第十四讲 基本不等式导学案----2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了基本不等式专题，将定义、均值定理、求最值模型等核心考点按“知识点-方法-题型”架构组织，通过问题链和真题分类引导学生自主构建知识网络，体现考点梳理的系统性和层次性。 亮点在于真题分类演练和分层巩固设计，如9类必考题型结合高考真题实例，巩固提升题供自主自测，培养学生数学思维与模型意识。学生可通过题型训练诊断薄弱点，教师能依据学情精准指导，助力因材施教与自主复习能力提升。

高三一轮复习 第十四讲 基本不等式 高考题分类解析 【学习目标】1．会用基本不等式证明一些简单问题,理解等号成立的条件； 2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值. 【学习重点】用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值问题． 【学习难点】用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值问题． 【学习过程】 必掌握知识点 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 必考题型全归纳 题型一 多变量代数式求最小值 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 【答案】B 【详解】因为， 当且仅当，即，时，等号成立,所以的最小值为9. 题型二 基本不等式结论辨析 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C. 题型三 函数点结合基本不等式判断 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【详解】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误，故选：B. 题型四 等式约束基本不等式 4．（多选题）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假． 【详解】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 题型五 双变量乘积约束求代数式最大值 5．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 【答案】/ 【分析】根据基本不等式可得，结合条件即可求结论. 【详解】因为，当且仅当时等号成立， 结合可得，， 当且仅当，或，时等号成立， 所以当，或，时，取最大值，最大值为. 题型六 正数定值求乘积最大值 6．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 【答案】2 【分析】由于、为正值，且为定值4，因此可以运用基本不等式先求出的最大值，进而求出的最大值． 【详解】解：∵，，，∴ ∴，当且仅当时取等号，即，时取等号 故答案为：2． 【点睛】此题考查基本不等式的应用，应用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”的条件，属于基础题 题型七 “1 代换” 求分式最小值 7．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 【答案】4 【分析】灵活利用“1”将展开利用基本不等式计算即可. 【详解】易知， 当且仅当，即时取得最小值.故答案为：4 题型八 双正数代数式最小值计算 8．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【分析】利用不等式即可求解. 【详解】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12.故答案为：12. 题型九 和定值求分式最大值 9．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【分析】由，代入即可得出答案. 【详解】， 当且仅当“”，即时取等，所以的最大值为.故答案为： 巩固提升： 1．已知实数，则的最小值为___________. 【答案】 【解析】∵，，， ∴，当且仅当即时取等号. 故答案为：. 2．若，则的最小值为______ 【答案】/ 【解析】由，则. 因为， 所以， 当且仅当，即时等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 3．设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：法一：（基本不等式） 设，则， 条件， 所以，即. 故选：D. 法二：（三角换元）由条件， 故可设，即， 由于，，故，解得 所以，， 所以,当且仅当时取等号. 故选：D. 4．设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：法一：（基本不等式） 设，则， 条件， 所以，即.故选：D. 法二：（三角换元）由条件， 故可设，即， 由于，，故，解得 所以，， 所以,当且仅当时取等号. 故选：D. 5．已知，则的最大值是____________. 【答案】 【解析】，设， 所以原式=， 令 所以原式=. (函数在上单调递增)，故答案为： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第十四讲 基本不等式高考题分类解析 【学习目标】1．会用基本不等式证明一些简单问题,理解等号成立的条件； 2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值. 【学习重点】用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值问题． 【学习难点】用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值问题． 【学习过程】 必掌握知识点 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 必考题型全归纳 题型一 多变量代数式求最小值 1．（2026·天津·高考真题）的最小值为（     ） A．10 B．9 C．8 D．6 题型二 基本不等式结论辨析 2．（2025·北京·高考真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 题型三 函数点结合基本不等式判断 3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 题型四 等式约束基本不等式 4．（多选题）（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 题型五 双变量乘积约束求代数式最大值 5．（2026·上海·高考真题）已知，则的最大值为__________． 题型六 正数定值求乘积最大值 6．（2026·上海·高考真题）若，，且，则的最大值是______． 题型七 “1 代换” 求分式最小值 7．（2025·上海·高考真题）设，则的最小值为_________． 题型八 双正数代数式最小值计算 8．（2024·上海·高考真题）已知，的最小值为______． 题型九 和定值求分式最大值 9．（2023·上海·高考真题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 巩固提升： 1．已知实数，则的最小值为___________. 2．若，则的最小值为______ 3．设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 4．设，，若，则的最大值为（       ） A． B． C． D． 5．已知，则的最大值是____________. 1 学科网（北京）股份有限公司 $