专题09圆的有关概念复习讲义(核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版九年级数学上册
|
2份
|
64页
|
243人阅读
|
2人下载
精品
内容正文：
专题09圆的有关概念复习讲义
1.掌握圆的两种定义：动态旋转定义和集合定义；清楚圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，会规范记写O；理解 “圆指圆周，不是圆面”。
2.能够准确识别半径、弦、直径、弧、半圆、劣弧、优弧、同心圆、等圆、等弧，3.分清概念从属关系：直径是弦、半圆是弧，但弦不一定是直径，弧不一定是半圆；会区分优弧、劣弧的标注方式。
4.掌握点和圆的三种位置关系，会利用点到圆心距离d和半径r的数量关系互相判定：d>r点在圆外，d=r点在圆上，d<r点在圆内。
5.理解同圆或等圆中半径都相等这个隐含条件，会利用半径相等进行线段相等的简单推理与计算。
6.能结合图形辨析等弧的条件：必须在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，不要简单认为长度相等的弧就是等弧。
7.可以解释生活中圆形物体的原理（如车轮为圆形），能用圆的概念解决简单的实际情境问题。
8.规避易错点：忽略 “同一平面内” 这个前提；混淆等弧、等长弧；分不清优弧、劣弧的书写；错把圆面当成圆。
题型
考察方向
难度
题型一
圆的基本概念辨析
★
题型二
求圆中弦的条数
★★
题型三
求过圆内一点的最长弦
★★
题型四
圆的周长和面积问题
★★
题型五
判断点与圆的位置关系
★★
题型六
利用点与圆的位置关系求半径
★★
题型七
点与圆上一点的最值问题
★★★
题型八
三角形外接圆的概念辨析
★
题型九
求三角形外心坐标
★★★
题型十
求特殊三角形外接圆的半径
★★★
题型十一
判断三角形外接圆的圆心位置
★★
题型十二
判断确定圆的条件
★★
题型十三
确定圆心
★★
题型十四
求能确定的圆的个数
★★★
题型十五
反证法证明中的假设
★★
题型十六
用反证法证明命题
★★★
题型十七
举反例
★★
拔高题
5题
星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴
知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）.
1. 动态定义（操作理解，画图用）
在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。
固定端点：圆心，用大写字母O表示；
线段定长：半径，用字母r表示；
关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。
2. 静态（集合）定义（考试核心考点）
平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。
定点：圆心O；定长：半径r；
几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O；
核心区分易错：
⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部；
圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。
补充拓展概念
同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆；
等圆：半径相等，圆心不同的圆；等圆能够完全重合。
确定圆的条件：圆心、半径，二者缺一不可。
知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频）
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若 ⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
那么： 点P在圆内 d < r；点P在圆上 d = r；点P在圆外 d > r.
“” 读作 “等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端
要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
注意：圆指的是 “圆周”，即一条封闭的曲线，而不是 “圆面”。
“圆上的点” 指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
确定一个圆需要两个要素：一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
知识点 03：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念）
.
概念名称
标准文字定义
几何书写规范
核心性质 & 易混易错点
圆心
确定圆位置的定点
点O
圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆
半径
连接圆心与圆上任意一点的线段
线段OA（A在 ⊙O上）
1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径
弦
连接圆上任意两个点的线段
弦AB
弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦
直径
经过圆心的弦
直径AC
1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径
弧
圆上两点之间的曲线部分
劣弧：优：
一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆
半圆
直径将圆分割出的两条弧
（AC为直径）
半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半
劣弧
小于半圆的弧
只用两个大写字母表示
两点短弧，书写仅需两个点
优弧
大于半圆的弧
必须三个大写字母表示
两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分
配套推论（学生必背）
1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=；
2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦；
3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。
知识点04：高频易错点
1.混淆圆周与圆面，数学中 “圆” 仅指外围封闭曲线；
2.等弧必须满足同圆 / 等圆，只长度相等不能判定为等弧；
3.优弧书写只用两个字母，格式错误；
4.圆心不在圆周上，不属于 “圆上的点”；
5.判断点与圆位置关系，分不清d和r的大小关系；
6.认为所有弦都是直径，概念颠倒。
题型一 圆的基本概念辨析
1．同一个圆里，半径有( )条；直径的长度是半径的( )倍；( )决定圆的位置．
【答案】 无数 2 圆心
【详解】略
2．下列说法正确的是（ ）
A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧
C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等
【答案】D
【详解】解：A、圆中最长的弦为直径，而直径有无数条，原说法错误；
B、半圆是弧，原说法错误；
C、长度相等的两段弧不一定是等弧，原说法错误；
D、圆上各点到圆心的距离相等，原说法正确．
3．下列说法正确的个数是（ ）．
①弦是直径；
②半径相等的两个半圆是等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④优弧一定大于劣弧．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可．
【详解】解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，
∴弦不一定是直径，故①错误；
∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧，
∴②正确；
∵长度相等，半径相同的是等弧，
∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误；
∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，
∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误．
综上所述，正确的说法有个．
题型二 求圆中弦的条数
4．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本题考查了弦的定义，熟练掌握弦的定义：连接圆上任意两点的线段叫弦是解题的关键．根据弦的定义即可解答．
【详解】解：图中的弦有、这2条．
故选：A．
5．如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有________条．
【答案】4
【分析】过点的弦有无数条，求出最长的弦和最短的弦，再判断长度为整数的弦的条数即可．
【详解】过点作直径，作弦，
则是过点的最长的弦，是过点的最短的弦，
∴长度为整数的弦长还有9，
∵过点且长度为9的弦有2条，
∴经过点的所有弦中长度为整数的有4条．
故答案是4．
【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，知道直径是圆中最长的弦，过点与圆垂直的弦是最短的弦是解题的关键．
6．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条．
【答案】3
【分析】过点M作交于点A、B，连接，根据勾股定理求出，根据垂径定理求出，进而得到答案．
【详解】解：过点M作交于点A、B，连接，
则，
在中，，
∴，
则过点M的所有弦，
，且
，
则弦长是整数的共有长度为7的两条，长度为8的一条，共3条．
题型三 求过圆内一点的最长弦
7．已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______．
【答案】2
【分析】圆中最大的弦为直径，已知直径长度，利用半径是直径长度的一半计算即可得到结果．
【详解】解：∵圆中最大的弦是直径，中最大的弦长为，
∴的直径为．
∵圆的半径等于直径的，
∴半径为．
8．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______．
【答案】
【分析】圆内过点的最长弦为圆的直径，最短弦是过点且垂直于该直径的弦，利用垂径定理和勾股定理即可求解．
【详解】解：∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与直径垂直的弦，
∴的直径为，半径为，最短弦长为，
∵根据垂径定理，最短弦被点平分，
∴最短弦一半的长度为，
∴由勾股定理得．
9．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据圆中最长的弦是直径，可得经过圆心的直线被圆所截得的弦最长，判断选项中哪条直线经过圆心即可．
【详解】解：A、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误；
B、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误；
C、在直线中，当时，，∴直线经过圆心，故此选项正确；
D、在直线中，当时，，∴直线不经过圆心，故此选项错误．
题型四 圆的周长和面积问题
10．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了圆的面积的计算，熟练掌握圆的面积公式是解题的关键．
根据圆的面积公式计算即可．
【详解】解：∵小圆的直径是，大圆的半径是，，
∴小圆的周长是，大圆的周长是，
∴小圆周长是大圆周长的，
故选：A．
11．如图，某公园计划砌一个喷水池，有甲、乙两种方案，若外圆的直径相等，水池边沿的宽度和高度一样，你认为砌水池边沿（ ）
A．甲需要的材料多 B．乙需要的材料多
C．甲、乙需要的材料一样多 D．不确定
【答案】C
【分析】此题考查了圆的周长的应用．根据圆的周长公式，将每个圆的周长计算出来，找到周长的关系即可．
【详解】解：设大圆的直径是，图乙中三个小圆的直径分别为：,
∴
根据圆周长公式，得图甲中，需要；
图乙中，需要
∴甲、乙需要的材料一样多，
故选：C．
12．园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为________．
【答案】
【分析】设圆心为，连接，过点作于点，求得，得到是等腰直角三角形，得出，再通过面积法求解即可．
【详解】解：设圆心为，连接，过点作于点，如图：
∵，，
∴，，
在中，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴大扇形的面积为：，
，
∴墙的面积为：．
13．中国科学技术馆有“方与非圆”展品，涉及“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了特例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形[如图①所示]，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由三段圆弧围成的曲边三角形，图②是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法错误的是（ ）
A．勒洛三角形不是中心对称图形
B．图①中，点到上任意一点的距离都相等
C．图②中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等
D．图②中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
【答案】C
【分析】结合中心对称图形定义、弧的性质、勒洛三角形的结构特点以及弧长公式进行辨析，逐一判断四个选项，找出错误的说法．
【详解】解：勒洛三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项正确；
图①中，点到上任意一点的距离都相等，故选项正确；
如图，连接，连接并延长交于点，交于点．
设等边三角形的边长为，
∵等边三角形的中心为，
∴所在直线为勒洛三角形的对称轴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
，
，
勒洛三角形上的点到等边三角形的中心的距离不一定相等，选项错误；
设等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长，圆的周长，
勒洛三角形的周长与圆的周长相等，选项正确．
题型五 判断点与圆的位置关系
14．圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定
【答案】B
【分析】通过比较点到圆心的距离与圆的半径的大小来确定，当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．
【详解】解：∵的半径为，点到圆心的距离为，
∴点到圆心的距离与圆的半径相等，
∴点在上．
15．已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】A、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故A选项不符合题意；
B、到圆心的距离为，，点在圆内，故B选项不符合题意；
C、到圆心的距离为，等于半径，点在圆上，故C选项不符合题意；
D、到圆心的距离为，，点在圆外，故D选项符合题意．
16．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由勾股定理得，过点作于点，利用三角形的面积可得，再结合图形解答即可求解．
【详解】解：∵ ，，，
∴ ，
如图，过点作于点，
∵，
∴，
解得，
当时，与线段相切，只有一个交点，如图；
当时，与线段有两个交点；
当时，与线段只有一个交点；
当时，与线段没有交点；
∴当与线段有且只有两个公共点时，的取值范围是．
题型六 利用点与圆的位置关系求半径
17．若点M在外，且，则的半径r满足（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查点与圆的位置关系，解题的关键是掌握点在圆外时，点到圆心的距离大于半径；注意半径为正数．
根据点与圆的位置关系，点在圆外时，点到圆心的距离大于半径．
【详解】解：∵点M在外，
∴，
∵，
∴，即，
又∵圆的半径，
∴，
故选：C．
18．一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】A
【分析】本题主要考查圆的基本性质，注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键．设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，有两种情况：当此点在圆内；当此点在圆外；分别求出半径值即可．
【详解】解：设此点为点，圆为，最大距离为，最小距离为，则：
此点与圆心的连线所在的直线与圆的交点即为此点到圆心的最大、最小距离
有两种情况：
当此点在圆内时，如图所示，
半径；
当此点在圆外时，如图所示，
半径；
故圆的半径为或
故选：．
19．如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______．
【答案】
【分析】先利用勾股定理求出长，再利用等面积法求出高；算出B、D、C三点到圆心的距离，根据“至少一点在圆内，至少一点在圆外”列条件求半径取值范围．
【详解】解：，，，
，
，
．
可得三点到点距离：，，．
要使，，三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外：
当，三点都不在圆内，不符合题意；
当，三点都不在圆外，不符合题意；
当时，，点在内；，点在外，满足条件．
的半径的取值范围为．
题型七 点与圆上一点的最值问题
20．圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______．
【答案】
【分析】点在外，过点和圆心的直线与相交．两个交点到的距离分别为最小距离和最大距离．二者的差为圆的直径，据此计算半径即可．
【详解】解：∵点是外的点，
∴点到的最大距离与最小距离的差为的直径，
∴的直径为，
∴的半径为．
21．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据得到点P的轨迹为以为直径的半圆上，设的中点为O，连接，交于点，可知当点O，P，C共线时，的值最小，据此求解即可．
【详解】解：∵交于点P，
∴，
∴点P的轨迹为以为直径的半圆上，设的中点为O，连接，交于点，
∵，
∴当点O，P，C共线时，的值最小，
∵正方形的边长为1，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
22．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，点M为的中点，连接．若的半径为3，则长的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先确定出点M的运动轨迹为以为直径的，当C，，M三点共线时，此时的值最大，结合已知条件求得相关线段的长度，再利用勾股定理求得的长度，最后即可求得的最大值．
【详解】解：如图，取的中点，连接、、，
∵M为的中点，O为圆心，
∴，
∴，
当点P在上移动时，的中点M的轨迹是以为直径的，
∴交于点M，当C，，M三点共线时，且C与M在点的异侧时，的值最大，
由题意得，，，
在中，，，
∴，
∴．
题型八 三角形外接圆的概念辨析
23．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．中心 D．重心
【答案】B
【分析】本题主要考查了三角形的外心的概念．三角形的外心是三角形的三条垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点．根据三角形的外心的概念作出回答，结合选项得出结果．
【详解】解：三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的外心．
故选：B．
24．已知为的外心，若，则_____；若，则_____．
【答案】 或
【分析】根据同弧所对的圆心角是圆周角的倍，同时要注意外心在三角形内部和外部两种情况，即可得到答案．
【详解】解：，是钝角，外心在三角形外部，如图1，
；
当点在三角形外部时，如图1，，
当点在三角形内部时，如图2，．
故答案为：；或．
25．如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（ ）
A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出，可得答案．
【详解】解：由勾股定理可知：，
，
所以点是△的外心．
题型九 求三角形外心坐标
26．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，可得点是的外心．
【详解】解：如图，根据网格作，的垂直平分线，两条线交于点，
点是的外心，
的外心的坐标为．
27．如图，在平面直角坐标系中，，则外接圆的圆心坐标是_______．
【答案】
【分析】三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，所以需分别画出和的垂直平分线，再求其交点坐标．
【详解】解：如下图，
分别作出与的垂直平分线交于点E，则点E的横坐标为3，纵坐标为3，
外接圆的圆心坐标是．
28．如图，图中外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点，先根据、坐标确定边的垂直平分线，再利用圆心到顶点距离相等列方程求解．
【详解】解：由图可知，，
，
线段的中点坐标为，且垂直于轴
线段的垂直平分线为直线
外接圆圆心的纵坐标为，
设圆心坐标为
圆心到点、的距离相等
整理得
解得
外接圆的圆心坐标是．
题型十 求特殊三角形外接圆的半径
29．在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是________．
【答案】
【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边长，再利用直角三角形外接圆直径等于斜边长计算半径.
【详解】解：∵ 在中，，，，有,
∴ ，
∵ 直角三角形的外接圆直径等于斜边长度，
∴ 三角形外接圆的半径为 ．
30．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】A
【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心，等边三角形的性质，勾股定理解三角形的应用．依题意画出图形，连接，，过点作于点，利用等边三角形的性质和垂径定理得到，，在中，利用勾股定理即可求得的长．
【详解】解：由题意画图如下，则为等边三角形，且内接于，
，．
过点作于点，则，
连接，，则，
，
．
，
，
∴，
在中，，，
∴，
．
故选：A．
31．在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，则为的直径，根据是的外接圆，且点H为中点，证明是等边三角形，求出，设的半径为x，则，，在中，利用勾股定理求出，进而得到，根据三角形三边关系得到当点A，Q重合时，即点重合，有最大值，最大值为的长，即可解答．
【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为O，取中点H，作直线，分别与交于点两点，过点A作于点G，连接，
则为的直径，
是的外接圆，且点H为中点，
，，
，
四边形是内接四边形，且，
，
是等边三角形，
，
，
设的半径为x，则，，
在中，，即，
解得：，
，
，
，
当点A，Q重合时，此时点重合，最大，最大值为的长，
此时，，
故选：C．
【点睛】本题考查了三角形外接圆的性质，垂径定理，三角形三边关系，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用三角形三边关系找到中边上高的最大值是解题的关键．
题型十一 判断三角形外接圆的圆心位置
32．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（ ）
A．三角形的外心到三个顶点的距离相等
B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C．等腰三角形的外心在三角形内
D．任何一个三角形有且只有一个外接圆
【答案】C
【分析】可通过外心位置与三角形形状的对应关系判断错误选项．
【详解】解：A选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确．
B选项，符合三角形外心的定义与性质，说法正确．
C选项，等腰三角形若为钝角三角形，外心在三角形外部；若为直角三角形，外心在斜边中点，
故等腰三角形的外心不一定在三角形内，说法错误．
D选项，任何一个三角形有且只有一个外接圆，说法正确．
33．如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________．
【答案】
【分析】圆心位于弦的垂直平分线上，作线段的垂直平分线，设出圆心坐标，然后根据圆心到圆上任意一点的距离相等，列出方程，求解方程即可．
【详解】解：由题意知，点，，．
观察点A和点B，它们的纵坐标相同，说明线段平行于x轴，线段的中点为，则其垂直平分线是直线；
设圆心为，由得：
解得
所以，圆心P的坐标为．
34．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______．
【答案】
【分析】利用三角形外心的性质找到圆心，由网格计算出半径．
【详解】解：如图，点即为圆心，
由网格可知，，
∴的外接圆的半径为．
题型十二 判断确定圆的条件
35．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心 B．以长为半径
C．以点O为圆心，长为半径 D．半径为，且经过点O
【答案】C
【分析】根据已知圆心和半径所作的圆就是唯一的进而得出答案．
【详解】解：A、B仅分别确定圆心或半径，均可画出无数个圆，不符合题意，
C、圆心为，半径为，二者均唯一确定，只能画出一个圆，符合题意，
D、半径为且经过点时，圆心可为平面内到点距离为的任意点，可画出无数个圆，不符合题意．
36．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ．
【答案】②
【分析】本题考查了垂径定理的应用，确定圆的条件，解题的关键是熟练掌握：圆上任意两弦的垂直平分线的交点即为该圆的圆心．
根据不在一条直线上三点确定一个圆即可解得．
【详解】解：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．只要有一段弧．
所以带到店去的一块玻璃碎片应该是②．
故答案为：②．
37．如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先判断出点，，，四点共圆，判断出的最大值为，再求出，然后根据勾股定理即可求出答案．
【详解】解：如图，
连接，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
点，，，在以为直径的圆上，
，
∵，
在中，，，
根据勾股定理得，
故选A．
【点睛】此题主要考查了垂径定理，四点共圆，勾股定理，作出辅助线判断出点，，，四点共圆是解本题的关键．
题型十三 确定圆心
38．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤：
①连接和；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，为半径作；
④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为______．
【答案】②①④③
【分析】同一平面内，不共线的三点可确定一个圆，一个圆的圆心一定在该圆的一条弦的垂直平分线上，因此第一步在圆弧上任意找三点，进而可得圆的两条弦，作这两条弦的垂直平分线，二者的交点即为圆心，进而可作出对应的圆，据此可得答案．
【详解】解：首先在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C，即步骤②，然后连接和，将这三点转化为三角形的边（即圆的弦），即步骤①．根据垂径定理的推论，弦的垂直平分线经过圆心，分别作出和的垂直平分线，它们的交点即为圆心，即步骤④． 最后以点O为圆心，为半径作，即可得到原来的圆形玻璃，即步骤③．
故正确的操作步骤是②①④③．
39．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心的坐标为___________．
【答案】
【分析】根据图形作线段和的垂直平分线，两线的交点即为圆心．
【详解】解：作线段和的垂直平分线，交于点，即为弧的圆心，如图：
40．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点．
（1）线段的长度等于____________；
（2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的__________________________．
【答案】 根据以点和点为顶点的的圆周角所对的弦是直径，可确定圆的两条直径，它们的交点即是圆心；连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，则即为的平分线
【分析】（1）根据勾股定理计算即可；
（2）根据的圆周角所对的弦为直径，找到两条直径的交点即为圆心；根据垂径定理和弧、圆周角的关系即可作出的平分线．
【详解】解：（1），
∴线段的长度等于；
（2）如图，分别以点和点为顶点构造和，
∵，
∴和都是的直径，
∴和的交点是圆心，即为所要求作的点，
如图，连接两个小正方形的对角线交小正方形一边于点，连接交于点，连接并延长交于点，连接，
通过证明三角形全等易得点为小正方形一边的中点，
，
又∵
∴
，
，
，
，
平分，
点就是所要求作的点．
题型十四 求能确定的圆的个数
41．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
【答案】A
【分析】本题考查圆的确定，牢记平面内已知圆心与半径可以唯一确定圆是解决问题的关键．
【详解】解：∵点为圆心，1为半径作圆，
∴可以唯一确定圆，即：这样的圆只有1个，
故选：A．
42．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．2个 D．0个
【答案】A
【分析】根据不共线三点确定一个圆可得，直线上任意2个点加上点可以画出一个圆，据此列举所有可能即可求解．
【详解】解：依题意，，；，；，加上点可以画出一个圆，
∴共有3个．
43．如图，已知线段，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点只能作一个圆
B．经过点只能作一个圆
C．经过点，以的长为半径只能作一个圆
D．经过点，以的长为半径只能作一个圆
【答案】B
【分析】根据确定圆的条件，逐项分析即可判断．
【详解】解：A、经过点，不能作圆，故本选项说法错误，不符合题意；
B、经过点，只能作一个圆，说法正确，符合题意；
C、经过点，以的长为半径能作无数个圆，故本选项说法错误，不符合题意；
D、经过点，以的长为半径能作两个圆，故本选项说法错误，不符合题意．
题型十五 反证法证明中的假设
44．用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】反证法证明命题时，需要先假设原命题的结论不成立，找出原结论的反面即可得到答案．
【详解】解：∵反证法证明命题，第一步需要假设原命题结论不成立，原命题结论为“是负数”，即，
∴假设结论不成立，即为不是负数，可得．
45．已知五个正数的和等于1，用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时，应先作出的假设（ ）
A．这五个正数中只有一个数大于或等于
B．这五个正数中至多有一个数大于或等于
C．这五个正数中没有一个数大于或等于
D．这五个正数中都大于或等于
【答案】C
【详解】解：用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时，
应先作出的假设为这五个正数中没有一个数大于或等于．
46．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（ ）
A．四边形中最多有一个钝角或直角 B．四边形中四个角全部是钝角或直角
C．四边形中至少有一个是锐角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角
【答案】D
【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立．
【详解】解：反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设四边形中没有一个角是钝角或直角．
题型十六 用反证法证明命题
47．我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
【答案】A
【分析】根据反证法的步骤分析判断，即可解答．
【详解】解：假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．
则三角形的三个内角的和大于，
这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．
所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．
以上步骤符合反证法的步骤．
故推理使用的证明方法是反证法．
故选：A．
【点睛】本题考查了反证法，解答此题关键要懂得反证法的意义及步骤．反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
48．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤：
①如图，已知：在中，．求证：．
②无论哪种情况，都与已知矛盾．
③因此假设都不成立，所以．
④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________．
【答案】①④②③
【分析】反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确．据此即可解答．
【详解】解：如图，已知：在中，．求证：．
假设，；假设，；
无论哪种情况，都与已知矛盾．
因此假设都不成立，所以．
49．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（ ）
A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小
C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小
【答案】B
【分析】根据题干给出的条件，逐步排除得到每个人的位置和年龄大小关系即可判断选项．
【详解】解：∵ 甲、乙、丙对应中锋、前锋、后卫三个不同位置，已知条件：
1. 后卫比丙年龄大，可得后卫不是丙；
2. 中锋和乙不同岁，可得中锋不是乙；
3. 乙比前锋年龄小，可得乙不是前锋；
∴ 乙既不是中锋也不是前锋，因此乙是后卫。
∵ 乙是后卫，后卫比丙年龄大，
∴ 乙的年龄大于丙的年龄；
又∵ 乙比前锋年龄小，
∴ 前锋年龄大于乙的年龄；
得到年龄关系：前锋乙丙，因此丙年龄最小．
综上，乙是后卫，丙年龄最小，选项B正确．
题型十七 举反例
50．能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】要说明一个命题是假命题，只需找到满足命题条件、但不满足命题结论的反例，本题只需验证哪个选项满足，且不满足即可．
【详解】解：A、当时，，不满足，不符合要求；
B、当时，，且，满足结论，不符合要求；
C、当时，，满足条件，且，不满足结论，符合反例要求；
D、当时，，不满足条件，不符合要求．
51．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____．
【答案】 1
【分析】要证明原命题为假命题，只需找到一组满足但不满足的实数，即可．
【详解】解：取，时， ，，可得，即，满足原命题的条件；
，，可得，即，不满足命题的结论，可说明原命题是假命题．
52．命题“若，则”，它的逆命题是假命题，则下列所举的反例正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】C
【分析】明确逆命题的结构，结合反例定义验证选项．
【详解】解：原命题的逆命题为“若，则”，反例需满足且，
选项A：，，，且，即，不是反例；
选项B：，，，且，即，不是反例；
选项C：，，，且，即不成立，是反例，符合题意；
选项D：，，，且，即，不是反例．
解答题
53．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值．
【答案】6
【分析】由是的中位线，从而得出，当为直径时即可求出的最大值．
【详解】解：∵D，E分别是，的中点，
∴是的中位线，
，
∴当取最大值时，的值最大．
∵当为的直径时值最大，此时，
∴的最大值为6．
54．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．
(1)几秒钟后的面积等于；
(2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)2秒或4秒
(2)存在，秒
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、勾股定理以及割补法求三角形面积，本题关键在于设未知数，找出等量关系，列方程求解．
（1）设运动秒钟后的面积为，利用割补法将的面积用含x的式子表式出来，列方程，解出x即可．
（2）为半径的圆正好经过点即为，即，根据勾股定理将、分别用x表示出来，列方程求出x的值即可．
【详解】（1）解：设运动秒钟后的面积为，
则，，，，
，
，
，
，解得：，．
答：运动2秒或4秒后的面积为．
（2）假设运动开始后第秒时，满足条件，则：，
∵，
，
∴，
整理，得：，解得：，
∵，
∴运动开始后第秒时，点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上．
55．如图，在平面直角坐标系中，点、、．
(1)利用网格线画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），且点的坐标为_________；
(2)的半径为_________，的度数为_________．
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）作、的垂直平分线，它们的交点就是圆心；
（2）利用网格特点，结合勾股定理求出半径，再利用勾股定理的逆定理即可得到．
【详解】（1）解：图略，点的坐标为；
（2）解： ∵，，，
∴，的半径为，
∴．
56．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中、、．
(1)外接圆的圆心坐标是__________； 外接圆的半径是__________；
(2)以坐标原点为位似中心，将按相似比放大，在第一象限得到，在图中画出（不要求写出画法）；
(3)的面积为__________．
【答案】(1)，
(2)
证明：如图，即为所求；
(3)
【分析】本题考查了位似变换，外心的概念，两点之间距离公式等知识点．
（1）根据外心的定义可作出边的垂直平分线，可得交点即为外心，再由网格即可求出外心坐标，然后由两点间距离公式求解半径；
（2）将的三个顶点的横纵坐标均乘以2，即可得到点，再顺次连接即可；
（3）由三角形面积公式求解即可．
【详解】（1）解：如图，作出边的垂直平分线，可得交点即为外心，
∴外心坐标为，
∴外接圆半径为；
（2）略
（3）解：的面积为
57．对于和内一点(与不重合)给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数．在平面直角坐标系中，已知的半径为3．
(1)若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为_______，点关于的相关系数为_______；
(2)若点，点为的4属相关点，求线段长的取值范围；
(3)点是轴正半轴上一点，的半径为2，点，分别在与上，点关于的相关系数记为，点关于的相关系数记为．当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且．直接写出点的横坐标的取值范围．
【答案】(1)，3
(2)
(3)
【分析】（1）如图，弦经过点M，当弦时，线段是经过点M的圆的最短弦，过点O作于点F，，中，，当最大时，取最小值，，最小值为．设经过点M的弦的弦长为，则，可取的正整数为5，6．故点关于的相关系数为3．
（2）经过点N的长度为正整数的弦长度分别为，经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的的最短弦．令此弦为，可得点N在以为圆心，以为半径的圆上．于是；
（3）根据题意， 推导点是点为圆心，为半径的圆与的交点，点R是点为圆心，为半径的圆的内部与的公共点．运用数形结合可知，当与以点为圆心，为半径的圆外切时，，当以点为圆心，为半径的圆与内切时，(下限)，从而得到解．
【详解】（1）解：如图，弦经过点M，当弦时，线段是经过点M的圆的最短弦，理由如下，
过点O作于点F，，
中，，
当最大时，取最小值，
如图，，当点F与点M重合时，取最大值，即，
相应的，取最小值，最小值为．
经过点M的的最长弦为直径，弦长为6，
∴设经过点M的弦的弦长为，则，
∵，
∴可取的正整数为5，6．
经过点M的弦长为6的弦有1条，弦长为5的弦有2条 ，故点关于的相关系数为3．
（2）解：如图，点N为的4属相关点，
∵经过点N的且弦长为6的弦有1条，为直径，经过点N的且弦长为5的弦有2条，
∴经过点N的且弦长为4的弦有1条，为经过点N的的最短弦．
如图，令此弦为，由（1）知，，
∴．
∴点N在以为圆心，以为半径的圆上．
如图，连接并延长，交半径为的圆于点，
．
∴．
∴
（3）解：根据题意，的半径分别为3和2，故必存在经过，的长度为正整数的弦，
∴．
∵，且，
∴．
∴经过点的的长度为正整数的弦有2条，最长弦为直径，长度为6，另一条弦长为5，如图，令弦为，过点作于点D，连接，
则，
∴点在以点为圆心，为半径的圆上．
即点是点为圆心，为半径的圆与的交点；
经过点的的长度为正整数的弦有1条，最长弦为直径，长度为4，
所以过点R的弦最小值要大于3，
当过点R的弦长为3时，同理可知：弦心距：，
即点R是点为圆心，为半径的圆的内部与的公共点，
当与以点为圆心，为半径的圆相交，且与相交时，满足题意；
如图，当与以点为圆心，为半径的圆外切时，，
如图，当以点为圆心，为半径的圆与内切时，，
综上，时，存在点，，使得，且．
【点睛】本题考查垂径定理，两圆的位置关系，圆外一点到圆上点的距离求解；理解两圆的位置关系是解题的关键．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
专题09圆的有关概念复习讲义
1.掌握圆的两种定义：动态旋转定义和集合定义；清楚圆心确定圆的位置、半径确定圆的大小，会规范记写O；理解 “圆指圆周，不是圆面”。
2.能够准确识别半径、弦、直径、弧、半圆、劣弧、优弧、同心圆、等圆、等弧，3.分清概念从属关系：直径是弦、半圆是弧，但弦不一定是直径，弧不一定是半圆；会区分优弧、劣弧的标注方式。
4.掌握点和圆的三种位置关系，会利用点到圆心距离d和半径r的数量关系互相判定：d>r点在圆外，d=r点在圆上，d<r点在圆内。
5.理解同圆或等圆中半径都相等这个隐含条件，会利用半径相等进行线段相等的简单推理与计算。
6.能结合图形辨析等弧的条件：必须在同圆或等圆中，能够完全重合的弧才是等弧，不要简单认为长度相等的弧就是等弧。
7.可以解释生活中圆形物体的原理（如车轮为圆形），能用圆的概念解决简单的实际情境问题。
8.规避易错点：忽略 “同一平面内” 这个前提；混淆等弧、等长弧；分不清优弧、劣弧的书写；错把圆面当成圆。
题型
考察方向
难度
题型一
圆的基本概念辨析
★
题型二
求圆中弦的条数
★★
题型三
求过圆内一点的最长弦
★★
题型四
圆的周长和面积问题
★★
题型五
判断点与圆的位置关系
★★
题型六
利用点与圆的位置关系求半径
★★
题型七
点与圆上一点的最值问题
★★★
题型八
三角形外接圆的概念辨析
★
题型九
求三角形外心坐标
★★★
题型十
求特殊三角形外接圆的半径
★★★
题型十一
判断三角形外接圆的圆心位置
★★
题型十二
判断确定圆的条件
★★
题型十三
确定圆心
★★
题型十四
求能确定的圆的个数
★★★
题型十五
反证法证明中的假设
★★
题型十六
用反证法证明命题
★★★
题型十七
举反例
★★
拔高题
5题
星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴
知识点 1：圆的两种定义（核心基础，填空选择必考）.
1. 动态定义（操作理解，画图用）
在同一平面内，一条线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点运动所形成的封闭曲线叫做圆。
固定端点：圆心，用大写字母O表示；
线段定长：半径，用字母r表示；
关键限制：必须强调同一平面；空间旋转形成球面，不是平面圆。
2. 静态（集合）定义（考试核心考点）
平面内到定点的距离等于定长的所有点的集合叫做圆。
定点：圆心O；定长：半径r；
几何记作：以O为圆心的圆，写作⊙ O；
核心区分易错：
⊙ O仅指圆周（外围曲线），不含内部；
圆面 = 圆周 + 圆内部所有区域；做题看清题干描述是 “圆” 还是 “圆面”。
补充拓展概念
同心圆：圆心相同，半径不相等的多个圆；
等圆：半径相等，圆心不同的圆；等圆能够完全重合。
确定圆的条件：圆心、半径，二者缺一不可。
知识点 2：点与圆的三种位置关系（本章重难点，计算、大题高频）
点和圆的位置关系有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
若 ⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，
那么： 点P在圆内 d < r；点P在圆上 d = r；点P在圆外 d > r.
“” 读作 “等价于”，它表示从左端可以推出右端，从右端也可以推出左端
要点：点在圆上是指点在圆周上，而不是点在圆面上；
注意：圆指的是 “圆周”，即一条封闭的曲线，而不是 “圆面”。
“圆上的点” 指的是圆周上的点，圆心不在圆周上。
确定一个圆需要两个要素：一是定点，即圆心；二是定长，即半径。圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。只有圆心和半径都确定了，圆才能被唯一确定。
知识点 03：圆相关基础概念（背诵专用，区分易混概念）
.
概念名称
标准文字定义
几何书写规范
核心性质 & 易混易错点
圆心
确定圆位置的定点
点O
圆心定位置，半径定大小；两个圆半径相等为等圆
半径
连接圆心与圆上任意一点的线段
线段OA（A在 ⊙O上）
1.同一个圆中,所有半径长度相等；2. 无数条半径
弦
连接圆上任意两个点的线段
弦AB
弦是线段，弧是曲线；圆内任意两点连线都是弦
直径
经过圆心的弦
直径AC
1.直径是特殊弦；2.同圆中最长弦；3.直径d=2r；4.无数条直径
弧
圆上两点之间的曲线部分
劣弧：优：
一条弦对应两条弧；直径对应两条半圆
半圆
直径将圆分割出的两条弧
（AC为直径）
半圆既不属于优弧，也不属于劣弧，长度等于圆周长一半
劣弧
小于半圆的弧
只用两个大写字母表示
两点短弧，书写仅需两个点
优弧
大于半圆的弧
必须三个大写字母表示
两点长弧，只用两点会和劣弧混淆，中间加一个圆上点区分
配套推论（学生必背）
1.直径长度 = 2× 半径，d=2r，r=；
2.同一个圆内，直径是长度最大的弦，不存在更长的弦；
3.一条非直径弦对应 1 条劣弧、1 条优弧；直径对应两条相等半圆。
知识点04：高频易错点
1.混淆圆周与圆面，数学中 “圆” 仅指外围封闭曲线；
2.等弧必须满足同圆 / 等圆，只长度相等不能判定为等弧；
3.优弧书写只用两个字母，格式错误；
4.圆心不在圆周上，不属于 “圆上的点”；
5.判断点与圆位置关系，分不清d和r的大小关系；
6.认为所有弦都是直径，概念颠倒。
题型一 圆的基本概念辨析
1．同一个圆里，半径有( )条；直径的长度是半径的( )倍；( )决定圆的位置．
2．下列说法正确的是（ ）
A．圆中最长的弦只有一条 B．半圆不是弧
C．长度相等的两段弧是等弧 D．圆上各点到圆心的距离相等
3．下列说法正确的个数是（ ）．
①弦是直径；
②半径相等的两个半圆是等弧；
③长度相等的两条弧是等弧；
④优弧一定大于劣弧．
A． B． C． D．
题型二 求圆中弦的条数
4．如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
5．如图，直径为的内有一点，且，则经过点的所有弦中长度为整数的有________条．
6．如图，已知的半径为4，M是内一点，且，则过点M的所有弦中，弦长是整数的共有 _____ 条．
题型三 求过圆内一点的最长弦
7．已知中最大的弦长为4，则圆的半径为______．
8．是内一点，过点的最长弦为，最短弦为，则的长为______．
9．如图，坐标平面内圆，已知圆的半径为2，圆心，下列直线中，与圆相交，且被圆所截得的弦最长的是（ ）
A． B． C． D．
题型四 圆的周长和面积问题
10．【圆的周长】小圆的直径是，大圆的半径是，小圆周长是大圆周长的（ ）
A． B． C． D．
11．如图，某公园计划砌一个喷水池，有甲、乙两种方案，若外圆的直径相等，水池边沿的宽度和高度一样，你认为砌水池边沿（ ）
A．甲需要的材料多 B．乙需要的材料多
C．甲、乙需要的材料一样多 D．不确定
12．园林中设计的各种样式的门是造景的一种方法．如图是一面墙和墙中间一个圆拱门的示意图，墙高2.5m，长6m，门为圆形的一部分，圆的半径为1m，圆与地面的交界处AB宽m，则墙的面积为________．
13．中国科学技术馆有“方与非圆”展品，涉及“等宽曲线”的知识．因为圆的任何一对平行切线间的距离总是相等的，所以圆是“等宽曲线”．除了特例以外，还有一些几何图形也是“等宽曲线”，如勒洛三角形[如图①所示]，它是分别以等边三角形的每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点之间画一段圆弧，由三段圆弧围成的曲边三角形，图②是等宽的勒洛三角形和圆．下列说法错误的是（ ）
A．勒洛三角形不是中心对称图形
B．图①中，点到上任意一点的距离都相等
C．图②中，勒洛三角形上任意一点到等边三角形的中心的距离都相等
D．图②中，勒洛三角形的周长与圆的周长相等
题型五 判断点与圆的位置关系
14．圆的半径为，点到圆心的距离为，则点和的位置关系是（ ）
A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．无法确定
15．已知的圆心在坐标原点，半径，下列各点在圆外的是（ ）
A． B． C． D．
16．在中，，以为圆心为半径画，使与线段有且只有两个公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
题型六 利用点与圆的位置关系求半径
17．若点M在外，且，则的半径r满足（ ）
A． B． C． D．
18．一个点到圆的最小距离为，最大距离为，则该圆的半径是（ ）
A．或 B． C． D．或
19．如图，在中，是高线，以点为圆心作，使B，D，C三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，则的半径的取值范围是_______．
题型七 点与圆上一点的最值问题
20．圆外点到的最小距离是1，最大距离是7，则半径为_______．
21．如图，在正方形中，点、分别是、边上的动点，且，垂足为，连接．若正方形的边长为1．则线段的最小值为（ ）
A． B． C． D．
22．如图，是的直径，C为上一点，且，P为圆上一动点，点M为的中点，连接．若的半径为3，则长的最大值是（ ）
A． B． C． D．
题型八 三角形外接圆的概念辨析
23．三角形三条边的垂直平分线的交点叫做三角形的（ ）
A．内心 B．外心 C．中心 D．重心
24．已知为的外心，若，则_____；若，则_____．
25．如图所示，在的网格中，A，B，C，D，O均在格点上，则点O是（ ）
A．的外心 B．的外心 C．的外心 D．的外心
题型九 求三角形外心坐标
26．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是点、点、点，则的外心的坐标为（ ）
A． B． C． D．
27．如图，在平面直角坐标系中，，则外接圆的圆心坐标是_______．
28．如图，图中外接圆的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
题型十 求特殊三角形外接圆的半径
29．在中，，，，则这个三角形的外接圆的半径是________．
30．小颖同学在手工制作中，把一个边长为6cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则圆的半径为（ ）
A．cm B．cm C．cm D．cm
31．在一个六角形体育馆的一角内，用长为30的围栏设置一个运动器材储存区域（如图所示），已知，B是墙角线上的一点，C是墙角线上的一点，，则储存区域面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
题型十一 判断三角形外接圆的圆心位置
32．下列关于三角形外心的说法中，错误的是（ ）
A．三角形的外心到三个顶点的距离相等
B．三角形的外心是三条边的垂直平分线的交点
C．等腰三角形的外心在三角形内
D．任何一个三角形有且只有一个外接圆
33．如图，在平面直角坐标系中，弧所在圆的圆心坐标为______________．
34．如图，在平面直角坐标系中，，，．则的外接圆的半径为______．
题型十二 判断确定圆的条件
35．下列条件中，能确定唯一一个圆的是（ ）
A．以点O为圆心 B．以长为半径
C．以点O为圆心，长为半径 D．半径为，且经过点O
36．如图是一块被打碎的圆形玻璃，若想要去店里配到一块与原来大小一样的圆形玻璃，应该带去店里的碎片是_____ ．
37．如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为（ ）
A． B． C． D．
题型十三 确定圆心
38．小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，带如图的玻璃碎片到商店配到与原来大小一样的圆形玻璃，以下是工作人员顺序被打乱的操作步骤：
①连接和；
②在玻璃碎片的圆弧边缘任意找三点A、B、C；
③以点O为圆心，为半径作；
④分别作出和的垂直平分线，并且相交于点O．
正确操作步骤的排列序号为______．
39．如图，在平面直角坐标系中，一条圆弧经过，，三点，那么这条圆弧所在圆的圆心的坐标为___________．
40．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长都为1，是的外接圆，点，均为格点，点是小正方形一边的中点．
（1）线段的长度等于____________；
（2）请借助无刻度的直尺，在给定的网格中先确定圆心，再作的平分线交于点．在下面的横线上简要说明点和点的位置是如何找到的__________________________．
题型十四 求能确定的圆的个数
41．在平面直角坐标系中，点的坐标为，以点为圆心，1为半径作圆，这样的圆可以作（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个
42．如图，点A，B，C均在直线l上，点P在直线l外，则经过其中任意三个点，最多可画出圆的个数为（ ）
A．3个 B．4个 C．2个 D．0个
43．如图，已知线段，点在线段上，下列说法正确的是（ ）
A．经过点只能作一个圆
B．经过点只能作一个圆
C．经过点，以的长为半径只能作一个圆
D．经过点，以的长为半径只能作一个圆
题型十五 反证法证明中的假设
44．用反证法证明命题结论“是负数”时，应先假设（ ）
A． B． C． D．
45．已知五个正数的和等于1，用反证法证明“这五个正数中至少有一个数大于或等于”时，应先作出的假设（ ）
A．这五个正数中只有一个数大于或等于
B．这五个正数中至多有一个数大于或等于
C．这五个正数中没有一个数大于或等于
D．这五个正数中都大于或等于
46．用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（ ）
A．四边形中最多有一个钝角或直角 B．四边形中四个角全部是钝角或直角
C．四边形中至少有一个是锐角 D．四边形中没有一个角是钝角或直角
题型十六 用反证法证明命题
47．我们可以用以下推理来证明“在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于”．假设三角形没有一个内角小于或等于，即三个内角都大于．则三角形的三个内角的和大于，这与“三角形的内角和等于”这个定理矛盾．所以在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于．上述推理使用的证明方法是（ ）
A．反证法 B．比较法 C．综合法 D．分析法
48．以下是用反证法证明命题“在三角形中，大角对大边”的四个步骤：
①如图，已知：在中，．求证：．
②无论哪种情况，都与已知矛盾．
③因此假设都不成立，所以．
④假设，；假设，．这四个步骤正确的顺序应是_______________．
49．某校为丰富校园生活、培育团队精神，特举办班超三人篮球赛，根据场上位置分工，出场三人的位置一般分为中锋、前锋、后卫，七年级某班选派甲、乙、丙三名同学首发出场，其中后卫比丙年龄大，中锋和乙不同岁，乙比前锋年龄小，下列推断正确的是（ ）
A．甲是后卫，乙年龄最小 B．乙是后卫，丙年龄最小
C．甲是后卫，丙年龄最小 D．乙是后卫，乙年龄最小
题型十七 举反例
50．能说明命题“若，则”是假命题的反例是（ ）
A． B． C． D．
51．请写出能判断命题“若，则”是假命题的一组实数，的值：_____，_____．
52．命题“若，则”，它的逆命题是假命题，则下列所举的反例正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
解答题
53．如图，已知的半径为6，A是上一点，是的弦，连接，，D，E分别是，的中点，求的最大值．
54．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．
(1)几秒钟后的面积等于；
(2)在运动过程中，是否存在这样的时刻，使点D恰好落在以点Q为圆心，为半径的圆上？若存在，求出运动时间；若不存在，请说明理由．
55．如图，在平面直角坐标系中，点、、．
(1)利用网格线画出经过，，三点的圆弧所在圆的圆心（保留痕迹），且点的坐标为_________；
(2)的半径为_________，的度数为_________．
56．如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位的小正方形，点A、B、C都是格点（每个小方格的顶点叫格点），其中、、．
(1)外接圆的圆心坐标是__________； 外接圆的半径是__________；
(2)以坐标原点为位似中心，将按相似比放大，在第一象限得到，在图中画出（不要求写出画法）；
(3)的面积为__________．
57．对于和内一点(与不重合)给出如下定义：过点可以作出无数条的弦，若在这些弦中，长度为正整数的弦有条，则称点为的属相关点，为点关于的相关系数．在平面直角坐标系中，已知的半径为3．
(1)若点的坐标为，则经过点的的所有弦中，最短的弦长为_______，点关于的相关系数为_______；
(2)若点，点为的4属相关点，求线段长的取值范围；
(3)点是轴正半轴上一点，的半径为2，点，分别在与上，点关于的相关系数记为，点关于的相关系数记为．当点在轴正半轴上运动时，若存在点，，使得，且．直接写出点的横坐标的取值范围．
试卷第1页（共3页）
试卷第1页（共3页）
学科网（北京）股份有限公司
$
资源预览图
