专题11弧长与扇形面积复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册
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内容正文：
专题11弧长与扇形面积复习讲义
1.理解弧长、扇形的概念，能分清弧、扇形、弓形的区别；熟记弧长公式、扇形面积两个核心公式，明白公式中每个字母的含义（圆心角度数、半径）。
2.会运用弧长公式计算弧长，已知弧长、半径、圆心角三个量中任意两个，求出第三个量。
3.熟练运用扇形面积的两个公式进行计算，能根据题目条件灵活选择公式，解决扇形面积相关计算。
4.掌握圆锥相关知识点：分清圆锥的母线、底面半径、高；理解圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，扇形半径等于圆锥母线长。能求圆锥侧面积、全面积。
5.会解决阴影面积问题：常用割补法、和差法，把不规则阴影转化为扇形、三角形、圆等规则图形的面积和差，这是期中高频题型。
6.能解决实际情境问题，比如滚轮转动、扇面、弯道等应用类问题，会结合旋转、圆的基础性质综合解题。
7.易错点提醒：公式里圆心角是度数，不要和弧度混淆；圆锥侧面积计算不要误把底面半径当成展开扇形的半径；看清求的是侧面积还是全面积。
8.能对比区分弧长公式和扇形面积公式，避免两个公式混用记错。
题型
考察方向
难度
题型一
求弧长
★
题型二
求扇形半径
★
题型三
求圆心角
★
题型四
求某点的弧形运动路径长度
★★
题型五
求扇形面积
★★
题型六
求图形旋转后扫过的面积
★★★
题型七
求弓形面积
★★★
题型八
求其他不规则图形的面积
★★★
题型九
求圆锥侧面积
★★
题型十
求圆锥底面半径
★★
题型十一
求圆锥的高
★★
题型十二
求圆锥侧面展开图的圆心角
★★★
题型十三
圆锥的实际问题
★★★
题型十四
圆锥侧面上最短路径问题
★★★★
拔高题
8题
星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴
知识点01：基础概念
弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。
符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。
知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用）
1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长）
2.常用变形（已知弧长反求量）
3.适用题型
弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。
知识点03：扇形的面积公式
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S = R2，所以圆心角是1的扇形面积是，于是圆心角为n的扇形面积是S扇形 = ，还可以用弧长表示扇形面积S扇形 = lR，其中l为扇形的弧长．
知识点04：弓形面积计算（高频考点）
· 劣弓形（弧为劣弧）
弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积
S弓=S扇-S△
· 优弓形（弧为优弧）
弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积
S弓=S扇+S△
补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。
知识点05圆锥的侧面积和全面积
1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
2.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．
3.圆锥的基本特征
（1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面．
（2）圆锥的母线长都相等．
（3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形．
4.圆锥的侧面积和全面积：
母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=rl．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即S全=rl+r2．
5.圆锥展开扇形圆心角推导
设展开扇形圆心角为n
知识06：高频易错点（老师课堂重点强调）
1.弧长、扇形面积公式记混分母：弧长分母 180，扇形面积分母 360；
2.圆锥母线、底面半径混淆，计算侧面积时代错数值；
3.计算弓形面积不分优劣弧，直接用扇形减三角形；
4.求圆锥展开圆心角忘记使用母线当作扇形半径；
5.单位问题：公式中n只代入角度数值，无需带度；
6.扇形面积两种公式不会灵活选用：有弧长优先用S=lr更简便。
题型一 求弧长
1．每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】扇形弧长计算公式，代入求值即可．
【详解】解：将，代入
．
2．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，小丽玩抖空竹游戏时发现可以将其某时刻的情形抽象成数学问题，如图②，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】连接，利用切线的性质得到，根据四边形的内角和求得，再利用弧长公式求得答案．
【详解】解：连接，如图所示：
∵分别与相切于点C，D，
∴，
∵，，
∴，
∴．
3．如图，已知四边形是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于_______．
【答案】
【分析】根据菱形的性质和圆的定义证明是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图，连接，
，四边形是边长为2的菱形，
，，
点、、、都在以为圆心的同一圆弧上，
，
,
是等边三角形，
，
，
，
，
的长度等于．
题型二 求扇形半径
4．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题的关键．根据弧长公式，其中n是圆心角度数，r为半径，计算即可求解．
【详解】解：设半径为，
弧长公式，其中，，
，
，故半径为，
故选：D．
5．如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，连接OC、AD，则图中阴影部分的面积为___________．
【答案】
【分析】连接OC，根据圆心角、弧、弦的关系定理得到∠COD＝60°，根据弧长公式求得半径，利用勾股定理求出OE、DE，根据扇形面积公式、三角形面积公式计算，得到答案．
【详解】解：连接OD，如图所示：
∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，
∴∠COD＝60°，
∵的长为，
∴，
∴R＝2，
∴OD＝2，
∵点C是的中点，
∴OC⊥AD，
∴∠ODE=30°，
∴OE＝OD＝1，，
∴
．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是扇形面积计算，弧长的计算，掌握勾股定理、扇形面积公式是解题的关键．
6．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据此三角形是由三段弧组成，所以根据弧长公式可得半径，即正三角形的边长，根据曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，边长为的等边三角形的面积为，即可求解．
【详解】解：设等边三角形ABC的边长为r，
解得，即正三角形的边长为2，
此曲边三角形的面积为
故选A
【点睛】本题考查了扇形面积的计算．此题的关键是明确曲边三角形的面积等于三角形的面积与三个弓形的面积和，然后再根据所给的曲线三角形的周长求出三角形的边长．
题型三 求圆心角
7．一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】直接利用弧长公式即可求出的值，计算即可．
【详解】解：根据，
解得：，
故选：C.
【点睛】本题考查了扇形弧长公式计算，注意公式的灵活运用是解题关键．
8．圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角为_____．
【答案】/288度
【分析】本题考查了圆锥侧面展开图圆心角的计算，先根据题意求出圆锥底面圆的半径，根据圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长，列出方程即可求解，掌握圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆的周长是解题的关键．
【详解】解：由题意得，圆锥底面圆的半径，
∴，
解得，
∴该圆锥侧面展开图的圆心角为，
故答案为：．
9．物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了弧长公式的计算，重物上升时，即弧长是，设旋转的角度是，利用弧长公式计算即可得出答案，熟练掌握弧长公式是解此题的关键．
【详解】解：设旋转的角度是，滑轮的半径是，
由题意得：，
解得：，
绕点O按逆时针方向旋转的度数为，
故选：C．
题型四 求某点的弧形运动路径长度
10．如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查轨迹，弧长公式等知识，解题的关键是作出圆心的滚动轨迹为两个的弧长和一个的弧长．求出圆心O滚动一周路径长，可得结论．
【详解】解：如图，圆心滚动一周路径为长为，
∴滚动2025周后圆心所经过的路径长，
故选：D．
11．如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点B所经过路径的长度为_____________（结果保留）．
【答案】
【分析】根据题意得到，证明是等腰三角形，求出，利用弧长公式进行计算即可．
【详解】解：，，
，
由旋转的性质可得，
是等腰三角形，，
，
点B所经过路径的长度．
12．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】通过旋转构造等腰直角三角形，结合平行四边形判定确定点C的轨迹圆半径及圆心角，然后再利用弧长公式求解即可．
【详解】解：如图：连接，作点D，使得为等腰直角三角形，，且D在的逆时针方向，将绕点O逆时针旋转得到，
∴，
∵将线段绕点逆时针旋转，得到线段，
∴，
∴，
∴ 四边形为平行四边形，
∴，
∴点C在以D为圆心，为半径的圆上运动，
∵点沿着圆周转动，即旋转，
∴旋转，即旋转，
∴点C转过的圆心角为，
∴点C经过的路径长为．
题型五 求扇形面积
13．小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
【答案】D
【分析】已知扇形的圆心角和面积，利用扇形面积公式即可计算出半径，得到正确选项.
【详解】设该扇形的半径为米，
∵扇形面积公式为，本题中，，
∴代入公式得，
化简得，
等式两边同时除以，得，
整理得，
∵半径为正数，
∴米，
故选：D．
14．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示）
【答案】
【详解】解：当时，n边形的外角和为，
∴图中阴影部分的面积之和为
15．如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据图形得到，根据扇形面积公式计算即可．
【详解】解：∴
．
题型六 求图形旋转后扫过的面积
16．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在边上，则边在旋转过程中扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据旋转的性质得出，进而得出，根据扇形面积公式，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴，
∴，
∴边在旋转过程中扫过的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查了求扇形面积，旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
17．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则扫过的面积为_____．
【答案】
【分析】根据题意可以求得和的长，再根据旋转的性质即可求得扫过的面积．
【详解】解：∵在中，，，，
∴，，
∴扫过的面积为：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了根据旋转的性质求解，求图形旋转后扫过的面积，含30度角的直角三角形，用勾股定理解三角形等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．
18．当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了旋转的性质，扇形面积，理解图示，掌握扇形面积的计算是关键．
如图所示，延长交于点，与交于点，可得，则，由代入计算即可．
【详解】解：如图所示，延长交于点，与交于点，
∵旋转，
∴，
∴，
∴，
∴当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是圆环的面积，
∵，，
∴，
故选：B ．
题型七 求弓形面积
19．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意可得，再根据即可得到解答．
【详解】解：∵扇形，
∴，
又∵，
∴为大圆的直径，
∴，
∴，
∴
，
故选C．
【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质和扇形面积公式，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键．
20．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____．
【答案】
/
【分析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解．
【详解】解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半径都为，则内部4个小圆的面积为，
如图所示，
根据剪纸中折叠的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于点E，圆心为点E，
∴，则，
∴，，，4个空白半圆的面积为，
∴大圆内不规则的阴影部分的面积为：，
∴在中，弓形的面积为，
同理，大圆内4个花瓣的面积和为，
∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ．
21．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了折叠问题，求扇形面积，等边三角形的性质与判定，勾股定理；连接，交于点，根据折叠得出是等边三角形，进而得出是等腰直角三角形，求得半径，进而根据即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，交于点
∵折叠，
∴，，
又∵
∴
∴是等边三角形，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴
∴
∴
故选：C．
题型八 求其他不规则图形的面积
22．苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，已知，则该砖雕的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】解题的关键是掌握扇形面积公式，利用大扇形面积减去小扇形面积即可求解．
【详解】解：由题意可知，该砖雕的面积等于扇形的面积减去扇形的面积，
圆心角，，，
该砖雕的面积为：
．
故选：D．
23．如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________．
【答案】
【分析】由题意，通过导角计算可证明，则为等边三角形，则可求相关的边长和角度，根据进行计算即可．
【详解】解：连接，作交于，
由题意，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，，，
∴，‘
则
．
24．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．π C． D．
【答案】A
【分析】连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：连接，，
∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
即点是的中点，
∵点O是的中点，
∴是的中位线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
题型九 求圆锥侧面积
25．圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】若圆锥的底面半径为，母线长为，则这个扇形的半径为，扇形的弧长为，圆锥的侧面积为．
【详解】解：由题意得，圆锥的侧面积为．
26．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，根据图中数据，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）为______（结果保留）．
【答案】
【分析】根据图形获取圆锥的底面直径与母线长，求出底面半径后，利用圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：由图可知，圆锥的底面直径为，母线长为，
∴圆锥的底面半径，
∴蛋筒圆锥部分包装纸的面积为．
27．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______．
【答案】
【分析】已知圆锥的底面半径和高，利用勾股定理求出母线长，再根据圆锥侧面积公式计算即可．
【详解】解：设圆锥的母线长为，
圆锥的底面半径，高，
母线长，
圆锥模型的侧面积为．
题型十 求圆锥底面半径
28．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开，若不考虑接缝，它是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，圆锥母线长等于扇形半径，据此列方程即可求出底面半径
【详解】解：根据弧长公式，计算展开扇形的弧长，
，
，
设圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为，
圆锥底面周长等于展开扇形的弧长，
，
解得，
即底面半径为．
29．已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为__________．
【答案】
【分析】圆锥的母线长等于侧面展开图扇形的半径，圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，利用弧长公式建立方程求解即可．
【详解】解：设该圆锥底面圆的半径为，圆锥的母线长为，即侧面展开图扇形的半径为，
扇形的弧长为，
圆锥底面圆的周长为，
根据圆锥底面圆周长等于扇形弧长，可得，
解得．
30．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据弧长公式求出阴影扇形的弧长，进而可求出围成圆锥的底面半径．
【详解】解：扇形的长为：，
∵扇形的弧长相当于围成圆锥的底面周长，
设围成圆锥的底面半径为，
∴
解得：．
题型十一 求圆锥的高
31．小军用下图的方法测量一个圆锥的高，量出长度是厘米，圆锥实际的高（ ）．
A．小于厘米 B．大于厘米 C．等于厘米 D．不能确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了圆锥的高的定义及测量方法，解答本题的关键是掌握圆锥高的含义．从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高，根据圆锥高的含义结合圆锥高的测量方法进行解答即可．
【详解】解：如图，
圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高，
图中小军斜着测量得到的是圆锥的母线长度，量出长度是厘米，
所以圆锥实际的高小于厘米，
故选：．
32．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______．
【答案】
【分析】设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式求出扇形半径，再利用圆锥侧面展开图弧长等于底面圆周长求出，最后根据勾股定理计算圆锥的高．
【详解】解：设圆锥侧面展开图扇形的半径为，圆锥底面圆的半径为，
由题意得，
解得，
∵圆锥侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，
∴，
解得，
∴．
33．如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了圆锥展开图以及勾股定理等知识．利用已知得出底面圆的半径为，周长为，进而得出母线长，即可得出答案．
【详解】解：∵半径为的圆形，
∴底面圆的半径为2，周长为，
扇形弧长为：，
∴，即母线为，
∴圆锥的高为：．
故选：A．
题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角
34．已知圆锥的母线长为，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用圆锥底面周长等于其侧面展开图扇形的弧长，列方程求解圆心角即可．
【详解】解：设这个圆锥侧面展开图的圆心角为，
∵圆锥底面周长等于侧面展开图扇形的弧长，已知圆锥底面半径，母线长，
∴圆锥底面周长为，
根据扇形弧长公式可得方程：，
解得：，
∴这个圆锥侧面展开图的圆心角是．
35．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设侧面展开图的圆心角度数为x，再根据圆锥的底面圆的周长进行求解即可．
【详解】解：设侧面展开图的圆心角度数为x，
∵圆锥的底面圆的周长为，
∴
解得．
36．小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____．
【答案】
【分析】利用圆的底面周长即是扇形的弧长，求解即可．
【详解】解：设扇形纸板的圆心角为，
∵圆的底面周长即是扇形的弧长，
∴，
解得：
则扇形纸板的圆心角是．
题型十三 圆锥的实际问题
37．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素）
【答案】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式计算即可．
【详解】解：灯罩的铁皮的面积是．
38．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据题意由斗笠锅盖的底面直径得圆锥的底面半径；因为圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，求出母线长度；再由圆锥的侧面积求出斗笠锅盖的表面积即可．
【详解】解：
∵斗笠锅盖的底面直径为，高度为，
∴底面半径，
∵圆锥的高、底面半径和母线构成了一个直角三角形，设母线为，
∴根据勾股定理有，
∴，
∴圆锥的侧面积为：
∴该斗笠锅盖的表面积大约为．
39．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则________．
【答案】
【分析】设AB＝x，AD＝y，则DE＝y﹣x，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
【详解】解：设AB＝x，AD＝y，则DE＝y﹣x，
根据题意，得： ，
整理得：x＝2(y﹣x)
解得：，
即：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
题型十四 圆锥侧面上最短路径问题
40．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是_________．
【答案】3
【分析】连接，作于点，根据题意，结合两点之间线段最短，得出即为蚂蚁爬行的最短距离，再根据三角形的内角和定理得出，再根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半，得出，再根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据线段之间的数量关系，得出即可解答．
【详解】解：如图，连接，作于点，
∴即为蚂蚁爬行的最短距离，
∵，，
∴，
在中，，，
∴，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
∴蚂蚁爬行的最短距离为3．
故答案为：3
【点睛】本题考查了圆锥侧面上最短路径问题、三角形的内角和定理、直角三角形的特征、勾股定理、三线合一的性质等知识点，正确作出辅助线、构造等腰三角形和直角三角形是解题的关键．
41．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先求出的长，再利用勾股定理求出以及的长即可．
【详解】连接，过B作于D，
设圆锥侧面展开图的圆心角为，
圆锥底面圆周长为，，
则，
∵，，
∴，
由，可求得，
∴，，
即这根绳子的最短长度是．
42．如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______．
【答案】
【分析】把圆锥的侧面展开，，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式可计算出扇形的圆心角，然后利用两点之间线段最短得到从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长．
【详解】解：把圆锥的侧面展开，如图，连接，设，
根据题意得，
解得 ，
∴，
∴从点出发绕侧面一周，再回到点的最短路线的长为．
解答题
43．圆锥的母线长为，底面圆的半径为．
(1)侧面展开图的圆心角度数是 ．
(2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了圆锥及圆锥的侧面展开图，弧长公式，理解圆锥底面周长等于圆锥的侧面展开图的弧长是解题的关键．
（1）先求出侧面展开图的弧长，再根据弧长公式即可求出圆心角的度数；
（2）如图2，连接，先证明为等边三角形，再证，最后根据勾股定理求得即可．
【详解】（1）解：设侧面展开图的圆心角度数为，
∵底面圆的半径为，
∴侧面展开图的弧长，
，
，解得：，
故答案为：；
（2）解：如图2，连接，则线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
的长为，，令，
，解得，
，
，
∴为等边三角形，即，
，
，
在中，，
即蚂蚁爬行的最短距离为．
44．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)将绕点顺时针旋转得到，画出；
(2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ；
(3)在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）分别画出点、绕点顺时针旋转得到的对应点、，连接点、、，得到即为所求；
（2）连接对应点、，作、的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，由网格图可知旋转中心的坐标为；
（3）借助网格图可以求出，，根据扇形的弧长公式即可求出点所经过的路径长．
【详解】（1）略
（2）解：如下图所示，
连接对应点、，作、的垂直平分线，
两条垂直平分线的交点即为旋转中心，
旋转中心的坐标为；
（3）解：由旋转可知，
由网格可知，
点所经过的路径长为．
45．如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件．
(1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径；
(2)求裁剪后剩下废料的面积．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）连接，说明是直角三角形，根据勾股定理即可求解；
（2）用圆形面积减去裁剪的扇形面积即可．
【详解】（1）解：连接，根据题意，，
，
是直径，
，，
，
，
，
，
即裁剪得到的扇形装饰部件的半径为；
（2）解：
即裁剪后剩下废料的面积为．
46．如图，中，经过A，C两点的与边分别交于E，F，D是上一动点，连接．
(1)若______，______，求证：______；（请将信息“①；②；③”分别填入三条横线上，将题目补充完整，并完成证明）
(2)在（1）的条件下：若，求阴影部分的面积．
【答案】(1)
解：若①②，求证③；
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
若①③，求证②；
证明：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴．
若②③，求证①；
证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∵，
∴．
(2)
【分析】（1）任选其中两个作为已知条件，剩下的一个作为结论，再利用圆周角定理等知识进行证明即可．
（2）先证明是直径，即经过点O，求出圆的半径，再证明是等边三角形，得出，进一步得到，利用三角形面积公式与扇形面积公式即可求解．
【详解】（1）略
（2）解：如图，连接，
∵，
∴是直径，即经过点O，
连接，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
过O点作于G，
∴，
∴，
∴，
∴阴影面积为．
【点睛】本题考查了圆周角定理及其推论、等边三角形的判定与性质、扇形面积的计算等知识，解题关键是正确作出辅助线构造直角三角形与等边三角形．
47．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）通过证明，进而得到，最终求得的度数；
（2）通过证明为等腰直角三角形并结合图形可知，阴影部分面积为圆面积减去，分别求解即可得到结果．
【详解】（1）解：为的直径，
，
．
，，
，
．
（2）解：为的直径且，
．
是的角平分线且，
．
，，
．
，
，
，
为等腰直角三角形，
阴影部分面积为圆面积减去，即，
即阴影部分面积为．
48．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
【答案】(1)
如图所示：
∵表面紧贴的两圆锥形的侧面展开图为圆心角相同的两扇形，
∴表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．
由于滤纸围成的圆锥形只有最外层侧面紧贴漏斗内壁，故只考虑该滤纸圆锥最外层的侧面和漏斗内壁圆锥侧面的关系．
将圆形滤纸片按图示的步骤折成四层且每层为圆，
则围成的圆锥形的侧面积．
∴它的侧面展开图是半圆，其圆心角为度，
如将漏斗内壁构成的圆锥侧面也抽象地展开，展开的扇形弧长为：，
该侧面展开图的圆心角为．
由此可以看出两圆锥的侧面展开得到的扇形，它们的圆心角相等．
∴该滤纸围成的圆锥形必能紧贴漏斗内壁．
(2)
【分析】此题考查了圆锥侧面积实际应用．
（1）证明表面是否紧贴只需考虑展开图的圆心角是否相等．即可得到结论；
（2）求出扇形弧长为，则圆心角为，滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，由重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，进一步即可得到滤纸重叠部分每层面积．
【详解】（1）略
（2）如果抽象地将母线长为，开口圆直径为的特殊规格的漏斗内壁圆锥侧面展开，得到的扇形弧长为，
圆心角为，
滤纸片如紧贴漏斗壁，其围成圆锥的最外层侧面展开图的圆心角也应为，
又∵重叠部分每层面积为圆形滤纸片的面积减去围成圆锥的最外层侧面展开图的面积的差的一半，
∴滤纸重叠部分每层面积．
49．如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹．
(1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径；
(2)如图2，求图中阴影部分的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了不规则图形的面积，弧长公式，圆锥的侧面积，旋转的性质，三角形全等的性质，掌握扇形面积公式，弧长公式和圆锥侧面积公式是解题的关键．
（1）由旋转的性质得到，先求出长，再根据圆锥侧面积公式即可求解；
（2）由旋转的性质得到，得到，根据图形可得即可求解．
【详解】（1）解：由旋转的性质得到，
∵，
的长为，
，
；
（2）解：根据图形得，
是旋转得到的，
，
，
．
50．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和）
拓展迁移：
（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离．
【答案】（1）两点之间线段最短；（2）蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为；（3）蚂蚁爬行的最短距离为
【分析】本题主要考查勾股定理的应用，圆锥的侧面展开图及弧长公式，熟练掌握勾股定理，圆锥的侧面展开图及弧长公式是解题的关键；
（1）根据题意可直接进行求解；
（2）由题意易得，，然后根据勾股定理可进行求解；
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，由题意易得，则有该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，然后根据勾股定理可进行求解．
【详解】解：（1）由题意可知：判断最短路线的依据是两点之间线段最短；
故答案为两点之间线段最短；
（2）剪开后，，，
，
蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长为，
（3）设圆锥侧面展开图的圆心角度数为，
圆锥的底面周长为，
，
解得：，
该圆锥的侧面展开图是圆心角为的扇形，
如解图，线段的长为蚂蚁爬行的最短距离，
在中，
，
点为的中点，
是的中位线，
，
蚂蚁爬行的最短距离为．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
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专题11弧长与扇形面积复习讲义
1.理解弧长、扇形的概念，能分清弧、扇形、弓形的区别；熟记弧长公式、扇形面积两个核心公式，明白公式中每个字母的含义（圆心角度数、半径）。
2.会运用弧长公式计算弧长，已知弧长、半径、圆心角三个量中任意两个，求出第三个量。
3.熟练运用扇形面积的两个公式进行计算，能根据题目条件灵活选择公式，解决扇形面积相关计算。
4.掌握圆锥相关知识点：分清圆锥的母线、底面半径、高；理解圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆周长，扇形半径等于圆锥母线长。能求圆锥侧面积、全面积。
5.会解决阴影面积问题：常用割补法、和差法，把不规则阴影转化为扇形、三角形、圆等规则图形的面积和差，这是期中高频题型。
6.能解决实际情境问题，比如滚轮转动、扇面、弯道等应用类问题，会结合旋转、圆的基础性质综合解题。
7.易错点提醒：公式里圆心角是度数，不要和弧度混淆；圆锥侧面积计算不要误把底面半径当成展开扇形的半径；看清求的是侧面积还是全面积。
8.能对比区分弧长公式和扇形面积公式，避免两个公式混用记错。
题型
考察方向
难度
题型一
求弧长
★
题型二
求扇形半径
★
题型三
求圆心角
★
题型四
求某点的弧形运动路径长度
★★
题型五
求扇形面积
★★
题型六
求图形旋转后扫过的面积
★★★
题型七
求弓形面积
★★★
题型八
求其他不规则图形的面积
★★★
题型九
求圆锥侧面积
★★
题型十
求圆锥底面半径
★★
题型十一
求圆锥的高
★★
题型十二
求圆锥侧面展开图的圆心角
★★★
题型十三
圆锥的实际问题
★★★
题型十四
圆锥侧面上最短路径问题
★★★★
拔高题
8题
星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴
知识点01：基础概念
弧长：圆上一段弧的长度，区别于弧的度数（度数是角度，弧长是长度）。
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形。
弓形：由弦及其所对的弧组成的图形，分为优弓形、劣弓形。
符号说明： n：圆心角度数；R：圆的半径；l：弧长；S扇：扇形面积。
知识点02弧长公式（核心必背，直接套用 / 逆用）
1.弧长公式：l=（n= 圆心角度数，R= 圆的半径，l= 弧长）
2.常用变形（已知弧长反求量）
3.适用题型
弯道长度、车轮滚动路程、旋转轨迹曲线长、扇形弧边长度。
知识点03：扇形的面积公式
1.扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
2.扇形面积公式：在半径为R的圆中，因为360的圆心角所对的扇形的面积就是圆面积S = R2，所以圆心角是1的扇形面积是，于是圆心角为n的扇形面积是S扇形 = ，还可以用弧长表示扇形面积S扇形 = lR，其中l为扇形的弧长．
知识点04：弓形面积计算（高频考点）
· 劣弓形（弧为劣弧）
弓形面积 = 对应扇形面积 − 等腰三角形面积
S弓=S扇-S△
· 优弓形（弧为优弧）
弓形面积 = 对应扇形面积 + 等腰三角形面积
S弓=S扇+S△
补充：等腰三角形两条边为半径，顶角等于扇形圆心角。
知识点05圆锥的侧面积和全面积
1.圆锥的母线：连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线．
2.圆锥的高：连接圆锥顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高．
3.圆锥的基本特征
（1）圆锥的轴通过底面圆心，并垂直于底面．
（2）圆锥的母线长都相等．
（3）圆锥可以看作是由一个直角三角形绕一条直角边所在的直线旋转而成的图形，所以圆锥的母线l，圆锥的高h，圆锥的底面半径r恰好构成一个直角三角形．
4.圆锥的侧面积和全面积：
母线长为l，底面圆的半径为r的圆锥的侧面积S侧=rl．全面积就是它的侧面积与它的底面积之和，即S全=rl+r2．
5.圆锥展开扇形圆心角推导
设展开扇形圆心角为n
知识06：高频易错点（老师课堂重点强调）
1.弧长、扇形面积公式记混分母：弧长分母 180，扇形面积分母 360；
2.圆锥母线、底面半径混淆，计算侧面积时代错数值；
3.计算弓形面积不分优劣弧，直接用扇形减三角形；
4.求圆锥展开圆心角忘记使用母线当作扇形半径；
5.单位问题：公式中n只代入角度数值，无需带度；
6.扇形面积两种公式不会灵活选用：有弧长优先用S=lr更简便。
题型一 求弧长
1．每年春节，中国红的扇形挂件深受大家喜爱．如图，在扇形中，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
2．抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级非物质文化遗产之一．如图①，小丽玩抖空竹游戏时发现可以将其某时刻的情形抽象成数学问题，如图②，，分别与相切于点C，D，延长，交于点P．若，的半径为，则图中弧的长为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知四边形是边长为2的菱形，点E、B、C、F都在以D为圆心的同一圆弧上，且，那么的长度等于_______．
题型二 求扇形半径
4．已知圆弧所对的圆心角是，弧长为，则此圆弧所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，已知点C、D是以AB为直径的半圆的三等分点，的长为，连接OC、AD，则图中阴影部分的面积为___________．
6．如图所示的曲边三角形可按下述方法作出：作等边，分别以点A，B，C为圆心，以长为半径作，，，三弧所围成的图形就是一个曲边三角形．如果一个曲边三角形的周长为，则此曲边三角形的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型三 求圆心角
7．一个扇形的弧长是，半径是18cm，则此扇形的圆心角的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．圆锥的母线长为，高为，则该圆锥侧面展开图的圆心角为_____．
9．物理课上，小颖发现：重物上升时，滑轮上点的位置在不断改变．如图，已知滑轮的半径，当重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则绕点O按逆时针方向旋转的度数为（ ）
A． B． C． D．
题型四 求某点的弧形运动路径长度
10．如图，将一个半径为1的半圆，在直线上从左往右作无滑动的滚动，则滚动2025周后圆心所经过的路径长为（ ）
A． B． C． D．
11．如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点B所经过路径的长度为_____________（结果保留）．
12．如图，的半径为，点为平面上一定点，，点为上任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转，得到线段；当点沿着圆周转动时，点所经过的路径长为（ ）．
A． B． C． D．
题型五 求扇形面积
13．小区草坪上的自动喷水装置的旋转角为，且它的喷灌区域是一个扇形．若它能喷灌的扇形草坪面积为平方米，则这个扇形的半径是（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
14．如图，分别以n边形的顶点为圆心，以为半径画圆，当时，则图中阴影部分的面积之和为______．（注：结果用含π的式子表示）
15．如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（ ）
A． B． C． D．
题型六 求图形旋转后扫过的面积
16．如图，在中，，，将绕点按逆时针方向旋转得到，点在边上，则边在旋转过程中扫过的面积为（ ）
A． B． C． D．
17．如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，则扫过的面积为_____．
18．当汽车在雨天行驶时，为了看清道路，司机要启动前方挡风玻璃上的雨刷器．如图所示是某汽车的一个雨刷器示意图，雨刷器杆与雨刷在处固定连接（不能转动），若测得，当杆绕点转动时，雨刷扫过的面积是（ ）
A． B． C． D．
题型七 求弓形面积
19．如图，直径为的圆内有一个圆心角为的扇形，则与弦围成的弓形面积为（ ）．
A． B． C． D．
20．“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_____．
21．如图，在扇形中，，为边上一点且，连接，将沿折叠，点恰好落在上的点处，则阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
题型八 求其他不规则图形的面积
22．苏州砖雕是以砖作为雕刻对象的制作技艺，其特点是细腻精致、典雅秀气．图①是一块扇面形的苏州砖雕作品《兰》，图②是它的设计图，其中扇形和扇形有相同的圆心O，且圆心角，已知，则该砖雕的面积为（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在中， ，以点为圆心，长为半径画弧，分别交，于点D，E．若，则阴影部分的面积为________．
24．如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（ ）
A． B．π C． D．
题型九 求圆锥侧面积
25．圆锥的底面半径是，母线长是，则圆锥的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
26．如图，冰淇淋蛋筒下部呈圆锥形，根据图中数据，则蛋筒圆锥部分包装纸的面积（接缝忽略不计）为______（结果保留）．
27．草锅盖，又名盖顶，是一种以牛筋草、江边草和斑茅草为原材料进行编织缠绕的云南特有的传统草编工艺品．某兴趣小组根据草锅盖的特征制作了一个圆锥模型，圆锥底面圆的半径为，高为，如图所示，圆锥模型的侧面积为______．
题型十 求圆锥底面半径
28．小明将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开，若不考虑接缝，它是一个半径为，圆心角为的扇形，则圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为（ ）
A． B． C． D．
29．已知圆锥的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，若圆锥的母线长为，则该圆锥的底面圆的半径为__________．
30．如图，从一块半径为的圆形铁皮上剪出一个圆心角为的扇形．若将剪下来的扇形围成一个圆锥，则该圆锥的底面圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
题型十一 求圆锥的高
31．小军用下图的方法测量一个圆锥的高，量出长度是厘米，圆锥实际的高（ ）．
A．小于厘米 B．大于厘米 C．等于厘米 D．不能确定
32．已知某圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，弧长为的扇形，则圆锥的高h为_______．
33．如图1，小明在综合实践课上用正方形纸板剪下一个扇形和一个半径为的圆形，使之恰好围成如图2所示的一个圆锥，则圆锥的高是（ ）
A． B． C． D．
题型十二 求圆锥侧面展开图的圆心角
34．已知圆锥的母线长为，底面半径是，则这个圆锥侧面展开图的圆心角是（）
A． B． C． D．
35．如图，圆锥的侧面展开图是一个扇形，若圆锥的底面圆的半径，圆锥的母线长为9，则侧面展开图的圆心角的度数为（ ）
A． B． C． D．
36．小刚用一张半径为的扇形纸板做一个如图所示的圆锥形小丑帽子侧面（接缝忽略不计），如果做成的圆锥形小丑帽子的底面半径为，那么这张扇形纸板的圆心角是____．
题型十三 圆锥的实际问题
37．如图是小雨学习时使用的圆锥形台灯灯罩的示意图，已知圆锥底面圆半径为，圆锥母线长为，则围成这个灯罩的铁皮的面积是_________．（不考虑缝隙等因素）
38．“云南十八怪”中第二怪“摘下斗笠当锅盖”．如图，斗笠锅盖可以近似看作一个圆锥，若一个斗笠锅盖的底面直径为，高度为，则该斗笠锅盖的表面积大约为（ ）
A． B． C． D．
39．如图，把矩形纸片分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，若恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则________．
题型十四 圆锥侧面上最短路径问题
40．如图1，一只蚂蚁从圆锥底端点A出发，绕圆锥表面爬行一周后回到点A，将圆锥沿母线OA剪开，其侧面展开图如图2所示，若=120°，OA=，则蚂蚁爬行的最短距离是_________．
41．如图，已知圆锥的底面半径是2，母线长是6，如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点，则这根绳子的最短长度是（ ）
A． B． C． D．
42．如图，圆锥的母线长是6，底面圆的半径是3，A是底面圆周上的一点，从点A出发绕侧面一周再回到点A的最短路线的长是______．
解答题
43．圆锥的母线长为，底面圆的半径为．
(1)侧面展开图的圆心角度数是 ．
(2)如图①，B为母线的中点，点A在底面圆周上，的长为，蚂蚁从点A爬行到点B的最短路径是多少？（结果保留根号）．
44．如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为个单位长度，的顶点均在格点上．
(1)将绕点顺时针旋转得到，画出；
(2)若由绕着某点旋转得到的，则这点的坐标为 ；
(3)在（1）的旋转变换中，求点所经过的路径长．
45．如图，育才中学手工制作社团准备用一块直径为的圆形卡纸制作书签配件，需要在圆片上裁剪出一个圆周角为的扇形作为装饰部件．
(1)求裁剪得到的扇形装饰部件的半径；
(2)求裁剪后剩下废料的面积．
46．如图，中，经过A，C两点的与边分别交于E，F，D是上一动点，连接．
(1)若______，______，求证：______；（请将信息“①；②；③”分别填入三条横线上，将题目补充完整，并完成证明）
(2)在（1）的条件下：若，求阴影部分的面积．
47．如图，为的直径，为的弦．的角平分线交于点．
(1)若，求的度数；
(2)若，求阴影部分的面积（结果保留）．
48．在一次科学探究实验中，小明将半径为的圆形滤纸片按图1所示的步骤进行折叠，并围成圆锥形．
(1)取一漏斗，上部的圆锥形内壁（忽略漏斗管口处）的母线长为，开口圆的直径为．当滤纸片重叠部分三层，且每层为圆时，滤纸围成的圆锥形放入该漏斗中，能否紧贴此漏斗的内壁（忽略漏斗管口处），请你用所学的数学知识说明；
(2)假设有一特殊规格的漏斗，其母线长为，开口圆的直径为，现将同样大小的滤纸围成重叠部分为三层的圆锥形，放入此漏斗中，且能紧贴漏斗内壁．问重叠部分每层的面积为多少？
49．如图1，中，．以点为旋转中心，将顺时针方向旋转，得到是点的轨迹，是点的轨迹．
(1)若用扇形围成一个圆锥的侧面，求圆锥的底面圆半径；
(2)如图2，求图中阴影部分的面积．
50．为了让同学们探究“转化”思想在数学中的应用，在数学活动课上，老师带领学生研究几何体的最短路线问题．
问题情境：
如图①，一只蚂蚁从点A出发沿圆柱侧面爬行到点C，其最短路线正是侧面展开图中的线段，若圆柱的高为，底面直径为．
问题解决：
（1）判断最短路线的依据是___________；
（2）求出蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路线的长；（结果保留根号和）
拓展迁移：
（3）如图②，O为圆锥的顶点，M为底面圆周上一点，点P是的中点，母线，底面圆半径为2，粗线为蚂蚁从点P出发绕圆锥侧面爬行回到点P时所经过的路径的痕迹，请求出蚂蚁爬行的最短距离．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
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