角三角形列方 程； 6.立体图形展开错误：展开方式不对，导致直角三角形边长取值错 ☆ 题型精析 ■厚年级参动期解第年解国 题型一、用勾股定理解三角形 1.直角△ABC中，a,b为直角边，c为斜边，a:b=3:4,c=15,则此三角形的周长为 () A.30 B.36 C.48 D.50 2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线交AB于D,交BC于E,连接AE, 若BC=4,AB=5,则△ACE的周长为 B 3.如图，某款自动感应水龙头的水管AB竖直安装，B端在洗手台台面上，点C在AB上 且到台面的距离为24cm.出水口D通过横管CD与水管相连，CD⊥AB.红外感应装置安 装在AB上的点E处，且点E位于点C与台面之间.己知CD=16cm,DE=20cm,则红 外感应装置到洗手台台面的距离BE为() 试卷第9页（共3页） 洗手台面 A.8cm B.12cm C.16cm D.20cm 题型二、勾股树（数）问题 4.下列各组数中是勾股数的是() A.0.60.81 B.1,3,10 C.5,13,12 D.3,3,6 5.如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形.若正方形A、B 、C、D的面积分别是7、5、7、9，则正方形E的面积是」 6.如果正整数a、b、c满足等式a2+b2=c2,那么正整数a、b、c叫做勾股数，某同学 将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知x+y的值为() b 3 4 8 6 10 15 8 17 24 10 26 D 65 A.47 B.62 C.79 D.89 题型三、以直角三角形边为边长的图形面积 试卷第10页（共3页） 7.如图，若正方形A、B的面积分别为16和4，则正方形C的面积是() A B C A.4 B.20 C.23 D.12 8.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，分别以AC,BC为边向外作正方形ADEC、正方 形CBGF,若AB=16,则正方形ADEC和正方形CBGF的面积之和为 D B G 9.△ABC与△ODC都是直角三角形，其中∠ABC与∠DOC是直角，如下图所示.图中所 画出的六个半圆形的圆心都用点标出。若阴影部分的面积分别为及、8、及、了， S+S+8=（) S B D C S 1 A.1 B.0.1 C.10 D.2 题型四、勾股定理与网格问题 试卷第11页（共3页） 10.如图，4×4的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A,B,线段AB的 长度为d,则下列结论正确的是() B A.1<d<2 B.2<d<3 c.3<d<4 D 4<d<5 11.在如图所示的方格纸上，若点A,B,C均为格点，则∠ABC的度数是 12.如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以AB为一边作直角三角 形ABC,要求顶点C在格点上，则图中不符合条件的点是() C A G B C C G D G 题型五、勾股定理与折叠问题 13.如图所示，在长方形纸片ABCD中，AB=4cm,BC=8cm,现将其沿EF对折，使得 点C与点A重合，则AE的长为() 试卷第12页（共3页） D C 12 A.3cm B.5cm C.5cm D.8cm 14.如图，在长方形ABCD中，AB=10,BC=16,点P是射线BC上的一点，直线I是长 方形ABCD的一条对称轴，将△ABC沿AP折叠，当点B的对应点B'落在直线I上时，BP 的长是 15.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，BC=1,以AB为边在AB上方作一 个等边△ABD,将四边形ACBD折叠，使D点与C点重合，折痕为HK,则点H到直线 BD的距离为() D 75 55 3W3 A 8 B.6 D.10 题型六、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 16.在△ABC中，∠A=90°，若BC=4,则AB2+AC2的值为() A.4 B.8 C.16 D.32 试卷第13页（共3页） 17.如图，在△CDE中，∠CDE=90°，DE=12cm,CE=13cm,以CD为边作正方形 ABCD,则正方形ABCD的面积是() A D 12cm E 13cm A.5cm2 B.25cm2 C.144cm2 D.169cm2 18.如图，等腰直角△A0B,等腰直角△C0D,∠A0B=∠COD=90,A0=3,C0=4,连 接AD,BC相交于点M,则AC2+BD= A 题型七、利用勾股定理证明线段平方关系 19.如图，四边形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分别以四边形的四条边为边向外作正 1,S2,S3,S4S1+S4=135,S3=49S2= 方形，面积分别为 ，若 ,则 () S3 D S4 S2 A.184 B.86 C.119 D.81 20.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形 ABCD AC,BD O AD=1,BC=4 AB2+CD2= ,对角线 交于点，若 ,则 试卷第14页（共3页） 21.如图，△ABC和△ECD都是等腰直角三角形，△ABC的顶点A在△ECD的斜边DE上. 下列结论：其中正确的有() E ①△ACE≌ABCD ②BD+AD=DE ③DAB=∠BCD ④4E2+AD2=2BC2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 题型八、勾股定理的证明方法 22.勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样.下列各式能用如图所示 的图形面积验证勾股定理的等式是，() A.(a+b)}2=4×ab+c2 1 2 B.(a+b)}2=a2+2ab+b2 c.(a+b)'=(b-a2+4ab D.a2+b2-2ab=(a-b) 23.我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角 形的边长分别是a,b(b>a ,斜边的长为C,作三个边长分别为口，b,C的正方形，把 它们拼成如图所示形状，使A,C,E三点在一条直线上.若AB+AC=I0,四边形 试卷第15页（共3页） ABHW与△CFK面积之和为37，则正方形BCIH的面积为 D G 24.中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史勾股定理目前 约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一.下列四幅图中，不能证明勾 股定理的是() b ■ B.b b a a 6 ■T 6 D b 题型九、以弦图为背景的计算题 25.如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图 案.如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为( ) A.36 B.72 C.18 D.144 26.“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所 试卷第16页（共3页） 示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.图中正 方形ABCD的面积是90，AH=9,则正方形EFGH的面积是一· D 1 27.公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是 由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形.如图，设a=6,小正方形 ABCD的边长是2，则c的长度是() D B A.10 B.12 C.16 D.20 题型十、用勾股定理构造图形解决问题 28.如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺， 问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹 子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x 尺，根据题意，下面所列方程正确的是() A.x+3=(10-xB.+32=102 c.r-32=(00-D.x+(10-x=32 29.如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为4cm,盒子高为20cm,点B在顶点A正 上方I0Cm处.用红色彩带从顶点A开始，绕礼盒侧面一圈到点B,再用黄色彩带从点B开 试卷第17页（共3页） 始绕侧面到顶点C装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为cm. B 30.一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道( B为以4B为直径的半 A 圆)，则卡车的高度必须低于() A 2.3米 H 0.8米7 2米 A.3.0米 B.2.9米 C.2.8米 D.2.7米 题型十一、勾股定理与无理数 31.如图，数轴上点A所表示的实数是() -4 -3、2 -1 01123 A v2 B-1 c.2-1 D -1-V2 32.如图，BC=2,∠0CB=90°，以点0为圆心，OB的长为半径画弧，交数轴于点A, 数轴上的点A所表示的数为 试卷第18页（共3页） -5-4-3-2-1012345→ 33.如图，以点A为圆心，AB的长为半径画弧，交数轴于点C,则点C表示的数为 B A V5+1 A 5-1 B c.5+1 D.5-1 题型十二、判断三边能否构成直角三角形 34.在△ABC中，若AB=2,AC=1.5,BC=2.5,则下面说法正确的是() A.∠A是直角 B.∠B是直角 C.∠C是直角 D.无法确定△ABC是否是直角三角形 35.设a,b,c是△ABC的三条边，且ad3-b=ab-ab2+ac2-bc2,则这个三角形是 36.线段a、b、c不能组成直角三角形的是() A.a=15,b=8,c=17 B.a=32,b=42,c=52 C.a=V41b=4c=5 D.a=7b=24c=25 题型十三、在网格中判断直角三角形 37.正方形网格中，网格线的交点称为格点.如图，已知A、B是两格点，使得△ABC为直 角三角形的格点C的个数是() B 试卷第19页（共3页） A.4个 B.5个 C.6个 D.8个 38.如图，点A、B、C都在格点上，连接AB、BC,则∠ABC的度数是° 39.点A,B,C,D,E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则∠BAC+∠CDE= () A.30° B.45 C.50° D.60° 题型十四、利用勾股定理的逆定理求解 40.若一个三角形的三边长分别为3,4,5，则该三角形的面积为() A.12 B.15 C.6 D.7.5 41.如图，△ABC的三边分别为AC=8,BC=15,AB=17,将△ABC沿AD折叠，使AC落 在AB上，折痕AD的长为， 42.如图，三个正方形的面积分别为8=25，=16，S=9 ,则分别以它们的一边为边 围成的三角形中，∠1+∠2的度数是() 试卷第20页（共3页） S S A.70° B.80° C.90° D.100° 题型十五、勾股定理逆定理的实际应用 43.体育公园边有一块如图所示的地，其中∠ADC=90°， AD=12m.CD=9m.AB=39m.BC=36m 则这块地的面积为（)m D B A.216 B.270 C.432 D.540 44.如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A,河边有两个入口B,C,通过道路 BA,CA可前往观景点A.因景区改造，需要关闭通道CA,为方便游客观景，分散人流， 决定新修道路AD(点D在BC上)'.经测量：AB=1.5km,AD=1.2km,BD=0.9km 则AD是否为从A到河边的最近道路」 (请从“是”“否”“不确定”中选择一个填 空). B C 45.如图，村庄C在新修的村道B端北偏西35°方向100米处，同时在新修的村道A端南 偏西55°方向240米处，村道AB长为260米.现需在村道AB上修建一个公交车停靠站 D,要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是() 试卷第21页（共3页） 1200 1300 A.88米 B.90米 C.13米 D.12米 解答题 46.已知：a=n2+1,b=2n,c=n2-1 ()当n19。 √a+b 时，写出 的值 (2)当=3时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是 (直接写出答案) (3)小明发现：当取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请 通过计算说明理由. 47.己知：∠ACB=90°，AC=BC,过点A作AD11,垂足为D,过点B作BE⊥I,垂 足为E. (1)如图1，线段DE,AD,BE之间的数量关系是 (2)如图2，BE=7,4D=3,则阴影部分的面积 B D 图1 图2 48.如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=5,E为边BC上一点，将△ABE沿AE折 叠，使点B落在长方形ABCD内的点F处，连接DF,且DF=3, 试卷第22页（共3页） B (I)判断△ADF的形状，并说明理由： (2)求BE的长. 49.定义：如图1，点E,F把线段AB分割成AE、EF和BF,若以AE,EF,BF为边的 三角形是一个直角三角形，则称点E,F是线段AB的勾股分割点. A E A E 图1 图2 图3 (I)如图1，己知点E,F是线段AB的勾股分割点，且线段BF是线段AE、EF和BF中最 长的，若AE=7cm,EF=24cm,则线段BF的长为.cm: (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,点E、F在边AB上，且∠ECF=45°， 求证：点E,F是线段AB的勾股分割点： (3)如图3，己知点E在线段AB上，且AE=4cm,BE=10cm,点F在BE上，且E,F是线段 AB的勾股分割点，请直接写出线段BF的长. 50.完成下面的问题： D D 图1 图2 (1)问题探究 如图1，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,且AC⊥BD 求证：BC2+AD2=AB+CD2: 试卷第23页（共3页） (2)问题解决 如图2，△ABC是某小区的局部示意图，其中∠B=90°，AB=600米，AD,DE是两条小 道，D为BC的中点，DE⊥AC于点E,该小区物业计划在AC的下方修一条骑行小道AF ,且满足EF=EC,∠AFE=90°.请根据上述条件，直接写出骑行小道AF的长。 51.综合与实践.如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验 证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于2，另一种是等于四个直角 1 三角形与一个小正方形的面积之和，即2bx4+(6-a,从而得到等式 c2=1 bx4+(b-a',化简便得结论d+公=c2.这里用两种求法来表示同一个量从而得 到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” B a-b B 6 b B 图① 图② 图③ 图④ 【知识迁移】 (I)把两个全等的△ABC和△DEA如图②放置，其三边长分别为a,b,c, ∠BAC=∠DEA=90°，显然BC⊥AD,用a,b,c分别表示出四边形ABDC、梯形AEDC 、△BDE的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理d2+b2=c2; 【方法运用】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中 三个格点，可得△ABC,则AB边上的高为； 【拓展延伸】 (3)如图④，在△ABC中，AD是BC边上的高，AB=4,AC=5,BC=6,设BD=x,请 直接写出x的值， 52.在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D,公路边原有两个站点M,N,其中 MN=MD.由于道路施工，道路DM被阻断，现决定在公路边新建一个站点P(M、NP 试卷第24页（共3页） 在同直线上)，并新建一条道路DP.测得DN=米，DP=4T米，P=1千米 D M (1)请判断道路DP是不是从村庄D到公路的最短路径？并说明理由： (2)新道路DP比原道路DM短多少千米？ 53.“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料， 然后解答问题. 求代数式VP+1+4-x+4(≥0)的最小值. 解题思路：如图，C为线段BD上一动点，分别过B,D作AB⊥BD,ED L BD,连接AC, EC.己知AB=1,DE=2,BD=4.设BC=x,则4C=VR+1,CE=(4-x'+4则问题转 化成求AC+CE的最小值. )上述Vx+1+4-x+4(x之0)的最小值为. (2用几何构图法求代数式+4+2-+9（≥0）的最小值， 3)用几何构图法求方程9-t+V6-=5的解。 试卷第25页（共3页） 专题08勾股定理及逆定理期中复习讲义 1.了解勾股定理的探索过程，熟记勾股定理内容：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；分清直角边、斜边，会用勾股定理已知两边求第三边。 2.掌握勾股定理逆定理：如果三角形三边中较短两边的平方和等于最长边的平方，这个三角形就是直角三角形；能结合前面逆命题、逆定理知识，理解勾股定理和逆定理是一对互逆定理。 3.认识勾股数，能识别常见勾股数，知道勾股数必须是正整数；会利用逆定理判定三角形形状，区分直角、锐角、钝角三角形。 4.熟练运用勾股定理解决实际问题：折叠问题、梯子下滑问题、航海方位问题等，会构造直角三角形，用方程思想求解边长。 5.会用勾股定理求网格、不规则图形的面积，能结合轴对称、等腰三角形、全等三角形进行综合推理计算。 6.掌握分类讨论思想：题目没有指明斜边时，要分情况讨论，同时检验结果是否符合三角形边长要求。 7.理清易错点： ①勾股定理只适用于直角三角形； ②使用逆定理时一定要找最长边来验证； ③计算边长时不要漏开平方。 题型 考察方向 难度 题型一 用勾股定理解三角形 ★★ 题型二 勾股树（数）问题 ★★★ 题型三 以直角三角形三边为边长的图形面积 ★★ 题型四 勾股定理与网格问题 ★★★ 题型五 勾股定理与折叠问题 ★★★★ 题型六 利用勾股定理求两条线段的平方和（差） ★★★ 题型七 利用勾股定理证明线段平方关系 ★★★★ 题型八 勾股定理的证明方法 ★★ 题型九 以弦图为背景的计算题 ★★★ 题型十 用勾股定理构造图形解决问题 ★★★★ 题型十一 勾股定理与无理数 ★★ 题型十二 判断三边能否构成直角三角形 ★ 题型十三 在网格中判断直角三角形 ★★ 题型十四 利用勾股定理的逆定理求解 ★★★ 题型十五 勾股定理逆定理的实际应用 ★★★ 拔高题 8题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01:勾股定理标准定义 文字定义：如果一个三角形是直角三角形，那么两条直角边的平方和等于斜边的平方。 几何定义：在Rt △ABC中，∠ C=90，直角边为a、b，斜边为c，则 a2+b2=c2 名词释义：较短直角边称为勾，较长直角边称为股，斜边称为弦。 知识点02:定理探究原理（面积法） 在直角三角形三边上向外作正方形，通过网格割补法计算面积：两直角边上正方形面积之和 = 斜边上正方形面积。 面积推导逻辑 知识点03:勾股定理符号表达 在 Rt△中，设两条直角边长为 a、b，斜边长为 c a2+b2=c2 常用变形 1.已知斜边、一直角边，求另一直角边： a2c2b2 b2c2a2 2.边长计算式： c=​​；b=​； ✨记忆口诀：直角两边平方和，等于斜边平方值 知识点04:勾股定理的逆定理（判定定理） 1.内容 若三角形三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是直角三角形，最长边c所对的角为直角。 2.标准判定步骤 ① 找出三边中最长边； ② 分别计算两条短边平方和、最长边的平方； ③ 比较大小，相等即为直角三角形，反之则不是。 3.勾股定理与逆定理对比 知识点05:三角形形状判定方法 设c为最长边： a2+b2=c2→ 直角三角形 a2+b2>c2→ 锐角三角形 a2+b2<c2 → 钝角三角形 判定步骤：找最长边→计算三边平方→对比大小→下结论。 知识点06:勾股数 定义：满足 a2+b2=c2 的正整数组 (a,b,c) 称为勾股数 常见勾股数 基础组：(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17) 拓展规律：若 (a,b,c) 是勾股数，则其正整数倍 (ka,kb,kc)（k>0 且为整数）也是勾股数，如 (6,8,10)、(9,12,15) 知识点07:基础应用 1. 解直角三角形 已知条件：直角三角形中任意两边（两直角边 / 一直角边 + 斜边）。 求解目标：求第三边长度。 步骤：先确定斜边 → 代入对应公式计算。 2. 网格中的勾股定理 方法：将斜线段放入网格直角三角形中，数格子得到直角边长度，再用勾股定理求斜边。 应用：计算网格中线段长度、不规则图形面积。 3. 两点间距离（坐标推导） 公式：若两点坐标A(x1​,y1​)、B(x2​,y2​)， 则AB=​ 本质：构造水平、竖直直角边，用勾股定理推导斜边（两点距离）。 知识点08:几何与实际应用(拓展) 1. 勾股树（面积规律） 核心结论：以直角三角形三边向外作正方形，斜边上正方形面积 = 两直角边上正方形面积之和。 拓展：若向外作半圆、正三角形，面积关系依然成立。 2. 折叠问题（高频考点） 核心逻辑：折叠前后对应线段相等、对应角相等，构造直角三角形列方程求解。 解题步骤： (1)设未知线段长度为 x； (2)用 x 表示折叠后相关线段； (3)在直角三角形中代入勾股定理列方程并求解。 矩形 ABCD 沿 BD 折叠，点 C 落在 C′ 处，满足： 对应线段相等：BC′=BC，C′D=CD，ED=ED 对应角相等：∠C′=∠C=90∘，∠C′BD=∠CBD 可构造直角三角形（如 △ABE 或 △DEC′），利用勾股定理列方程求解，与文字逻辑完全一致。 知识点09高频易错点（考场避坑专区） 1.乱用定理：在非直角三角形中直接套用勾股定理； 2.概念混淆：分不清直角边与斜边，计算时代入数据错误； 3.忽略分类讨论：已知两边长，未分 “两边均为直角边”“一斜边一直角边” 两种情况； 4.勾股数误区：小数、分数不属于勾股数（勾股数必须是正整数）； 5.折叠题型失误：不会利用折叠的等量关系，无法构造直角三角形列方程； 6.立体图形展开错误：展开方式不对，导致直角三角形边长取值错 题型一、用勾股定理解三角形 1．直角中，，为直角边，为斜边，，，则此三角形的周长为（     ） A．30 B．36 C．48 D．50 【答案】B 【详解】解：∵在中，，为直角边，为斜边，，， ∴设，（）， ∴， 即， ∴， 解得（负值舍去）， ∴，， ∴三角形周长为． 2．如图，在中，，的垂直平分线交于，交于，连接，若，，则的周长为________． 【答案】7 【分析】利用勾股定理求出的长，根据线段垂直平分线的性质得到，将的周长转化为计算即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是的垂直平分线， ， 的周长， ，， 的周长． 3．如图，某款自动感应水龙头的水管竖直安装，端在洗手台台面上，点在上且到台面的距离为．出水口通过横管与水管相连，红外感应装置安装在上的点处，且点位于点与台面之间．已知，，则红外感应装置到洗手台台面的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在中，由勾股定理得，再根据求出的长度即可． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形 ， ∵在中，，， ∴ ， ∵， ∴ ， 红外感应装置到洗手台台面的高度的长为． 题型二、勾股树（数）问题 4．下列各组数中是勾股数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先排除不是正整数的选项，再验证剩余选项中较小两数的平方和是否等于最大数的平方即可． 【详解】解：、不是正整数，不是勾股数; 、，不是勾股数； 、，是勾股数； 、，不是勾股数． 5．如图是一株勾股树，其中四边形都是正方形，三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别是7、5、7、9，则正方形的面积是________． 【答案】28 【分析】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方是解答此题的关键． 中间左边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，中间右边正方形的面积=正方形的面积+正方形的面积，正方形的面积等于中间两个正方形的面积之和，由此即可得出结论． 【详解】解：设中间两个正方形的边长分别为、，最大正方形的边长为， 由勾股定理得：，，， 即最大正方形的面积为28． 故答案为：28． 6．如果正整数、、满足等式，那么正整数、、叫做勾股数，某同学将自己探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（    ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 x y 65 A．47 B．62 C．79 D．89 【答案】C 【分析】依据每列数的规律，即可得到，， ，进而得出的值． 【详解】解：观察题表可得， ，，， ，，， ，，， ， ，，（且n为正整数）， ∴当时，， ， ，， ． 题型三、以直角三角形三边为边长的图形面积 7．如图，若正方形、的面积分别为16和4，则正方形的面积是（     ） A．4 B．20 C． D．12 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出三个正方形的面积关系即可． 【详解】解：如图： ， ， 这些四边形都是正方形， 、、， 、， ， 因此，正方形C的面积是12． 8．如图，在中，，分别以为边向外作正方形、正方形，若，则正方形和正方形的面积之和为________． 【答案】256 【分析】由勾股定理可得，再结合正方形的面积为，正方形的面积为即可解答． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵正方形的面积为，正方形的面积为， ∴正方形和正方形的面积之和为． 9．与都是直角三角形，其中与是直角，如下图所示．图中所画出的六个半圆形的圆心都用点标出．若阴影部分的面积分别为S、、、，（     ） A．1 B． C．10 D． 【答案】A 【分析】根据题意可得，求出S、、、，结合勾股定理，可得到与S，即可求解． 【详解】解：根据题意得：点O为的中点，即， 由勾股定理得： ， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ∴． 题型四、勾股定理与网格问题 10．如图，的方格纸中每个小方格的边长均为1，连接方格的交点A，B，线段的长度为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，无理数的估算，勾股定理求出的长，夹逼法估算出范围即可． 【详解】解：由勾股定理，得， ∵， ∴； 故选C． 11．在如图所示的方格纸上，若点A，B，C均为格点，则的度数是______． 【答案】/度 【分析】利用勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定，解答即可． 【详解】解：连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，， 且， 故，， 故． 12．如图，在网格图（每个小方格均是边长为1的正方形）中，以为一边作直角三角形，要求顶点在格点上，则图中不符合条件的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在正方形网格中，找出所有符合条件的点．根据直角三角形的判定进行判定即可． 【详解】解： ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 是直角三角形， ， 不是直角三角形， ∴是直角三角形，但不是直角三角形． ∴不符合条件的点是． 题型五、勾股定理与折叠问题 13．如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 14．如图，在长方形中，，，点P是射线上的一点，直线l是长方形的一条对称轴，将沿折叠，当点B的对应点落在直线l上时，的长是______． 【答案】5或20 【分析】根据折叠的性质可知，，设对称轴l与，的交点分别为点E，F，则，，分两种情况讨论：当点P在线段上时，点落在l上或当点P在线段的延长线上时，点落在l上，画出图形利用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知，， 设对称轴l与，的交点分别为点E，F， 则，， 分两种情况讨论： 当点P在线段上时，点落在l上，如图①， 在中，， ∴， 设，则，， 在中，， 即： 解得，及 当点P在线段的延长线上时，点落在l上，如解图②， 在中，， 则， 设，则，， 在中，， 解得，及， 综上所述，的长为5和20． 15．如图，在中，，，，以为边在上方作一个等边，将四边形折叠，使点与点重合，折痕为，则点到直线的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作交的延长线于，作交于，，可得，设，则，，即，解得，设，则，，，在中，，，解方程可得，从而可得，，设点H到的距离为h，利用等面积法求出答案即可． 【详解】解：如图所示，作交的延长线于，作交于， 由翻折的性质可得：， 为等边三角形， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ， ， ， 设，则，，， 在中，， ， 解得：， ， ， ∴， ，， 设点H到的距离为h， ∵， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质、等边三角形的性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 题型六、利用勾股定理求两条线段的平方和（差） 16．在中，，若，则的值为（     ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】C 【详解】解：如图， 在中， ． 17．如图，在中，，，，以为边作正方形，则正方形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么．根据勾股定理可求出，进而求出正方形的面积． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得：， ． 故选：B． 18．如图，等腰直角，等腰直角，，连接相交于点M，则______． 【答案】50 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键．设交于点F，由等腰直角三角形的性质得，，，可证明，求得，，再证明△，得，则，推导出，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点F， ∵和都是等腰直角三角形，，，， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴， 故答案为：50． 题型七、利用勾股定理证明线段平方关系 19．如图，四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作正方形，面积分别为，若，则（    ） A．184 B．86 C．119 D．81 【答案】B 【分析】连接BD，根据勾股定理可得，，即，即可求解． 【详解】解：连接BD， 根据勾股定理可得，， 即， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理，根据直角的信息提示，作出辅助线，构造出直角三角形，是解题的关键． 20．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则________________．    【答案】17 【分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可； 【详解】解：∵， 由勾股定理得， 故答案为：17． 【点睛】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键． 21．如图，和都是等腰直角三角形，的顶点A在的斜边DE上．下列结论：其中正确的有（    ） ①        ② ③        ④ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理． 由和都是等腰直角三角形，可证，进而根据“”可证，故结论①正确；由可得，进而可证结论②正确；由和都是等腰直角三角形可得，从而证得，进而得到，，因此，故结论③正确；在中，，在中，，因此，等量代换即可得到，故结论④正确． 【详解】∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， ∴，故结论①正确； ∵， ∴， ∴，故结论②正确； ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； ∵在中，， 在中，， ∴， ∵，， ∴，故结论④正确． 综上，正确的结论有4个． 故选：D 题型八、勾股定理的证明方法 22．勾股定理在人们的生活中应用广泛，它的证明也是多种多样．下列各式能用如图所示的图形面积验证勾股定理的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的证明，正确表示出图形面积是解题关键． 根据大正方形的面积等于四个直角三角形面积的和加上小正方形的面积计算． 【详解】解：大正方形的边长为，面积为， 小正方形的边长为，面积为， 四个直角三角形的面积都为， 所以， 故选：A． 23．我国清代数学家李锐借助三个正方形用出入相补证明了勾股定理，如图，设直角三角形的边长分别是，，斜边的长为，作三个边长分别为，，的正方形，把它们拼成如图所示形状，使，，三点在一条直线上．若，四边形与面积之和为37，则正方形的面积为_____． 【答案】58 【分析】作于点，根据四边形、四边形、四边形都是正方形，得，，，证明，由题意得，，证明，再证明，得出，根据，，通过计算可得，． 【详解】解：如图，作于点，则， 四边形、四边形、四边形都是正方形， ，，， ， ， ，， ，，， ， ，， ，     ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ①， ， ②， 由①②得， ， ， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查勾股定理的证明、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、乘法公式等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 24．中国是最早发现并研究勾股定理的国家之一，迄今已有三千多年的历史.勾股定理目前约有五百多种证明方法，是数学中证明方法较多的定理之一．下列四幅图中，不能证明勾股定理的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】观察图形，通过两种不同的方法计算同一个图形的面积，建立等量关系，化简后判断即可． 【详解】解：A、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； B、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，展示了完全平方公式的几何意义，故符合题意； C、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意； D、图形的面积可以表示为，还可以表示为，则，整理可得，故不符合题意． 题型九、以弦图为背景的计算题 25．如图的“赵爽弦图”是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案．如果该大正方形的面积为81，小正方形的面积为9，则一个直角三角形的面积为（    ） A．36 B．72 C．18 D．144 【答案】C 【分析】本题主要考查了“赵爽弦图”的应用，根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积，再计算可得答案． 【详解】解：一个直角三角形的面积为． 故选：C． 26．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．图中正方形的面积是90，，则正方形的面积是_____． 【答案】36 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质，理解题意是解题的关键． 根据题意得到，根据正方形的面积是90，结合勾股定理求出的长，得出的长，再利用正方形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的， ∴， ∵大正方形的面积是90， ∴， ∵， ∴， 则， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴正方形的面积是． 故答案为：36． 27．公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设，小正方形的边长是2，则c的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理进行求解． 【详解】解：由题意可知：， 由勾股定理得：， ． 题型十、用勾股定理构造图形解决问题 28．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 故选：A． 29．如图，一个正六棱柱的礼品盒子底面边长为，盒子高为，点在顶点正上方处．用红色彩带从顶点开始，绕礼盒侧面一圈到点，再用黄色彩带从点开始绕侧面到顶点装饰，则红色与黄色彩带的总长度至少为_______． 【答案】/ 【分析】本题考查棱柱的侧面展开图性质，勾股定理，掌握立体图形最短路径转化思想是解题关键． 将正六棱柱侧面展开为长方形，根据绕侧面的圈数确定水平直角边长，结合两点间竖直高度差确定垂直直角边，再用勾股定理分别计算两段彩带的最短长度并求和． 【详解】解：正六棱柱的侧面展开图如下， 由题可知，红色彩带绕一圈从到，则红色彩带为， 黄色彩带绕半圈从到，则黄色彩带为， 底面边长为，高为，点在顶点正上方处， ，，， ， ， 故红色与黄色彩带的总长度至少为． 故答案为：． 30．一辆装满货物，宽为1.6米的卡车，欲通过如图所示的隧道（为以为直径的半圆），则卡车的高度必须低于（　　） A．3.0米 B．2.9米 C．2.8米 D．2.7米 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是掌握勾股定理的应用，根据图形，可得，根据勾股定理求出，则，根据题意，则卡车的外形小于，即可． 【详解】解：由图形可得，（米），（米）， ∵， ∴， 解得：（米）， ∵， ∴（米）， ∴卡车的外形不得高于米． 故选：B． 题型十一、勾股定理与无理数 31．如图，数轴上点A所表示的实数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据勾股定理可得，正方形的对角线为，从而可得点表示的数． 【详解】解：由勾股定理可得，正方形的对角线为：， ∴点表示的数为：． 32．如图，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，数轴上的点所表示的数为________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得到，结合点在数轴上的位置即可求解． 【详解】解：由图和题意可知，，，， 在中，由勾股定理得： ， ∵以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点， ∴， ∵点在点的左侧， ∴点所表示的数为． 33．如图，以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点，则点表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出的长，再根据圆的半径相等得出的长，最后根据点的坐标及点的位置求出点表示的数． 【详解】解：由图可知，直角三角形的两直角边长分别为和， ， 以点为圆心，的长为半径画弧，交数轴于点 ， 点表示的数为，且点在点的右侧， 点表示的数为． 题型十二、判断三边能否构成直角三角形 34．在中，若，，，则下面说法正确的是（     ） A．是直角 B．是直角 C．是直角 D．无法确定是否是直角三角形 【答案】A 【分析】利用勾股定理的逆定理，解答即可． 【详解】解：∵　，，， ∴　，，； ∵　， ∴　， ∴　是直角三角形，且是直角． 35．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 【答案】等腰三角形或直角三角形/直角三角形或等腰三角形 【分析】对已知等式移项分组后进行因式分解，得到，根据多个因式乘积为零则至少一个因式为零，可得或，结合三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 或 ∴或 又∵a，b，c是的三条边， 是等腰三角形或直角三角形． 36．线段a、b、c不能组成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】先化简含乘方的边长，再验证两较短边的平方和是否等于最长边的平方，逐一判断是否为直角三角形． 【详解】解：A．，是直角三角形； B．，，，，不能构成三角形； C．，是直角三角形； D．，是直角三角形． 题型十三、在网格中判断直角三角形 37．正方形网格中，网格线的交点称为格点．如图，已知A、B是两格点，使得为直角三角形的格点C的个数是（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】C 【分析】分三种情况，，，分别找出格点，即可得出答案． 【详解】解：当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 当时，点、符合要求； 综上分析可知，使得为直角三角形的格点C的个数是6个，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定，分三种情况进行讨论，是解题的关键． 38．如图，点A、B、C都在格点上，连接、，则的度数是 _______． 【答案】45 【分析】 连接，由勾股定理求出、、的长，再由勾股定理的逆定理证明是等腰直角三角形，即可得出结论． 【详解】 解：如图，连接， 设每个小网格的边长为1， 由勾股定理得： ，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形，， ∴． 39．点A，B，C，D，E是如图所示的正方形网格中网格线的交点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理、勾股定理的逆定理、平行线的性质、等腰三角形的性质，连接，设小正方形的边长为x，根据勾股定理得，，，再根据勾股定理的逆定理，得，从而，由，得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， 设图中每个小正方形的边长为x， ，，， ，， ， ， 由题意得，， ， ， ， 故选：B． 题型十四、利用勾股定理的逆定理求解 40．若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则该三角形的面积为（   ） A．12 B．15 C．6 D．7.5 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆应用和三角形面积的计算，解决此题的关键是合理的利用勾股定理的逆定理，先根据勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，再求出面积即可； 【详解】解：∵一个三角形的三边长分别为3，4，5， 又， ∴这个三角形是直角三角形，且直角边分别为3，4， ∴该三角形的面积为， 故选：C． 41．如图，的三边分别为，将沿折叠，使落在上，折痕的长为___________． 【答案】/ 【分析】根据勾股定理的逆定理，即，判断出是直角三角形，设折叠后点与上的点重合．在中，根据勾股定理即可得到一个关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形． 设折叠后点与上的点重合，如图， 设，则，，，， ， 在中，， 解得， ． 42．如图，三个正方形的面积分别为，，，则分别以它们的一边为边围成的三角形中，的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理，得出围成的三角形为直角三角形，根据三角形内角和定理求出的度数即可． 【详解】解：如图， 三个正方形的面积分别为，，， ，即， 为直角三角形， ， ． 题型十五、勾股定理逆定理的实际应用 43．体育公园边有一块如图所示的地，其中，，则这块地的面积为（    ）． A．216 B．270 C．432 D．540 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，先利用勾股定理求出，再证明，，据此根据这块地的面积列式求解即可． 【详解】解；如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴这块地的面积， 故选：A． 44．如图，在某一景观河的一侧有一个最佳观景点A，河边有两个入口B，C，通过道路BA，CA可前往观景点A．因景区改造，需要关闭通道，为方便游客观景，分散人流，决定新修道路（点D在上）．经测量：，，．则是否为从A到河边的最近道路______（请从“是”“否”“不确定”中选择一个填空）． 【答案】是 【分析】可证明，则可得到，再由垂线段最短可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， 由垂线段最短可知是从A到河边的最近道路． 45．如图，村庄C在新修的村道B端北偏西方向100米处，同时在新修的村道A端南偏西方向240米处，村道长为260米．现需在村道上修建一个公交车停靠站D，要求村庄C距公交车停靠站D的距离最近，则最近的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理判定是直角三角形，过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离，根据的面积求出即可． 【详解】解：由题意得米，米，米， ∴， ∴是直角三角形，． ∴（平方米）． 过点C作于点N，则的长为点C到的最近距离． ∵， ∴， ∴米， ∴最近的距离是米． 解答题 46．已知：，， (1)当n时，写出的值_______； (2)当n时，若以a、b、c的值作为一个三角形的三边长，则这个三角形的面积是_______．（直接写出答案） (3)小明发现：当n取大于1的整数时，a、b、c为勾股数，你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1)20 (2)24 (3) 解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理和完全平方公式，熟练掌握勾股定理及逆定理进行求解是解决本题的关键． （1）根据题意可得，，把代入计算即可； （2）先求解，再证明，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，计算可得，应用勾股定理的逆定理即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得， ， ∴当n时， ， 故答案为：20； （2）解：， 当时， ， ， ， 这个三角形的面积是， 故答案为：24； （3）略 47．已知： ，，过点A作，垂足为D，过点B作，垂足为E． （1）如图1，线段之间的数量关系是___________________； （2）如图2，，则阴影部分的面积_______________ 【答案】 【分析】（1）一线三垂直模型中可证，得，故 ； （2）同理可证，，再根据 求出，结合三角形面积公式求解． 【详解】解：（1） ，，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， 又， 故； （2），，， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 则阴影部分的面积为． 48．如图，在长方形中，，，E为边上一点，将沿折叠，使点落在长方形内的点处，连接，且． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)是直角三角形，理由如下： 连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴． ∵， ∴． 在中，，，， ∵，， ∴， ∴是直角三角形． (2)的长为2 【分析】（1）根据折叠的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，求出的值；在中，已知三边长度，根据勾股定理的逆定理判断三角形形状即可． （2）根据折叠的性质，证明三角形全等，得到对应边、对应角相等；根据角度关系证明点E、F、D在同一直线上，根据线段关系表示出、；在中，运用勾股定理列方程即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：设，连接，如图， 由折叠的性质可知，， ∴，． 由（1）可知，， ∴， ∴点E、F、D在同一直线上， ∴． 在长方形中，，， ∴． 在中，， 即 解得． 答：的长为2． 49．定义：如图1，点，把线段分割成、和，若以为边的三角形是一个直角三角形，则称点，是线段的勾股分割点． (1)如图1，已知点，是线段的勾股分割点，且线段是线段、和中最长的，若，，则线段的长为_____； (2)如图2，在中，，，点、在边上，且，求证：点，是线段的勾股分割点； (3)如图3，已知点在线段上，且，点在上，且是线段的勾股分割点，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)证明：如图，过点作，且，连接， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴点是线段的勾股分割点； (3)线段的长为或 【分析】（1）由勾股分割点的定义知，代入计算可得； （2）过点作，且．先证，得，，再证，得，然后在中，由勾股定理得，即可得出结论； （3）分两种情况：最长和最长，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】（1）解：∵点是线段的勾股分割点，且线段是线段和中最长的，，， ∴； （2）略； （3）解：当最长时，， 设，则， ∴， 解得：， 即； 当最长时，， 设，则， 则， 解得：， 即； 综上所述，线段的长为或． 50．完成下面的问题： (1)问题探究 如图1，在四边形中，对角线，交于点，且． 求证：； (2)问题解决 如图2，是某小区的局部示意图，其中，米，，是两条小道，为的中点，于点．该小区物业计划在的下方修一条骑行小道，且满足，．请根据上述条件，直接写出骑行小道的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴、、、都是直角三角形， 由勾股定理可得，，，，， ∴； (2)米 【分析】（1）由勾股定理可得； （2）利用勾股定理与等量代换可得，结合为的中点可得米． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可知，，，，都是直角三角形， 由勾股定理可得，，， ∵， ∴， 又∵为的中点，即， ∴， ∴米． 答：骑行小道的长为米． 51．综合与实践．如图①是“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形拼成，用它可以验证勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【知识迁移】 (1)把两个全等的和如图②放置，其三边长分别为a，b，c，，显然，用a，b，c分别表示出四边形、梯形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，验证勾股定理； 【方法运用】 (2)请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，网格中小正方形的边长均为1，连接其中三个格点，可得，则边上的高为　　； 【拓展延伸】 (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，请直接写出x的值． 【答案】(1)解：， ； ； ， ， ， ； (2) (3) 【分析】（1）先表示出各个图形的面积，进而可得出，化简之后即可证明； （2）先运用勾股定理求出，再用两种求三角形面积的方法求解高即可； （3）根据勾股定理得，分别表示后，建立等式解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由图可得，； ， 边上的高为； （3）解：在中，， ， 在中，， ， ， ， ， 解得． 52．在一条东西走向的公路一侧有一个村庄D，公路边原有两个站点M，N，其中．由于道路施工，道路被阻断，现决定在公路边新建一个站点P（M、N、P在同一直线上），并新建一条道路．测得千米，千米，千米． (1)请判断道路是不是从村庄到公路的最短路径？并说明理由； (2)新道路比原道路短多少千米？ 【答案】(1)道路是从村庄到公路的最短路径；理由如下： 千米，千米，千米， ， ， ， 是从村庄到公路的最短路径； (2)新道路比原道路短千米 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理可得，即可得到答案； （2）设（千米），根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设（千米），则（千米）， （千米）， ， ， ， ， 解得， （千米）， （千米）， 新道路比原道路短千米． 53．“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答问题． 求代数式的最小值． 解题思路：如图，C为线段上一动点，分别过B，D作，连接，．已知．设，则则问题转化成求的最小值． (1)上述的最小值为__________； (2)用几何构图法求代数式的最小值； (3)用几何构图法求方程的解． 【答案】(1)5 (2)的最小值为13 (3)方程的解是 【详解】（1）解：如图，过点A作交的延长线于点F，则四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 的最小值为5， ， 的最小值为5， 故答案为：5； （2）如图，取线段，分别过B、D作，且，连接， 设,则，， ， 即当A、C、E在同一直线上时，的值最小，线段的长即为的最小值， 过点A作交的延长线于点F，则四边形是矩形， ， ， ， ， 即的最小值为13； （3）如图构造，于点D，，如图所示： 设，则， ， ， ， 解得， 另外，也满足方程． 方程的解是． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $