2027届高考数学一轮复习第四讲基本不等式

该高中数学高考复习学案系统梳理了基本不等式专题，涵盖定义、“一正二定三相等”条件、均值定理及四大求最值模型，按知识点内在逻辑构建“概念-方法-题型”三层知识网络，通过问题链设计引导学生自主推导不等式变形规律，形成完整认知体系。 亮点在于诊断性题型自测与分层任务设计，如设置涵盖6大题型的选择、填空及解答题，学生可通过错题定位薄弱模块，结合模型应用训练提升数学思维与运算能力。每个题型配有方法总结与变式练习，帮助学生自主构建个性化解题策略，教师能依据学情精准指导，有效培养学生自主复习能力。

高三一轮复习 第四讲 基本不等式 【学习目标】1．会用基本不等式证明一些简单问题,理解等号成立的条件； 2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值. 【学习重点】用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值问题． 【学习难点】用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值问题． 【学习过程】 必掌握知识点 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 必考题型全归纳 题型1：基本不等式核心定理与使用条件（一正二定三相等） 1．已知，且，则的最大值为（    ） A．2 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】直接由基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当时，等号成立. 所以的最大值为. 故选：D 2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得，利用基本不等式求解即可. 【详解】因为，且，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D. 3．已知正数满足. (1)求的最小值；(2)求的最小值；(3)求的最小值. 【答案】(1)8(2)(3)18 【分析】（1）根据题意直接利用基本不等式即可得最值； （2）由题意可得，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解； （3）由题意可得，化简整理结合基本不等式运算求解. 【详解】（1）因为，且， 则，即. 当且仅当，即时等号成立，所以的最小值为8. （2）因为，且，则， 可得， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以的最小值为. （3）因为，且，所以， 可得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为18. 题型2：乘 1 法（“1” 的代换）—— 已知一次线性等式，求分式和最值 4．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】通过变形已知条件得到两个正数的和为定值，构造所求式子与该和的乘积形式，借助基本不等式求出最小值. 【详解】由，，，可得，且，. 则 ,由基本不等式，, 故, 当且仅当且，即，时，等号成立.故选：C 题型3：负变量、区间限制下的函数最值（配凑变形） 5．下列关于基本不等式的说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，则的最小值为 D．若正数满足，则的最小值是3 【答案】A 【分析】根据基本不等式求出最值即可判断. 【详解】对A，若，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对B，因为，所以， 所以， 当且仅当，即等号成立，故函数最小值为3，故B错误； 对C，因为，所以， 当且仅当，即等号成立，故的最小值为2，故C错误； 对D，由可得，因为，可得， 则，当且仅当，即等号成立， 所以的最小值是4，故D错误. 故选：A. 6．（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； 【答案】（1）；（2）；（3）;（4）;【分析】（1）将函数变形为，利用基本不等式求解； （2）将函数变形为，利用基本不等式求解； （3）将函数变形为，利用基本不等式求解； （4）将函数变形为，再用换元法，利用基本不等式求解； （5）将函数变形为，利用基本不等式求解； （6）①利用换元法，以及基本不等式求解；②利用换元法，结合对勾函数的单调性求解. 【详解】（1）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （2）因为，所以， ， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 所以函数的最大值为. （3）因为，所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以函数的最小值为. （4）， 令，则， 所以， 因为，所以， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以， 所以函数的最大值为. 题型4：对勾函数综合（基本不等式失效时用单调性） 7（多选）．下列命题为真命题的是（    ） A．函数的最小值为2 B．设正实数，满足，则有最小值为5 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为2． 【答案】BC 【分析】利用基本不等式一一分析选项即可. 【详解】对于A，易知时，，故A错误； 对于B，正实数，满足， 则， 当且仅当时取得等号，故B正确； 对于C，易知， 当且仅当时取得等号，故C正确； 对于D，易知， 当且仅当，即时取得等号，显然没有取等情况，故D错误. 故选：BC 8.设，求函数的值域． 【详解】：, 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，取得等号， 所以， 所以函数的值域为. 9.①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 【详解】：①令，因为，所以， 所以，因为， 当且仅当，即，也即时，取得等号， 所以，所以函数的最大值为1. ②令，则，所以，所以， 因为函数在单调递增，所以当时，即时，有最小值为4， 所以，所以函数的最大值为. 题型5：综合：平面向量+ 基本不等式 10．在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 【答案】9 【分析】先由题意得到，根据三点共线的充要条件，得到，再由基本不等式即可求出结果. 【详解】因为，所以，又三点共线，所以，所以， 当且仅当即时，等号成立.故答案为：9. 题型6： 基本不等式正误辨析（真假命题判断） 11．下列不等式中正确的是（    ） A．若，则 B．若都是正数，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】由基本不等式依次判断即可. 【详解】对于A选项，当且仅当时，有，故A错误； 对于B选项，当且仅当时，有 ，故B错误； 对于C选项，时， ，故C错误； 对于D选项，当，则，所以， 当且仅当，即时等号成立，故D正确. 故选：D. 12．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．10 C．18 D．24 【答案】C 【分析】将已知式变形为，利用常数分离法将所求式化成，再运用基本不等式即可求得最小值. 【详解】因为，，且，所以， 又由可得，所以， 所以，， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 故的最小值为18.故选：C. 13（多选）．下列关于基本不等式的说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，，，则的最小值为 D．若正数x，y满足，则的最小值是3 【答案】AC 【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件. 【详解】因为，所以，， 当且仅当即时，等号成立 ，故A正确； 函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误； 因为，，， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，故C正确； 由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误. 故选：AC 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 14.（多选）．下列不等式正确的有（    ） A．当时，的最大值是 B．已知正实数、满足，则 C．当时， D．函数最小值为 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于A选项，当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 即当当时，的最大值是，A对； 对于B选项，因为正实数、满足， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立，B错； 对于C选项，当时，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，C对； 对于D选项，因为，则， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数最小值为，D对.故选：ACD. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三一轮复习 第四讲 基本不等式 【学习目标】1．会用基本不等式证明一些简单问题,理解等号成立的条件； 2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值. 【学习重点】用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值问题． 【学习难点】用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值问题． 【学习过程】 必掌握知识点 1、基本不等式 如果，那么，当且仅当时，等号成立．其中，叫作的算术平均数，叫作的几何平均数．即正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 基本不等式1：若，则，当且仅当时取等号； 基本不等式2：若，则（或），当且仅当时取等号． 注意（1）基本不等式的前提是“一正”“二定”“三相等”；其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件．（2）连续使用不等式要注意取得一致． 【解题方法总结】 1、几个重要的不等式 （1） （2）基本不等式：如果，则（当且仅当“”时取“”）． 特例：（同号）． （3）其他变形： ①（沟通两和与两平方和的不等关系式） ②（沟通两积与两平方和的不等关系式） ③（沟通两积与两和的不等关系式） ④重要不等式串：即 调和平均值几何平均值算数平均值平方平均值（注意等号成立的条件）． 2、均值定理 已知． （1）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即“和为定值，积有最大值”． （2）如果（定值），则（当且仅当“”时取“=”）．即积为定值，和有最小值”． 3、常见求最值模型 模型一：，当且仅当时等号成立； 模型二：，当且仅当时等号成立； 模型三：，当且仅当时等号成立； 模型四：，当且仅当时等号成立． 必考题型全归纳 题型1：基本不等式核心定理与使用条件（一正二定三相等） 1．已知，且，则的最大值为（    ） A．2 B．5 C． D． 2．已知，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．已知正数满足. (1)求的最小值；(2)求的最小值；(3)求的最小值. 题型2：乘 1 法（“1” 的代换）—— 已知一次线性等式，求分式和最值 4．已知，，且，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D． 题型3：负变量、区间限制下的函数最值（配凑变形） 5．下列关于基本不等式的说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，则的最小值为 D．若正数满足，则的最小值是3 6．（1）当时，求函数的最小值； （2）当时，求函数的最大值； （3）当时，求函数的最小值； （4）当时，求函数的最大值； 题型4：对勾函数综合（基本不等式失效时用单调性） 7（多选）．下列命题为真命题的是（    ） A．函数的最小值为2 B．设正实数，满足，则有最小值为5 C．函数的最大值为 D．函数的最小值为2． 8.设，求函数的值域． 9.①当时，求函数的最大值； ②求函数的最大值； 题型5：综合：平面向量+ 基本不等式 10．在中，为上一点，且，为上一点，且满足，则最小值为____________. 题型6： 基本不等式正误辨析（真假命题判断） 11．下列不等式中正确的是（    ） A．若，则 B．若都是正数，则 C．若，则 D．若，则 12．已知正数，满足，则的最小值为（   ） A．9 B．10 C．18 D．24 13（多选）．下列关于基本不等式的说法正确的是（    ） A．若，则的最大值为 B．函数的最小值为2 C．已知，，，则的最小值为 D．若正数x，y满足，则的最小值是3 14.（多选）．下列不等式正确的有（    ） A．当时，的最大值是 B．已知正实数、满足，则 C．当时， D．函数最小值为 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $