3.3 抛物线 导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　3.3.2 抛物线的简单几何性质 01 学习目标 1．能说出定义的三个要素（焦点、准线、定点不在定直线上），画出定义图，把 翻译成坐标式；知道 是圆锥曲线统一定义中 的情形。 2．能由定义推导出（两边平方即可消去绝对值， 是结论）；能由"焦点在哪条轴、开口朝哪边"写出四种标准方程，也能反过来由方程读出焦点、准线、，并记住顶点到焦点、顶点到准线都是。 3．掌握焦半径四式，能"见焦点就换准线"，用三点共线求 的最小值。 4．掌握通径、焦点弦，以及三大定值：、、。 5．会用点差法（弦中点 时）与"设而不求"处理中点弦、定值、定点；能辨析"只有一个公共点"的相切与平行于对称轴两种情形。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·四种标准方程与焦点、准线的对应关系（含 的几何意义） ·焦半径公式与"定义转化"求最值 ·焦点弦弦长与三大定值结论 ·点差法与直线和抛物线位置关系的讨论 ·焦点、准线里到底用 还是，负号型最容易翻符号 ·定义中"距离相等"要带绝对值处理，且必须排除定点在定直线上 ·"只有一个公共点"包括相切和平行于对称轴两种情形 ·定值、定点题中参数如何消去（设而不求 + 韦达定理） 03 目录 ·01 学习目标｜02 重点 · 难点 ·03 目录｜04 知识结构图（六类模型） ·05 知识清单：定义 · 四型标准方程 · 几何性质 · 焦半径 · 焦点弦 · 中点弦 · 位置关系 · 切线光学 ·06 考点清单：16 个考点与常见考法 ·类型一 ~ 类型六：模型特征 / 通法三步 / 核心结论 / 易错提醒 + 各 5 题 ·07 方法对照总表｜08 答案速查｜最后三句话 04 知识结构图 ① 类型一 · 定义与方程定形 先定轴、再定开口、最后定 p 抛物线 六 类 模 型 ④ 类型四 · 中点弦与位置关系 点差法 k=p/y₀，先验 Δ＞0 ② 类型二 · 焦半径与距离最值 换成到准线距离，三点共线取等 ⑤ 类型五 · 定值定点与最值 设而不求，参数消去找定点 ③ 类型三 · 焦点弦与三大定值 弦长 x₁+x₂+p，韦达做定值 ⑥ 类型六 · 切线光学与实际应用 平行进过焦点出，建模选好坐标系 看图口诀：见"到焦点"就换"到准线"，见"过焦点"就记三大定值；见"中点"就点差，见"只有一个交点"先想平行于对称轴。六类题，四句口诀，起手就能定型。 05 知识清单 一、定义与方程的由来 平面内与定点 和定直线（点 不在 上）距离相等的点的轨迹叫抛物线：。 叫焦点， 叫准线， 到 的距离 叫焦准距。 推导：取、，由，两边平方得。不必先讨论绝对值：两边平方时它自然消去；平方后得到的是结论，可用来判断点在哪一侧，而不是"去绝对值"的前提。 统一视角：， 即抛物线；三条要素缺一不可，若，轨迹是过 且垂直于 的直线，不是抛物线。 概念与方程的对应：定义只说"距离相等"，方程只说"坐标满足"，两者是同一件事的两种语言。把定义写成坐标式，只能得到 或 四种；反过来，任给其中一个方程，都能立刻还原出焦点与准线——四种标准方程与"一个焦点 + 一条准线"一一对应，没有第五种。 图 1 抛物线的定义：动点 到焦点 的距离与它到准线的距离始终相等 四种标准方程（） 方程 开口 焦点 准线 范围 向右 向左 向上 向下 三步定型：看平方项是 还是 定轴；看一次项正负定开口；焦点坐标 = 一次项系数除以 4（）。把 记成"焦点到准线的距离"，就不会把 的焦点写成。 图 2 四种标准方程：平方项定对称轴，一次项符号定开口，虚线为准线 二、几何性质（以 为例） ·范围：、 可取任意实数，向右无限延伸；它不是函数图象（除顶点外一个 对应两个）。 ·对称性：只关于 轴对称，没有对称中心； 在线上则 也在线上。 ·顶点：唯一，即原点。顶点到焦点、到准线都是，三者共线且以顶点为中心对称。 ·离心率；所有抛物线都相似； 越大开口越宽。 ·通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，端点，长，是最短焦点弦。 ·最短距离：抛物线上点到准线、到焦点的距离最小值都是（顶点处取得）。 ·无渐近线、无中心； 与坐标轴只交于原点。 三、焦半径四式（ 在线上） ； ； 用法：凡是"到焦点的距离"，一律换成"到准线的距离"，最值问题立即变成"两点之间线段最短"。 图 3 焦半径：， 为 到准线的垂足 四、焦点弦（ 过焦点） 弦长：；角度式（ 为倾斜角），最小值为（垂直对称轴时）。 三大定值：，，。 几何性质：以 为直径的圆与准线相切； 为 在准线上的射影，则。 图 4 焦点弦：，竖直虚线为通径 五、中点弦 · 位置关系 · 切线 ·点差法（）：以 为中点的弦，斜率；须检验，且 在内部（）。 ·弦长：（联立后配合韦达）。 ·位置关系：联立后看（ 两交点， 相切， 无交点）；直线平行于对称轴时也只交于一点，但不是相切。 ·点与线： 在内部（含焦点一侧，等价于"到焦点比到准线近"）， 在线上， 在外部。 ·切线： 上点 处切线；光学性质为"平行于对称轴入射，反射后过焦点"（反之亦然）。 ·与二次函数： 即，焦点，准线，通径长。 图 5 中点弦： 为 中点，斜率（点差法），且必须验证 06 考点清单 考点 常见考法 关键处理 1 定义辨析 判断轨迹是否为抛物线 抓"距离相等"与"焦点不在准线上" 2 标准方程 待定系数求方程 先定轴、再定开口、最后定 3 焦点与准线 求焦点、准线；由焦点反求 焦点横（纵）坐标绝对值 4 焦半径 求、 最值 换成到准线距离，三点共线取等 5 通径 求通径长、用最短弦求范围 通径 6 焦点弦 求弦长、分段长、面积 或 7 焦点弦定值 证、求 设，联立 韦达 8 中点弦 给中点求方程、给斜率求中点 点差法，验 考点 常见考法 关键处理 9 位置关系 判断交点个数、求参数范围 讨论 平行于对称轴情形 10 弦长与面积 三角形、四边形面积 弦长公式 点到直线距离 11 定值 证明某式为定值 设点设线 → 韦达 → 消参 12 定点 证直线过定点 过 13 最值 距离、面积最值，参数范围 定义转化／二次函数／判别式 14 切线 求切线方程、证相切 或 15 光学与应用 拱桥、天线、探照灯建模 反射必过焦点；顶点放在原点 16 综合交汇 与向量、圆、数列结合 向量条件坐标化后联立 易错优先序：① 与 混淆；② 负号型开口与准线符号；③ 焦点弦漏；④ 单交点漏"平行于对称轴"；⑤ 最值不检验取等条件。 类型一 定义与方程定形 模型特征 题干出现"求标准方程""焦点坐标""准线方程""焦准距（焦点到准线的距离）"，或给出焦点位置、开口方向、过某点、通径长。本质只有一件事：把 和 安到正确的位置。 通法三步 ①定型：平方项是 则焦点在 轴、开口左右；是 则焦点在 轴、开口上下；一次项为正朝正方向，为负朝负方向。 ②定：焦准距就是；焦点坐标绝对值 × 2 得；通径长；过点则代入求。 ③写结果：方程、焦点 或、准线 或，最后代回检验。 口诀：先看谁平方，再看向哪开，最后系数除以四。 核心结论 ：焦点，准线 ：焦点，准线 是焦点到准线的距离；顶点到焦点、顶点到准线都是；由一次项系数除以 4 得到。顶点不在原点时（ 等），只把 平移到顶点旁， 不变。 易错提醒 ·把 当成：如 中，焦点是 而不是。 ·不化标准式就直接读： 要先写成，此时、。 ·负号型翻错： 的准线是，不是。 ·只给"过某点"时开口可能有两种，漏解；给"焦点在 轴上"要与"焦点在 轴上"分开讨论。 例题精练 1．抛物线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 答案 A 由 得，焦点坐标是一次项系数除以 4，即； 项不出现 焦点在 轴上。 2．已知抛物线的焦点为，则它的标准方程是（ ） A． B． C． D． 答案 B 焦点在 轴负半轴 设；由 得，故，方程为。 3．焦点到准线的距离为 4，且开口向左的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 答案 C "焦点到准线的距离"就是，不是：；开口向左取负号，得。 4．抛物线 的准线方程是（ ） A． B． C． D． 答案 D 先化标准式，此时、；焦点在 轴正向，准线。 5．抛物线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 答案 B 顶点为，对称轴水平、开口向右；，只需把 加在顶点横坐标上，得。 本类小结 五道题共用一句话：先定型、再定、最后系数除以四。第 3、4 题专治"把 当"和"不化标准式"，第 5 题是同一模型加了平移——只动，不动。 类型二 焦半径与距离最值 模型特征 出现"抛物线上一点到焦点的距离"" 求点坐标"" 的最小值""到准线距离之和最小"。本质是把焦点距离翻译成准线距离，再让折线变成垂线。 通法三步 ①把 写成（向正方向开口）或（向负方向开口）。 ②求最值时把 改写成，即"到定点的距离 到定直线的距离"。 ③过 A 作准线的垂线，垂线与抛物线的交点即为取等位置；最小值 = A 到准线的距离。 口诀：见焦点换准线，能共线就取等。 核心结论 ； ； 的最小值为（顶点处）； 的最小值为（当 A 在抛物线内部时）。 易错提醒 ·负号型符号错： 上，不是。 ·求最值时没检查"等号能否取到"（垂足是否落在抛物线上、A 是否在内部）。 ·由 反求坐标只写一个解：由于 的关系，纵坐标应有正负两解。 ·把 当成，或忘记 与 的区别。 例题精练 1．抛物线 上一点 到焦点的距离为 7，则 的横坐标为（ ） A．4 B．3 C．5 D．6 答案 A 由 得，焦半径，令，得。 2．抛物线 上一点到焦点的距离为 5，则该点的纵坐标为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 答案 C 开口向上，，，得（横坐标由 再定）。 3．抛物线 的焦点为，， 在抛物线上，则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D． 答案 B ，（准线）。所以，过 A 作准线的垂线与抛物线的交点即取等，最小值。 4．抛物线 的焦点为，， 在抛物线上，则 的最小值为（ ） A． B．2 C． D．3 答案 A 在抛物线内部（），故最小值就是A 到准线 的距离：（取等点）。 5．抛物线 的焦点为，若抛物线上一点 满足，则 的坐标为（ ） A． B． C． 或 D． 答案 C ，；代回，关于 轴对称的两个点都满足。 本类小结 五道题的起手都是""。第 3、4 题是最值模型：取等条件一定画出来检查——垂线的垂足要真的落在抛物线上；第 5 题提醒 给的是等距条件，坐标通常成对出现。 类型三 焦点弦与三大定值 模型特征 题干里出现"过焦点的直线交抛物线于、 两点"，再加上"弦长""""""以 为直径的圆"等字样。这类题只有一条主线：设过焦点的直线，联立，用韦达写对称式。 通法三步 ①设线：过焦点 的直线写成（推荐，能含竖直线），或（须另补斜率不存在的情形）。 ②联立：与 联立得，于是，。 ③收口：弦长用，其余量都化成、 再代入。 核心结论 （ 为倾斜角，最短为通径） ；； 以 为直径的圆与准线相切；设、 为、 在准线上的射影，则，且。 中点横坐标，中点纵坐标（用 时）。 易错提醒 ·用 时漏掉斜率不存在：此时弦就是通径，长为。 ·弦长忘加：，不是。 · 里的 是倾斜角，不是斜率；写成 必错。 · 是负值，符号丢了整题作废； 才是正值。 例题精练 1．过抛物线 的焦点作倾斜角为 的弦，则（ ） A．4 B． C．6 D．8 答案 B 。直接用：。 2．过抛物线 的焦点作弦，若，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 答案 C 焦点弦长公式。这里的 一定要加，它正是"两点到准线的距离比到焦点多出来的那一段"。 3．过抛物线 的焦点作弦交抛物线于、，则（ ） A．3 B．9 C． D． 答案 D ，焦点。设 代入得，由韦达，与 无关。 4．过抛物线 的焦点作弦，则（ ） A． B． C．1 D．2 答案 A ，定值公式给出，与弦的位置无关。可验证：取通径时，。 5．抛物线 的焦点为，过 的弦 长 8，则 中点的横坐标为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 答案 B 由 得，中点横坐标。注意弦中点在准线右侧，，符合。 本类小结 类型三的所有题都是"一设、一联、两韦达"。第 1、2 题练公式本身，第 3、4 题是定值——定值与弦怎么放无关，所以取通径验算最省时，第 5 题把弦长公式反过来当条件用。 类型四 中点弦与位置关系 模型特征 题干给"弦 的中点为"要你求直线方程或斜率；或者问"直线与抛物线有几个公共点""点 在抛物线内还是外"。核心工具只有两件：点差法与判别式。 通法三步 ①设、，中点，即、。 ②两式代入抛物线方程后作差：，约去 得。 ③写出直线后必须回代验——中点弦存在的条件是 在抛物线内部，不验会算出"不存在的弦"。 核心结论 的中点弦： 存在条件 的中点弦： 存在条件 交点个数： 两个； 相切，一个； 没有。唯一例外——直线与对称轴平行（或重合）时，联立后是一次方程，也只有一个公共点。 点与抛物线： 在抛物线内部（含焦点那一侧，即到焦点更近）， 在曲线上， 在外部。 易错提醒 ·点差法求出 就直接作答，不验：中点若在外部，这条弦根本不存在。 ·公式记反： 型是，分母是纵坐标，不是。 ·"只有一个公共点"误答，漏掉与对称轴平行的直线。 ·判断内外时把 与 弄反：对， 小于 才是内部（焦点在内部，最省事的检验就是把焦点代进去）。 例题精练 1．抛物线 的弦 的中点为，则 所在直线的斜率为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 答案 B ，代中点弦公式。验：， 在内部，弦确实存在。 2．抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 答案 A ，，由点斜式，得。回代检验：，，中点确实是。 3．直线 与抛物线 只有一个公共点，则 的值为（ ） A．1 B．0 C．0 或 1 D．0 或 答案 C 两情形：相切时代入得，令 得；平行于对称轴时，即，只交于 一点。故 或。 4．点 相对于抛物线 的位置是（ ） A．在抛物线上 B．在抛物线内部 C．在抛物线外部 D．无法确定 答案 B 把 代入左边：，右边。，即，故 在抛物线内部（含焦点一侧）。口诀：把焦点 代进去永远满足，它就是"内部"的样本点。 5．抛物线 的弦 的中点为，则 所在直线的斜率为（ ） A．2 B． C．1 D． 答案 C 这是 型，，中点弦公式换成。验：， 在内部；回代得，。 本类小结 点差法只有一行推导，难在三点：公式分型（ 型除以纵坐标、 型除以横坐标）、验、"一个公共点"要分相切与平行两种。第 3 题是最常被扣分的题型。 类型五 定值定点与最值 模型特征 题干出现"证明直线恒过定点""求 面积的最小值""若"" 为定值"。 这类题不算某个具体点，而是带着参数算完，看参数最后能不能消掉：消掉就是定值，系数为零就是定点，剩一个二次式就是最值。 通法三步 ①设线：过 轴上某点 的直线写（能含竖直线）；过其它点时写，并注明斜率不存在的情形。 ②联立得关于 的二次方程，写出、（对抛物线的题，优先用 作主元，因为 代 只出一次式，判别式干净）。 ③把目标量写成对称式： 用；面积用；最值用配方或基本不等式。 核心结论 弦 恒过定点（ 为原点） （定值） 弦 恒过定点 焦点弦：，最短为通径； 面积（ 时，取等位置是通径）。 参数消不掉的项保留，能消掉的项令其系数为零 → 解出定点坐标。 易错提醒 ·设 漏掉斜率不存在；设 漏掉与 轴平行的直线。 ·定值题只拿一条特殊弦算出数就下结论，没有对一般参数证明——大题会判"不充分"。 ·面积忘、忘绝对值： 可正可负，必须取。 ·垂直条件写错：是，不是。 例题精练 1．抛物线 上两点、 满足，则直线 恒过的定点为（ ） A． B． C． D． 答案 A ，由结论直接得定点。推法：设，代入得，、；由 得，。 2．过点 的直线与抛物线 交于、，则（ ） A．4 B． C． D．2 答案 B 设，代入得，，与 无关。这正是"过 的弦"的定值。 3．抛物线 的焦点为，过 的弦为，则 面积的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 答案 C （）。又， 即通径时取等，故。 4．过抛物线 焦点的所有弦中，最短弦长为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 答案 B ，，故。 时取到最小值，这条弦就是通径。 5．直线 与抛物线 交于、 两点，且，则（ ） A． B．4 C． D．2 答案 A 由 代入得，、；。由 得， 或。 时一个交点退化为顶点，不满足"两点"，舍去，故（此时）。 本类小结 类型五的答案几乎都能"背结论秒杀"，但过程分在推导里：第 1、2 题是固定结论，第 3、4 题靠 这条桥，第 5 题提醒参数解完要回到题设验证（交点是否真的两个）。 类型六 切线光学与实际应用 模型特征 一类是"求抛物线在某点处的切线"；一类是"平行于对称轴的光线经抛物面反射后过焦点"（探照灯、太阳灶、卫星天线）；一类是把拱桥、喷泉、隧道等实际问题"翻译"成抛物线方程。 通法三步 ①切线：先确认点在抛物线上，再直接套点切线公式—— 上点 的切线是，不必设 再求。 ②光学：把"反射光线过焦点"翻译成"该点到焦点距离等于到准线距离"——本质还是定义，不用真的算反射角。 ③建模：原点放在顶点、坐标轴沿对称轴，开口方向决定正负号；把已知点（拱高、跨度、口径端点）代入求，最后回到实际单位作答。 核心结论 上 处切线：，斜率 切线与 轴交于，与切点的横坐标关于原点对称；（顶点处）切线为 轴，斜率不存在。 光学性质：平行于对称轴的光线射到抛物面，反射后都过焦点；反过来，从焦点发出的光反射后平行于对称轴射出。 建模常用：开口向上取，开口向下取；顶点在原点时"拱高 曲线在端点处的"，焦距恒为。 图 6 切线 与光学性质：平行于对称轴入射，反射后过焦点 易错提醒 ·把 用在抛物线外的点：这个公式只对曲线上的点成立。 ·斜率背错：，不是，也不是。 ·顶点处切线忘记讨论： 时切线是 轴，写 就分母为零了。 ·建模把 当成拱高或口径：拱高是端点处的纵坐标，口径是端点的横坐标差的绝对值。 例题精练 1．抛物线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 答案 A 先验，点在曲线上。，代：，即。 2．抛物线 在点 处的切线与 轴交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 答案 D ，切线，即。令 得，交点，正好是切点横坐标 的相反数。 3．已知直线 与抛物线 相切，则切点坐标为（ ） A． B． C． D． 答案 A 切线斜率为，由 得，代回 得，切点。 4．平行于抛物线对称轴的光线射到抛物面上，经反射后（ ） A．过顶点 B．过焦点 C．仍平行于对称轴 D．过准线与对称轴的交点 答案 B 这是抛物线的光学性质：平行入射的光经抛物面反射后全部过焦点，这正是太阳灶、卫星天线把接收器放在焦点的原因。 5．某卫星天线是抛物面，口径（直径）为 4 m，深 1 m，则焦点到顶点的距离为（ ） A．0.5 m B．2 m C．1 m D．4 m 答案 C 顶点放原点、开口向上，设。口径 4 m 即边缘，深 1 m 即边缘，代入得，。焦点到顶点距离 m。 本类小结 类型六是"公式 一用就完"的送分题，真正拉开差距的是建模的三步：建系、定、回到单位。第 3 题反过来用斜率求切点，第 5 题的坑在于"口径是、深度是"，别把 直接当焦距。 07 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 一 定义与方程定形 求焦点／准线／方程；给方程写焦点 先定对称轴与开口，再算，一次项系数除以 4 二 焦半径与距离最值 ； 的最小值 换成到准线的距离，过 作准线垂线取等 三 焦点弦与三大定值 过焦点作弦；弦长；； 设 联立，韦达代入，弦长 四 中点弦与位置关系 弦的中点；只有一个公共点；点在抛物线内／外 点差法（ 型用），回代验 五 定值定点与最值 恒过定点；面积最小； 设，全部化成、，消参找定点 六 切线光学与实际应用 某点处的切线；平行光线反射；拱桥／天线 ；光学即定义；建系定 后换算单位 08 答案速查 类型 1 2 3 4 5 一 A B C D B 二 A C B A C 三 B C D A B 四 B A C B C 五 A B C B A 六 A D A B C 表中每一行的 1–5 对应本类中的五道题，即全卷第 1–30 题。 最后三句话 一、抛物线的全部内容可以归结为一句翻译：到焦点的距离 到准线的距离。任何条件先往这句上靠。 二、所有计算都绕不开：焦点、准线、焦半径、弦长。差一个，整题连锁错。 三、每做完一道题，回头问自己一句：这道题的条件是用哪个等式"翻译"过来的？答得出，这一类就真的会了。 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.3 抛物线 3.3.1 抛物线及其标准方程　·　3.3.2 抛物线的简单几何性质 01 学习目标 1．能说出定义的三个要素（焦点、准线、定点不在定直线上），画出定义图，把 翻译成坐标式；知道 是圆锥曲线统一定义中 的情形。 2．能由定义推导出（两边平方即可消去绝对值， 是结论）；能由"焦点在哪条轴、开口朝哪边"写出四种标准方程，也能反过来由方程读出焦点、准线、，并记住顶点到焦点、顶点到准线都是。 3．掌握焦半径四式，能"见焦点就换准线"，用三点共线求 的最小值。 4．掌握通径、焦点弦，以及三大定值：、、。 5．会用点差法（弦中点 时）与"设而不求"处理中点弦、定值、定点；能辨析"只有一个公共点"的相切与平行于对称轴两种情形。 02 重点 · 难点 本节重点 本节难点 ·四种标准方程与焦点、准线的对应关系（含 的几何意义） ·焦半径公式与"定义转化"求最值 ·焦点弦弦长与三大定值结论 ·点差法与直线和抛物线位置关系的讨论 ·焦点、准线里到底用 还是，负号型最容易翻符号 ·定义中"距离相等"要带绝对值处理，且必须排除定点在定直线上 ·"只有一个公共点"包括相切和平行于对称轴两种情形 ·定值、定点题中参数如何消去（设而不求 + 韦达定理） 03 目录 ·01 学习目标｜02 重点 · 难点 ·03 目录｜04 知识结构图（六类模型） ·05 知识清单：定义 · 四型标准方程 · 几何性质 · 焦半径 · 焦点弦 · 中点弦 · 位置关系 · 切线光学 ·06 考点清单：16 个考点与常见考法 ·类型一 ~ 类型六：模型特征 / 通法三步 / 核心结论 / 易错提醒 + 各 5 题 ·07 方法对照总表｜最后三句话 04 知识结构图 ① 类型一 · 定义与方程定形 先定轴、再定开口、最后定 p 抛物线 六 类 模 型 ④ 类型四 · 中点弦与位置关系 点差法 k=p/y₀，先验 Δ＞0 ② 类型二 · 焦半径与距离最值 换成到准线距离，三点共线取等 ⑤ 类型五 · 定值定点与最值 设而不求，参数消去找定点 ③ 类型三 · 焦点弦与三大定值 弦长 x₁+x₂+p，韦达做定值 ⑥ 类型六 · 切线光学与实际应用 平行进过焦点出，建模选好坐标系 看图口诀：见"到焦点"就换"到准线"，见"过焦点"就记三大定值；见"中点"就点差，见"只有一个交点"先想平行于对称轴。六类题，四句口诀，起手就能定型。 05 知识清单 一、定义与方程的由来 平面内与定点 和定直线（点 不在 上）距离相等的点的轨迹叫抛物线：。 叫焦点， 叫准线， 到 的距离 叫焦准距。 推导：取、，由，两边平方得。不必先讨论绝对值：两边平方时它自然消去；平方后得到的是结论，可用来判断点在哪一侧，而不是"去绝对值"的前提。 统一视角：， 即抛物线；三条要素缺一不可，若，轨迹是过 且垂直于 的直线，不是抛物线。 概念与方程的对应：定义只说"距离相等"，方程只说"坐标满足"，两者是同一件事的两种语言。把定义写成坐标式，只能得到 或 四种；反过来，任给其中一个方程，都能立刻还原出焦点与准线——四种标准方程与"一个焦点 + 一条准线"一一对应，没有第五种。 图 1 抛物线的定义：动点 到焦点 的距离与它到准线的距离始终相等 四种标准方程（） 方程 开口 焦点 准线 范围 向右 向左 向上 向下 三步定型：看平方项是 还是 定轴；看一次项正负定开口；焦点坐标 = 一次项系数除以 4（）。把 记成"焦点到准线的距离"，就不会把 的焦点写成。 图 2 四种标准方程：平方项定对称轴，一次项符号定开口，虚线为准线 二、几何性质（以 为例） ·范围：、 可取任意实数，向右无限延伸；它不是函数图象（除顶点外一个 对应两个）。 ·对称性：只关于 轴对称，没有对称中心； 在线上则 也在线上。 ·顶点：唯一，即原点。顶点到焦点、到准线都是，三者共线且以顶点为中心对称。 ·离心率；所有抛物线都相似； 越大开口越宽。 ·通径：过焦点且垂直于对称轴的弦，端点，长，是最短焦点弦。 ·最短距离：抛物线上点到准线、到焦点的距离最小值都是（顶点处取得）。 ·无渐近线、无中心； 与坐标轴只交于原点。 三、焦半径四式（ 在线上） ； ； 用法：凡是"到焦点的距离"，一律换成"到准线的距离"，最值问题立即变成"两点之间线段最短"。 图 3 焦半径：， 为 到准线的垂足 四、焦点弦（ 过焦点） 弦长：；角度式（ 为倾斜角），最小值为（垂直对称轴时）。 三大定值：，，。 几何性质：以 为直径的圆与准线相切； 为 在准线上的射影，则。 图 4 焦点弦：，竖直虚线为通径 五、中点弦 · 位置关系 · 切线 ·点差法（）：以 为中点的弦，斜率；须检验，且 在内部（）。 ·弦长：（联立后配合韦达）。 ·位置关系：联立后看（ 两交点， 相切， 无交点）；直线平行于对称轴时也只交于一点，但不是相切。 ·点与线： 在内部（含焦点一侧，等价于"到焦点比到准线近"）， 在线上， 在外部。 ·切线： 上点 处切线；光学性质为"平行于对称轴入射，反射后过焦点"（反之亦然）。 ·与二次函数： 即，焦点，准线，通径长。 图 5 中点弦： 为 中点，斜率（点差法），且必须验证 06 考点清单 考点 常见考法 关键处理 1 定义辨析 判断轨迹是否为抛物线 抓"距离相等"与"焦点不在准线上" 2 标准方程 待定系数求方程 先定轴、再定开口、最后定 3 焦点与准线 求焦点、准线；由焦点反求 焦点横（纵）坐标绝对值 4 焦半径 求、 最值 换成到准线距离，三点共线取等 5 通径 求通径长、用最短弦求范围 通径 6 焦点弦 求弦长、分段长、面积 或 7 焦点弦定值 证、求 设，联立 韦达 8 中点弦 给中点求方程、给斜率求中点 点差法，验 考点 常见考法 关键处理 9 位置关系 判断交点个数、求参数范围 讨论 平行于对称轴情形 10 弦长与面积 三角形、四边形面积 弦长公式 点到直线距离 11 定值 证明某式为定值 设点设线 → 韦达 → 消参 12 定点 证直线过定点 过 13 最值 距离、面积最值，参数范围 定义转化／二次函数／判别式 14 切线 求切线方程、证相切 或 15 光学与应用 拱桥、天线、探照灯建模 反射必过焦点；顶点放在原点 16 综合交汇 与向量、圆、数列结合 向量条件坐标化后联立 易错优先序：① 与 混淆；② 负号型开口与准线符号；③ 焦点弦漏；④ 单交点漏"平行于对称轴"；⑤ 最值不检验取等条件。 类型一 定义与方程定形 模型特征 题干出现"求标准方程""焦点坐标""准线方程""焦准距（焦点到准线的距离）"，或给出焦点位置、开口方向、过某点、通径长。本质只有一件事：把 和 安到正确的位置。 通法三步 ①定型：平方项是 则焦点在 轴、开口左右；是 则焦点在 轴、开口上下；一次项为正朝正方向，为负朝负方向。 ②定：焦准距就是；焦点坐标绝对值 × 2 得；通径长；过点则代入求。 ③写结果：方程、焦点 或、准线 或，最后代回检验。 口诀：先看谁平方，再看向哪开，最后系数除以四。 核心结论 ：焦点，准线 ：焦点，准线 是焦点到准线的距离；顶点到焦点、顶点到准线都是；由一次项系数除以 4 得到。顶点不在原点时（ 等），只把 平移到顶点旁， 不变。 易错提醒 ·把 当成：如 中，焦点是 而不是。 ·不化标准式就直接读： 要先写成，此时、。 ·负号型翻错： 的准线是，不是。 ·只给"过某点"时开口可能有两种，漏解；给"焦点在 轴上"要与"焦点在 轴上"分开讨论。 例题精练 1．抛物线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 2．已知抛物线的焦点为，则它的标准方程是（ ） A． B． C． D． 3．焦点到准线的距离为 4，且开口向左的抛物线的标准方程是（ ） A． B． C． D． 4．抛物线 的准线方程是（ ） A． B． C． D． 5．抛物线 的焦点坐标是（ ） A． B． C． D． 本类小结 五道题共用一句话：先定型、再定、最后系数除以四。第 3、4 题专治"把 当"和"不化标准式"，第 5 题是同一模型加了平移——只动，不动。 类型二 焦半径与距离最值 模型特征 出现"抛物线上一点到焦点的距离"" 求点坐标"" 的最小值""到准线距离之和最小"。本质是把焦点距离翻译成准线距离，再让折线变成垂线。 通法三步 ①把 写成（向正方向开口）或（向负方向开口）。 ②求最值时把 改写成，即"到定点的距离 到定直线的距离"。 ③过 A 作准线的垂线，垂线与抛物线的交点即为取等位置；最小值 = A 到准线的距离。 口诀：见焦点换准线，能共线就取等。 核心结论 ； ； 的最小值为（顶点处）； 的最小值为（当 A 在抛物线内部时）。 易错提醒 ·负号型符号错： 上，不是。 ·求最值时没检查"等号能否取到"（垂足是否落在抛物线上、A 是否在内部）。 ·由 反求坐标只写一个解：由于 的关系，纵坐标应有正负两解。 ·把 当成，或忘记 与 的区别。 例题精练 1．抛物线 上一点 到焦点的距离为 7，则 的横坐标为（ ） A．4 B．3 C．5 D．6 2．抛物线 上一点到焦点的距离为 5，则该点的纵坐标为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．抛物线 的焦点为，， 在抛物线上，则 的最小值为（ ） A．3 B．4 C．5 D． 4．抛物线 的焦点为，， 在抛物线上，则 的最小值为（ ） A． B．2 C． D．3 5．抛物线 的焦点为，若抛物线上一点 满足，则 的坐标为（ ） A． B． C． 或 D． 本类小结 五道题的起手都是""。第 3、4 题是最值模型：取等条件一定画出来检查——垂线的垂足要真的落在抛物线上；第 5 题提醒 给的是等距条件，坐标通常成对出现。 类型三 焦点弦与三大定值 模型特征 题干里出现"过焦点的直线交抛物线于、 两点"，再加上"弦长""""""以 为直径的圆"等字样。这类题只有一条主线：设过焦点的直线，联立，用韦达写对称式。 通法三步 ①设线：过焦点 的直线写成（推荐，能含竖直线），或（须另补斜率不存在的情形）。 ②联立：与 联立得，于是，。 ③收口：弦长用，其余量都化成、 再代入。 核心结论 （ 为倾斜角，最短为通径） ；； 以 为直径的圆与准线相切；设、 为、 在准线上的射影，则，且。 中点横坐标，中点纵坐标（用 时）。 易错提醒 ·用 时漏掉斜率不存在：此时弦就是通径，长为。 ·弦长忘加：，不是。 · 里的 是倾斜角，不是斜率；写成 必错。 · 是负值，符号丢了整题作废； 才是正值。 例题精练 1．过抛物线 的焦点作倾斜角为 的弦，则（ ） A．4 B． C．6 D．8 2．过抛物线 的焦点作弦，若，则（ ） A．6 B．7 C．8 D．10 3．过抛物线 的焦点作弦交抛物线于、，则（ ） A．3 B．9 C． D． 4．过抛物线 的焦点作弦，则（ ） A． B． C．1 D．2 5．抛物线 的焦点为，过 的弦 长 8，则 中点的横坐标为（ ） A．2 B．3 C．4 D．6 本类小结 类型三的所有题都是"一设、一联、两韦达"。第 1、2 题练公式本身，第 3、4 题是定值——定值与弦怎么放无关，所以取通径验算最省时，第 5 题把弦长公式反过来当条件用。 类型四 中点弦与位置关系 模型特征 题干给"弦 的中点为"要你求直线方程或斜率；或者问"直线与抛物线有几个公共点""点 在抛物线内还是外"。核心工具只有两件：点差法与判别式。 通法三步 ①设、，中点，即、。 ②两式代入抛物线方程后作差：，约去 得。 ③写出直线后必须回代验——中点弦存在的条件是 在抛物线内部，不验会算出"不存在的弦"。 核心结论 的中点弦： 存在条件 的中点弦： 存在条件 交点个数： 两个； 相切，一个； 没有。唯一例外——直线与对称轴平行（或重合）时，联立后是一次方程，也只有一个公共点。 点与抛物线： 在抛物线内部（含焦点那一侧，即到焦点更近）， 在曲线上， 在外部。 易错提醒 ·点差法求出 就直接作答，不验：中点若在外部，这条弦根本不存在。 ·公式记反： 型是，分母是纵坐标，不是。 ·"只有一个公共点"误答，漏掉与对称轴平行的直线。 ·判断内外时把 与 弄反：对， 小于 才是内部（焦点在内部，最省事的检验就是把焦点代进去）。 例题精练 1．抛物线 的弦 的中点为，则 所在直线的斜率为（ ） A．1 B．2 C．4 D． 2．抛物线 中，以 为中点的弦所在直线的方程为（ ） A． B． C． D． 3．直线 与抛物线 只有一个公共点，则 的值为（ ） A．1 B．0 C．0 或 1 D．0 或 4．点 相对于抛物线 的位置是（ ） A．在抛物线上 B．在抛物线内部 C．在抛物线外部 D．无法确定 5．抛物线 的弦 的中点为，则 所在直线的斜率为（ ） A．2 B． C．1 D． 本类小结 点差法只有一行推导，难在三点：公式分型（ 型除以纵坐标、 型除以横坐标）、验、"一个公共点"要分相切与平行两种。第 3 题是最常被扣分的题型。 类型五 定值定点与最值 模型特征 题干出现"证明直线恒过定点""求 面积的最小值""若"" 为定值"。 这类题不算某个具体点，而是带着参数算完，看参数最后能不能消掉：消掉就是定值，系数为零就是定点，剩一个二次式就是最值。 通法三步 ①设线：过 轴上某点 的直线写（能含竖直线）；过其它点时写，并注明斜率不存在的情形。 ②联立得关于 的二次方程，写出、（对抛物线的题，优先用 作主元，因为 代 只出一次式，判别式干净）。 ③把目标量写成对称式： 用；面积用；最值用配方或基本不等式。 核心结论 弦 恒过定点（ 为原点） （定值） 弦 恒过定点 焦点弦：，最短为通径； 面积（ 时，取等位置是通径）。 参数消不掉的项保留，能消掉的项令其系数为零 → 解出定点坐标。 易错提醒 ·设 漏掉斜率不存在；设 漏掉与 轴平行的直线。 ·定值题只拿一条特殊弦算出数就下结论，没有对一般参数证明——大题会判"不充分"。 ·面积忘、忘绝对值： 可正可负，必须取。 ·垂直条件写错：是，不是。 例题精练 1．抛物线 上两点、 满足，则直线 恒过的定点为（ ） A． B． C． D． 2．过点 的直线与抛物线 交于、，则（ ） A．4 B． C． D．2 3．抛物线 的焦点为，过 的弦为，则 面积的最小值为（ ） A．1 B． C．2 D．4 4．过抛物线 焦点的所有弦中，最短弦长为（ ） A．2 B．4 C．8 D．16 5．直线 与抛物线 交于、 两点，且，则（ ） A． B．4 C． D．2 本类小结 类型五的答案几乎都能"背结论秒杀"，但过程分在推导里：第 1、2 题是固定结论，第 3、4 题靠 这条桥，第 5 题提醒参数解完要回到题设验证（交点是否真的两个）。 类型六 切线光学与实际应用 模型特征 一类是"求抛物线在某点处的切线"；一类是"平行于对称轴的光线经抛物面反射后过焦点"（探照灯、太阳灶、卫星天线）；一类是把拱桥、喷泉、隧道等实际问题"翻译"成抛物线方程。 通法三步 ①切线：先确认点在抛物线上，再直接套点切线公式—— 上点 的切线是，不必设 再求。 ②光学：把"反射光线过焦点"翻译成"该点到焦点距离等于到准线距离"——本质还是定义，不用真的算反射角。 ③建模：原点放在顶点、坐标轴沿对称轴，开口方向决定正负号；把已知点（拱高、跨度、口径端点）代入求，最后回到实际单位作答。 核心结论 上 处切线：，斜率 切线与 轴交于，与切点的横坐标关于原点对称；（顶点处）切线为 轴，斜率不存在。 光学性质：平行于对称轴的光线射到抛物面，反射后都过焦点；反过来，从焦点发出的光反射后平行于对称轴射出。 建模常用：开口向上取，开口向下取；顶点在原点时"拱高 曲线在端点处的"，焦距恒为。 图 6 切线 与光学性质：平行于对称轴入射，反射后过焦点 易错提醒 ·把 用在抛物线外的点：这个公式只对曲线上的点成立。 ·斜率背错：，不是，也不是。 ·顶点处切线忘记讨论： 时切线是 轴，写 就分母为零了。 ·建模把 当成拱高或口径：拱高是端点处的纵坐标，口径是端点的横坐标差的绝对值。 例题精练 1．抛物线 在点 处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．抛物线 在点 处的切线与 轴交点的坐标为（ ） A． B． C． D． 3．已知直线 与抛物线 相切，则切点坐标为（ ） A． B． C． D． 4．平行于抛物线对称轴的光线射到抛物面上，经反射后（ ） A．过顶点 B．过焦点 C．仍平行于对称轴 D．过准线与对称轴的交点 5．某卫星天线是抛物面，口径（直径）为 4 m，深 1 m，则焦点到顶点的距离为（ ） A．0.5 m B．2 m C．1 m D．4 m 本类小结 类型六是"公式 一用就完"的送分题，真正拉开差距的是建模的三步：建系、定、回到单位。第 3 题反过来用斜率求切点，第 5 题的坑在于"口径是、深度是"，别把 直接当焦距。 07 方法对照总表 类型 识别关键词 一句话做法 一 定义与方程定形 求焦点／准线／方程；给方程写焦点 先定对称轴与开口，再算，一次项系数除以 4 二 焦半径与距离最值 ； 的最小值 换成到准线的距离，过 作准线垂线取等 三 焦点弦与三大定值 过焦点作弦；弦长；； 设 联立，韦达代入，弦长 四 中点弦与位置关系 弦的中点；只有一个公共点；点在抛物线内／外 点差法（ 型用），回代验 五 定值定点与最值 恒过定点；面积最小； 设，全部化成、，消参找定点 六 切线光学与实际应用 某点处的切线；平行光线反射；拱桥／天线 ；光学即定义；建系定 后换算单位 最后三句话 一、抛物线的全部内容可以归结为一句翻译：到焦点的距离 到准线的距离。任何条件先往这句上靠。 二、所有计算都绕不开：焦点、准线、焦半径、弦长。差一个，整题连锁错。 三、每做完一道题，回头问自己一句：这道题的条件是用哪个等式"翻译"过来的？答得出，这一类就真的会了。 学科网（北京）股份有限公司 $