基本不等式 导学案-2027届高三数学一轮复习

2027届高考数学一轮复习 导学案

基本不等式

（北师大版2019必修第一册　第一章 预备知识 · 3.2 基本不等式）

本课线索：均值读表台｜取等条件演算台｜应用求最值对照台　｜　建议课时：1课时

情境：矩形与等面积正方形 · 正数对位置 · 常和约束下的面积　｜　本课时专攻基本不等式

一、学习目标

1．能对两组正数分别计算算术均值与几何均值，并比较大小。

2．能观察并归纳两正数均值相等时的条件，会在具体数据中检验。

3．会在“两正数之和为定值”或“两正数之积为定值”的约束下求积或和的最值。

4．能把矩形面积、围栏周长、配料用量等情境抽象为均值比较或最值模型。

二、重点与难点

重点：两正数算术均值与几何均值的计算与比较；均值相等时的条件；

常和约束下积的最大值、常积约束下和的最小值。

难点：识别题设是否满足“两正数”前提；把实际问题配成两项再求最值；

取等时回到原变量求解；勿在负数或一正一负时硬套均值比较。

三、课前预习（约 8～10 分钟，课前独立完成）

（一）预习任务

阅读北师大版必修第一册第一章 3.2 基本不等式相关小节，用自己的话完成下表，标出疑问带到课堂。

项目	教材要点（自填）	关键词
算术均值／几何均值		两正数／分别计算
大小比较		观察规律（自填）
相等时的条件		具体数据检验
求最值应用		常和／常积约束

 

思考：给出两个正数，怎样分别算出它们的算术均值与几何均值？

什么时候这两个均值会相等？若两正数之和固定，它们的积何时最大？

（二）预习自测（不查书，限时 5 分钟）

1．已知，则算术均值与几何均值相比（　　）

A．算术均值更大　　B．几何均值更大　　C．二者相等　　D．无法比较

2．已知，则算术均值等于（　　）

A．4　　B．5　　C．6　　D．8

3．已知，则几何均值等于（　　）

A．4　　B．5　　C．8　　D．16

4．对两数作均值比较时，题设通常要求（　　）

A．两数任意实数　　B．两数为正数　　C．两数均非负即可　　D．两数之和为正

5．与两边长为 2、8 的矩形等面积的正方形，边长等于（　　）

A．3　　B．4　　C．5　　D．6

四、课中探究（约 28～30 分钟）

活动1　均值读表台（矩形与等面积正方形）

木工车间要比较“两边分别为 2 与 8 的矩形”和“与它等面积的正方形”。先看图1，再填表。

量	算式提示	结果（自填）
矩形两边	a＝2，b＝8	已知
算术均值	两边之和除以 2
几何均值	两边之积开平方
正方形边长	与矩形等面积

 

结论（待填）：几何均值____算术均值（填“小于”“等于”或“大于”）；

等面积正方形的边长____矩形两边的算术均值。板书：左栏写“先算两均值”，右栏只写本次数值。

活动2　取等条件演算台（正数对的位置）

平面上标出四组正数对 P1～P4（见图2）。对每一组分别计算算术均值与几何均值，观察何时相等。

点	a	b	算术均值	几何均值	是否相等
P1	3	12
P2	4	4
P3	2	8
P4	6	6

 

观察（待填）：落在 a＝b 参照虚线上的点，两均值是否相等？____；

未落在虚线上的点呢？____。用一句话写下你的归纳：____________________。

活动3　应用求最值对照台（常和约束）

某矩形花坛周长固定，即两邻边之和（x＞0，y＞0）。图3给出线段上若干试探点，请先算

各点的积，再猜想最大值。

试探点 (x,y)	(2,8)	(3,7)	(5,5)	(7,3)
乘积 xy（自填）

 

搭建：（1）比较各试探点的积，哪个更大？____；

（2）猜想：在 x ＋ y＝10 且 x、y 为正的条件下，积的最大值是____，此时 x＝____，y＝____；

（3）若改成“积为定值、求和的最小值”，思路有何对称之处？（口述，不写通式）

五、典例精讲

例1　（均值比较）

已知，则算术均值与几何均值分别为（　　）

A．12.5 与 10　　B．10 与 12.5　　C．12.5 与 12.5　　D．25 与 100

例2　（相等条件）

已知，则算术均值与几何均值的关系是（　　）

A．算术均值更大　　B．几何均值更大　　C．二者相等　　D．无法比较

例3　（常和求积最大）

若且 x＞0，y＞0，则 xy 的最大值是（　　）

A．28　　B．49　　C．98　　D．196

例4　（常积求和最小）

若且 x＞0，y＞0，则 x ＋ y 的最小值是（　　）

A．4　　B．6　　C．8　　D．16

六、当堂检测（限时 8～10 分钟）

6．已知，则算术均值等于（　　）

A．3　　B．4　　C．5　　D．9