1.2一元二次方程的解法 作业课件 2026-2027学年苏科版数学九年级上册
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内容正文：
第2章 一元二次方程
作业8 一元二次方程的解法（1）
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1.方程 的根是( )
C
A. B.
C. , D. ,
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2.（2025·贵州）一元二次方程 的根是_______________.
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3.（2025·宿迁泗洪期中）一元二次方程 的根是_______________.
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4.（2025·宿迁沭阳期中）方程 的根是_______________.
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5.用直接开平方法解下列方程：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4）（2025·宿迁宿城期末） ;
（5） ;
（6） .
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（1） ;
解：
（2） ;
解：
（3） ;
解：
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（4）（2025·宿迁宿城期末） ;
解：
（5） ;
解：
（6） .
解：
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6.（2025·张家港期末）关于的一元二次方程
的一个根是0，则 的值是( )
D
A. 0.5 B. 1 C. 1或 D.
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7.如果关于的方程可以用直接开平方法求解，那么 的
取值范围是( )
D
A. B. C. D.
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8.若关于的一元二次方程有一根为 ，
则 的值为____.
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9.若，则 的值为___.
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10.（2025·泰州靖江期中）已知三角形的两边长分别为4和6，第三边的长是
一元二次方程 的一个根，则这个三角形的周长为____.
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11.新定义 对于实数，，新定义一种运算“ ”，
若，则 的值为___.
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12.解下列方程：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） ;
（6） .
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（1） ;
解：;
（2） ;
解：;
（3） ;
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（4） ;
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（5） ;
解：;
（6） .
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13.新情境 阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则
为.如.如果 ，
求 的值.
解：根据题意可得 ，整理，
得 ,
解得， .
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14.若关于的一元二次方程的两个根为 ,
.求下列各式的值：
（1） ；
（2） .
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（1） ；
解：由，得 ,
解得 ,
即方程的两个根互为相反数,
，解得 .
（2） .
解：由（1）知 ,
方程的两个根为， .
， .
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15.对于实数，，我们用符号，表示， 两数中较大的数，如
， .
（1）请直接写出{-， }的值；
（2）我们知道，当时， ，利用这种方法解决下面问题：若
，，求 的值.
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（1）请直接写出{-， }的值；
解：， ,
{-，}=- .
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（2）我们知道，当时， ，利用这种方法解决下面问题：若
，，求 的值.
解：根据题意，得，解得 .
当时，， ,
解得或 （舍去）;
当时，， ,
解得（舍去）或 ,
故的值为2或 .
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$第2章 一元二次方程
作业9 一元二次方程的解法（2）
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1.（2025·宿迁泗阳期中）用配方法解方程 ，则配方正确的
是( )
A
A. B. C. D.
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2.用配方法解方程时，将方程化为 的形式，则
的值是( )
A
A. 8 B. 9 C. 10 D. 12
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3.在横线上填上适当的数，使下列等式成立：
（1）________________ ;
（2）________________ .
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（1）______ ;
（2）____ .
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4.已知一元二次方程有一个根为，则 的值为
____.
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5.用配方法解下列方程:
（1）（2025·宿迁宿豫期末） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） ;
（6） .
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（1）（2025·宿迁宿豫期末） ;
解：;
（2） ;
解：;
（3） ;
解：;
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（4） ;
解：;
（5） ;
解：;
（6） .
解：;
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6.（2025·苏州吴江区期中）用配方法解一元二次方程 ，
将它转化为的形式，则 的值为( )
C
A. B. 2027 C. D. 1
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7.若，，则， 的大小关系为( )
C
A. B. C. D.
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8.关于的方程通过配方得，则 ____.
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9.（2025·无锡江阴期末）用配方法解方程 ，将方程变为
的形式，则 的值为____.
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10.解下列方程:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
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（1） ;
解：，
（2） ;
解：，
（3） ;
解：无实数根
（4） .
解：，
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11.已知关于的一元二次方程 .
（1）若方程有一个根为0，求实数 的值；
（2）当 时，用配方法解方程.
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（1）若方程有一个根为0，求实数 的值；
解：把代入方程，得，即，直接开平方，得
或 .
当时，方程为 ，不符合题意，舍去，
所以 .
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（2）当 时，用配方法解方程.
解：把代入方程，得，即 ,
配方，得，即 ,
直接开平方，得 ,
解得， .
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12.已知等腰的三边长，， 都是正整数，且满足
，求 的周长.
解： ,
,
,
则，，解得， .
由三角形三边关系可知，等腰 的三边长分别为1，3，3，
的周长为 .
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13.（2025·常熟期中）【阅读理解】“配方法”是一种数学思想方法，利用
这种方法可以解决很多数学问题.下面是小明同学用配方法解一元二次方程
的过程.
解：移项，得；配方，得，即 ；
直接开平方，得，， .
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【问题解决】
（1）小明配方的依据是( )
A. 完全平方公式
B. 平方差公式
C. 多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程： .
【拓展应用】
（3）已知是实数，求代数式 的最小值.
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（1）小明配方的依据是( )
A
A. 完全平方公式
B. 平方差公式
C. 多项式与多项式乘法法则
（2）用配方法解方程： .
解：移项，得 ，
配方，得，即 ，
直接开平方，得 ，
， .
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【拓展应用】
（3）已知是实数，求代数式 的最小值.
解： ，
又，从而 ，
代数式 的最小值为4.
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$第2章 一元二次方程
作业10 一元二次方程的解法（3）
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1.（2025·常州溧阳期中）用配方法解一元二次方程 时，
配方正确的是( )
A
A. B. C. D.
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2.用配方法解下列方程，其中应在等号左、右两边同时加上4的是( )
C
A. B. C. D.
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3.把方程配方成 的形式：_ ____________.
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4.将代数式变形为，则 ____.
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5.解下列方程:
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
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（1） ;
解：;
（2） ;
解：;
（3） ;
解：;
（4） .
解：;
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6.（2025·苏州吴中区期中）若关于 的一元二次方程
的左边可以写成一个完全平方式，则常数 的值为
( )
B
A. 7 B. 7或 C. 6 D. 6或
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7.（2025·苏州昆山期中）将一元二次方程 配方成
的形式，则， 的值为( )
D
A. ， B. ，
C. ， D. ，
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8.已知实数，满足，则代数式 的最小值为____.
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9.若实数,使得等式成立，则 _______.
3或
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10.代数式 的最小值为___.
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11.（2025·淮安）若，则 的最大值是_ __.
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12.解下列方程：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
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（1） ;
解：;
（2） ;
解：;
（3） ;
解：;
（4） .
解：;
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13.求证：对于任意实数，关于 的方程
都是一元二次方程.
证明：，且对于任意实数 ，总有
，
， ，
对于任意实数，代数式 的值总不等于0，
对于任意实数，关于的方程 都是
一元二次方程.
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（1）当为何值时， ？
（2）对于任意实数，试比较与 的大小.
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（1）当为何值时， ？
解：，， ，
,
整理，得 ,
解得，或 .
（2）对于任意实数，试比较与 的大小.
解： ,
，， .
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$第2章 一元二次方程
作业12 一元二次方程的解法（5）
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1.（2025·宿迁泗阳县期中）用求根公式解一元二次方程 时，
，， 的值是( )
C
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
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2.（2025·徐州鼓楼区期中）求方程 的根时，由求根公式
得，则 的值为( )
D
A. B. C. 7 D.
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3.用公式法解一元二次方程，得 ，则该一元二次方程是
_________________.
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4.已知关于的一元二次方程，且 ，则此方程
的根为____________.
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5.用公式法解下列方程：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） ;
（6） .
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（1） ;
解：
（2） ;
解：
（3） ;
解：
（4） ;
解：
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（5） ;
解：
（6） .
解：
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6.已知是一元二次方程较大的根，则下面对 的估计正
确的是( )
C
A. B. C. D.
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7.（2025·泰州姜堰区期中）方程 必有一
个解是( )
C
A. B. C. D.
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8.（2025·南京模拟）已知是关于 的方程
，，是有理数， 的一个根，则该方
程的另外两个根分别是___，_________.
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9.若关于的一元二次方程的一个根为 ，则方程的
另一个根为______.
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10.（2025·上海期末）关于的一元二次方程 根的判
别式的值是6，则此方程的解为_ ___________________.
，
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11.用公式法解下列方程：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） .
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（1） ;
解：
（2） ;
解：
（3） ;
解：
（4） .
解：
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12.对于两个不相等的实数，，我们规定符号，表示， 中的较
大值，如，.按照这个规定，解方程， .
解：当时，方程为，即 ,
解得（舍去），, 此时 ;
当时，方程为 ,
解得（舍去），， 此时 .
综上，方程，的解为或 .
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13.已知关于的一元二次方程 .
（1）求该方程的根；
（2）当 为何整数时，该方程的两个根都是正整数？
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（1）求该方程的根；
解：由已知得，即 ，
判别式为 ,
,， .
（2）当 为何整数时，该方程的两个根都是正整数？
解：由（1）知， ，
为整数，且该方程的两个根都是正整数，
或,或 时，该方程的两个根都为正整数.
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$第2章 一元二次方程
作业11 一元二次方程的解法（4）
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1.（2025·宿迁沭阳外国语学校期末）方程 的解是( )
B
A. B. ，
C. ， D. 无实数根
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2.（2025·宿迁宿豫区期中）关于“解方程 ”，小明给出了解答过程：
原方程可变形为，，所以或 ，所以
， ，则关于小明给出的解法属于( )
D
A. 直接开平方法 B. 配方法
C. 公式法 D. 因式分解法
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3.一元二次方程 的解是_______________.
，
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4.方程 的两个根是等腰三角形的两边长，则该等腰三角形
的周长是____.
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5.用因式分解法解下列方程：
（1）（2025·宿迁泗洪县期中） ；
（2）（2025·宿迁泗洪县期中） ；
（3）（2025·宿迁沭阳县期末） ；
（4）（2025·宿迁沭阳县期末） ；
（5）（2025·齐齐哈尔） ；
（6）（2025·宿迁泗洪县期末） .
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（1）（2025·宿迁泗洪县期中） ；
解：因式分解，得 ，
或，， .
（2）（2025·宿迁泗洪县期中） ；
解：移项整理，得 ，
因式分解，得 ，
或，， .
（3）（2025·宿迁沭阳县期末） ；
解：因式分解，得 ，
或，， .
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（4）（2025·宿迁沭阳县期末） ；
解：因式分解，得 ，
或，， .
（5）（2025·齐齐哈尔） ；
解：移项，得 ，
因式分解，得 ，
或，， .
（6）（2025·宿迁泗洪县期末） .
解：因式分解，得 ，
或，， .
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6.当______时，代数式与 的值互为相反数.
2或3
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7.利用因式分解法解关于的方程 时，等式的左边可以分
解得到这个因式，则 的值为___.
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8.（2025·宿迁泗阳县期中）已知，，当 时，
_______.
3或
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9.（2025·宿迁期末）若关于 的一元二次方程
的一个根为0，则 的值等于___.
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10.（2025·宿迁宿豫区期中）定义新运算“ ”如下：当 时，
；当时，.若 ，
则 __________.
-2或0或4
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11.用因式分解法解下列方程：
（1） ;
（2） ;
（3） ;
（4） ;
（5） ;
（6） .
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（1） ;
解：，
（2） ;
解：，
（3） ;
解：，
（4） ;
解：
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（5） ;
解：，
（6） .
解：，
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12.在实数范围内定义新运算“ ”，其规则为 .根据这个规
则，解决下列问题：
（1）求中 的值；
（2）求证：中，无论为何值， 总有两个不同的值.
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（1）求中 的值；
解：由题意，得 ，整理，得
，
解得，，故的值为 或3.
（2）求证：中，无论为何值， 总有两个不同的值.
解：证明：由题意，得
，
整理，得 ,
解得， ，
中，无论为何值， 总有两个不同的值.
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13.（2025·宿迁泗洪县期中）方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，
一元一次方程是各类方程的重要基础.解二元一次方程组时，通过“消元”转
化为一元一次方程；解一元二次方程时，通过“降次”转化为一元一次方程；
解分式方程时，通过“去分母”转化为整式方程.各类方程的解法不尽相同，
但是它们有一个共同的基本数学思想——转化，把未知转化为已知.用“转
化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，如方程
的解法如下：
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原方程可化为，设 ，得方程
，解得或.当时，，解得 ；
当时，无实数解.经检验 是原方程的解.
仔细阅读该方程的解答过程，尝试解下列新方程：
（1） ；
（2） .
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（1） ；
解：设，则原方程可化为，解得或 .
当时，，解得 ；
当时，，解得 .
经检验，和 都是原方程的解，
原方程的解为， .
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（2） .
解：原方程可化为 ，即
,
设，则原方程可化为 ,
整理，得 ,
解得或 .
当时， ,
解得 ；
当时， ,
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即 ，此方程无实根.
综上，原方程的解为， .
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$第2章 一元二次方程
作业13 一元二次方程的解法（6）
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1.（2025·扬州）关于一元二次方程 的根的情况，下列结论
正确的是( )
A
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法判断根的情况
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2.（2025·德阳）若关于的一元二次方程 有两个相等的
实数根，则 的值是( )
C
A. 2 B. 0 C. D.
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3.（2025·宿迁泗阳县期末）下列一元二次方程中，没有实数根的是( )
C
A. B.
C. D.
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4.若一元二次方程的根的判别式的值为8，则 ___.
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5.（2025·宿迁沭阳县期中）已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：无论 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一根为2，求 的值.
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（1）求证：无论 取何值，方程一定有两个不相等的实数根；
解： ,
无论 取何值，方程一定有两个不相等的实数根.
（2）若方程有一根为2，求 的值.
解： 方程有一根为2,
, .
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6.（2025·北京）若关于的一元二次方程 有两个相等的实
数根，则实数 的值为( )
C
A. B. C. 1 D. 4
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7.新定义 定义：如果一元二次方程 满足
，那么称这个方程为“美妙方程”.已知
是“美妙方程”，且有两个相等的实数根，则 的值
为( )
C
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
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8.（2025·内江）若关于的一元二次方程 有实数根，
则实数 的取值范围是( )
C
A. B. C. 且 D. 且
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9.（2025·宿迁泗阳县一模）对于实数, 定义新运算： .若
关于的方程有两个不相等的实数根，则 的取值范围是________
_______.
且
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10.若等腰三角形的底边长是3，另两边的长是关于 的方程
的两个根，则该等腰三角形的周长为____.
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11.（2025·宿迁泗阳县期中）已知关于 的一元二次方程
.
（1）若方程有实数根，求 的取值范围.
（2）方程的一个根可以为1吗？如果可以，求 的值；如果不可以，说明
理由.
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（1）若方程有实数根，求 的取值范围.
解：根据题意，得 ，整理，得
，解得 .
（2）方程的一个根可以为1吗？如果可以，求 的值；如果不可以，说明
理由.
解：， ,
, .
综上，方程的一个根可以为1，此时 的值为1.
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12.已知关于的一元二次方程 .
（1）求证：该方程总有两个实数根；
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值.
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（1）求证：该方程总有两个实数根；
解：证明：，， ，
.
无论取何值， 恒成立，
即恒成立， 原方程总有两个实数根.
（2）若，且该方程的两个实数根的差为2，求 的值.
解： ,
解得， .
，且该方程的两个实数根的差为2，
， .
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13.已知，，为的三条边的长，且关于 的一元二次方程
有两个相等的实数根，试判断该三角形的形
状，并说明理由.
解：该三角形是直角三角形，理由如下：
方程 有两个相等的实数根，
,
， 是直角三角形.
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14.已知关于的方程 .
（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边
长的直角三角形的周长.
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（1）求证：方程恒有两个不相等的实数根；
解：证明： ,
在实数范围内，无论取何值， ,
关于的方程 恒有两个不相等的实数根.
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（2）若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边
长的直角三角形的周长.
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解： 此方程的一个根是1,
,解得 ,
原方程为,解得, ,
方程的另一根为3.
当该直角三角形的两直角边长是1，3时，由勾股定理，得斜边的长度为
,
该直角三角形的周长为 .
当该直角三角形的直角边和斜边长分别是1，3时，由勾股定理，得该直角
三角形的另一直角边长为 ，则该直角三角形的周长为
.
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