4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

2026-2027学年高中数学必修第一册人教A版

《4.1.1 n次方根与分数指数幂》教学设计

学科：高中数学

教材版本：人教A版必修第一册

课题：4.1.1 n次方根与分数指数幂

课时：第1课时

课型：新授课

授课时长：45分钟

一、课标分析

依据《普通高中数学课程标准（2022年版）》，本节课属于“指数函数与对数函数”主题内容。课标要求学生理解n次方根、根式的概念，理解分数指数幂的含义，能够实现根式与分数指数幂的相互转化，体会指数概念由整数指数逐步推广到有理数指数的过程。发展学生数学抽象、逻辑推理与数学运算核心素养，学会运用类比的方法研究新概念，为后续学习指数函数打下运算基础。学业要求：能正确求简单数的n次方根，能利用根式的性质化简根式，能将根式与分数指数幂互相转化。

二、教材分析

《n次方根与分数指数幂》是人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数4.1节《指数》第1课时的内容。学生在初中已经学习过平方根、立方根和整数指数幂，本节课在此基础上类比推广出n次方根的定义，得到根式的概念与根式的性质，进而把指数概念从整数指数推广到分数指数，为下一课时研究指数幂的运算性质铺平道路。n次方根与分数指数幂的学习，是进一步学习指数函数的基础和保证，指数函数的定义域是实数集，因此非常有必要将初中所学整数指数幂顺理成章地推广到有理数指数幂。教材选用由平方根、立方根类比到n次方根的探究路径，难度梯度平缓，适合课堂探究。本节课只讲解n次方根、根式的性质与分数指数幂的意义，不涉及指数幂的运算性质，不超课时范围。

三、学情分析

高一学生已经掌握整数指数幂、平方根和立方根等知识，具备一定的观察、归纳

与类比能力。有了这些储备知识作为生长点，学生可以回顾由正整数指数幂到整数指数幂的扩充过程，自然产生将指数幂推广到有理数指数幂的想法。学生常见误区：

1.对n次方根个数的判断不准确，容易忽略n的奇偶性对被开方数符号的限制；

2.化简根式时忽略n为偶数时要先加绝对值，出现漏解或符号错误；

3.对分数指数幂的意义理解不到位，容易把分数指数幂中的分母误认为简单的除法。

本节课需要借助大量具体实例，引导学生由特殊到一般、由具体到抽象，逐步形成n次方根与分数指数幂的概念，突破从整数指数幂到分数指数幂的抽象障碍。

四、教学目标

1.经历n次方根定义的形成过程，理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质，能利用根式的性质对根式进行运算，发展数学抽象素养。

2.了解分数指数幂表示的合理性、简洁性，掌握根式与分数指数幂之间的互化，体会类比思想在概念推广中的作用，提升逻辑推理素养。

3.学生可以独立完成根式化简与互化的基础习题，在小组交流中讲清n的奇偶性对根式的影响，养成先判断根指数的奇偶性、再化简的解题习惯，提升数学运算核心素养。

五、教学重难点及突破策略

教学重点

1.根式的概念和根式的性质；

2.根式与分数指数幂的互化。

教学难点

根式性质的准确运用，n为偶数时化简要先加绝对值再判断符号；理解分数指数幂的含义。

重难点突破策略

1.从初中熟悉的平方根、立方根入手，通过＝16、＝32等具体实例，类比生成n次方根的定义，避免直接灌输；

2.固定句式板书：n为奇数时，任何实数都有且只有一个n次方根；n为偶数时，只有非负数才有n次方根，反复朗读强化分类意识；

3.设置易错对比训练，同一被开方数在不同条件下化简，暴露“忘加绝对值”的易错点，当堂纠错；

4.课堂练习梯度设置，从求n次方根，到根式化简，再到根式与分数指数幂互化，层层递进，当堂巩固。

六、教学准备

教师准备多媒体课件，课本改编课堂练习题；板书设计；准备根式化简正误辨析实例。

学生准备预习教材4.1节第104至105页，复习平方根、立方根与整数指数幂的相关概念，准备课堂练习本。

七、教学过程（总时长45分钟）

环节一：情境导入（5分钟）

教师活动：展示教科书第四章章头图，提出问题1：本章要学习的内容是什么？学生阅读章引言后回答：指数函数与对数函数。教师追问问题2：研究指数函数，需要把指数的范围拓展到全体实数，初中我们已经学过整数指数幂，指数的范围还能进一步拓展吗？出示问题串：

①若＝3，这样的x有几个？它们叫做3的什么？

②若＝32，这样的x有几个？它们叫做32的什么？

③若＝16，这样的x有几个？它们叫做16的什么？

学生发现：由平方、立方可以引入平方根、立方根，那么类比也可以引入4次方根、5次方根乃至n次方根。教师总结：要研究指数函数，必须先把指数幂从整数指数推广到分数指数，而分数指数幂与数的方根运算密切相关，由此引出本节课课题《n次方根与分数指数幂》。

学生活动：阅读章头图与章引言，回顾平方根、立方根的定义，尝试举出4次方根、5次方根的例子，初步感知指数扩充的必要性。

设计意图：以章头图明确本章研究内容与研究路径，通过复习旧知识自然生成探究方向，为n次方根概念的建立做好铺垫。

环节二：新知探究一 n次方根与根式（12分钟）

教师活动：出示实例并组织学生归纳：

①＝16，我们把±2叫做16的4次方根；