精品解析：天津市武清区王庆坨中学2025-2026学年高二上学期第二次月考数学试题

高二数学第二次练习 一、选择题：每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，向量，，且，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量共线列出方程求解即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，即， 所以解得，，， 所以， 故选：D 2. 拋物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线、双曲线方程确定焦点坐标、渐近线方程，再由点线距离公式求距离. 【详解】由题设，双曲线的渐近线为， 所以焦点到双曲线的渐近线的距离. 故选：A 3. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据空间向量的线性运算，即可求解. 【详解】如图，连接， 则， ， , 所以. 故选：C 4. 数列满足，且，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式，求得数列的周期性，结合周期性得到，即可求解. 【详解】因为数列满足，且， 可得， 可得数列是以三项为周期的周期数列， 所以. 故选：C. 5. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式与通项公式解决实际问题. 【详解】由题知：塔的每层灯数构成等差数列，则 首项为 ，公差 ，项数 ，， 根据等差数列前 项和公式： ， ， 计算化简：即， 所以根据等差数列通项公式： ，代入 、、， . 故选：C. 6. 已知数列是等差数列，若，则等于（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 7(n-1) 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列的性质计算. 【详解】因为，所以. 故选：B 7. 已知直线与圆交于、两点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，以及圆的半径，利用勾股定理可求得实数的值. 【详解】圆的标准方程为，则，可得， 圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 由勾股定理可得，解得. 故选：A. 8. 抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据在渐近线上可求得，结合抛物线准线可得其焦点坐标，由此可构造方程求得，进而得到双曲线方程. 【详解】由双曲线方程知其渐近线方程为：， 在双曲线的一条渐近线上，又，，即； 由题意知：抛物线准线为：，抛物线的焦点为， ，解得：， 双曲线方程为：，即. 故选：D. 9. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 分析】先由定义求出抛物线方程，再由渐近线和离心率求出双曲线方程. 【详解】因为上一点到其焦点的距离为， 由定义可得，得，所以抛物线方程为. 代入点，可得， 双曲线左顶点为，渐近线斜率为， 由得，直线的斜率为， 因渐近线与直线平行，则，即， 两边平方得，将代入，得，解得（故）， 所以，则，双曲线方程为. 故选：A. 二、填空题：每小题4分，共24分.请将正确的答案填写到答题纸上. 10. 已知椭圆（）的短轴长为6，则实数的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据方程分析，利用短轴长求解. 【详解】因为，所以，即. 故答案为：3 11. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件求得，由此求得实轴长. 【详解】由于，双曲线的渐近线方程为， 所以双曲线的渐近线与轴夹角小于， 由得，实轴长． 故答案为： 12. 已知空间中三点，，，则点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据空间中点到直线的距离的向量公式求解. 【详解】由点的坐标可得， 则点到直线的距离为. 故答案为： 13. 已知等差数列的前项和为，若，，则______. 【答案】 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，依题意得到方程组，求出、即可. 【详解】设等差数列的公差为，因为， 所以，解得， 所以, 故答案为：. 14. 过原点的一条直线与圆：相切，交焦点为F的拋物线（）于点，若，则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆和曲线关于轴对称，不妨设切线方程为，，即可根据直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系解出． 【详解】易知圆和曲线关于轴对称， 不妨设切线方程为，， 所以，解得：， 由解得：或，即， 由于， 所以，解得：． 当时，同理可得． 故答案为：2. 15. 等差数列｛an｝中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号） 【答案】①②④ 【解析】 【详解】考点：等差数列的性质． 分析：由已知可得a7＞0，a8＜0；①d=a8-a7＜0，②S9-S6=a7+a8+a9=3a8＜0，③由于d＜0，所以a1最大，④结合d＜0，a7＞0，a8＜0，可得S7最大；可得答案． 解答：解：由s6＜s7，S7＞S8可得S7-S6=a7＞0，S8-S7=a8＜0 所以a8-a7=d＜0①正确 ②S9-S6=a7+a8+a9=3a8＜0，所以②正确 ③由于d＜0，所以a1最大③错误 ④由于a7＞0，a8＜0，s7最大，所以④正确 故答案为①②④ 点评：本题主要考查了等差数列的性质，通过对等差数列性质的研究，培养学生探索、发现的求知精神，养成探索、总结的良好习惯． 三、解答题：每小题12分，共60分.写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上， （1）求圆的标准方程； （2）圆，当为何值时，两圆外切？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心，利用圆心到点和距离相等联立关于方程，进而求解圆的方程； （2）利用两圆外切时圆心距等于两圆半径之和，建立关于的方程求解. 【小问1详解】 设圆心，则圆心到点和距离分别为 ， 所以 ，即， 解得， 所以圆的半径，圆心， 故圆的方程为. 【小问2详解】 由圆，得， 故圆的圆心，设半径为，则. 两圆外切时满足， 又因为， 所以，解得. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于，连接，通过证明，可证明结论； （2）以点为坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，即可求解面面角的余弦值； （3）由（2）可得，即可求解点到平面的距离. 【小问1详解】 连接交于，连接， 由底面为矩形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面; 【小问2详解】 根据题意，以点坐标原点，分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由 ， 则 ， 则，，， 故平面的一个法向量为， 设为平面的法向量，则，即， 令，则，故， 所以， 根据题意，可得平面与平面夹角为锐角， 故平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 由（2）可知为平面的法向量，， 所以， 所以点到平面的距离为. 18. 已知等差数列前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前10项和． （3）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意求解和，再根据等差数列定义求解通项公式； （2）计算前6项为正项，后4项为负项，再结合等差数列求和公式求解即可; （3）结合等差数列求和公式分类讨论和时数列的求和公式即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 由，得，即， 由，得，即， 联立，解得，故， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，若，解得， 故时，，时，， 所以， 又因为 所以数列的前10项和为. 【小问3详解】 由（2）知故，时，， 所以； 当时，， 所以 综上所述. 19. 已知椭圆：（）经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率以及经过的点即可求解， （2）联立直线与椭圆的方程，根据韦达定理可得点，进而根据向量垂直满足的坐标关系求解. 【小问1详解】 由题意可得所以， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 由题意可得直线的斜率存在，故设直线的方程为，， ， 所以，所以， 故，, 所以， 所以， 所以，解得， 故直线的方程为. 20. 已知数列，且． （1）证明：数列为等差数列；并求出 （2）设，求的前项和． 【答案】（1）证明见解析； （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再结合等差数列求解； （2）根据（1）得，利用求得，再结合等差数列求和公式求解. 【小问1详解】 由，得，即， 所以数列是以为首项，为公差等差数列， 所以， 故. 【小问2详解】 由（1）知，，则，即为等差数列， 因为，公差， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学第二次练习 一、选择题：每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1. 设，，向量，，且，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 2. 拋物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 在四棱柱中，设，，，，，则（ ） A B. C. D. 4. 数列满足，且，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 5. 据有关文献记载：我国古代一座9层塔共挂了126盏灯，且相邻两层中的下一层灯数比上一层灯数都多3盏，则塔的底层共有灯（ ） A. 38盏 B. 32盏 C. 26盏 D. 18盏 6. 已知数列是等差数列，若，则等于（ ） A. 7 B. 14 C. 21 D. 7(n-1) 7 已知直线与圆交于、两点，且，则（ ） A B. C. D. 8. 抛物线的准线与双曲线的渐近线交于点，且有一个公共的焦点，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 9. 已知双曲线的左顶点为，离心率为，抛物线上一点到其焦点的距离为.若双曲线的一条渐近线与直线平行，则双曲线的方程为( ) A. B. C D. 二、填空题：每小题4分，共24分.请将正确的答案填写到答题纸上. 10. 已知椭圆（）的短轴长为6，则实数的值为______. 11. 已知双曲线的两条渐近线的夹角为，则双曲线的实轴长为____． 12. 已知空间中三点，，，则点到直线的距离为______. 13. 已知等差数列的前项和为，若，，则______. 14. 过原点的一条直线与圆：相切，交焦点为F的拋物线（）于点，若，则的值为______. 15. 等差数列｛an｝中，Sn是它的前n项之和，且S6＜S7，S7＞S8，则①此数列的公差d＜0；②S9一定小于S6；③a7是各项中最大的一项；④S7一定是Sn中的最大值．其中正确的是______________（填入你认为正确的所有序号） 三、解答题：每小题12分，共60分.写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 已知圆经过点和，且圆心在直线上， （1）求圆的标准方程； （2）圆，当为何值时，两圆外切？ 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，，是的中点，点在棱上且 （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点到平面的距离. 18. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前10项和． （3）求数列的前项和. 19. 已知椭圆：（）经过点，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆交于点（异于顶点）与轴交于点，点为椭圆的右焦点，为坐标原点，，求直线的方程. 20 已知数列，且． （1）证明：数列为等差数列；并求出 （2）设，求的前项和． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $