精品解析：江苏省宿迁市沭阳县高级中学2024-2025学年高一上学期第二次教学质量调研测试数学试题

高一年级第一学期第二次教学质量调研测试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由交集和补集的定义求解即可. 【详解】由题意可得图中阴影部分表示， ，所以， 故选：B. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由计算出的值，由此求得的值. 【详解】由由解得，所以. 故选：B 【点睛】本小题主要考查函数值的求法，属于基础题. 3. 命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得为真命题，再参变分离求解即可． 【详解】由题意，p为假命题，故为真命题，故﹐ 故， 又当时，，当且仅当时，等号成立， 所以的取值范围是 故选：A． 4. 已知，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据基本不等式可知当时，；反之不成立，即可得出结论. 【详解】若“”，可知当时，不成立，即可知充分性不成立； 若，可得，即可得，即必要性成立， 因此可得“”是“”的必要不充分条件； 故选：B 5. 在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则M所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据对数的运算性质，结合题中所给的数据进行判断即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 6. 已知函数是偶函数，且对任意的，有，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的单调性和奇偶性化简不等式，从而求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意的，有， 所以在区间上单调递减，由于是偶函数， 所以在区间上单调递增. 所以由可得， 两边平方得，解得. 所以的取值范围是. 故选：A 【点睛】利用函数的单调性的定义判断函数的单调性，除了利用函数单调性的定义，由，判断的符号来进行求解外，还可以利用、的符号来进行判断. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求函数的定义域，研究其奇偶性及的符号即可判断. 【详解】由题意可得：的定义域为， 且， 所以函数在定义域上为奇函数，故排除选项B，D. 又因为，故排除选项C. 故选：A. 8. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数的性质及对数的运算可得，利用均值不等式求最值即可. 【详解】, 由， ， 即， ，当且仅当，即时等号成立， 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. （多选）下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要而不充分条件 C. 若x，y是无理数，则是无理数 D. 设全集为R，若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，有实数解，举例即可判断； 对B，分别判断必要性和充分性； 对C，x，y的无理数部分互为相反数时，不是无理数； 对D，由补集概念即可判断 【详解】对A，当时，成立，故A正确； 对B，当时，成立，但当时，，所以“”是“”的必要而不充分条件，故B正确； 对C，当，时，，不是无理数，故C错误； 对D，全集为R，若，则，故D正确. 故选：ABD. 10. 已知，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值是9 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接由“乘1法”结合基本不等式即可判断；对于B，直接由基本不等式以及指数的运算性质即可判断；对于C，先由基本不等式得到的最大值为，进一步结合对数的运算性质即可判断；对于D，直接由“配凑法”以及基本不等式即可得解. 【详解】，且， 对于A，， 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是9，所以A正确； 对于B，由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，所以B正确； 对于C，由，解得，当且仅当时等号成立， 则的最大值为，的最大值是，所以C错误； 对于D，由， 得，当且仅当时等号成立， 则的最小值是，所以D正确. 故选：ABD. 11. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 在R上是减函数 C. 在上的最大值与最小值之和是4048 D. 的解集为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解A，根据单调性的定义即可结合条件求解B，根据函数的单调性即可求解CD. 【详解】令，则，故，A正确， 对于B，取，则， 故， 所以，即，因此在R上是单调递增，故B正确， 对于C，由于在R上是单调递增，故在上的最大值与最小值之和是，故C正确， 对于D， 由可得， 故，根据单调递增，故，解得或，故D错误， 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据奇函数的性质即可求解. 【详解】设，则，故， 由于是定义在R上的奇函数，故， 故答案为： 13. 已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数a的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数在上的单调递减函数，由求解. 【详解】因为函数是定义域上的单调递减函数， 所以，则 ，解得 ， 所以实数a的取值范围是， 故答案为： 14. 若函数存在唯一的零点，且不等式的解集为，则实数m的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，得出，再由题意可得出关于的二次方程的两根之差的绝对值为，进而可求出实数的值. 【详解】因为函数存在唯一的零点， 所以，即，所以． 又因为不等式的解集为， 所以方程的两根分别为：、， 即方程，即两根分别为：、， 可知方程的两根为， 所以两根之差为，解得． 故答案为：. 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集为R，，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）, （2） 【解析】 【分析】（1）根据分式不等式化简集合，即可根据集合的交并补运算的定义求解， （2）根据必要条件，将问题转化为，即可根据子集关系求解. 【小问1详解】 由可得， 当时，， 故，或， 故 【小问2详解】 由于“”是“”的必要条件，故， 因此，解得 16. 已知，． （1）当，求的值； （2）当时，用，表示． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）利用对数恒等式即可求解； （2）利用对数换底公式和同底对数的加减运算，即可求解. 【小问1详解】 因为，， 所以，，且， 又因为，所以， 则解得：或（舍去） 故当时， ； 【小问2详解】 由，可得，, 而. 17. 已知函数，且的解集为． （1）求a，b的值； （2）用表示，中的较大者，记为，请画出的图像，并求的最小值． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）根据的解集为，得到-2，b是方程的两根，然后利用韦达定理列方程，解方程即可； （2）根据，的解析式画函数图象，再结合函数图象求最小值即可. 【小问1详解】 由题意知，-2，b是方程的两根，且， 则，解得，. 【小问2详解】 由题可知，， 联立，解得或（舍去），所以当时，和的交点坐标为， 联立，解得或（舍去），所以当时，和的交点坐标为， 则图象如下， 所以，当时，取得最小值. 18. 已知幂函数的图象过原点， （1）求实数m的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若，，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2）奇函数，证明如下： 由（1），定义域为R，，，    故为奇函数. （3） 【解析】 【分析】（1）根据幂函数过原点，得到关系式，求出； （2）根据函数奇偶性定义进行判断； （3）根据函数的奇偶性和单调性得到不等式，参变分离后，构造函数，根据函数的单调性得到最大值，求出实数a的取值范围. 【小问1详解】 由已知，，解得 【小问2详解】 为奇函数，证明略； 【小问3详解】 ∵为奇函数， ∴. ∵为增函数， ∴. ∴原条件，， 因为，所以， 令， ∵在上单调递增， ∴， ∴，即. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增，证明如下： 任取，且， 则 因为，且， 可得且， 所以，即， 所以函数在上单调递增． （3） 【解析】 【分析】（1）根据充要条件可得，即可代入化简求解， （2）根据单调性的定义，作差即可求解. （3）由函数的单调性求解的值域，将问题转化为在上的值域，即可分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，即可列不等式求解. 【小问1详解】 设函数的图象的对称中心为，为奇函数， 则， 即， 整理得， 可得，解得， 所以的对称中心为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由对任意，总存在，使得， 可得函数的值域为值域的子集， 由（2）知在上单调递增，故的值域为， 所以原问题转化为在上的值域， ①当时，即时，在单调递增， 又由，即函数的图象恒过对称中心， 可知在上单调递增，故在上单调递增， 又因为，，故， 因为，所以，解得． ②当时，即时，在单调递减，在单调递增， 因为过对称中心， 故此时， 欲使，只需， 且， 解不等式，可得， 又，此时． ③当时，即时，在单调递减，在上单调递减， 由对称性知在上单调递减，所以， 因为，所以，解得， 综上可得，实数m的取值范围是． 【点睛】关键点点睛：根据任意，总存在，使得，转化为在上的值域，分类讨论求解二次函数的单调性，结合对称，求解的值域. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级第一学期第二次教学质量调研测试 数学 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 命题，使得成立.若p为假命题，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 4. 已知，，则“”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在研究天文学的过程中，为了简化大数运算，苏格兰数学家纳皮尔发明了对数，对数的思想方法即把乘方和乘法运算分别转化为乘法和加法运算，数学家拉普拉斯称赞“对数的发明在实效上等于把天文学家的寿命延长了许多倍”．已知，，设，则M所在的区间为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数是偶函数，且对任意的，有，若，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若（其中．），则的最小值为（ ）． A. B. C. 2 D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分． 9. （多选）下列命题为真命题的是（ ） A. ， B. “”是“”的必要而不充分条件 C. 若x，y是无理数，则是无理数 D. 设全集为R，若，则 10. 已知，且，下列结论中正确的是（ ） A. 的最小值是9 B. 的最小值是 C. 的最大值是 D. 的最小值是 11. 定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. 在R上是减函数 C. 在上的最大值与最小值之和是4048 D. 的解集为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设函数是定义在R上的奇函数，且当时，，则函数在时的解析式为__________． 13. 已知函数是定义域上的单调递减函数，则实数a的取值范围是__________． 14. 若函数存在唯一的零点，且不等式的解集为，则实数m的值是______． 四、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设全集为R，，． （1）若，求，； （2）若“”是“”的必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知，． （1）当，求的值； （2）当时，用，表示． 17. 已知函数，且的解集为． （1）求a，b的值； （2）用表示，中的较大者，记为，请画出的图像，并求的最小值． 18. 已知幂函数的图象过原点， （1）求实数m的值； （2）判断函数的奇偶性并证明； （3）若，，求实数a的取值范围. 19. 已知函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是是奇函数，给定函数． （1）求函数图象的对称中心； （2）判断在区间上的单调性并证明； （3）已知函数的图象关于点对称，且当时，．若对任意，总存在，使得，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $