1.2 一元二次方程的解法（配方法）【分层作业】 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 本同步练习以配方法为核心，通过前置梳理-基础巩固-综合提升-拓展探究-中考链接的五级分层设计，构建从概念理解到中考应用的完整知识巩固路径，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |前置作业|配方法原理与步骤|填空式梳理核心步骤，强化抽象能力| |基础巩固|直接开平方、补全平方、解方程|分题型梯度训练（从系数为1到不为1），提升运算能力| |综合提升|化简后解方程、求最值|结合实际问题求最值，培养模型意识| |拓展探究|代数式恒定性与方程根探究|通过证明与参数探究，发展推理意识| |中考链接|中考真题演练|精选近年中考题，衔接阶段测评|

1.2（1） 一元二次方程的解法（配方法）【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】 直接开平方法解方程 2 【题型2】 补全完全平方式 6 【题型3】 二次项系数为1的配方法解方程 8 【题型4】二次项系数不为1的基础配方法解方程 11 三.综合提升 17 【题型5】 整理化简后配方法解方程 17 【题型6】 配方法求二次代数式最值 22 四.拓展探究 27 【题型7】 代数式恒定性与方程根的探究 27 五.中考链接 31 六.自我评价 36 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）根据平方根的意义，若 ，当 时，方程有两个________的实数根，根为______________；当 时，方程有两个________的实数根，根为；当 时，方程________实数根。 （2）形如 的一元二次方程，直接开平方得：。 （3）完全平方配方公式：。配方核心：等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 （4）用配方法解一元二次方程 的一般步骤： ①化系数为1：方程两边同时除以________，使二次项系数为1； ②移项：将常数项移到等号________； ③配方：方程两边同时加上________________________________； ④整理：将方程左边化为完全平方式 ； ⑤开方求解：当 时，方程有实数根；当 时，方程无实数根。 （5）配方法除可以解一元二次方程外，还可以对二次多项式变形，求代数式的______。 【前置作业参考答案】 （1）不相等；；相等；；没有 （2） （3）； （4）①；② 右侧；③ 一次项系数一半的平方 （5）最大值或最小值 二.基础巩固 【题型1】 直接开平方法解方程 熟练求解 、 型方程，能根据 的取值范围判断方程有无实数根，规范书写完整解题步骤。 1．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 【答案】C 【分析】先直接用开平方法求出一元二次方程的两根，根据确定a、b的值，再判断各选项的说法是否正确． 解：解方程， 解得，， ，， A、，A选项错误； B、a与b不是互为相反数，B选项错误； C、，是17的算术平方根，C选项正确； D、，不是17的算术平方根，D选项错误． 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用直接开平方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法解一元二次方程得方法和步骤是解答此题的关键． （1）先移项，然后直接开平方得，再解一元一次方程即可； （2）先变形得到，然后利用直接开平方法解方程． （1）解：， 移项得，， 开方得，， ∴，； （2）解：， 化简得，， 开方得，， ∴，． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段检测）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据直接开平方法的条件得到，然后解不等式即可． 解：根据题意得， 解得． 故答案为：． 【点拨】本题考查了解一元二次方程直接开平方法：如果方程化成的形式，那么可得；如果方程能化成的形式，那么． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2），；（3），；（4）， 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用直接开平方法求解可得； （2）利用直接开平方法求解可得； （3）先整理成，再直接开平方可得； （4）利用直接开平方法求解可得． （1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解：∵， 整理得， ∴， ∴，； （3）解：∵， ∴， 则， ∴，即，； （4）解：∵． ∴或， 解得，． 【题型2】 补全完全平方式 根据配方法则，对形如 的二次二项式，补上常数项使之成为完全平方式，熟练掌握“一半、平方”的配方核心规则。 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）用适当的正数填空： （1）________________； （2）________ ________； （3）________； （4）________________． 【答案】 4 2 8 4 / / 【分析】（1）根据完全平方公式计算即可； （2）根据完全平方公式计算即可； （3）根据完全平方公式计算即可； （4）根据完全平方公式计算即可． 此题考查的是配方法，掌握完全平方公式是解决此题的关键． 解：（1）， 故答案为：4，2； （2）， 故答案为：8，4； （3）， 故答案为：； （4） 故答案为：，． 2．（【浙教版课时练习】八年级下册2.2一元二次方程的解法）填空： （1）______． （2）______． （3）___________． 【答案】 16 36 6 【分析】（1）所填的常数项为一次项系数一半的平方； （2）所填的常数项为一次项系数一半的平方； （3）所填的常数项为一次项系数一半的平方，运用配方法的运算方法，也可以直接利用完全平方公式：得出结论． 解：（1）． 故答案为：①16； （2） 故答案为：②； （3） 故答案为：③36，④6． 【点拨】此题主要考查了配方法的应用，解题的关键是掌握配方的过程中应注意不能改变原式的大小． 【题型3】 二次项系数为1的配方法解方程 针对 型一元二次方程，依次完成移项、配方、开平方、求根步骤，做到步骤完整、格式标准、符号准确。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： （1）． （2）． 【答案】（1），；（2），． （1）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，； （2）解： 移项，得． 配方，得， ． 由此可得， ，． 2．（25-26八年级下·浙江·期中）已知一元二次方程可以配方成，则的值为_． 【答案】1 【分析】将配方后的方程展开为一般形式，根据对应系数相等求出和的值，代入所求代数式计算即可． 解：将展开，得 ， 一元二次方程可以配方成， 由对应系数相等可得， 解得，， 将，代入，得． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ （1）小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） （2）请利用配方法正确解方程． 【答案】（1）②；（2） ． 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． （1）根据等式的性质判断②错误； （2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． （1）解：小明解方程过程中，从②步开始出现错误， 故答案为：②； （2）略 4．（2026八年级下·全国·专题练习）用配方法解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法解一元二次方程并正确计算是解题的关键． （1）（2）移项后配方，开方，即可得出两个一元一次方程，即可求解． （1）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得． （2）解：， 移项得， 配方得，即， 开方得， 解得． 【题型4】二次项系数不为1的基础配方法解方程 先将方程二次项系数化为1，再移项、配方、开方求解，掌握配方法通用解题流程，规避符号、漏项等基础错误。 1．（2026八年级下·全国·专题练习）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1），；（2）；（3）,；（4），； 【分析】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法的步骤（化二次项系数为1、移项、配方、开方）是解题的关键． （1）先将方程两边同除以二次项系数，再通过配方将方程左边化为完全平方式，最后开方求解． （2）先将方程两边同除以二次项系数，再移项，通过配方将方程左边化为完全平方式，最后开方求解． （3）先将方程两边同除以二次项系数，再移项，通过配方将方程左边化为完全平方式，最后开方求解． （4）先将方程两边同除以二次项系数，再移项，通过配方将方程左边化为完全平方式，最后开方求解． （1）解：， ， ， ， ， ， ，； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ,； （4）解：， ， ， ， ， ， ，． 2．（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解： 方程配方后得到． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 【答案】3 【分析】根据配方法得到的结果还原出一元二次方程的一般形式为，再通过对比系数求出的值． 解：用配方法解得， 两边平方得， 展开左边得， 整理得， 原方程为 对比系数，可得． 4．（24-25九年级下·山东淄博·期中）（1）请用配方法解方程； （2）请用配方法解一元二次方程． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方； （2）先将两边同时除以二次项系数；再移项，将常数项移到右边；左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，将左边写成完全平方式，最后再直接开平方； 解：（1） 两边同时除以2得：， 移项得：， 两边同时加上得：， 配方得：， 解得：； （2） 两边同时除以得：， 移项得：， 两边同时加上得：， 配方得：， 当时， 解得：， 当时， ， 当时， 该方程无实数根． 【点拨】本题主要考查用配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确运用，在含字母参数时要注意是否需要分类讨论． 三.综合提升 【题型5】 整理化简后配方法解方程 针对需要先去括号、移项、合并同类项的非标准一元二次方程，先整理成规范形式，再用配方法求解，训练综合运算能力与纠错能力。 1．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解方程： （1）． （2） （3） 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． （1）（3）直接按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2） 先化为一般式，再按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． （1）解： ， ， ， ， ， ∴，． （2）解： ， ， ， ， 解得：，； （3）解： 解得：， 2．（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 【答案】（1），；（2）， 【分析】（1）将常数项移到等号右侧，再给等式两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧配成完全平方式，再开方求解即可； （2）先展开左侧并整理成一元二次方程的一般形式，后续按照配方法的步骤，移常数项、配方、开方求解即可． （1）解：原方程化为， ， ，即， ，； （2）解：原方程化为， ， ， ，即， ，； 3．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了解一元二次方程． （1）根据配方法求解即可； （2）根据配方法求解即可． （1）解：， 移项，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，； （2）解：， 移项、合并同类项，得， 二次项系数化为1，得， 配方，得， ， 由此可得， 解得：，． 4．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解方程： （1）． （2） （3） 【答案】（1），；（2），；（3）， 【分析】本题考查配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的一般步骤：①把二次项的系数化为1；②把常数项移到等号的右边；③等式两边同时加上一次项系数一半的平方；④再直接开平方求解． （1）（3）直接按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可； （2） 先化为一般式，再按照配方法解一元二次方程的步骤求解即可． （1）解： ， ， ， ， ， ∴，． （2）解： ， ， ， ， 解得：，； （3）解： 解得：， 【题型6】 配方法求二次代数式最值 将二次多项式通过配方化为 的形式，利用 的非负性，求解代数式的最大值或最小值。 1．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段检测）阅读并解答问题：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当_______时，代数式有最_______（填写“大”或“小”）值，为______． （2）代数式有最大值或最小值吗？若有，请求出这个最大值或最小值． 【答案】（1）1，大，3；（2）有最大值，最大值为5 【分析】（1）利用完全平方式大于等于0得到代数式有最大值，求出最大值以及此时的值即可； （2）根据已知将代数式变形得出，判断出有最大值并解答． 解：（1）， ∴当时，代数式有最大值为3， 故答案为：1，大，3； （2）代数式有最大值，理由如下： ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值为5． 【点拨】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质：偶次方，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 【答案】C 【分析】本题考查利用完全平方公式求最值，通过完全平方公式将多项式配方，再利用非负性求最小值即可． 解：∵ ， 又∵，， ∴当, 时，多项式取最小值 3， 故选C． 3．（23-24八年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝_______时，它的最小值为______． 对于多项式，当＝_______时，它的最大值为______． 【答案】 1 1 7 【分析】本题考查配方法，根据配方法即可求出答案． 解： 当时，多项式有最小值，最小值是1． ， ， ， 当时，多项式有最大值，最大值是7． 4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是4． （1）【类比探究】 求代数式的最小值； （2）【灵活运用】 如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【答案】（1）当时，的最小值为3；（2）当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 【分析】本题考查了配方法求代数式极值中的应用，二次函数的应用．解题的关键是正确配方，识别完全平方项的非负性，根据不等式的性质求解 ． （1）将原式配方，，根据 ，再根据不等式的性质求解即可 ． （2）设，由长方形与长方形面积比为，得到，根据栅栏总长度和面积比建立方程，通过配方，利用不等式的性质求最大值． （1）解： ， ∵， ∴， ∴当时，的最小值为3； （2）解：设，则， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴当时，最大，最大值为48， ∴当，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 四.拓展探究 【题型7】 代数式恒定性与方程根的探究 通过配方变形，证明二次代数式恒大于0或恒小于0；结合完全平方式的非负性，探究 型方程根的存在情况与参数取值关系，培养分类讨论思维。 1．（21-22七年级下·广西北海·期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下： （1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解． （2）拓展：当代数式时，求的值． 【答案】（1）；（2）1或-3 【分析】（1）仿照例题的计算方法先配方，再利用平方差公式进行分解； （2）将方程左边因式分式后求出与的关系，求出结果即可． （1）解： ； （2）解： ， ∵， ∴， ∴或， ∴或， ∴或． 【点拨】本题考查因式分解的应用，解题关键是模仿例题进行因式分解，主要利用配方法和平方差公式． 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知是等边三角形，，点D是平面内一点且在直线下方，． （1）如图1，若点D在线段的延长线上，求的面积； （2）如图2，若，，求线段的值；（用含a的代数式表示） （3）如图3，若，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查勾股定理，全等三角形的性质与判定，构建全等三角形建立线段间的联系是解题关键． （1）根据角度关系，利用角求出线段长即可； （2）通过构造等边三角形，通过证出全等三角形，通过全等三角形求出角度和线段长，利用勾股定理求解即可； （3）作垂线，构造直角三角形，通过勾股定理和（2）中结论建立方程求出，再根据题干所给的全等三角形条件，求出即可． （1）解：∵是等边三角形， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，以为边，向右侧作等边三角形，连接， ∴，， ∴，即， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴； （3）解：如图，作，交于点T， ∵， 设，则， ∴， 由勾股定理，得， ∴， 由（2）可知，，即， 解得， ∵， ∴． 五.中考链接 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，利用添项法，先加上一次项系数一半的平方使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法． 根据利用完全平方公式的特征求解即可； 解： 故选B． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程．熟练掌握配方法步骤，是解出本题的关键． 用配方法把移项，配方，化为，即可． 解：∵， 移项得，， 配方得，， 即， ∴，， ∴． 故选：D． 3．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题综合考查了整式与配方法，根据题意逐项分析，对进行分类讨论，即可求解，理解题意，分类讨论，找出规律是解题的关键． 解：当时，， 当，时，整式M为， 当时，整式M不可能为单项式， 当时， ，，…，为正整数， 整式M不可能为单项式，故满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式，①正确； 当时，， 当时，， 则中有一个可能为，故会有三种情况，对应的整式M为，，， 当时，， 则故会有一种情况，对应的整式M为， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 多项式为二次三项式， ， ， 因为多项式为三项式，故， 当时，， 则有两种， ，， 两种都满足条件， 当时，， 则有一种， ， 满足条件， 当时，，与，，…，为正整数矛盾，故不存在， 所以其值一定为非负数的整式M共有3个，故③正确， 其中正确的个数是个， 故选：C． 二、填空题 4．（2026·江西·中考真题）如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 【答案】1或或 【分析】设，依题意，，得出或，根据满足条件的点有且仅有三个，确定的值，进而解一元二次方程，即可求解． 解：设，依题意， ∴或 ∵中，，方程有两个不等实数解， 依题意，满足条件的点有且仅有三个 ∴方程有且只有一个解， ∴ ∵ ∴ 所以方程， ∴ ∴ ∴ 解得： 解方程 ∴ 解得： 综上所述，点的横坐标为1或或 三、解答题 5．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     【答案】，； 【分析】本题考查解一元二次方程，利用配方法求解； 解：， 移项，得， 配方，得，即， 开平方，得， 解得， 即， 6．（25-26九年级上·广东清远·中考模拟）通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 【答案】（1）B； （2）如图， ； （3）1，3，3，1， 【分析】本题考查了解一元二次方程，理解题意，明确一元二次方程的几何解法是解题的关键． （1）直接回答由构造图形解一元二次方程所最能体现的哪一种数学思想； （2）先构图，再解答即可； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块；则，进而可求根． 解：（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是数形结合思想， 故选：B； （2）用四个边长分别为，，且面积为的矩形构造大正方形， 根据题意得， 解得，； ， 即， 解得，（舍去）； 的正数解为； （3）由题意知，要准备图④中几何体1块；需要准备图⑤中几何体3块；需要准备图⑥中几何体3块；需要准备图⑦中几何体1块； ， 方程的解， 故答案为：1，3，3，1，7． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2（1） 一元二次方程的解法（配方法）【分层作业】 2026—2027学年苏科版九年级数学上册（双减分层·核心素养） 目录 一.知识梳理（前置作业） 1 二.基础巩固 2 【题型1】 直接开平方法解方程 2 【题型2】 补全完全平方式 3 【题型3】 二次项系数为1的配方法解方程 3 【题型4】二次项系数不为1的基础配方法解方程 4 三.综合提升 5 【题型5】 整理化简后配方法解方程 5 【题型6】 配方法求二次代数式最值 6 四.拓展探究 7 【题型7】 代数式恒定性与方程根的探究 7 五.中考链接 8 六.自我评价 10 一.知识梳理（前置作业） 请完成下列填空 （1）根据平方根的意义，若 ，当 时，方程有两个________的实数根，根为______________；当 时，方程有两个________的实数根，根为；当 时，方程________实数根。 （2）形如 的一元二次方程，直接开平方得：。 （3）完全平方配方公式：。配方核心：等式两边同时加上一次项系数一半的平方。 （4）用配方法解一元二次方程 的一般步骤： ①化系数为1：方程两边同时除以________，使二次项系数为1； ②移项：将常数项移到等号________； ③配方：方程两边同时加上________________________________； ④整理：将方程左边化为完全平方式 ； ⑤开方求解：当 时，方程有实数根；当 时，方程无实数根。 （5）配方法除可以解一元二次方程外，还可以对二次多项式变形，求代数式的______。 二.基础巩固 【题型1】 直接开平方法解方程 熟练求解 、 型方程，能根据 的取值范围判断方程有无实数根，规范书写完整解题步骤。 1．（24-25九年级上·福建福州·开学考试）若方程的两根为a和b，且，则下列结论中正确的是（     ） A．a与b相等 B．a与b互为相反数 C．是17的算术平方根 D．是17的算术平方根 2．（25-26九年级上·吉林长春·阶段检测）用直接开平方法解方程： （1）； （2）． 3．（24-25九年级上·湖南娄底·阶段检测）若关于x的方程有实数根，则m的取值范围是______． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）用直接开平方法解方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【题型2】 补全完全平方式 根据配方法则，对形如 的二次二项式，补上常数项使之成为完全平方式，熟练掌握“一半、平方”的配方核心规则。 1．（24-25九年级上·全国·课后作业）用适当的正数填空： （1）________________； （2）________ ________； （3）________； （4）________________． 2．（【浙教版课时练习】八年级下册2.2一元二次方程的解法）填空： （1）______． （2）______． （3）___________． 【题型3】 二次项系数为1的配方法解方程 针对 型一元二次方程，依次完成移项、配方、开平方、求根步骤，做到步骤完整、格式标准、符号准确。 1．（26-27九年级上·全国·课后作业）用配方法解方程： （1）． （2）． 2．（25-26八年级下·浙江·期中）已知一元二次方程可以配方成，则的值为_． 3．（24-25九年级上·贵州遵义·期中）小明在学习配方法解一元二次方程后，用配方法解方程过程如下： ① ② ③ ④ ⑤ （1）小明解方程过程中，从　　步开始出现错误；（填序号） （2）请利用配方法正确解方程． 4．（2026八年级下·全国·专题练习）用配方法解方程： （1）； （2）． 【题型4】二次项系数不为1的基础配方法解方程 先将方程二次项系数化为1，再移项、配方、开方求解，掌握配方法通用解题流程，规避符号、漏项等基础错误。 1．（2026八年级下·全国·专题练习）用配方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．（25-26九年级下·山东威海·期中）一元二次方程用配方法解方程，配方结果是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）用配方法解一元二次方程得，则的值为__________． 4．（24-25九年级下·山东淄博·期中）（1）请用配方法解方程； （2）请用配方法解一元二次方程． 三.综合提升 【题型5】 整理化简后配方法解方程 针对需要先去括号、移项、合并同类项的非标准一元二次方程，先整理成规范形式，再用配方法求解，训练综合运算能力与纠错能力。 1．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解方程： （1）． （2） （3） 2．（26-27八年级·上海·暑假作业）解方程： （1）（用配方法） （2）（用配方法） 3．（2025九年级上·全国·专题练习）用配方法解下列方程： （1）； （2）． 4．（25-26八年级上·浙江·寒假作业）用配方法解方程： （1）． （2） （3） 【题型6】 配方法求二次代数式最值 将二次多项式通过配方化为 的形式，利用 的非负性，求解代数式的最大值或最小值。 1．（23-24九年级上·河北石家庄·阶段检测）阅读并解答问题：用配方法可以解一元二次方程，还可以用它来解决很多问题．例如：因为，所以就有最小值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最小值1．同样，因为，所以有最大值1，即，只有当时，才能得到这个式子的最大值1． （1）当_______时，代数式有最_______（填写“大”或“小”）值，为______． （2）代数式有最大值或最小值吗？若有，请求出这个最大值或最小值． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期末）多项式的最小值为（   ） A． B．1 C．3 D．2 3．（23-24八年级上·四川眉山·期中）运用配方法求：（二次三项式的最值）． 对于多项式，当＝_______时，它的最小值为______． 对于多项式，当＝_______时，它的最大值为______． 4．（25-26九年级上·广东东莞·阶段检测）【项目学习】配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例：求代数式的最小值． 解：， ∵， ∴ ∴当时，的最小值是4． （1）【类比探究】 求代数式的最小值； （2）【灵活运用】 如图，某农场计划建造一个长方形养殖场，为充分利用现有资源，该长方形养殖场一面靠墙（墙的长度为），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个长方形，且长方形与长方形面积比为，栅栏的总长度为．当为多少时，长方形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 四.拓展探究 【题型7】 代数式恒定性与方程根的探究 通过配方变形，证明二次代数式恒大于0或恒小于0；结合完全平方式的非负性，探究 型方程根的存在情况与参数取值关系，培养分类讨论思维。 1．（21-22七年级下·广西北海·期中）阅读材料：把代数式因式分解，可以分解如下： （1）探究：请你仿照上面的方法，把代数式因式分解． （2）拓展：当代数式时，求的值． 2．（25-26八年级上·四川成都·期末）已知是等边三角形，，点D是平面内一点且在直线下方，． （1）如图1，若点D在线段的延长线上，求的面积； （2）如图2，若，，求线段的值；（用含a的代数式表示） （3）如图3，若，，求的值． 五.中考链接 一、单选题 1．（2024·山东德州·中考真题）把多项式进行配方，结果为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·山东东营·中考真题）用配方法解一元二次方程时，将它转化为的形式，则的值为（   ） A． B．2024 C． D．1 3．（2025·重庆·中考真题）已知整式，其中为自然数， ，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式M中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有3个． 其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 4．（2026·江西·中考真题）如图，点在直线上，过作轴、轴的垂线，垂足分别为 ， ，矩形的面积为1（ 为坐标原点）．若满足条件的点有且仅有三个，则点的横坐标为______________． 三、解答题 5．（2025·江苏徐州·中考真题）解方程；     6．（25-26九年级上·广东清远·中考模拟）通过学习，我们知道可以用配方法、因式分解法、公式法等求解一元二次方程，但在数学史上，人类还研究过利用几何法求解一元二次方程．下面是阿拉伯数学家阿尔·花拉子米利用几何法求正数解的过程： ①变形：变形为；②构图：如图1，画一个面积为的正方形，再画两个面积为5x的长方形，并按图2所示构造一个大正方形；③解答：大正方形面积可用两种方式表示，整体看可表示为，也可表示为四部分相加为，所以得到等量关系，因为x表示线段长为正数，所以，即． 【理解】（1）上述构造图形解一元二次方程最能体现的数学思想是________． A．分类讨论思想    B．数形结合思想    C．整体代换思想 【类比迁移】（2）请参照上述构造图形的方法，求解一元二次方程．的正数解．（请画出图形，需在图中标注相关线段长度，并写出必要的求解过程）． 【拓展应用】（3）类似地，你能否“通过不同的方式表达立体图形组合的体积”，求特殊的一元三次方程的解？如：求方程的解． 类比平面图形的研究，现准备以下规格的立体图形： 需要准备图④中几何体________块；需要准备图⑤中几何体________块； 需要准备图⑥中几何体________块；需要准备图⑦中几何体________块； 请直接写出方程的解________． 六.自我评价 作业板块 完成情况 错题题号 易错点记录 巩固性作业 □顺利 □有困难 拓展性作业 □顺利 □有困难 探究性作业 □顺利 □有困难 学科网（北京）股份有限公司 $