专题13三角形内切圆及正多边形与圆复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册

专题13三角形内切圆及正多边形与圆复习讲义 1.理解三角形内切圆、内心的概念，区分内心（角平分线交点）和外心（垂直平分线交点）；掌握内心的性质，会求三角形内切圆半径，能结合面积法解决内切圆相关计算。 2.掌握正多边形与圆的关系，理解中心、中心角、边心距、半径的定义；理清四者之间的直角三角形模型（半径、边心距、边长一半构成直角三角形）。 3.会计算正多边形的中心角、边长、边心距、周长、面积；熟记特殊正多边形（正三、正四、正六边形）的相关结论。 4.能够利用尺规作圆的内接正多边形，能识别、判断正多边形，掌握正多边形的对称性。 5.熟练解决两类综合题型：内切圆和三角形结合、正多边形与弧长、扇形面积综合计算。 6.辨析易混概念：内切圆 vs 外接圆、内心 vs 外心；分清正多边形半径（外接圆半径）和边心距（内切圆半径），规避公式、概念混淆的错误。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内心有关应用 ★★ 题型二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★ 题型三 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★ 题型四 求正多边形的中心角 ★ 题型五 已知正多边形的中心角求边数 ★ 题型六 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型七 尺规作图 —— 正多边形 ★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：基础概念 1.三角形内切圆定义 与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2.三角形内心定义 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条内角平分线的交点。 3.圆的外切三角形 三边都与同一个圆相切的三角形，叫做这个圆的外切三角形。 知识点02：内心核心性质 1.内心到三角形三条边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r； 2.内心永远在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形）； 3.内心平分三角形的三个内角。 4.区分外心（三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等） 外接圆圆心（外心）vs 内切圆圆心（内心）对比表格 知识点03：内切圆半径计算公式 1.通用面积公式（任意三角形适用） 2.直角三角形简化公式 直角边a、b，斜边c： 知识点04:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 分类 圆心 半径 图形特征 外接圆 正多边形中心 R（中心到顶点） 圆周经过正多边形所有顶点 内切圆 正多边形中心 边心距r（中心到边） 圆周与正多边形每条边 知识点05:正多边形的有关计算 知识点06:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点07：正多边形的作图方法 1.等分圆周法（通用） ① 画圆；② 计算中心角，用量角器依次截取等弧；③ 顺次连接分点，得到正多边形。 2.特殊正多边形简便画法 正四边形（正方形）：作两条互相垂直的直径，连接端点； 正六边形：以半径长在圆周依次截取 6 个等分点，顺次连接。 题型一、三角形内心有关应用 1．三角形的内心是（   ） A．三角形的三条高所在直线的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三边线段垂直平分线的交点 2．如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 3．如图，的内心为点，，则______． 题型二、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 4．已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________． 5．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 6．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 7．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 题型三、三角形内切圆与外接圆综合 8．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 9．如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ____，的长度的最小值是 ____． 10．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 11．如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 题型四、求正多边形的中心角 12．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 13．一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为，，，…，．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，连接并延长，交于点，，且该夹角位于点的右侧，则______． 14．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 题型五、已知正多边形的中心角求边数 15．若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 16．如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是__________．    17．如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 题型六、正多边形和圆的综合 18．公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 19．如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 20．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 21．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 题型七、尺规作图 —— 正多边形 22．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都D．甲不对，乙对 23．我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 24．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 解答题 25．已经学习了将已知半径R的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作法，但这都是在已知半径为R的圆内作出的．实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形．如图，在中，，，下面给出以为边利用圆规和无刻度直尺画出的正五边形的方法： ①以C为圆心，的长为半径画圆，与的延长线交于点D； ②再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交点记为点E； ③再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F，G； ④连接，，，，得正五边形． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）． 26．如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 27．阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 28．1．如图，在三角形中，O是外心，I是内心． (1)若，求的度数；求的度数． (2)求与的关系． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13三角形内切圆及正多边形与圆复习讲义 1.理解三角形内切圆、内心的概念，区分内心（角平分线交点）和外心（垂直平分线交点）；掌握内心的性质，会求三角形内切圆半径，能结合面积法解决内切圆相关计算。 2.掌握正多边形与圆的关系，理解中心、中心角、边心距、半径的定义；理清四者之间的直角三角形模型（半径、边心距、边长一半构成直角三角形）。 3.会计算正多边形的中心角、边长、边心距、周长、面积；熟记特殊正多边形（正三、正四、正六边形）的相关结论。 4.能够利用尺规作圆的内接正多边形，能识别、判断正多边形，掌握正多边形的对称性。 5.熟练解决两类综合题型：内切圆和三角形结合、正多边形与弧长、扇形面积综合计算。 6.辨析易混概念：内切圆 vs 外接圆、内心 vs 外心；分清正多边形半径（外接圆半径）和边心距（内切圆半径），规避公式、概念混淆的错误。 题型 考察方向 难度 题型一 三角形内心有关应用 ★★ 题型二 一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 ★★ 题型三 三角形内切圆与外接圆综合 ★★★ 题型四 求正多边形的中心角 ★ 题型五 已知正多边形的中心角求边数 ★ 题型六 正多边形和圆的综合 ★★★ 题型七 尺规作图 —— 正多边形 ★★ 拔高题 4题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点01：基础概念 1.三角形内切圆定义 与三角形三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆。 2.三角形内心定义 内切圆的圆心叫做三角形的内心，是三角形三条内角平分线的交点。 3.圆的外切三角形 三边都与同一个圆相切的三角形，叫做这个圆的外切三角形。 知识点02：内心核心性质 1.内心到三角形三条边的距离相等，这个距离就是内切圆的半径r； 2.内心永远在三角形内部（无论锐角、直角、钝角三角形）； 3.内心平分三角形的三个内角。 4.区分外心（三边垂直平分线交点，到三个顶点距离相等） 外接圆圆心（外心）vs 内切圆圆心（内心）对比表格 知识点03：内切圆半径计算公式 1.通用面积公式（任意三角形适用） 2.直角三角形简化公式 直角边a、b，斜边c： 知识点04:正多边形与圆基础概念 1.圆的等分原理： 把一个圆分成相等的 n 段弧（n≥3 且 n 为整数），顺次连接各个分点，就能得到这个圆的内接正 n 边形；反之，任意一个正多边形都存在唯一的外接圆与内切圆，且两圆圆心重合，属于同心圆。 2.专属名词定义 ①正多边形的中心：正多边形外接圆、内切圆公共的圆心； ②正多边形的半径R：中心到正多边形任意一个顶点的线段长度，即外接圆半径； ③边心距r：中心到正多边形任意一条边的垂线段长度，也是正多边形内切圆的半径； ④中心角：正多边形两条相邻半径组成的夹角，是每条边所对外接圆的圆心角。 3.正多边形外接圆 & 内切圆对比表 分类 圆心 半径 图形特征 外接圆 正多边形中心 R（中心到顶点） 圆周经过正多边形所有顶点 内切圆 正多边形中心 边心距r（中心到边） 圆周与正多边形每条边 知识点05:正多边形的有关计算 知识点06:正多边形的性质 1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形。 2.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。 3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心。 4.边数相同的正多边形相似。它们周长的比、边心距的比、半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方。 5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。 要点诠释： （1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形； （2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形。 知识点07：正多边形的作图方法 1.等分圆周法（通用） ① 画圆；② 计算中心角，用量角器依次截取等弧；③ 顺次连接分点，得到正多边形。 2.特殊正多边形简便画法 正四边形（正方形）：作两条互相垂直的直径，连接端点； 正六边形：以半径长在圆周依次截取 6 个等分点，顺次连接。 题型一、三角形内心有关应用 1．三角形的内心是（   ） A．三角形的三条高所在直线的交点 B．三角形的三条中线的交点 C．三角形的三条角平分线的交点 D．三角形的三边线段垂直平分线的交点 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形内切圆与内心，解题的关键是要熟记内心的定义和性质． 根据三角形的内心的定义解答即可． 【详解】解：因为三角形的内心为三个内角平分线的交点， 故选：C． 2．如图，点是的内切圆的圆心，若，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查三角形内切圆，运用三角形内角和定理得出的度数，再根据点O是的内切圆的圆心，得出，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵点O是的内切圆的圆心， ∴，分别为，的角平分线， ∴，， ∴， ∴． 故选：A． 3．如图，的内心为点，，则______． 【答案】/70度 【分析】利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到，，再根据三角形内角和定理，在中求出的度数，等量代换即可得到． 【详解】解：的内心为点， 、分别平分、， ，， 在中，， ， ， ． 题型二、一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系 4．已知的三边长为，，，则三角形内切圆半径为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查的是勾股定理的定义、三角形的内心，解题的关键是画出图形，作于，连接，，，根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长，根据三角形的面积公式求出即可． 【详解】解：过点作，垂足为，连接，，，设内切圆的半径为，      设，则， 由勾股定理得：，． ． 解得：． ， ， ， ， 解得：， 故答案为：． 5．如图，的周长为，，是它的内切圆，直线是位于右侧的任意一条切线，若沿着直线剪下，则剪下的的周长为（   ） A． B． C． D．随直线的变化而变化 【答案】C 【分析】设与、、、直线分别相切于点、、、，由的周长为，，求得，由切线长定理可得，，求得，由，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：设与、、、直线分别相切于点、、、， ∵的周长为，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴剪下的的周长为． 6．如图，是的内切圆，、、为切点．若，，则的周长为_____． 【答案】12 【分析】根据切线长定理，得到，进而推出的周长等于，即可得出结果． 【详解】解：∵是的内切圆，、、为切点， ∴， ∴的周长， ∵，， ∴的周长． 7．如图，已知是的内切圆，切点分别为，，，若，，，则内切圆的半径为____． 【答案】2 【分析】本题主要考查切线长定理和直角三角形内切圆半径的求法，求解直角三角形内切圆半径是解题的关键． 首先利用切线长定理求出三角形各边的长度，然后验证出三角形为直角三角形，进而根据等面积法计算半径即可． 【详解】解：∵是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∵，，， ∴，，， ∴，，， ∴ ∴是直角三角形， 设内切圆的半径为 ∴ 即 解得， 故答案为：． 题型三、三角形内切圆与外接圆综合 8．如图，点是外接圆的圆心，点是的内心，连接．若，则的度数为___________． 【答案】/10度 【分析】本题考查了三角形的内心和外心的概念、圆周角定理、三角形内角和定理； 连接，由点I是的内心可得平分，根据角平分线的定义可得，根据圆周角定理可得，根据等腰三角形的定义及三角形内角和定理进行计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， ∵点I是的内心， ∴平分， ∵， ∴， ∵点O是外接圆的圆心， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，内接于，，，D是的中点，则的半径为 ____，的长度的最小值是 ____． 【答案】 6 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，求线段长的最大值，圆周角定理，勾股定理，关键是延长到使，连接构造△的中位线，并应用相关定理，结合题目条件即可求得长的最小值． 连接并延长交于E，连接，则，，得到延长到E，使，作于H，连接，，，根据三角形的中位线定理得到，当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小，根据勾股定理得到，于是得到结论． 【详解】解：连接并延长交于E，连接， 则，， ， ， 即的半径为6， 当时，的长度的最小， D是的中点， 延长到，使，作于H，连接，，， D是的中点， 是△的中位线， ， 当长最小时，长最小，当的延长线过圆心O时，长最小， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的长度的最小值是， 故答案为：6，． 10．如图，周长为的三角形纸片，小刚想用剪刀剪出它的内切圆，他先沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，则三角形纸片的周长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形的内切圆与内心、切线的性质，设三角形与相切于、、，与相切于，根据切线长定理和三角形的周长公式即可得到结论．，解题的关键是熟练掌握切线的性质． 【详解】解：设三角形与相切于、、，与相切于，如图所示： 由切线长定理可知：，，，，， ，， ，， ， 故选：D． 11．如图示例，已知一等腰三角形钢板的底边长为．为了保护该钢板，需用一个圆形包装盒将其完全覆盖，已知该包装盒的最小半径为．设的内心为I，底边上的高为．有下列三个推断：①若的平分线交边于点E，则的值可能为或；②内心I将高线分成的两段比例的值可能为或；③线段的长度可能为或；其中，正确推断的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】首先，判断最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径，再由I为的内心，均为的角平分线，①设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为，然后，由勾股定理得，可求得的长，接着，由角平分线的性质得，再由，得，最后，分别求得的长，再分别代入计算即可；②过点I作于H，由角平分线的性质得，再由，得，最后，将的值分别代入计算即可；③由①的结论对应的比值及对应求得的的长，分别代入对应数据计算即可． 【详解】解：∵等腰的底边长为，， ∴，， ∵包装盒的最小半径为，直径为，且， ∴最小覆盖圆是该的外接圆，外接圆的半径． ∵I为的内心， ∴均为的角平分线， ①如图1，设等腰外接圆的圆心为O，边上的高为，连接，过E分别作，，垂足分别为， ∴， ∵，， ∴点O在线段上， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴，解得或， ∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，， ∴； 当时，， ∴； ∴若的平分线交边于点E，则的值可能为或，推断①正确； ②如图2，过点I作于H， ∵均为的角平分线，， ∴， ∵， ∴，即， 当时，； 当时，； 内心I将高线分成的两段比例的值可能为或，推断②正确； ③由①得当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； ∴线段的长度可能为或，推断③正确； 综上，正确推断的个数为3． 题型四、求正多边形的中心角 12．已知正n边形的内角和是它的外角和的3倍，则这个正n边形的中心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的内角和和外角和，正多边形的中心角，根据题意列出方程求得边数，即可求得中心角的度数． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ∴这个正n边形的中心角为， 故选：D． 13．一张圆形纸片，圆周被24等分，等分点分别为，，，…，．由于这个纸片不小心被撕掉了两部分，剩下部分如图所示，连接并延长，交于点，，且该夹角位于点的右侧，则______． 【答案】11 【分析】本题主要考查了正多边形的性质及四边形内角和，熟练掌握正多边形的性质是解题的关键．根据正多边形的性质进行求解即可． 【详解】解：如图，连接，，． ， ， 延长，交于点，， ， ． 故答案为：． 14．如图，正六边形内接于，点P是上的任意一点，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据正六边形的性质求出圆心角的度数，再利用圆周角定理即可求出的大小 【详解】解：连接、，如图所示： 六边形是正六边形， ， 点是上的任意一点，是所对的圆周角， ． 题型五、已知正多边形的中心角求边数 15．若正边形的中心角为，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考查正多边形中心角的计算公式．正边形的中心角有个，每个中心角度数为． 【详解】解：已知正边形的中心角为，代入公式得． 16．如图，正六边形的边长为1，顶点与原点重合，将对角线绕点顺时针旋转，使得点落在数轴上的点处，则点表示的数是__________．    【答案】 【分析】过点B作于点D，利用正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理计算即可． 本题考查了正六边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】过点B作于点D， ∵正六边形的边长为1，顶点与原点重合， ∴，，， ∴，    ∴， 根据旋转性质，得， ∴点C表示的数是， 故答案为：． 17．如图，在正边形中，，则的值是（     ） A．8 B．9 C．10 D．18 【答案】B 【分析】根据圆周角定理，得到，再根据中心角的计算公式求出的值即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 题型六、正多边形和圆的综合 18．公园里有一个亭子，它的地基是边长为米的正六边形，则这个正六边形的边心距是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】连接、，作于点，容易判断是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理计算出即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点， ∵六边形是边长为米的正六边形， ∴，米， 又∵， ∴是等边三角形， ∴米， ∵， ∴米， 在中，（米）， ∴这个正六边形的边心距是米． 19．如图，已知正六边形的边长为1，分别以C，F为圆心，以边长为半径画弧（两条弧均经过正六边形的顶点），则图中阴影部分的面积为____________． 【答案】/ 【分析】求出阴影部分扇形的圆心角，再求出扇形面积即可解答； 【详解】解：∵正六边形的边长为1， ∴，, ∴． 20．如图，正五边形内接于，点F是的中点，连接，交于点G，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，求出的度数，再由弧与圆心角之间的关系和圆周角定理求出的度数，最后由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∴． 21．如图，正五边形内接于，的直径为，连接，，，．小慧、小丽经过探索，分别得到以下结论．小慧：；小丽：．下列关于两人结论的判断中，正确的是（     ） A．小慧和小丽的结论都正确 B．小慧和小丽的结论都错误 C．小慧的结论正确，小丽的结论错误 D．小慧的结论错误，小丽的结论正确 【答案】A 【分析】连接交于点，则，利用“同弧所对圆周角等于圆心角的一半”得到，即可算出小慧的结论是正确的；利用垂径定理可知，，则点是的中点且，，易求得，进而计算，利用“半径相等”及故“等边对等角”求得，由“三角形内角和定理”求得，则，由“对顶角相等”得，再由“三角形内角和定理”算得，从而，则：，小丽的结论正确． 【详解】 解：连接交于点， ∵正五边形内接于， ∴， ， ∴， 故小慧的结论正确； ∵， ∴，的直径为， ∴，点是的中点 ∴ ∴ 即，， ， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 又，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故小丽的结论正确． 故选： ． 【点睛】本题考查了圆和正多边形的相关知识，圆周角定理，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，垂径定理等，熟练掌握这些知识是解决问题的关键． 题型七、尺规作图 —— 正多边形 22．如图，已知，求作：内接正六边形，以下是甲、乙两同学的作业： 甲：①先作直径；②作的垂直平分线交于点、；③作的垂直平分线交于点、；④依次连接，六边形即为所求（如图①）． 乙：①上任取点，以点为圆心，为半径画弧，交于点；②以点为圆心，为半径画弧交于点；③同上述作图方法逆时针作出点、、；④依次连接，多边形即为正六边形（如图②）． 对于两人的作业，下列说法正确的是（    ） A．两人都不对 B．甲对，乙不对 C．两人都D．甲不对，乙对 【答案】C 【分析】由甲同学的作业可知，，同理可知，由乙同学的作业可知．依次画弧可得．进而即可判断 【详解】由甲同学的作业可知，，同理可知， 六边形是正六边形，即甲同学的作业正确． 由乙同学的作业可知．依次画弧可得． 六边形为正六边形，即乙同学的作业正确． 故选C 【点睛】本题考查了正多边形的尺规作图，掌握正多边形与圆的相关知识是解题的关键． 23．我们可以只用圆规将圆等分，例如：将圆六等分，只需在上任取点A，从点A开始，以的半径为半径，在上依次截取点B，C，D，E，F，从而点A，B，C，D，E，F把六等分．下列可以只用圆规将圆等分的是（    ）． ①两等分；    ②三等分；    ③四等分． A．② B．①② C．①③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查正多边形与圆、尺规作图、等分圆周等知识，解题的关键是理解将圆六等分的方法，属于作图中的难题． 通过圆规六等分圆后，可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点，但四等分点无法仅用圆规得到． 【详解】解：∵ 只用圆规可完成圆的六等分， 可以利用六等分点间接得到两等分点和三等分点， 但无法只用圆规得到四等分点， ∴ ①②可行，③不可行， 故选：B． 24．按如下步骤作四边形： （1）画； （2）以点为圆心，个单位长度为半径画弧，分别交、于点、； （3）分别以点和点为圆心，个单位长度为半径画弧，两弧交于点； （4）连接、、； （5）以点为圆心，长为半径画弧交于点： 则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，正方形的判定与性质，三角形的外角性质，平行线的性质，解题的关键是掌握相关知识．由作图可推出四边形是正方形，，得到，，再根据三角形的外角性质可得，最后根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：由作图可得，，，， 四边形是正方形，， ，， ， ， ， ， 故选：A． 解答题 25．已经学习了将已知半径R的圆五等分，进而画正五边形、正六边形的作法，但这都是在已知半径为R的圆内作出的．实际应用中往往要画出给定边长的正五边形、正六边形．如图，在中，，，下面给出以为边利用圆规和无刻度直尺画出的正五边形的方法： ①以C为圆心，的长为半径画圆，与的延长线交于点D； ②再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，两弧在下方交点记为点E； ③再分别以A，B为圆心，的长为半径画弧，各交②中所作两弧的一条于点F，G； ④连接，，，，得正五边形． 请你依据以上步骤，用尺规作图的方法在图中作出正五边形（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】如图，正五边形即为所求， 【分析】根据题中步骤作图作图即可． 【详解】略 26．如图，六边形是的内接正六边形，四边形是正方形，连接，，． (1)求的度数； (2)取劣弧的中点，连接，在图中找出和等长的线段，并说明理由． 【答案】(1) (2) 与是等长的线段， 理由：连接，， ∵是的中点， ∴垂直平分， 在正六边形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴ 【分析】（1）先求出，再证明是等边三角形，由等边三角形和正方形的性质得出是等腰三角形．，再由三角形内角和定理即可求出答案． （2）连接，，由垂径定理得出垂直平分，再证明，由平行线的性质得出，再证明，由全等三角形的性质即可得出． 【详解】（1）解：∵为正六边形的中心角， ∴． ∵， ∴是等边三角形，又四边形是正方形， ∴， ∴是等腰三角形． ∵，， ∴ ∴． （2）略 【点睛】本题主要考查了正多边形与圆的综合，等边三角形的判定和性质，垂径定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，掌握这些知识是解题的关键． 27．阅读材料：已知的周长为l，面积为S，内切圆的半径为r，探究r与S，l之间的关系． 解：如图①，连接OA，OB，OC． ，， ，，． 解决问题： (1)利用探究的结论，计算边长分别为5，12，13的三角形的内切圆半径． (2)如图（2），若四边形ABCD存在内切圆（与各边都相切的圆），且面积为S，各边长分别为a，b，c，d，试推导四边形的内切圆半径公式． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用探究的结论，计算边长分别为的三角形内切圆半径； （2）若四边形存在内切圆（与各边都相切的圆），且四边形的面积为，各边长分别为，利用四边形面积等于个三角形的面积之和，可得四边形的内切圆半径公式． 【详解】（1）解：， 此三角形为直角三角形， 三角形的面积， ． （2）解：如图，设四边形ABCD内切圆的圆心为O，连接OA，OB，OC，OD，则 ， ． 【点睛】本题考查了三角形和四边形分别与内切圆的半径关系． 28．如图，在三角形中，O是外心，I是内心． (1)若，求的度数；求的度数． (2)求与的关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得出，代入求出即可； 求出，求出，根据三角形内角和定理求出即可； （2）分别推导、与的关系式，以为中间量消元，得到与的数量关系． 【详解】（1）解∶为的内心， ，． ， ． ，即， ． 点O为的外心， 由圆周角定理得． ， ． （2）解： 是的内心， 平分，平分． ． 在中，由三角形内角和定理： 在中，， ∴ 是的外心，由圆周角定理：同弧所对圆心角等于圆周角的2倍． ∴，即， ∴． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $