2.3 根与系数的关系 课件 2026--2027学年苏科版九年级数学上册

该初中数学课件核心为一元二次方程根与系数关系（韦达定理），课堂导入通过复习平方差公式计算和公式法、配方法解方程搭建知识联系，再以表格观察两根与系数规律，引导从具体实例抽象定理形成学习支架。 其亮点在于注重数学思维与数学语言培养，通过严谨证明发展推理能力，例题练习规范“化一般式、定系数、判根、用定理”步骤培养模型意识，如例2已知一根求另一根和参数。学生能深化理解与应用，教师可借清晰结构提升教学效率。

苏科第二章 一元二次方程 2.2 根与系数的关系 沛县杨屯中学 2.2一元二次方程——根与系数关系 1、理解并掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）． 2、能运用韦达定理不解方程求两根的和与积． 教学目标： 3、能运用韦达定理求方程中的参数及构造满足条件的一元二次方程． 复习铺垫： 1、计算： （1）、(m＋)＋(m－) （2）、(m＋)(m－) 解： （1）、(m＋)＋(m－) =m＋＋m－ =2m （2）、(m＋)(m－) 解： =－ =－ n 2、用适当的方法解方程： （1）、2x2+3x+1=0 （2）、x2+4x-5=0 解 (1) 、a＝2，b＝3，c＝1， ∵ b2－4ac＝32－4×2×1＝1＞0， ∴ x＝ ＝． ∴ x1＝－，x2＝－1． 解（2）、x2+4x=5 x2+4x+4=5+4 （x+2）2=9 ∴ x+2= ∴ x1＝1，x2＝－5． 复习铺垫： 情境引入： 1、把下面表格补充完整，并认真观察，你能发现什么规律： 方程 方程的两根 两根之和 两根之积 2x2+3x+1=0 x2+4x-5=0 3x25x2=0 x1＝－，x2＝－1 x1＝1，x2＝－5． x1＝ 2，x2＝－ x1 + x2＝－ x1 + x2＝－4 x1 + x2＝ x1 x2＝ x1 x2＝－5 x1 + x2＝－ 2、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两根为x1、x2，那么x1、x2与a、b、c的关系是： x1 + x2＝ ， － x1 x2＝ 。 讲解新课： 2、关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两根为x1、x2。 证明：（1） x1 + x2＝－ （2） x1 x2＝ 证明： ∵b2－4ac ≥ 0时方程的两根为 x＝ x1 + x2＝ + ＝ ＝ 讲解新课： 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两根为x1、x2。 证明：（1） x1 + x2＝－ （2） x1 x2＝ 证明： ∵b2－4ac ≥ 0时方程的两根为 x＝ x1 x2＝ ∙ ＝ ＝ 讲解新课： 由此可以得到如下一元二次方程的根与系数的关系： 若方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有两个实数根 x1，x2，则 x1＋x2 ＝ ， x1·x2 ＝ ． 上述关系通常也称为韦达定理． 讲解新课： 例1 不解方程，判断下列方程是否有实数根，并求两根的和与两根的积： (1) x2＋2x－5＝0； 解：(1) 由 a＝1，b＝2，c＝－5， Δ＝b2－4ac＝22－4×1×(－5)＝24＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝－2，x1·x2＝＝－5． (2) 2x2＋x＝1． 讲解新课： 例1 不解方程，判断下列方程是否有实数根，并求两根的和与两根的积： (1) x2＋2x－5＝0； (2) 2x2＋x＝1． 解：(2) 把方程 2x2＋x＝1化成一般形式，得 2x2＋x－1＝0． 由 a＝2，b＝1，c＝－1， Δ＝b2－4ac＝12－4×2×(－1)＝9＞0， 原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝－， x1·x2＝＝－． 讲解新课： 小结：利用韦达定理求方程两根的和与两根的积的一般步骤 是什么？ (2) 确定 a、b、c 的值（带自身正负号）； (3) 计算判别式Δ，判断根的情况； (1)把方程化为一般形式 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)； (4) 代入韦达定理 x1＋x2 ＝，x1x2 ＝，求两根的和与积． 讲解新课： (1) x2－4x＋1＝0； (2) 4x2＝1． 　 解：(1) 由 a＝1，b＝－4，c＝1， Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×1×1＝12＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝4，x1·x2＝＝1． 试一试：不解方程，判断下列方程是否有实数根，并求两根的和与两根的积． (2) 方程化成一般形式4x2－1＝0． 由 a＝4，b＝0，c＝－1， Δ＝b2－4ac＝02－4×4×(－1)＝16＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝0，x1·x2＝＝－． 讲解新课： 例2 已知方程 x2＋x＋c＝0 的一个实数根是，求另一个实数根和c的值。 解：设方程的另一个实数根为x₁． 由根与系数的关系，得 x₁＋＝－1． 解得 x₁＝． 再由根与系数的关系，得 c＝x₁× ＝× ＝＝－1． 所以方程的另一个实数根为，常数项c的值值为－1． 讲解新课： 试一试：已知关于 x 的方程2x2＋mx＋50＝0的一个根是10，求它的另一个根和m的值（请利用根与系数的关系解答这个问题）。 解： 设方程的另一个根为x₁． 由根与系数的关系，得 10x1＝＝＝25， x1＝ 由根与系数的关系，得x1＋10＝－ ＝－， m＝－25． 所以方程的另一个根为 ， m 的值为－25． 你还有其它解法吗？说一说你的想法。 讲解新课： 试一试：已知关于 x 的方程2x2＋mx＋50＝0的一个根是10，求它的另一个根和m的值。 解： 巩固练习： 解：(1) 把方程化成一般形式，得 2x2－3x－2＝0． 由 a＝2，b＝－3，c＝－2， Δ＝b2－4ac＝(－3)2－4×2×(－2)＝25＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝，x1·x2＝＝－1． (1) 2x2－3x＝2； (2) 3x2＋2x＝0； 1、判断下列方程是否有实数根，并求两根的和与两根的积． 解：(2) 由 a＝3，b＝2，c＝0， Δ＝b2－4ac＝22－4×3×0＝4＞0， 可得原方程有两个不相等的实数根． 设方程的两根分别是 x1，x2 ， 则 x1＋x2＝－＝－，x1·x2＝＝0． 2、请写出一个一元二次方程，使它的两个实数根分别为2＋ 和2－． 解：设所求一元二次方程为 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)， 已知两根分别为x1＝2＋，x2＝2－． 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝2＋2－＝4＝－， x1x2＝(2)(2－)＝－＝4－3＝1＝． 若令a＝1，则b＝－4，c＝1． 所以所求一元二次方程为x2－4x＋1＝0 (答案不唯一)． 巩固练习： 你还有其它解法吗？说一说你的想法。 2、请写出一个一元二次方程，使它的两个实数根分别为2＋ 和2－． 巩固练习： 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有两个实数根： (1) 如果两根互为相反数，那么方程的系数满足什么条件？ 解：(1) 设方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0)的两个实数根分别为x1，x2． ∵ 两根互为相反数，∴ 由根与系数的关系，得 x1＋x2＝0＝－． ∵ a≠0，∴ b＝0． ∵方程有两个实数根，∴ Δ＝b2－4ac≥0， 把 b＝0代入，得ac≤0． ∴若两根互为相反数，则方程系数满足的条件为b＝0、ac≤0． 拓展提高： 一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 (a≠0) 有两个实数根： (2) 如果两根互为倒数，那么方程的系数满足什么条件？ 解：(2) ∵两根互为倒数， ∴ 由根与系数的关系，得 x1x2＝1＝，解得 a＝c． ∵ 方程有两个实数根，∴ 判别式 Δ＝b2－4ac≥0． 把 a＝c代入 b2－4a2≥0，得 b2－4a2≥0． 解得 ≥． ∴若两根互为倒数，则方程系数满足的条件为 a＝c、≥． 拓展提高： 作业布置： 教材课后习题第5题。 下节课再见 $