精品解析：上海市蒙山中学2026-2027学年度九年级第一学期数学练习

2026年度九年级第一学期数学练习 一、选择题(每题4分，共24分) 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 【答案】B 【解析】 【分析】判断相似需同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件； 【详解】解：∵ 矩形的对应边不一定成比例， ∴ A错误； ∵ 正方形的对应角相等，对应边成比例， ∴ B正确； ∵ 各边对应成比例的多边形对应角不一定相等， ∴ C错误； ∵ 相似比是对应边的比， ∴ D错误； 3. 已知，求作x，那么下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例结合题意，依次对各选项进行判断即可． 【详解】∵， ∴或． A．作出的为，故不符合题意； B．该情况无法作图，故不符合题意； C．作出的为，故符合题意； D．作出的为，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例定理，第四比例线段的作法．熟练掌握定理是解题的关键． 4. 抛物线 的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 【详解】解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 5. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据证明三角形相似的方法逐一判断选项即可． 【详解】解：根据题意可知， 选项A，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项B，，有两个角相等的三角形相似，故不符合题意． 选项C，可转化成，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故不符合题意． 选项D，两边不成比例且夹角也不相等，不能判定三角形相似，故符合题意． 6. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】二次函数图象开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在正半轴；根据对称轴可得出②的结论；根据图象的对称性，可知和的值相同，代入可得出③的结论；图象与x轴有两个交点，则；图象开口向下有最大值． 【详解】解：由图象可得：开口向下，对称轴在y轴右侧，顶点在第一象限， ，，； ，故①错误，不符合题意； ∵对称轴为直线， ， ， ，故②正确，符合题意； 由图象可知，当时，， ，故③正确，符合题意； 图象与x轴有两个交点， ， ，故④正确，符合题意； 图象开口向下，对称轴为，顶点坐标为， 二次函数图象有最大值， （m为任意实数）， （m为任意实数）， 即（m为任意实数），故⑤正确，符合题意； 综上所述，正确结果有4个． 二、填空题(每题4分，共44分) 7. 已知，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质以及代数式的化简求值．根据比例的相关计算，由已知比例关系设参数表示变量，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：根据题意，，可设，（）， 则． 故答案为：． 8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数图像平移规则“左加右减，上加下减”，按平移顺序依次计算即可得到结果． 【详解】解：将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度， 得到的抛物线的解析式为． 9. 由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 【答案】4 【解析】 【分析】根据表格可得当时，；当时，，由此得到一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间，由此得到答案． 【详解】解：由表格得，当时，；当时，， 故一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根在3.24与3.25之间， ∴一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是4， 故答案为：4． 【点睛】此题考查了一元二次方程的根的情况，正确理解一元二次方程的表示方法是解题的关键． 10. 如图，，，，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，再由证明，得到，所以，即可求出的面积． 【详解】解：∵ ∴ ∵， ∴， ∴， ∵，且四边形的面积为， ∴， ∴． 11. 已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于__． 【答案】24 【解析】 【分析】由于A′B′C′的最短边为12，所以短边12对应的边只能是中边长最短为2的边，进而再由对应边成比例即可求解． 【详解】解：设△A′B′C′的最大边长是x， 根据相似三角形的对应边的比相等，可得： ， 解得：x＝24， ∴△A′B′C′最大边的长等于24． 故答案为：24． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边长之比等于相似比，要能够熟练掌握此定理． 12. 如图，梯形中，，对角线相交于点O，如果的面积是面积的2倍，那么与的面积之比是 __. 【答案】 【解析】 【分析】过点D作，垂足为M，过点B作，交的延长线于点N，根据已知易得，再根据，从而可得，然后再证明8字模型相似三角形，利用相似三角形的性质可得，从而可得，最后根据与的高相等，即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为M，过点B作，交的延长线于点N， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵与的高相等， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线间的距离，相似三角形的判定与性质，梯形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 13. 已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】先令得到一元二次方程，利用结合根与系数的关系列方程求解． 【详解】解：令，得一元二次方程 ， 设点，点，且， 故是一元二次方程的两个根， ，， 由题意得，且， ∴ ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 14. 抛物线 当时，y随x增大而减小，则m的取值范围___． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的开口方向与增减性，结合给定的x的取值范围，确定对称轴的位置要求，列不等式求解. 【详解】解：∵抛物线的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在对称轴左侧，即时，随的增大而减小， ∵当时，随增大而减小， ∴， 解不等式得． 15. 某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的定义得到，则，进而代入求解即可． 【详解】解：∵等腰， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去） 16. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】设，表示出，由表示出三角形的边上的高，根据三角形与三角形相似，利用相似三角形对应边上的高之比等于相似比求出的值，即为的长． 【详解】解：如图所示： 四边形是矩形， ， ， ， ，， ， 设，则有，， ， 解得：， 则． 故答案为：． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质，以及矩形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键． 17. 如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设交于点H，作于点G，先证明，可得，则可得到；设，则，由平行线性质及折叠角性质可得，，在直角三角形中，由勾股定理可得方程，解得，再根据，可得． 【详解】解：设交于点H，作于点G，如图， ∵， ∴， ∵在矩形中，， ∴，，， ∴， 又， ∴， ∴，即， 解得：或9（9不合题意，舍去）． ∴， 设，则， ∵， ∴， 由折叠可得，，，， ∴， ∴， ∴， 在直角三角形中，由勾股定理得，， 解得：， ∴，， ∵， ∴． 三、解答题(共82分) 18. 如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． （1）以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为， （2）点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中) 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据位似比，得到，，依次连接，，，即可； （2）连接，作，垂足为点，取，以点为圆心，为半径，画弧，交于点；以点为圆心，为半径，画弧，交于点，点即为的黄金分割点． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例： （1）根据平行线分线段成比例即可求解； （2）根据（1）中的结论，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴． 20. 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 【答案】 已知：如图，，且相似比为，、分别是、的角平分线． 求证：． 证明：， ，，； 又、分别是、的角平分线， ，， ， ， ． 【解析】 【分析】先根据题意写出已知条件以及所需证明的结论，再根据相似三角形的判定与性质即可作答． 【详解】略 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，正确的将命题转化是解答本题的关键． 21. 某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． （1）直接写出与x之间的函数关系式. （2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 【答案】（1） （2）的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据利润(售价-进价) 售量，代入数据化简即可得与x之间的函数关系式. （2）根据（1）的解析式，进一步配方后，结合二次函数性质即可得此抛物线开口向下，对称轴为直线，再根据的取值范围即可得出时， 元，即可得答案. 【小问1详解】 解：根据题意得： ， ∴与x之间的函数关系式为. 【小问2详解】 解: 根据题意得：，解得：， 由（1）得：， 配方得：， ， ∴此抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，随x的增大而减小， ， ∴当时， ， ∴销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，的最大值为2160元. 22. 如图， 在中， ， 点是边的中点， 连接， 过点作 于 ， 连接． （1）求证: （2）如果， 求证： ． （3）如果 ， ， 直接写出线段的长． 【答案】（1）证明：∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴． （2）证明：由（1）可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据相似三角形的判定和性质，即可证明； （2）由（1）得，变形为：，根据三角形的判定和性质，可得，得到，再根据相似三角形的判定，得到，推出，式子变形，即可证明； （3）设，推出，根据勾股定理分别求出，，得到，设，求出，即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设， 由（1）可得，， ∴， ∵， ∴； ∵ ， ∴； ∴， 设， ∴， 整理可得：， 解得： ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． （1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； （2）【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； （3）【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先求出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （2）先得出点的坐标，再代入抛物线的解析式求解即可； （3）先求出点的坐标，则可得抛物线的解析式，再分两种情况：①和②，利用抛物线的增减性求出最小值，列式计算即可． 【小问1详解】 解：由题意得：，，即， ∴抛物线的表达式为， 将点代入得：， 解得． 【小问2详解】 解：∵点的坐标， ∴由题意得：点的坐标为， 将点代入得：， 解得． 【小问3详解】 解：∵扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称， ∴轴， ∵点的坐标为，顶点到线段的距离为，扩音口宽度为， ∴，， ∴抛物线的表达式为， 由（2）已得：， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ①当时， 在内，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； ②当时， 在内，随的增大而减小， ∴在内，当时，取得最小值，最小值为， 又∵当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2， ∴， 解得， ∴； 综上，此时的值为或． 24. 【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． （3）【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】（1）与相似，理由如下： ∵，， ∴； （2）①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （3）90； 【解析】 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年度九年级第一学期数学练习 一、选择题(每题4分，共24分) 1. 下列各式中，是关于的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 矩形都是相似图形 B. 正方形都是相似图形 C. 各边对应成比例的多边形是相似多边形 D. 相似多边形对应角的比叫作相似比 3. 已知，求作x，那么下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线 的图象开口最大的是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 如图所示，给出四个选项中一个条件，不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 6. 已知二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④；⑤（m为任意实数），则正确结论的个数有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题(每题4分，共44分) 7. 已知，则的值是___________． 8. 将抛物线先向右平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到的抛物线的解析式为______． 9. 由表的对应值知，一元二次方程（a，b，c为常数，）的一个根的百分位上的数字是__________． x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 10. 如图，，，，则_______． 11. 已知△ABC三边的比为2：3：4，与它相似的△A′B′C′最小边的长等于12，那么△A′B′C′最大边的长等于__． 12. 如图，梯形中，，对角线相交于点O，如果的面积是面积的2倍，那么与的面积之比是 __. 13. 已知抛物线与x轴交于点A、点B（点A在点B的左侧），且，则的值是______． 14. 抛物线 当时，y随x增大而减小，则m的取值范围___． 15. 某点把某条线段分成两部分，若较长线段的平方等于较短线段与整条线段的乘积，则这个点就叫作这条线段的黄金分割点．过顶角为的等腰底角的顶点作的平分线交于点，其中为的黄金分割点，即．若，则线段的长为______． 16. 如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上．若BC=3，AD=2，EF=EH，那么EH的长为___． 17. 如图，在矩形中，点E是线段上的一点，，将沿翻折，得到，若，，则点F到的距离为_____． 三、解答题(共82分) 18. 如图在平面直角坐标系中，的位置如图所示，顶点坐标分别为：，，． （1）以原点为位似中心，画出的位似图形，使它与的位似比为， （2）点、点的坐标分别是、，请用尺规作图作出线段的黄金分割点 ．(其中) 19. 如图，． （1）直接填空；的值为______，的值为______； （2）若，求和的长． 20. 求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比． 21. 某商家销售一种进价为每件10元的日用商品，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）满足，设销售这种商品每天的利润为（元）． （1）直接写出与x之间的函数关系式. （2）若销售单价不低于28元，且每天至少销售50件时，求的最大值． 22. 如图， 在中， ， 点是边的中点， 连接， 过点作 于 ， 连接． （1）求证: （2）如果， 求证： ． （3）如果 ， ， 直接写出线段的长． 23. 【问题背景】生活中常见的抛物线形音响，截面轮廓为抛物线的一部分．这类音响能让声音传播更远、音质更清晰，其声学效果与抛物线的形状密切相关．某学习小组计划研究这类音响的几何特征． 【初步探究】学习小组将这些不同抛物线形音响竖直置于桌面，抽象成如图1所示图形，点是音响的最低点，即抛物线的顶点；扩音口、在抛物线上，且关于抛物线的对称轴对称．经测量，发现这些抛物线形音响均满足：顶点到线段的距离为（单位：），扩音口宽度为（单位：）． 为进一步探索不同音响轮廓的抛物线形状，各学习小组建立了不同的平面直角坐标系，并设点的坐标为，利用抛物线表达式（其中，，为常数，）对值进行了探究与求解． （1）第一小组测得其中一个音响的扩音口宽度为，以抛物线的顶点为坐标原点建立了如图2所示的平面直角坐标系，求的值； （2）【建立模型】第二小组经过观察探究发现：抛物线的形状完全由扩音口宽度决定，即和之间存在数量关系，请你帮小组求出和的数量关系； （3）【应用模型】第三小组重新建立平面直角坐标系后，发现点的坐标为，，且当时，音响截面轮廓线对应抛物线上最低点与轴的距离为2，求此时的值． 24. 【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． （3）【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $