精品解析：河南省新乡市部分校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段检测数学试题

高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是空间的一个基底，则下列选项中，不能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】D 【解析】 【详解】对于选项A，假设共面，则存在实数，使得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为基底，故A错误； 对于选项B，假设共面，则存在实数，使得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为基底，故B错误； 对于选项C，假设共面，则存在实数，使得， 又因为是空间的一个基底，所以不能由线性表示，故矛盾. 所以不共面，可以作为基底，故C错误； 对于选项D，因为，所以共面，不可以作为基底，故D正确； 2. 直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据倾斜角和斜率的关系，以及两直线垂直，即可求解. 【详解】因为，且，所以. 故选：B 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先代入参数值判断直线平行证明充分性，利用直线平行求解参数值证明必要性即可. 【详解】当时，直线与直线， 即直线与直线，是平行关系，即满足充分性， 当直线和直线平行时， 有，解得或， 当时，可知两直线平行， 当时，两直线为与直线，是平行关系， 故不满足必要性， 所以“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件. 4. 已知异面直线，的方向向量分别为，，则异面直线，所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可得：，因为异面直线所成角的范围为，所以异面直线，所成角的大小为 5. 已知空间向量，．若与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数量积的坐标运算建立方程求解即可. 【详解】设与的夹角为， 则， ， ， ， 所以，显然，即. 整理得：，解得和（舍去）， 综上，. 6. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，动点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先建立空间直角坐标系，把动点设出来，求出距离并且转化，最后利用二次函数求出最值。 【详解】由题意可得且平面， 则以点为坐标原点，以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 因此，，，，， 因为在线段上，设，， 则，，即， 则， ， 当为二次函数对称轴时，即时，取得最小值， 那么. 7. 已知正方体的棱长为，点在正方体内部（含表面）且满足．若点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求向量，，，的坐标，利用向量方法由点到直线的距离公式求解. 【详解】如图，以为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则， 所以， 又， 所以， 取，， 则，， 所以点到直线的距离为 化简得，则或，都符合题意. 8. 欧拉定理表明：任意三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，的欧拉线为直线，点为上的动点，过点作圆：的切线，其中一个切点为．当的面积取得最小值时，切线长（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出欧拉线方程，当三角形面积最小时，可得切线长最小，利用点到直线的距离求最值即可. 【详解】如图所示： 由，可得重心. 已知在轴上，的垂直平分线为； 中点为，直线斜率为3，故垂直平分线斜率为， 所以垂直平分线方程为：，即， 将代入得：，即外心. 由欧拉线定义和和，可得欧拉线方程为：. 圆的圆心为，半径， 由切线性质可知，， 因此的面积， 即面积最小等价于切线长最小. 因为， 所以最小等价于点到直线上动点的距离最小， 点到直线的最短距离为， 代入得. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体中，下列各式成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据空间向量加减法的几何意义化简各式判断正误即可. 【详解】 ，A正确； ，B正确； ，C错误； ，D正确. 10. 已知圆：，点，直线：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的距离的最大值为 C. 若直线与圆相切，则 D. 若圆上一点关于直线的对称点在圆上，则 【答案】AC 【解析】 【分析】化直线方程为判断A，结合A的结论并应用两点距离公式、对称性判断B、D，根据直线与圆相切列方程求参数值判断C. 【详解】 A：将直线整理为，因此直线恒过点，正确； B：直线恒过定点，点到直线的距离最大值为，错误； C：圆心为，半径，直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径， 所以，整理得，正确； D：点在圆上，且对任意，都在直线上， 取，则它关于直线的对称点仍是自身，也在圆上，但不一定为​，错误. 11. 已知正四面体的棱长为，，分别为，的中点，为的重心，则下列说法正确的有（ ） A. 异面直线与夹角的余弦值是 B. 与平面所成角的正弦值为 C. D. 二面角的余弦值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，设的中点为，连接，，分析可得（或其补角）为异面直线与夹角，进而求解判断即可；对于B，连接，由题设易得平面，进而得到平面，连接，可得为与平面所成角，进而求解判断即可；对于C，根据空间向量的线性运算求解判断即可；对于D，分析可得为二面角的平面角，进而求解判断即可. 【详解】对于A，设的中点为，连接，， 因为为的中点，所以， 则（或其补角）为异面直线与夹角， 在正四面体中，和均为等边三角形，且边长均为2， 易得， 在中，由余弦定理得， 所以异面直线与夹角的余弦值是，故A正确； 对于B，连接，在正四面体中，为的重心，可得平面， 因为平面，所以， 在等边中，为的中点，则， 因为平面， 所以平面，连接， 则为与平面所成角， 又，则在中，，故B错误； 对于C，因为为的重心，为的中点， 所以 ，故C正确； 对于D，在正四面体中，可得和均为等边三角形，且边长均为2， 因为为的中点，所以， 可得，又， 所以为二面角的平面角， 由B知，在中，，则，而， 在中，由余弦定理得，故D错误. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为直线的方向向量为，平面的法向量为，且， 则，所以，解得：. 13. 已知圆：，圆：．若圆与圆有公共点，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】圆：的圆心，半径为； 圆：的圆心，半径为. . 因为圆与圆有公共点，所以， 即解得. 14. 已知，是空间中互相垂直的单位向量，，，则的最小值是________． 【答案】8 【解析】 【分析】由题设，根据空间向量数量积的运算律整理化简得到，进而求解即可. 【详解】由题意，得，，，， 则 ， 当且仅当时，等号成立， 则的最小值是8. 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求过点且与平行的直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出线段的中点，再写出直线方程； （2）先求出直线的斜率，继而求得边上的高线斜率，再由点斜式求方程即可； （3）先由两直线平行求直线斜率，再由点斜式求方程. 【小问1详解】 因为，，所以线段的中点为． 因为，所以边上的中线所在直线的方程为． 【小问2详解】 因为，，所以直线的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率． 又因为边上的高过点， 所以边上的高所在直线的方程为，即． 【小问3详解】 由（2）得，， 因为所求直线与直线平行，所以所求直线的斜率为． 因为所求直线过点，所以所求直线的方程为， 即． 16. 棱长为的正方体在空间直角坐标系中的位置如图，点，分别在线段和上，且，． （1）写出点，的坐标； （2）求线段的长； （3）求异面直线，所成角的余弦值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出相关点的坐标，再由条件列出向量关系式，即可求出两点坐标； （2）利用向量模的公式计算即得； （3）利用空间向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为正方体的棱长为， 所以，，，，， 则，，，． 依题意，，则， 所以，即得． 因为，所以， 所以，即得． 【小问2详解】 由（1）得，，所以， 所以． 【小问3详解】 由（2）得，． 因为，，所以， 则． 设异面直线，所成的角为，因， 则， 所以异面直线，所成角的余弦值为． 17. 已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． （1）求直线的方程； （2）求实数的值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直的两直线的斜率性质，结合直线点斜式方程进行求解即可； （2）根据圆的方程特征，结合圆的弦长公式、点到直线距离公式进行求解即可； （3）利用相关点法，结合代入法进行求解即可. 【小问1详解】 因为直线与直线垂直，直线的斜率为， 所以直线的斜率为． 又因为直线过点，所以直线的方程为，即． 【小问2详解】 圆：的标准方程为， 则圆心，半径，． 因为圆心到直线的距离， 圆截直线所得的弦长为，所以，解得． 【小问3详解】 由（2），得圆的方程为． 设线段的中点为，． 因为，所以，则． 因为点在圆上运动，所以， 即， 化简，得， 即线段的中点的轨迹方程为． 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为，所以是等边三角形． 因为为的中点，所以，且． 因为，，所以，所以． 如图，连接．因为为的中点，所以． 因为，所以． 因为，，平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先根据等边三角形性质及勾股定理证明和，然后根据线面垂直的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法确定M点的位置，再根据面面角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，． 因为，为的中点，所以． 以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向， 建立空间直角坐标系．则，，，，， 所以，，． 因为点在棱上，直线方程为， 所以设，则．由题意，得． 设平面的法向量为，则． 设，则，，所以． 由题意，得， 化简得，解得（舍）或，所以． 设平面的法向量为，则． 设，则，，所以． 因为， 由题知，二面角的平面角是锐角， 所以二面角的余弦值为． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，二面角的大小为，平面平面，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明：因为平面平面，平面平面， ，且平面，所以平面． 又因为平面，所以． 在正方形中，． 因为，，平面，所以平面． （2）或． 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质推出，结合，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，设，利用二面角的大小为，可求出，，，或，，，再根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，，所在的直线分别为轴、轴， 过点的平面的垂线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，． 设，，则，． 因为，所以．① 由（1）知，平面，因为平面，所以， 所以．② 因为平面，所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为，则． 因为，，所以． 取，则，所以． 因为二面角的大小为， 所以．③ 由①②③解得，，，或，，， 即或． 当点的坐标为时，，，，满足题意． ，． 设平面的法向量为，则，即． 取，则，，所以． 设与平面所成的角为，则， 又因为，所以． 当点的坐标为时，，，，满足题意． ，． 设平面的法向量为，则， 即，取，则，，所以． 设与平面所成的角为，则， 又因为，所以． 综上，直线与平面所成角的大小为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 考试时间为120分钟，满分150分 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知是空间的一个基底，则下列选项中，不能构成空间基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2. 直线，若的倾斜角为30°，则的斜率为（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知异面直线，的方向向量分别为，，则异面直线，所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 已知空间向量，．若与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，平面，，动点在线段上，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为，点在正方体内部（含表面）且满足．若点到直线的距离为，则（ ） A. B. C. 或 D. 8. 欧拉定理表明：任意三角形的外心、重心、垂心三点共线，这条直线被称为欧拉线．在平面直角坐标系中，的顶点分别为，，，的欧拉线为直线，点为上的动点，过点作圆：的切线，其中一个切点为．当的面积取得最小值时，切线长（ ） A. B. C. D. 二．选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在平行六面体中，下列各式成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知圆：，点，直线：，则下列说法正确的有（ ） A. 直线恒过点 B. 点到直线的距离的最大值为 C. 若直线与圆相切，则 D. 若圆上一点关于直线的对称点在圆上，则 11. 已知正四面体的棱长为，，分别为，的中点，为的重心，则下列说法正确的有（ ） A. 异面直线与夹角的余弦值是 B. 与平面所成角的正弦值为 C. D. 二面角的余弦值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，且，则______． 13. 已知圆：，圆：．若圆与圆有公共点，则的取值范围是________． 14. 已知，是空间中互相垂直的单位向量，，，则的最小值是________． 四．解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的三个顶点分别是，，． （1）求边上的中线所在直线的方程； （2）求边上的高所在直线的方程； （3）求过点且与平行的直线的方程． 16. 棱长为的正方体在空间直角坐标系中的位置如图，点，分别在线段和上，且，． （1）写出点，的坐标； （2）求线段的长； （3）求异面直线，所成角的余弦值． 17. 已知直线过点且与直线垂直，点为圆：上的动点，直线与圆相交，且截得的弦长为． （1）求直线的方程； （2）求实数的值； （3）求线段的中点的轨迹方程． 18. 如图，在三棱锥中，，，为的中点． （1）证明：平面； （2）若点在棱上，与平面所成角的正弦值为，求二面角的余弦值． 19. 如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，，二面角的大小为，平面平面，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若，求直线与平面所成角的大小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $