第二十六讲 抛物线的简单几何性质导学案-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学导学案聚焦抛物线的简单几何性质，涵盖标准方程、图形、范围、对称轴等核心知识点，通过类比椭圆、双曲线引导学生探究，构建圆锥曲线知识脉络，为后续学习提供支架。 资料系统梳理必掌握知识点与易错点，设计十大必考题型及巩固提升题，助力学生深化理解，培养数学抽象与推理能力，提升运用数学语言解决问题的意识，适合教学与自主学习。

第二十六讲 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 【学习目标】类比椭圆、双曲线，探究抛物线的简单几何性质． 【学习重点】抛物线的简单几何性质以及过焦点的弦的性质. 【学习难点】运用抛物线的几何特征简化计算． 必掌握知识点 一、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 二、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 三、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 四、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 五、参数方程 的参数方程为（参数） 六、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 七、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 八、焦点弦的常考性质 1. 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 2.已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 九易错总结 1.抛物线没有渐近线； 2.一个公共点≠相切（直线平行对称轴）； 3.过焦点垂直对称轴弦长（通径）不是； 4.焦点； 5.距离条件得到轨迹可能是两段抛物线弧，不是完整抛物线； 6.抛物线上四点不能构成平行四边形； 7.焦半径一定要结合开口方向，符号不能乱套。 必考题型全掌握 题型一、抛物线的定义 1．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 2．已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3（多选）．已知是抛物线的焦点，，P是C上的任意一点，则（   ） A．的最小值是2 B．以P为圆心且过F的圆与C的准线相切 C．的中点轨迹方程为 D．使面积为5的点P有4个 题型二、抛物线标准方程与基本几何性质（开口、焦点、准线、对称轴、通径） 4．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 5．下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 6．对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 题型三、抛物线上点的最值问题（距离最值、焦半径最值） 7．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型四、抛物线与直线位置关系 10．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 11．已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率恒有，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 12．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 题型五、抛物线和圆综合 13．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 14．设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为_________． 题型六、抛物线与其他圆锥曲线综合（椭圆、双曲线） 15．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 16．双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 17．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 题型七、抛物线光学性质 18．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 19．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 题型八、轨迹问题（由距离条件求轨迹，不一定完整抛物线） 20（多选）．某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有（   ） A．点在曲线的内部 B．曲线关于轴对称 C．若点在上，则 D．直线被曲线截得的线段长为 21（多选）．已知动点到点和直线的距离和为5，记其轨迹为曲线．点，是曲线上的两个不同点，点，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的方程为 B．对于任意，都存在点，，使得成立 C．当时，若点，关于点对称，则 D．若点，关于点对称，则的取值范围为 22（多选）．在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线 的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论正确的是（   ） A．曲线过原点 B．曲线是轴对称图形，也是中心对称图形 C．曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．曲线围成区域的面积大于 题型九、抛物线几何图形、四边形、存在性问题 23．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（    ） A．任意，都存在点，使得 B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C．存在，当点运动时，使得 D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 24（多选）．对于一段曲线，若存在点，使得对于任意的，都存在，使得，则称曲线为“自相关曲线”.则下列曲线中都是“自相关曲线”的是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 25（多选）．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形    题型十、旋转得到抛物线（图形变换） 26（多选）．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 27（多选）．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积大于4 巩固提升： 1．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 2．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 3．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 4．已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 5．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 7．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D．    8．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 9（多选）．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 10（多选）．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 11（多选）．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 12（多选）．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 13（多选）．曲线上任点，满足点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，则下列说法中正确的有（    ） A．曲线经过原点 B．曲线关于轴对称 C．曲线上点的横坐标的取值范围为 D．直线被曲线截得的线段长为 14．抛物线的准线方程是，则实数___________. 15．已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________. 16．已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 17．已知点在抛物线上，则的最小值为________，取最小值时点的坐标为________． 18．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________． 19．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 20．已知抛物线C：（）的焦点F恰为圆的圆心，点P是C与圆的一个公共点，则点F到直线OP的距离为______. 21．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 22．设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是________. 23．已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______． 24．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 25．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图： (1)准线方程为； (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是y轴，经过点． 26．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线. （1）； （2）； （3）． 通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系． 27．在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 28．在同一坐标系中画出下列抛物线：再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系. （1） （2）； （3）. 29．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 30．如图，三条直线，，两两平行，直线与的距离为，直线与的距离为，，是直线上的两个定点，，是直线上的两个动点，且，设的外心为，点到直线的距离为． (1)求点的轨迹； (2)求的最小值． 31．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十六讲 抛物线的简单几何性质 抛物线的简单几何性质 【学习目标】类比椭圆、双曲线，探究抛物线的简单几何性质． 【学习重点】抛物线的简单几何性质以及过焦点的弦的性质. 【学习难点】运用抛物线的几何特征简化计算． 必掌握知识点 一、抛物线的方程、图形及性质 抛物线的标准方程有4种形式：，，，，其中一次项与对称轴一致，一次项系数的符号决定开口方向 图形 标准 方程 顶点 范围 ， ， ， ， 对称轴 轴 轴 焦点 离心率 准线方程 焦半径 二、点与抛物线的关系 （1）在抛物线内（含焦点）． （2）在抛物线上． （3）在抛物线外． 三、抛物线的弦 若AB为抛物线的任意一条弦，，弦的中点为，则 （1）弦长公式： （2） （3）直线AB的方程为 （4）线段AB的垂直平分线方程为 四、求抛物线标准方程的焦点和准线的快速方法（法） （1）焦点为，准线为 （2）焦点为，准线为 如，即，焦点为，准线方程为 五、参数方程 的参数方程为（参数） 六、切线方程和切点弦方程 抛物线的切线方程为，为切点 切点弦方程为，点在抛物线外 与中点弦平行的直线为，此直线与抛物线相离，点（含焦点）是弦AB的中点，中点弦AB的斜率与这条直线的斜率相等，用点差法也可以得到同样的结果． 七、抛物线的通径 过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦叫做抛物线的通径． 对于抛物线，由，，可得，故抛物线的通径长为． 八、焦点弦的常考性质 1. 若为抛物线的焦点弦，，，则有以下结论： （1）． （2）． （3）焦点弦长公式1：，，当时，焦点弦取最小值，即所有焦点弦中通径最短，其长度为． 焦点弦长公式2：（为直线与对称轴的夹角）． （4）的面积公式：（为直线与对称轴的夹角）． 2.已知、是过抛物线焦点的弦，是的中点，是抛物线的准线，，为垂足． （1）以为直径的圆必与准线相切，以AF（或BF）为直径的圆与y轴相切； （2）， （3）； （4）设，为垂足，则、、三点在一条直线上 九易错总结 1.抛物线没有渐近线； 2.一个公共点≠相切（直线平行对称轴）； 3.过焦点垂直对称轴弦长（通径）不是； 4.焦点； 5.距离条件得到轨迹可能是两段抛物线弧，不是完整抛物线； 6.抛物线上四点不能构成平行四边形； 7.焦半径一定要结合开口方向，符号不能乱套。 必考题型全掌握 题型一、抛物线的定义 平面内与一个定点（焦点）和一条定直线（准线，）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。 数学表达式：，为到准线距离； 核心：抛物线上任意一点到焦点距离 = 该点到准线距离（焦半径公式的来源）； 注意：定点不能在定直线上，若定点在定直线上，轨迹是过该点垂直于直线的直线，不是抛物线。 易错点 1.忽略条件：焦点必须不在准线上，否则不是抛物线； 2.焦半径计算搞混开口方向，错用准线； 3.距离之和、距离之差类轨迹，不一定是完整抛物线，会是分段抛物线弧 1．已知M为抛物线G：上的动点，P，Q为圆C：上的两个不同点，若MP，MQ均与圆C相切，则的最小值为（   ） A． B． C． D．3 【答案】B 【分析】设，根据题意可求，设，则，进而可得，再结合双勾函数单调性即可求解. 【详解】如图，设，设，则， 所以， 又MP，MQ均与圆C相切，所以， 则， 所以 ， 又在单调递增， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故选：B. 2．已知抛物线，圆，在抛物线上任取一点，向圆作两条切线和，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点，由已知关系，可用点坐标表示出，在中，由，进而可推出，根据的范围，即可得到结果. 【详解】 由已知，，. 如图，设点，则， ， 在中，有 ， 易知，则， 则， 因为，所以当时，取得最大值， 又，所以，. 所以，的取值范围是. 故选：A. 3（多选）．已知是抛物线的焦点，，P是C上的任意一点，则（   ） A．的最小值是2 B．以P为圆心且过F的圆与C的准线相切 C．的中点轨迹方程为 D．使面积为5的点P有4个 【答案】ABC 【分析】根据给定条件，求出抛物线方程，利用两点间距离公式，结合抛物线范围求出最小值判断A；利用抛物线定义及直线与圆的位置关系判断B；求出轨迹方程判断C；求出与直线平行且距离为的直线，确定该直线与抛物线的公共点个数判断D. 【详解】抛物线的焦点，则抛物线的方程为， 对于A，设且，则，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，点到抛物线的准线距离等于，因此以P为圆心且过F的圆与C的准线相切，B正确； 对于C，设线段中点坐标为，则点在抛物线上，即， 整理得，因此的中点轨迹方程为，C正确； 对于D，，当的面积为5时，点到直线的距离， 直线的斜率，设与直线平行，且距离为的直线方程为， 于是，解得或，当时，把与联立， 消去得，，即直线与抛物线相切， 该直线上有且只有1点（切点）符合题意，而直线上最多两点符合题意， 因此抛物线上最多有3点符合题意，D错误. 故选：ABC 题型二、抛物线标准方程与基本几何性质（开口、焦点、准线、对称轴、通径） 标准方程 开口方向 焦点坐标 准线方程 对称轴 焦半径 向右 轴 向左 轴 向上 轴 向下 轴 1.：焦点到准线的距离，； 2.通径：过焦点垂直对称轴的弦，长度； 3.开口大小：越大，开口越大； 4.对称性：关于轴对称；关于轴对称；无中心对称、无渐近线。 易错点 1.方程变形出错：如化成标准形式，焦点不是，而是； 2.混淆焦点坐标、准线，开口向左 / 向下时符号容易写反； 3.误以为抛物线有渐近线； 4.通径记成，正确是； 5.分不清对称轴：型对称轴为轴，型对称轴为轴。 4．对抛物线，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【解析】将抛物线方程改写为标准方程形式，则可根据该方程判断开口方向，以及焦点坐标. 【详解】由题知，该抛物线的标准方程为， 则该抛物线开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 5．下列关于抛物线的图象描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向右，焦点为 C．开口向上，焦点为 D．开口向右，焦点为 【答案】A 【分析】利用抛物线方程，判断开口方向以及焦点坐标即可. 【详解】抛物线，即， 可知抛物线的开口向上，焦点坐标为. 故选：A. 【点睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，属于基础题. 6．对抛物线，下列描述正确的是     (　　) A．开口向上，焦点为(0，2) B．开口向上，焦点为 C．开口向右，焦点为(2，0) D．开口向上，焦点为 【答案】A 【分析】先将抛物线化成标准形式，然后给找到开口方向和焦点. 【详解】抛物线方程，化成标准方程形式，可得其开口向上，焦点坐标为. 故选A项. 【点睛】本题考查由抛物线方程求其图像的开口和焦点坐标.属于简单题. 题型三、抛物线上点的最值问题（距离最值、焦半径最值） 1.抛物线上动点到定点距离最值：设抛物线上点坐标，代入两点距离公式，转化为二次函数求值域；注意抛物线本身变量取值范围（如中），不能直接用二次函数全体实数域的最值； 2.利用抛物线定义转化距离：到焦点距离等价到准线距离，实现 “折线段变垂线段” 求最小； 3.双勾函数、均值不等式结合求最值。 易错点 1.求二次函数最值，忽略抛物线本身取值范围，直接取二次函数顶点，得到不在抛物线上的解； 2.使用均值不等式不验证等号成立条件（等号对应的点要确实在抛物线上）。 7．已知抛物线，点，点P在C上，的最小值是，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出，利用，可得，由此可求解范围． 【详解】设点的坐标为， 因为的最小值是，所以， 所以，整理得，， 因为，所以， 所以，又， 所以． 8．在平面直角坐标系中，已知定点，点在抛物线上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】不妨设点，其中，利用平面内两点间的距离公式并结合二次函数的基本性质可求得的最小值. 【详解】不妨设点，其中， 则， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：A. 9．已知轴上一定点，和抛物线上的一动点，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，表示出，依题意可得恒成立，分和两种情况讨论，当时恒成立，即可得到，从而求出的取值范围. 【详解】设，则，所以 ， 因为恒成立，所以恒成立， 所以恒成立， 当时显然恒成立，当时恒成立， 所以，则，又，所以，即实数的取值范围为. 故选：B 题型四、抛物线与直线位置关系 1.联立直线与抛物线方程，消元得到一元二次（或一次）方程； 2.判别式判断交点： ：两个不同交点； ：相切，一个公共点； ：无交点；直线平行抛物线对称轴时，联立后得到一次方程，只有 1 个公共点，但不是相切！ 3.弦中点问题：可以联立韦达定理，也可以用点差法； 4.弦长：。 题型易错点 1.看到只有一个公共点就判定相切；平行于对称轴的直线和抛物线只有 1 个交点，但不是切线； 2.使用点差法不检验直线是否真实存在； 3.消元时漏掉二次项，忘记讨论二次项等于 0 的情况。 10．已知线段AB是抛物线的一条弦，且AB中点M在上，则点A横坐标（    ） A．有最大值，无最小值 B．无最大值，有最小值 C．无最大值，无最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】D 【分析】由题意，可知当点A在原点时横坐标有最小值0，由于AB中点M在上，从而最大值为2. 【详解】      由题意，设 由抛物线范围可知，， 所以如图1，当点A在原点时横坐标有最小值，为0， 由AB中点M在上，可知，即， 所以， 即如图2，当点B在原点时,点A横坐标有最大值，为2. 故选：D. 11．已知，，是抛物线上三个动点，且的重心为抛物线的焦点，若，两点均在轴上方，则的斜率恒有，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，由斜率公式及点差法可得，由的重心为抛物线的焦点，可得，再由基本不等式可得，即可得答案. 【详解】解：如图所示： 设，，， 因为，两点均在轴上方， 所以， 因为抛物线为，所以， 则，， 所以， 则， 又因为的重心为抛物线的焦点， 所以，， 所以， 所以， 又因为， 代入可得， 故， 即，解得， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以，故，则的最大值为. 故选：B. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键有两个地方，一是利用点差法得，二是利用基本不等式得到，从而得解. 12．已知抛物线C的顶点是坐标原点O，对称轴为x轴，焦点为F，抛物线上点A的横坐标为1，且. (1)求抛物线C的方程； (2)过抛物线C的焦点作与x轴不垂直的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B，求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【答案】(1)； (2) 设直线l：，，， 由联立得，. 则. 直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得. 以AB为直径的圆的圆心为，半径为，则圆的方程为. 令.则. 即，解得或. 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点，. 【分析】（1）由题意知抛物线开口向右可设其抛物线方程，焦点为，抛物线上点A的横坐标为1，可设出点坐标含有未知数，再由可列出，再由，代入即可解得，即可求出抛物线方程. （2） 由题意设直线l：，，，再把抛物线与直线进行联立消，得.直线OM的方程为，与联立可得：，同理可得，可写出圆心和半径进而写出圆的方程，在令，即可求出以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点. 【详解】（1）由题意可设抛物线方程为，､， 由.可得，即.解得 抛物线方程为：. （2）略 题型五、抛物线和圆综合 1.联立抛物线与圆方程，利用对称性（抛物线、圆都是轴对称图形）分析交点； 2.圆切线性质：切线垂直过切点半径；切线长公式； 3.距离、勾股定理结合抛物线上点坐标； 4.圆与抛物线交点个数分析。 易错点 1.联立方程解出方程根，不检验根对应的坐标是否同时满足两个曲线； 2.忽略图形对称性，漏掉部分解； 3.圆的切线长公式记错。 13．已知抛物线：与圆：（）交于，两点，且，则（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】利用抛物线与圆的对称性，得出即可求解． 【详解】设，（）， 由，得，所以． 因为在圆上，所以，得， 故选：A． 14．设抛物线，若任意以为圆心的圆与抛物线至多有3个公共点，则的值范围为_________． 【答案】 【分析】令圆为且，讨论、，并依此为前提讨论、、，数形结合判断是否任意圆与抛物线交点个数不超过3个，即可得答案. 【详解】令圆为且，抛物线， 对于，圆与抛物线公共点情况如下， 若，它们恒有1个公共点，    若，它们没有公共点，    若，它们恒有2个公共点，    所以，对于，任意以为圆心的圆与抛物线至多有2个公共点，满足题设； 对于，圆与抛物线公共点情况如下， 若，它们恒有3个公共点，    若，它们恒有2个公共点，    若，它们可能0个或2个或4个公共点，    所以，不满足以为圆心的任意圆与抛物线至多有3个公共点； 综上，. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：讨论，，结合的取值、数形结合判断圆与抛物线交点个数. 题型六、抛物线与其他圆锥曲线综合（椭圆、双曲线） 1.根据方程判断椭圆、双曲线、抛物线，分析参数正负； 2.结合图像，判断参数符号是否自洽； 3.双曲线渐近线与抛物线相交问题。 易错点 1.分不清椭圆、双曲线标准方程参数正负； 2.看图做题忽略参数符号互相矛盾的情况。 15．已知，则方程与在同一坐标系内对应的图形编号可能是（    ） A．①④ B．②③ C．①② D．③④ 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线、抛物线的图像，分别对①②③④分析m、n的正负，即可得到答案. 【详解】对于①：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，矛盾.故①错误； 对于②：由双曲线的图像可知：；由抛物线的图像可知：异号，符合要求.故②成立； 对于③：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，符合要求.故③成立； 对于④：由椭圆的图像可知：；由抛物线的图像可知：同号，且抛物线的焦点在x轴上，矛盾.故④错误； 故选：B 16．双曲线的两条渐近线与拋物线的三个交点为顶点的三角形为等边三角形，则双曲线的离心率为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对称性，即可根据求解. 【详解】由对称性可得，双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以 故，所以，所以双曲线的离心率. 故选：C 17．设圆：，（）与曲线交于，，，四点，若四边形为正方形，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆与曲线的对称性，及四个交点的坐标特征求出的值，进而根据为圆的直径即可求解． 【详解】由圆：，与曲线都关于轴，轴对称，且它们的交点为，，，， 又四边形为正方形，则不妨设，，，，其中， 所以，解得， 又为圆的直径，所以． 题型七、抛物线光学性质 从抛物线焦点发出光线，经抛物线反射，反射光线平行抛物线对称轴；逆命题：平行对称轴入射，反射光线过焦点。常用来处理角度相等、斜率、切线问题。 易错点 1.搞反入射、反射光线； 2.不会把光学性质转化为角度相等的几何条件。 18．抛物线有一个重要的性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴，此时反射面为抛物线在该点处的切线.过抛物线上的一点（异于原点）作的切线，过作的平行线交（为的焦点）于点，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法1：由光学性质可知，即，结合由三角不等式可得答案；方法2：设，求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标，再求可得答案. 【详解】方法1：如图，由光学性质可知：入射光线，反射光线轴，所以， 又，所以，因为轴，， 则有，所以，即， 由三角不等式可得， 即；    方法2：设，，易求得， 所以，，联立方程可求得， 所以， 即. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：在方法2中，解题的关键点是求出直线、的方程，联立方程可求得点坐标. 19．抛物线具有一条重要的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.已知从抛物线的焦点发出的入射光线过点，则经过抛物线上一点反射后的反射光线所在直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求解抛物线的焦点坐标，再求解从抛物线的焦点发出的入射光线过点的直线方程，然后求解直线与抛物线的交点，得到反射光线所在直线方程即可. 【详解】抛物线的焦点，从抛物线的焦点发出的入射光线上， 且过点的直线方程：， 联立，可得，解得或， 结合已知条件可知反射光线所在直线方程为：. 故选：D. 题型八、轨迹问题（由距离条件求轨迹，不一定完整抛物线） 根据题目距离条件列式，带绝对值，分区间去掉绝对值，得到分段曲线（两段抛物线弧）；轨迹不一定是完整抛物线。 易错点 1.直接去掉绝对值，把轨迹当成完整抛物线； 2.忘记求变量取值范围。 20（多选）．某校一数学兴趣小组设计了一款飞行器模型，其平面图的轮廓线为：平面内动点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，点的轨迹为曲线，则下列说法中正确的有（   ） A．点在曲线的内部 B．曲线关于轴对称 C．若点在上，则 D．直线被曲线截得的线段长为 【答案】BC 【分析】利用距离公式列方程求曲线的构成，数形结合判断A、B；根据所得方程，讨论点的位置判断C；联立直线求交点坐标，两点距离公式判断D. 【详解】设点，因为点到定点的距离与到定直线的距离之和为6， 所以， 当时，得，两边平方得， 当时，得，两边平方得， A，如图，曲线由两段抛物线弧组成，在中， 令，得，故点不在曲线的内部，错误；    B，由图易知，两段抛物线弧均关于轴对称，故曲线关于轴对称，正确； C，若点在上，得，所以， 若点在上，同理得，正确； D，由，得或（舍）， 由，得或（舍）， 故与曲线交于， 可得，错误． 故选：BC 21（多选）．已知动点到点和直线的距离和为5，记其轨迹为曲线．点，是曲线上的两个不同点，点，则下列结论正确的是（   ） A．曲线的方程为 B．对于任意，都存在点，，使得成立 C．当时，若点，关于点对称，则 D．若点，关于点对称，则的取值范围为 【答案】BCD 【分析】求曲线的方程，判断A的真假；根据曲线的对称性，可判断B的真假；结合，坐标的特点，可求的取值范围，判断C的真假；分，两种情况，求的取值范围，判断D的真假. 【详解】对A：根据题意，列方程：. 当时，化简可得：； 当时，化简可得：.故A错误. 对B：由A，作出曲线如下： 可知曲线关于轴对称，所以对于任意，都存在点，，只要，，就能使得成立，故B正确； 对C：因为，所以一定分别在曲线（）和（）上. 不放设，（），则， 因为，所以.故C正确； 对D：若，因为，关于对称，所以当，分别对应点和，时，取得最大值；当接近曲线的上下顶点时，接近于0； 若，由C可知，，且 ，. 所以. 综上：，故D正确. 故选：BCD 22（多选）．在平面直角坐标系内，动点到定点的距离与到定直线的距离的和为4．记动点的轨迹为曲线，给出下列四个结论正确的是（   ） A．曲线过原点 B．曲线是轴对称图形，也是中心对称图形 C．曲线恰好经过4个整点（横、纵坐标均为整数的点） D．曲线围成区域的面积大于 【答案】ACD 【分析】根据题目整理方程，分段整理函数，画出图象，可得答案. 【详解】设，则，到直线l的距离， 由题意可知，， ，， 当时，， 则； 当时，，则，，. 可作图如下： 由图可知：曲线W过原点，且是轴对称图形，但不是中心对称图形，故A正确，B错误； 曲线经过4个点，没有其它整点，故C正确； 由，，， 四边形的面积，， ， 多边形的面积 曲线W围成区域的面积大于，故D正确. 故选：ACD. 题型九、抛物线几何图形、四边形、存在性问题 1.抛物线上四点构成四边形：可以梯形、三边相等、一组对角相等；不可能平行四边形； 2.对称点问题：关于定点对称，中点坐标公式； 3.“自相关曲线”：封闭曲线（圆、椭圆），不封闭（双曲线、抛物线）； 4.判断命题真假，存在性、任意性逻辑。 易错点 1.逻辑混淆：“任意” 和 “存在”，看到一个例子成立就认为命题对； 2.抛物线上想当然认为可以做平行四边形； 3.对称点计算时，忽略点要落在曲线上。 23．已知抛物线和所围成的封闭曲线如图所示，点在曲线上，给定点，则下列说法中不正确的是（    ） A．任意，都存在点，使得 B．任意，都存在点，满足这对点关于点对称 C．存在，当点运动时，使得 D．任意，恰有三对不同的点，满足每对点关于点对称 【答案】D 【分析】由曲线的对称性判断AB；取值计算判断CD. 【详解】抛物线和的对称轴都为，因此封闭曲线关于轴对称， 对于A，任意，在曲线上取关于轴对称的两点，而点在轴上，有，A正确； 对于B，对每个值，过点垂直于轴的直线与曲线的交点关于点对称，B正确； 对于C，联立与解得或，取，即， 抛物线，即的焦点为，准线方程为， 点在上运动时，，， 抛物线可由抛物线向上平移5个单位而得， 抛物线，即的焦点为，准线为， 则抛物线的焦点为，准线方程为， 点在上运动时，，， 因此当点运动时，，恒有，C正确； 对于D，取，即，直线与抛物线的两个交点关于点对称， 在此抛物线上关于点对称的两点就只有一对，在抛物线上不存在两点关于点对称， 另外关于点对称的两点则分别在和上，不妨令， 此点关于点对称的点必在上，而方程， 即无解，则此时不存在关于点对称的两点分别在两条抛物线上，D错误. 故选：D 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法： ①几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决； ②代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围． 24（多选）．对于一段曲线，若存在点，使得对于任意的，都存在，使得，则称曲线为“自相关曲线”.则下列曲线中都是“自相关曲线”的是（    ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】AB 【分析】在圆的外部适当取点M，使得M到圆上点的距离的最小值与最大值之积为1，经分析可以满足题设条件；在椭圆的长轴的延长线上适当取点M，使得M椭圆上点的距离的最小值与最大值之积为1，经分析可以满足题设条件；由于双曲线和抛物线的无限性，可以分析发现无法找到适合要求的点M. 【详解】圆：设圆的半径为r，在圆的直径AB的反向延长线上取点M， 如图1所示， 满足，即， 则分别为圆上的点到点的距离的最小值和最大值， 对于圆上的任意点P，. 由于，所以， 所以，即， 根据圆的图形的连续性，可知存在Q，满足，从而. 椭圆：设其长轴为AB， ，在AB的反向延长线上取点M， 如图2所示， 满足，即， 则分别为椭圆上的点到点的距离的最小值和最大值， 对于椭圆上的任意点P，. 由于， 所以， 所以，即， 根据椭圆的图形的连续性，可知存在Q，满足，从而. 双曲线和抛物线： 不是封闭曲线，且其图象趋向无穷远. 由，所以，于是M不在曲线上， 设M到曲线的上点的距离的最小值为d，则当时， 这与d的最小性相矛盾，故此时不存在要求的点Q.因此双曲线和抛物线不符合题意.   故选：AB. 25（多选）．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．梯形 C．有三条边相等的四边形 D．有一组对角相等的四边形 【答案】BCD 【分析】根据题意作出相应的图形，结合抛物线的性质逐项分析判断. 【详解】对于选项A：作两条平行线与抛物线均相交，根据抛物线的性质可知：截得的弦长一定不相等， 所以所得的四边形不可能为平行四边形，故A错误；    对于选项C：任作一条直线垂直于抛物线的对称轴，交抛物线与两点，则， 再以圆心，为半径作圆，该圆以抛物线必有一个异于坐标原点的交点， 此时可得，符合题意，故C正确；    对于选项B：任作两条直线垂直于抛物线的对称轴，分别与交抛物线交于和， 此时，即为梯形，故B正确；    对于选项D：如图，以为直径作圆，与抛物线交于，    此时，符合题意，故D正确； 故选：BCD. 题型十、旋转得到抛物线（图形变换） 知识点详解 抛物线绕顶点旋转 90°、180° 得到新抛物线，焦点、对称轴随旋转变化。 易错点 1.旋转之后直接沿用原来方程，不更新对称轴、焦点。 26（多选）．已知抛物线与抛物线关于轴对称，则下列说法正确的是（    ） A．抛物线的焦点坐标是 B．抛物线关于轴对称 C．抛物线的准线方程为 D．抛物线的焦点到准线的距离为2 【答案】ACD 【分析】先根据对称性求出抛物线的方程即可求出焦点坐标及准线，准线和焦点距离分别判断A，C，D，再代入判断函数的对称性判断B. 【详解】因为抛物线与抛物线关于轴对称，所以抛物线为， 所以抛物线的焦点坐标是，抛物线的准线方程为， 抛物线的焦点到准线的距离为2，A,C,D选项正确； 代入抛物线为不成立，所以抛物线不关于轴对称，B选项错误. 故选：ACD. 27（多选）．在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线绕其顶点分别逆时针旋转后所得三条曲线与围成的（如图阴影区域），为与其中两条曲线的交点，若，则（ ） A．开口向上的抛物线的方程为 B． C．直线截第一象限花瓣的弦长最大值为 D．阴影区域的面积大于4 【答案】ACD 【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点、的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出、的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断. 【详解】由题意得开口向右的抛物线方程为，焦点为， 将其逆时针旋转后得到的抛物线开口向上，焦点为， 则其方程为，故A选项正确； 由得或，即，所以， 由对称性得，，所以，故B错误； 如图，设直线与第一象限花瓣分别交于点、， 由得， 由得， 所以，， 所以， 有图知直线经过点时取最大值，经过点时取最小值， 即在第一象限部分满足， 设，则，故， 代入得， 当时，取最大值，故C正确； 对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同， 所以可以先求部分面积的近似值， 如图， 在（）取一点，使过点的切线与直线平行， 由可得切点坐标为， 因为，所以点到直线的距离， 所以， 由图知半个花瓣的面积必大于， 所以阴影区域的面积大于，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：结合图形对称性特征，通过曲线方程联立，计算判断，并运用函数的图象单调性情况，有时还需要以直代曲的思想进行估算、判断求解. 巩固提升： 1．已知，则方程表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由方程得或，通过分类讨论，结合抛物线的性质、直线的斜率及截距等知识进行判断即可. 【详解】方程，得或， 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为正且在轴上截距为正的直线，故A，B，D不符合，C符合； 当时，则有或，分别表示开口向上的抛物线满足的部分和斜率为负且在轴上截距为负的直线，故A，B，C，D均不符合， 综上，方程表示的曲线可能是C. 故选：C. 2．在同一坐标系下，下面4条抛物线中开口最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由抛物线的性质，得抛物线中，越大，抛物线开口越大， 所以抛物线中，开口最大的为. 3．下列抛物线中，开口最小的是                          A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次项的系数判断即可. 【详解】对于对于抛物线的标准方程中， 开口最小：说明一次项的系数的绝对值最小， 观察四个选项发现：A选项一次项的系数的绝对值最小， 本题选择A选项. 4．已知点在抛物线上，则点到点的距离的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】记点，，则，且，利用二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】记点，，则， 所以， 由，所以，当且仅当时，取最小值. 即点到点的距离的最小值为. 故选：C. 5．设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线上任意一点，M是线段PF上的点，且，则直线OM的斜率的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，确定，根据向量之间的关系得到，得到，，利用均值不等式计算得到答案. 【详解】，设，显然当时，，当时，， 要想求解直线OM的斜率的最大值，此时．    设，，，则，即， 解得． ，故，即， ，故， 当且仅当，即时，等号成立，故直线OM的斜率的最大值为． 故选：B. 6．下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 【答案】C 【分析】根据抛物线的性质逐项分析可得答案. 【详解】抛物线 的焦点坐标为 ，故A错误； 抛物线 的准线方程为，故B错误； 抛物线 的图象关于 x 轴对称，故C正确，D错误； 故选：C. 7．古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥面的方法来研究圆锥曲线，如图1，设圆锥轴截面的顶角为，用一个平面去截该圆锥面，随着圆锥的轴和所成角的变化，截得的曲线的形状也不同．据研究，曲线的离心率为，比如，当时，，此时截得的曲线是抛物线．如图2，在底面半径为1，高为的圆锥SO中，AB、CD是底面圆O上互相垂直的直径，E是母线SC上一点，，平面ABE截该圆锥面所得的曲线的离心率为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，利用勾股定理求出，由求出，再由正弦定理得可得答案. 【详解】由题意的，， 则，， 所以， 在中，，，，且， 则，， ， 则， 所以， 由正弦定理得，， 即. 故选：C．    8．（多选）对于抛物线上，下列描述正确的是（    ） A．开口向上，焦点为 B．开口向上，焦点为 C．焦点到准线的距离为4 D．准线方程为 【答案】AC 【分析】写出标准形式即，即可得到相关结论 【详解】由抛物线，即，可知抛物线的开口向上，焦点坐标为，焦点到准线的距离为4，准线方程为． 故选：AC 9（多选）．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论错误的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】AB 【分析】根据焦半径公式结合条件判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D． 【详解】设，则，，又抛物线的焦点为， 对A，由题可知，时，等号成立，所以的最小值是1，A错； 对B，抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 对C，由题知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 对D，记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则，， 所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：AB． 10（多选）．已知抛物线的焦点为F，点P为C上任意一点，若点，下列结论正确的是（    ） A．的最小值为2 B．抛物线C关于x轴对称 C．过点M与抛物线C有一个公共点的直线有且只有一条 D．点P到点M的距离与到焦点F距离之和的最小值为4 【答案】CD 【分析】设，求出的长，由二次函数性质得最小值判断A，由抛物线的对称性判断B，由直线与抛物线的位置关系判断C，结合抛物线的定义，把转化为到准线的距离后可求得题中距离和的最小值判断D． 【详解】设，则，，又抛物线的焦点为， 所以，时，等号成立．所以的最小值是1，A错； 抛物线的焦点在轴上，抛物线关于轴对称，B错； 易知点在抛物线的内部（含有焦点的部分），因此过与对称轴平行的直线与抛物线只有一个公共点，其他直线与抛物线都有两个公共点，C正确； 记抛物线的准线为，准线方程为， 过作于，过作于，则， ，所以当三点共线，即与重合时，最小，最小值为．D正确． 故选：CD． 11（多选）．关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向左 B．焦点坐标为 C．准线为 D．对称轴为轴 【答案】AD 【分析】根据抛物线标准方程依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，，开口向左，故A正确； 对选项B，，焦点为，故B错误； 对选项C，，准线方程为，故C错误； 对选项D，，对称轴为轴，故D正确. 故选：AD 12（多选）．平面内到定点和到定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线.则（    ） A．曲线的方程为 B．曲线关于轴对称 C．当点在曲线上时， D．当点在曲线上时，点到直线的距离 【答案】AC 【分析】根据抛物线的定义可判断曲线C为抛物线，求出其方程，结合抛物线的性质一一判断各选项，可得答案. 【详解】由抛物线定义，知曲线C是以为焦点，直线为准线的抛物线， 则焦准距，故其方程为，故A正确； 抛物线关于y轴对称，不关于x轴对称，故B错误； 由知 ，故C正确； 当点在曲线上时，由于抛物线开口向上， 当点位于原点时，到直线l的距离最小为1， 故点P到直线l的距离 ，所以D错误， 故选：. 13（多选）．曲线上任点，满足点到定点的距离与到定直线的距离之和为6，则下列说法中正确的有（    ） A．曲线经过原点 B．曲线关于轴对称 C．曲线上点的横坐标的取值范围为 D．直线被曲线截得的线段长为 【答案】ABD 【分析】根据两点距离公式可列方程，即可化简，作出函数图象即可求解AB，结合抛物线的性质即可求解C，联立方程，即可求解D.， 【详解】设点，因为点到定点的距离与到定直线的距离之和为6， 所以， 当时，得，两边同平方，得； 当时，得，两边同平方，得， 对于A，如图，曲线过原点，A正确； 对于B，由图易知，两段抛物线弧均关于轴对称，故曲线关于轴对称，B正确； 对于C，若点在上， 得，所以， 若点在上，同理得，C错误； 对于D，由，得或（舍去）， 由，得或（（舍去）， 故与曲线交于点， 则， 可得，D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是由两点间距离公式推导出函数的表达式，再根据yy的取值范围去掉绝对值符号，得到分段函数. 14．抛物线的准线方程是，则实数___________. 【答案】/ 【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据其准线方程即可求得实数. 【详解】抛物线化为标准方程：， 其准线方程是，而 所以 ，即 ， 故答案为： 15．已知动直线与圆相切，并与圆相交于点，点为抛物线上一动点，为坐标原点，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设线段的中点为，设，则点在圆，根据，进而计算可求得的取值范围. 【详解】设线段的中点为，根据圆的对称性可知点在圆上， 设，则点在圆上，即圆， 圆心为，半径为， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 设，则， 设，则， 注意到，故，即，当且仅当时等号成立， 故.因此的取值范围是. 故答案为：. 16．已知直线，若为抛物线上的动点，则点到直线的距离最小时点的坐标为__________． 【答案】 【分析】先设，根据点到直线距离公式得到到的距离，再结合二次函数的性质可求出结果. 【详解】因为为抛物线上的动点， 所以可设，则到的距离为： ， 则时，，此时， 故答案为：. 17．已知点在抛物线上，则的最小值为________，取最小值时点的坐标为________． 【答案】 4 【分析】将代入化简结合二次函数的性质即可得出答案. 【详解】， 因为抛物线中， 所以当时，， 此时点的坐标为． 故答案为：；. 18．抛物线上一点到准线和抛物线的对称轴距离分别为10和6，则该点的横坐标是__________． 【答案】1或9 【分析】设该点的坐标为，根据题中条件列出方程组求解即可. 【详解】抛物线的准线方程为，对称轴为轴， 设该点的坐标为， 由题意可得，，则， 即，解得或， 因为，所以或. 故答案为：1或9. 19．已知抛物线的焦点为，点为抛物线上的点，点为其准线上的点，且满足．若，则的面积为________． 【答案】 【分析】根据抛物线的定义求出点的横坐标，设，利用求出点坐标，再根据两点距离公式求出进而求的面积即可. 【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为， 点为抛物线上的点，且， 设点横坐标为，则由抛物线的定义可知，解得， 将代入抛物线方程，解得， 由对称性不妨取，设， 则，， 因为，则，解得，即， 所以， 所以的面积， 故答案为：. 20．已知抛物线C：（）的焦点F恰为圆的圆心，点P是C与圆的一个公共点，则点F到直线OP的距离为______. 【答案】/ 【分析】根据题意可得圆心和半径，即可得抛物线C：，联立方程求交点坐标，进而可得点F到直线OP的距离. 【详解】圆，即，可知圆心为，半径， 即，则，可得，抛物线C：， 联立方程，解得或， 根据对称性不妨取，则直线OP：， 所以点F到直线OP的距离为. 故答案为：. 21．已知圆与抛物线交于两点，为的焦点，若，则的值为__________. 【答案】或 【分析】由题设有且，关于轴对称，若，结合，有，则，即可求参数值. 【详解】由题设的焦点为，且为已知圆的圆心， 又的半径，其与抛物线有两个交点，则， 由交点为，它们关于轴对称，若，又， 则，所以， 当，可得（负值舍）；当，可得（负值舍）； 综上，或. 故答案为：或 22．设，直线与曲线和曲线分别交于、两点，则的最大值是________. 【答案】 【分析】根据题意可得曲线对应的函数关于直线对称，直线关于直线对称，从而可得关于直线对称，利用直线与直线相交、曲线与直线相交得坐标，结合函数性质可得的最值. 【详解】 曲线和曲线对应的函数互为反函数，则关于直线对称， 又或，即两曲线交点坐标为， 又直线与直线相互垂直，则直线关于直线对称， 所以关于直线对称，设直线与直线相交于，且于， ，则，且，所以， 联立，解得， 因为，所以， 则， 令，则，则， 所以， 因为，所以，所以， 故的最大值为. 故答案为：. 23．已知抛物线的焦点为，为上的两个动点，且，，当的周长最大时，抛物线的标准方程为______． 【答案】 【分析】利用余弦定理、基本不等式可得，进而有时，的周长最大，结合抛物线对称性，设，应用抛物线的定义及点在抛物线上求参数，即可得答案. 【详解】设，，    在中，，由余弦定理得， 所以， 所以，所以，当且仅当时取等号， 即时，的周长最大， 此时不妨设点，所以，化简，解得（舍去）， 故抛物线的标准方程为． 故答案为： 24．已知边长为的等边三角形的一个顶点位于原点O，另外两个顶点A，B在抛物线上，则__________． 【答案】2 【分析】利用两点间距离公式，结合抛物线对称性求得，再求出长即可求解. 【详解】设抛物线上的点，即有，，    由是正三角形，得，则，即， 整理得，而，，， 因此，由抛物线对称性得点关于轴对称，即垂直于轴，且，不妨令， 则，而，于是，即， 因此，所以. 故答案为：2 25．根据下列条件，求抛物线的标准方程，并画图： (1)准线方程为； (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6； (3)对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2； (4)对称轴是y轴，经过点． 【答案】(1)抛物线的方程是；其图象如下： (2)抛物线的方程是或；其图象如下： (3)抛物线的方程是或；其图象如下： (4)抛物线的方程是，其图象如下： 【分析】（1）根据抛物线的准线方程为，得到且焦点在y轴上求解； （2）根据焦点在x轴上且其到准线的距离为6，得到求解； （3）根据对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2，得到求解； （4）根据对称轴是y轴，设抛物线方程为，将点代入求解. 【详解】（1）解：因为抛物线的准线方程为， 所以，p=3， 所以抛物线的方程是；其图象如下： （2）因为焦点在x轴上且其到准线的距离为6， 所以， 所以抛物线的方程是或；其图象如下： （3）因为对称轴是x轴，顶点到焦点的距离等于2 所以，p=4， 所以抛物线的方程是或；其图象如下： （4）因为对称轴是y轴， 设抛物线方程为， 因为抛物线经过点， 所以，解得， 所以抛物线的方程是，其图象如下： 26．在同一平面直角坐标系中画出下列抛物线. （1）； （2）； （3）． 通过观察这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数有怎样的关系． 【答案】 在同一平面直角坐标系内做出抛物线，如图， 通过图象可以看出来，当x的系数为正数且越大时，抛物线的开口向右且开口越大. 【分析】作出抛物线的图象观察即可得出结论. 【详解】略. 27．在同一坐标系中画出下列抛物线： （1）             （2）；             （3）． 再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系． 【答案】 如图所示，在同一坐标系下画出抛物线，和图象， 由图象可得，当方程中的系数越大，抛物线的开口就越大. 【分析】在同一坐标系下画出抛物线，和图象，结合图象，即可求解. 【详解】略. 28．在同一坐标系中画出下列抛物线：再比较这些图形，说明抛物线开口的大小与方程中x的系数之间的关系. （1） （2）； （3）. 【答案】 由图可知：的系数越大，抛物线的开口越大. 【分析】由抛物线方程结合图形可知，的系数越大，抛物线的开口越大. 【详解】    由图可知：的系数越大，抛物线的开口越大. 29．在同一坐标系中画出下列抛物线，观察它们开口的大小，并说明抛物线开口大小与方程中x的系数的关系： （1）；    （2）；     （3）；    （4）． 【答案】图象如图，x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【分析】作出抛物线图象，得x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 【详解】解:抛物线如图,x的系数的绝对值越大,抛物线的开口越大. 30．如图，三条直线，，两两平行，直线与的距离为，直线与的距离为，，是直线上的两个定点，，是直线上的两个动点，且，设的外心为，点到直线的距离为． (1)求点的轨迹； (2)求的最小值． 【答案】(1)点的轨迹是一条抛物线 (2) 【分析】(1)过点作，垂足为．以所在直线为轴、为原点建立平面直角坐标系，从而结合垂直平分线的性质得到点的方程，再代入求解即可.(2)结合抛物线的定义可知，进而得,当且仅当，，三点共线且点在点与点之间时等号成立，从而得到最小值. 【详解】（1）如图，过点作，垂足为． 以所在直线为轴、为原点建立平面直角坐标系， 设，则． 设，因为点在线段的垂直平分线上， 所以， 又因为，得， 化简得， 将代入上式，得． 故点的轨迹方程为， 即点的轨迹是一条抛物线． （2）由（1）的方程可知：为抛物线的准线， , 如上图，过点作，垂足为，则，由抛物线的定义可知，所以，当且仅当，，三点共线且点在点与点之间时等号成立，故的最小值为． 31．已知抛物线C关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， (1)求C的标准方程. (2)设正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在C上，求这个正三角形的边长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意利用待定系数法求解； （2）设，，结合可得线段关于x轴对称，得，求得，得解. 【详解】（1）因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且经过点， 所以可设它的标准方程为 因为点M在抛物线上，所以，解得 因此，所求抛物线的标准方程是 （2）设正三角形的顶点A、B在抛物线上，且设点，， 则，，又， ，即， ，又，，， 由此可得，即线段关于x轴对称， 轴垂直于，且，， ，， 1 学科网（北京）股份有限公司 $