河南师范大学附属中学2026-2027学年上学期10月月考高二数学试卷

河师大附中高二年级2026-2027学年上学期10月月考 数学试卷答案 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1.C2.B3.A4.B5.A6.A7.D8.A 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9.AC 10.BC 11.AC 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 3V5 12.x-y+4=013.[4,8)14. 四、解答题（共5小题） 15.解：(1)由直线4与2垂直，整理得2a-1=0,解得“2 x+y- =0 (2)由(1)得，直线2的方程为2 2 即x+2y-1=0 2x-y-7=0 x=3 枚x+2y-1=0,解得y=-1,即点P坐标为3，-， ①当直线的斜率不存在时，其直线方程为x=3,满足题意： ②当直线I的斜率存在时，设直线l的方程为y+1=k(x-3),即：x-y-3k-1=0】 由于原点到该直线的距离为3， d=3--3 V1+k2 4 k= 解得3 则直线I的方程为4x-3y-15=0 综上所述，直线1的方程为x=3或4x-3y-15=0 16.解：如图，以D为坐标原点，DA,DC,DD所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 设正方体的棱长为1， D 则4(1,00)，B11,0）,C(0,10).B(1,G(0,1).D(00,). (1)证明：因为D=（,-1),AC=(-1,10),AB=(0,1) 所以BD·AC=(-I)x(-)+(-H)x1+1x0=0 BD·AB=(-1)×0+(-1)×1+1×1=0 所以BD⊥AC,BD⊥AB. 因为AC,AB为平面AB,C内的两条相交直线，所以BD上平面AB,C, (2)由1)可知，BD=(1,-1,)为平面ABC的一个法向量， 又因为BG=(-1,0,0)】 os(BD.BG)-(-1)x(-1)+(-1)x0+1x0 所以 V3×1 3 5 所以直线BG与平面4B,C所成角的正弦值为3， 6 故直线B,C与平面AB,C所成角的余弦值为3. 17.解：(I)由频率分布直方图得： (0.005+0.010+0.015+0.030+a+0.015+0.005)×10=1 解得a=0.020 尺寸在[70,80)内的零件数量为：0.020×10×20000=4000， (Ⅱ)这批零件尺寸的平均数为： 35×0.005×10+45×0.010×10+55×0.015×10+65×0.030×10 +75×0.020×10+85×0.015×10+95×0.005×10=66.5 [30,60)的领率为：(0.005+0.010+0.015)×10=0.3， [60,70)的频率为0.030×10=0.3， 60+0.5-0.3 ×10≈66.7 ∴中位数为： 0.3 (D采用分层抽样的方法，从尺寸在[40,50)和[70,80)内的零件中随机抽取6个， 6x 0.010 -=2 则从尺寸在[40,50)内的零件中抽取：6×0.010+0.020-2（个， 0.020 从尺寸在[70,80)内的零件中抽取： 6× =4 0.010+0.020 (个)， 再从这6个零件中任取2个，基本事件总数”=C6=15 至少有1个零件的尺寸在[40,50)内包含的基本事件个数m=C号+C,C;=9 P=m、93 “至少有1个零件的尺寸在[40,50)内的概率n155】 18解：(1)因为acos(B-C)+acosA=2V3 csin Beos4 acosBcosC+asinBsinC-a(cosBcosC-sinBsinC)=2csinBcos asinBsinC=3csinBcosA 由正弦定理得：sin4 sinBsinC=V3 sinCsinBcosA, 显然sinC>0,sinB>0,所以sinA=V3cosA,所以tan4=V3, A∈0，π A=- 因为 2 所以 3 a=b=25 (2)因为△ABC外接圆的半径为V3,所以由正弦定理得：sinA sinB 所以a=3,b=2V3sinB、 6+d2=b+ =25sinB+ 3w5 =23 sinB+ 3 所以b 2sinB 4sinB 0<B<π 2 <2-Bs I<B<T 0 sin 因为△ABC为锐角三角形，所以〔3 2,解得6 2,即 f)=x+3,5 根据对勾函数的性质可知，函 在22上单调选减，在2 )上单调递增，且 e[62.m8+4 ）Bt 所以 ,即b 的取值范围为[64) 19.解：(1)证明：取PB的中点D,连接CD,如下图所示： D PB=BC=PC,D为PB中点，则CD⊥PB, 因为平面PAB⊥平面PBC,且交于PB,故CDL平面PAB, 因为ABC平面PAB,故CD⊥AB 又因为AB⊥BC,且CD∩BC=C,CD,BCC平面PBC, 故AB⊥平面PBC: (2)取BC的中点O,AC的中点F,连接OF,PO,如下图所示： ZA B O,F为BC,AC的中点，所以OF∥AB, 由(1)可知，AB⊥平面PBC,故OF⊥面PBC, 故OF⊥BC,OF⊥PO, 又△PBC为等边三角形，故PO⊥LBC, 建立空间直角坐标系，如下图所示： ZA B- AB=4,PB=BC=PC=23 n0F48=2.oP=3,0c=08=5, 则 B(0,-5,0）A(4-5,0）.C0,5,0.P(0,0,3)】 BA=(4,00).Ac=(4,25,0).Pc=(0,5,-3) 设i=(x,八2)为平面PAC的法向量， [i1AC元.AC=-4x+23y=0 元1Pc,i.pC=3y-3z=0 令y=25,则i=6,25,2】 i.BA 12 d=- 12 所以点B到面PAC的距离为 同9+4+125 (3)设存在点E, 则PE=PB=0,5,-)-(05-3）.2eo,1则， 所亚=P+PE=(4,v5,3+0V5-3-(45-5,3-3) 设”=(，，)为平面E4C的法向量， R上AE m·AE=-4x+V3(1-入)y+31-2),=0 元1AC.元·AC=-4x+2W3y=0 令片=251-)，则4=(3(1-)，251-2)，21+2月 同理可得平面ABC的法向量%=(0,0，)】 设二面角E-AC-B为B, an0sV②i 则 10,故 os0=10 11, n'n 2(1+元) 10 cos0= mV9(1-2}2+121-}+41+2 11 整理解得 3, 2 PB PE 3 一=2 PE-2PB BE 1 PB 所以 3 ,则 3 21 所以存在点E,使得二面角E-AC-B的正切值为10· 绝密★启用前 河师大附中高二年级2026-2027学年上学期10月月考 数学试卷 一、选择题（共8小题，每题5分，共40分） 1．设集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知直线过，两点，则该直线的斜率为（ ） A．-1 B．1 C．0 D．2 3．已知向量，，若，则（ ） A． B． C． D．5 4．若，则（ ） A． B． C． D． 5．已知直线，，“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．在中，角、、所对的边分别是、、．若，，则的面积是（ ） A． B． C． D． 7．已知向量，的夹角为钝角，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．我国古代数学名著《九章算术》中给出了很多立体几何的结论，其中提到的多面体“鳖臑”是四个面都是直角三角形的三棱锥．若一个“鳖臑”的所有顶点都在球的球面上，且该“鳖臑”的高为2，底面是腰长为2的等腰直角三角形．则球的表面积为（ ） A． B． C． D． 二、多选题（共3小题，每题6分，共18分） 9．已知直线经过点，且点，到直线的距离相等，则直线的方程可能为（ ） A． B． C． D． 10．已知直线，，则下列说法正确的是（ ） A．若，则或 B．若，则 C．若，两条直线的交点为 D．若直线不过第二象限时，有 11．如图，点，分别是棱长为2的正四面体的边和的中点，点在线段上，且．则（ ） A． B． C． D．向量在方向上的投影向量为 三、填空题（共3小题，每题5分，共15分） 12．直线与直线垂直，且它在轴上的截距为4，则直线的方程为__________． 13．已知函数是上的增函数，则实数的取值范围是__________． 14．如图，已知正方体的棱长为，为棱的中点，则点到直线的距离为__________． 四、解答题（共5小题，共77分） 15．已知直线，，且直线与垂直． （1）求的值： （2）若直线过直线与的交点，且原点到该直线的距离为3，求直线的方程． 16．如图，为正方体． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的余弦值． 17．某工厂对生产的一批零件的尺寸进行测量，共计测量20000个，测量所得数据制成如图所示频率分布直方图： （Ⅰ）求图中的值以及尺寸在内的零件数量： （Ⅱ）求这批零件尺寸的平均数和中位数（同一组数据用该组区间的中间值代替，结果精确到0.1）： （Ⅲ）现采用分层抽样的方法，从尺寸在和内的零件中随机抽取6个，再从这6个零件中任取2个，求至少有1个零件的尺寸在内的概率． 18．若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且． （1）求角的大小： （2）求的取值范围． 19．如图，在三棱锥中，，，，且平面平面． （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离； （3）线段上是否存在一点，使得二面角的正切值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $