期中复习专题11 对数与对数函数讲义【知识清单+15大考点+强化训练】2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题11 对数与对数函数 知识点1：对数的概念 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关系 3．常用对数与自然对数 【注意】 1．logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数． 2．在x＝logaN中N>0． 3．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量的异同． 类别 表达式 名称 a x N 指数式 ax＝N 底数 指数 幂值 对数式 x＝logaN 底数 对数 真数 知识点2：对数的基本性质及对数恒等式 1．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点3：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【注意】(1)性质的逆运算仍然成立； (2) 公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 知识点4：对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． 【注意】(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (3) 将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝． 知识点5：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 【注意】(1)对数函数的系数为1． (2)真数只能是一个x． (3)底数与指数函数的底数范围相同． 知识点6：对数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【注意】(1)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 知识点7：反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 考点一 对数运算 考点二 指数式与对数式的相互转化 考点三 利用换底公式化简求值 考点四 对数函数的概念 考点五 与对数函数有关的定义域问题 考点六 对数函数的图象过定点 考点七 利用对数型函数图象求参数 考点八 对数型函数图象的应用 考点九 与对数函数有关的值域或最值 考点十 对数型复合函数的单调性 考点十一 根据对数型复合函数的单调性求参数 考点十二 利用对数函数的单调性比较大小 考点十三 利用对数函数的单调性解不等式 考点十四 与对数函数的相关的综合问题 考点十五 反函数及其应用 考点一 对数运算 1．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）计算 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，，，所以 . 2．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 【答案】 【详解】 3．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 【答案】10 【详解】 4．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）_____________． 【答案】 【分析】根据指数幂的运算公式和对数的运算公式及对数性质求解. 【详解】因为， ，， ，， 所以 考点二 指数式与对数式的相互转化 5．（2026高一下·江苏·专项练习）已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【详解】已知，故， ，故． 6．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）已知，，则__________． 【答案】/ 【分析】利用指数和对数的互化公式，结合同底数幂的运算即可求解. 【详解】由题知，，， 所以， 所以. 7．（2026高三下·湖北·专项练习）已知正整数，，，满足：，，．则______． 【答案】179 【分析】先由对数式化为指数式，再根据正整数的条件分类讨论，联立方程组求出，，即可求出. 【详解】由，，则，， 因为，为正整数，所以，必为整数， 设，，，为正整数， 又，则，即， 因为65的正整数分解为，且，所以有两种情况， ①，解得，此时无整数解，不合题意； ②，解得，即，所以， 则，，所以. 8．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】根据对数式与指数式的互化公式，结合指数幂的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：B 考点三 利用换底公式化简求值 9．（2026高一下·江苏·专项练习）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质求解即可； （2）根据对数的运算性质求解即可； （3）利用换底公式以及对数的运算性质求解即可； 【详解】（1）原式 （2）原式. （3）原式 . 10．（2026高一下·江苏·专项练习）设，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数换底公式、对数运算性质及同底对数互倒关系，将所求对数用已知的a、b表示即可得到结果. 【详解】由则， 利用换底公式得到， 因为， ， 所以. 11．（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 【答案】(1)111 (2) 【详解】（1） ； （2）. 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算. 【答案】 【分析】由于题目中各个对数的底数都不相同，解答本题时可先通过对数换底公式统一底数，再进行化简求值． 【详解】原式 . 考点四 对数函数的概念 13．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 【答案】(1)不是 (2)不是 (3)不是 (4)是 【分析】根据对数函数的定义判断. 【详解】（1）真数为，不是对数函数． （2）对数式后加3，∴不是对数函数． （3）真数为，且系数不为1，不是对数函数． （4）底数是8，真数为x，系数为1，符合对数函数的定义，故是对数函数． 14．（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 【答案】C 【分析】根据题意，由求解. 【详解】因为函数为对数函数， 所以，解得， 所以实数的值为2， 故选：C 15．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知函数.若，则实数a的取值为______. 【答案】9 【分析】对分类讨论，并解方程即可求解. 【详解】当时，，此时无解， 当时，，解得， 综上若，则实数a的取值为9. 故答案为：9. 16．（25-26高三上·天津南开·期中）已知，则__________，__________． 【答案】 【分析】令，求得后，由计算，由计算． 【详解】∵，令，则 ， ∴，． 故答案为：；． 考点五 与对数函数有关的定义域问题 17．（25-26高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据真数大于0和根号下大于等于0得到不等式组，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故选：B. 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据具体函数定义域的基本要求可构造不等式组，解不等式组可求得结果. 【详解】根据题意，， 则， 解得或， 所以函数定义域为. 故答案为： 19．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得在上恒成立，进而可得出答案. 【详解】因为函数的定义域为， 所以在上恒成立， 所以，解得， 所以整数的最小值为. 故选：B. 20．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求的定义域,再结合复合函数定义域的方法求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，即，解得或， 所以函数的定义域为 对，令，则， 所以或，解得或 所以定义域为. 考点六 对数函数的图象过定点 21．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数且的图象过定点，且点在指数函数图象上，则___________. 【答案】 【分析】先求出点，设指数函数为且，根据条件求出指数函数的解析式，然后利用对数性质运算即可. 【详解】由函数且， 令时，， 所以， 设指数函数为且， 因为点在指数函数图象上， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 22．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】由对数函数的定点可知点坐标，将点坐标代入直线方程，得到的关系，利用基本不等式求得结果. 【详解】∵对数函数经过定点， 则令，即，即点， ∴，即， ∵，∴， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴的最小值为5. 故选：A. 23．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为______. 【答案】 【分析】根据对数函数与指数函数的性质确定定点坐标，从而可得的值，结合基本不等式“1”的巧用求解最值即可 【详解】因为当时，， 所以函数过定点，故， 所以，则， 又，，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立，故的最小值为. 故答案为：. 24．（25-26高一上·天津河东·阶段检测）函数且过定点________． 【答案】 【分析】由（且）可得答案. 【详解】由（且）知，当时，， 故函数（且）过定点. 故答案为： 考点七 利用对数型函数图象求参数 25．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数型函数及对数型函数的图象及性质判断即可. 【详解】由图象可知，在定义域内单调递减，所以. 当时，，即，所以. 由图象可知，则. 故，. 当时，单调递减； 当时，，此时， 综上，函数的大致图象是选项D. 26．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数及二次函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项A可能； 对于B，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能； 对于C，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为>1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项B可能； 对于D，由对数函数图象可知，又函数，对称轴为<1，对应方程的两个根为0，，由图知，从而，选项D不可能. 故选：D. 27．（25-26高一·全国·课后作业）如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象与性质判断． 【详解】∵当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势，又当时，a越大，图象向右越靠近x轴；时，a越小，图象向右越靠近x轴，故，，，对应的a值依次是，，，． 故选：B． 28．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数的图像经过二、三、四象限，则实数的范围为__________. 【答案】 【分析】根据函数的单调性及时函数值小于0列不等式求解即可. 【详解】函数的图像经过二、三、四象限，， 可得函数单调递减，所以，且时，，解得， 综上：. 故答案为：. 考点八 对数型函数图象的应用 29．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）函数，则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】令，则，根据分段函数解出的值，得到的值，利用分段函数得到的个数. 【详解】，， 令，则， ①当时，，解得或， 情况1：，，满足题意； 情况2：，满足题意. ②当时，，，满足题意. 综上得到三个方程：， 方程1：， 当时，，不可能等于， 当时，，1个解， 方程2：，， 当时，，解得， 当时，有1解；当时，有1解；共2个解， 当时，，1个解， 方程3： 当时，，不可能等于 ，无解， 当时，，1个解， 则全部解个数为. 30．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合二次函数的图象，及图象的翻折即可作出图象； （2）结合对数函数的图象，及图象的平移，翻折即可作出图象． 【详解】（1）的图象可由函数的图象保留轴上方的部分不变，将轴下方的部分翻折到轴上方得到，如下图所示：    （2），其图象可由的图象向左平移1个单位长度，再保留轴上方部分不变，将轴下方部分翻折到轴上方得到，如下图所示：    31．（2026·云南昆明·模拟预测）若正数满足，则的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意令，分别作，，的图象，然后利用数形结合从而可求解． 【详解】令，分别作，，的图象， 当时，此时，A正确； 当时，，C正确； 当时，，D正确； 因为都为正数，所以结合图形不存在这种情况，B错误． 32．（25-26高一上·天津·期末）若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 【答案】C 【分析】分和两种情况，分类讨论，结合函数单调性和函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递增， 可得， 故不等式在上有解，满足要求； 若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 同一坐标系内画出和在的图象，如下： 要想在上有解，需满足 ，即，解得， 故的取值范围为. 故选：C 考点九 与对数函数有关的值域或最值 33．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 【答案】 【分析】根据对数的运算性质得，令，的最小值即为函数的最小值. 【详解】， 令，， ， 所以当时，即时，函数取得最小值. 故答案为：. 34．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 【答案】最大值为，最小值为. 【详解】令，，则， ，， 因为在上单调递减． ∴当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故当时，取最大值为，当时，取最小值为. 故的最大值为，最小值为. 35．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数（，且） (1)求函数的定义域； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数定义域的求法来求得正确答案. （2）化简的解析式，对进行分类讨论，根据最值列方程来求得的值. 【详解】（1）要使函数的解析式有意义， 则 解得， 函数的定义域为． （2）， 当时，， 当时，函数在上单调递减， 此时， ，即，解得（舍）． 当时，函数在上单调递增， 此时， ，即，解得或（舍）． 综上，实数的值为． 36．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为3，求实数的值． 【答案】或 【分析】换元法令，由已知结合二次函数的性质对对称轴与已知区间的位置关系进行分类讨论求解最值，即可得解. 【详解】令，因为，所以， 则可化为， 函数的图象开口向下，对称轴为， ①当，即时，在区间上单调递减， 则时，函数有最大值为，解得， ②当时，即时，则时，函数有最大值为， 解得， ③当，即时，在区间上单调递增， 则时，函数有最大值为，解得或， 又，此时无解， 综上所述：或. 考点十 对数型复合函数的单调性 37．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）函数的单调递增区间是_____． 【答案】 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为， 令，则原函数为， 在上单调递减， 在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的单调性可知函数的单调递增区间为． 38．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性的定义和函数的解析式判断. 【详解】对于A.函数的定义域是，所以函数是非奇非偶函数，故错误； 对于B，因为，所以函数是偶函数，故错误； 对于C,在上单调递减，故错误； 对于D，因为，所以函数是奇函数，且在上单调递增，正确； 39．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知函数，则（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 【答案】AC 【分析】的定义域为．由于，从而对的研究可转化为对二次函数的研究．因为，所以在上单调递增，在上单调递减，直线是的图象的对称轴．从而排除B，D． 【详解】,则，解得. ，设，可知在上单调递增，在上单调递减，则在上单调递增，在上单调递减，故A 正确，B错误. 因为，，且，因此的图象关于直线对称，故C正确，D错误. 40．（25-26高一下·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____． 【答案】 【分析】先求解函数的定义域，再结合对数复合函数单调性规律确定单调增区间. 【详解】由，得或， 所以函数的定义域为. 又在定义域内单调递增，且函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调增区间是. 考点十一 根据对数型复合函数的单调性求参数 41．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】由复合函数的单调性求解即可. 【详解】令， 则函数的开口向上，对称轴为， 函数即为， 由对数函数的性质可得为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知在区间上单调递减，且恒大于等于0， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 42．（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数在区间上的单调性以及对数函数的单调性分析求解即可. 【详解】令，因为且，所以函数在上单调递减， 又函数在区间内单调递增， 所以函数为减函数，故， 又在上满足恒成立，故，解得：， 综上所述，的取值范围是. 43．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由分段函数的单调性进行求解． 【详解】由题意可知，，解得. 故实数的取值范围是. 44．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 【答案】 【分析】利用复合函数同增异减， 则二次函数在上单调递减且；再结合二次函数图象的对称轴列不等式，同时保证区间内恒大于 0，联立求出的取值范围. 【详解】令，则， 由在区间上单调递增，且单调递减， 得在区间上单调递减， 因为二次函数图象开口向上，对称轴为直线，所以，所以， 因为，所以，由在区间上单调递减， 所以当，取得最小值为，则，故， 综上，实数的取值范围为. 考点十二 利用对数函数的单调性比较大小 45．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，，因为，所以， 又，，而 ，所以. 46．（26-27高三上·四川泸州·阶段检测）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对函数的单调性及函数的性质求解. 【详解】是定义域为的偶函数，， 在上单调递增，且，， 因为在单调递减， 所以. 47．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为， 所以． 48．（26-27高三上·四川巴中·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数函数的图像和性质求出，，，利用作商法，结合换底公式和基本不等式得到，从而得到结论. 【详解】，， ， ， ，， ， ， 即，即，即， 即. 考点十三 利用对数函数的单调性解不等式 49．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用指数函数定义求出参数，得到函数解析式； （2）根据底数大于时对数函数单调递增，列出真数为正、以及不等关系的不等式组，联立求解得到对数不等式的解集． 【详解】（1）因为是指数函数，所以系数为1，且底数且， 由，得，即，解得， 所以； （2）由，得不等式为， 所以，即，解得， 所以不等式的解集为． 50．（2026高三·全国·专题练习）函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 【答案】 【分析】根据恒成立得出，再根据复合函数的单调性得出的单调性即可求解. 【详解】若，则， 因为在区间上恒成立，所以， 因为均在上单调递增， 所以， 因为均在上单调递增， 所以， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上单调递减， 则由 可得， 则，即， 得（舍）或，得， 故不等式的解集为. 51．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）当时，则， 因为， 所以， 化简可得， 即， 化简得， 所以， 所以或，解得或. （2）由，且， 若，对数函数单调递减，则，， 若，对数函数单调递增，则，， 综上，的取值范围是． 52．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】依题意构造函数，设 ，判断为奇函数，即得，进而判断 在上单调递增，令，将不等式转化为，利用单调性推得，设 ，则得，分段讨论函数的最小值即得参数范围. 【详解】， 令 设 ，记 则 ，即 （*）， 因为函数，，都是递增函数，故 在上单调递增， 令， 由（*）可得 ，则有， 又 在上单调递增，可得 即，也即， 设 ，原不等式恒成立等价于， 分三段讨论： 当时：为增函数，此时； 当时：，为常函数； 当时：，为减函数，此时. 故 在区间 上恒取到最小值 即 ，解得 ，即的取值范围是 . 考点十四 与对数函数的相关的综合问题 53．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用复合函数单调性：同增异减求参数取值范围； （2）将条件转化为对恒成立，再参变分离，转化为最值处理. 【详解】（1）令，其图象开口向下，对称轴为，又在定义域上单调递增， 故在上单调递减等价于在上单调递减且恒成立. 则，且，解得，故的取值范围为. （2）令，由得，则， 当，即时，取最大值4. “对，都有”等价于对恒成立， 即，则， 即对恒成立. 易得在上单调递减，在上单调递增，且，， 所以，即的取值范围为. 54．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数的最小值为0，则___________. 【答案】 【分析】根据最值的定义及不等式的性质，对进行分情况讨论求解即可. 【详解】由题意知，定义域为. 当时，， 因为，所以，则， 因为对，，故都有，所以. 同理时，，所以，则，故. 当时，，恒成立， 综上，. 55．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据反函数可得的表达式； （2）由（1）可知，令，则在上单调递增且对恒成立，从而得到且，求出的取值范围； （3）根据定义域，解得，由函数单调性得到在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，换元，由函数单调性求出的最大值，得到实数的取值范围． 【详解】（1）的图象与的图象关于直线对称 与互为反函数 由得， （2）由（1）可知， 在上单调递增， 令，其中在上单调递增， 由同增异减可得，在上单调递增且对恒成立， 且， ， 故的取值范围为； （3）在上恒成立， 由对数函数单调性可得且， ，只需，而单调递增，故只需，得， 不等式在上恒成立， 即在上恒成立， ， 在上恒成立， 当时不等式成立， 在上恒成立，， 令， 而在上单调递增， ， 综上所述，实数的取值范围为． 56．（25-26高一上·四川成都·期末）（1）设 ①求函数的最大值. ②当不等式在上有解时，求的取值范围. （2）设，是否存在常数，使得，对于任意正数且恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. 【答案】（1）①；②； （2）存在，100 【分析】（1）①由题意整理函数解析式，根据对数函数的单调性，利用换元法化简函数，结合二次函数的性质，可得答案；②由题意整理函数解析式，根据对数函数的单调性，利用换元法化简不等式，根据一次函数的性质，可得答案. （2）由题意以及基本不等式，求得参数值，利用分解因式化简不等式，再换元并利用基本不等式，可得答案. 【详解】（1）①， 令， 因为对称轴为函数在上单调递增，上单调递减， 所以当时，. ②由题可知，不等式在上有解， 即，化简得， 令，则在上有解. 解法1：在上有解， 0，即. 解法2：当时，，无解； 当时，在上单调增， ∴当时， 综上：. （2）由题意， 所以 令，由基本不等式得， 又在上单调递减，， 所以存在最大的常数. 考点十五 反函数及其应用 57．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 【答案】 【分析】根据函数奇偶性定义及反函数的性质得出是上单调递减的奇函数，再将问题转化为一元二次不等式即可求解． 【详解】因为，所以是上的奇函数， 又因为在上单调递减，在上单调递减， 所以在上单调递减，且的值域为， 所以也是在上单调递减的奇函数， 因为，所以， 所以不等式可化为， 所以，解得或， 故原不等式的解集为． 58．（25-26高一上·全国·阶段检测）函数与互为反函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由题得，再运用换元法，解一元二次不等式即可得解. 【详解】由题可知，， 则由可得. 令，则， 则有，得，又因为， 故得，即，得， 解得. 故选：C. 59．（25-26高一上·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 【答案】 【分析】先求出函数过定点，再根据反函数性质得到答案. 【详解】当时，，故过定点， 根据反函数的性质可得，过定点对应反函数必过定点. 故答案为：. 60．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】根据函数的对称性，得到函数的解析式，利用对数函数的运算即可求解. 【详解】因为函数的图象与的图象关于直线对称， 所以在函数的图象上取点，则关于直线对称点为； 所以，得， 因为，所以，得. 故选：A. 1．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由奇函数性质可得：. 2．（26-27高三上·重庆江津·阶段检测）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换底公式将对数转化为自然对数，结合作差法和基本不等式分别比较与、与的大小，最终确定三者的大小关系. 【详解】比较与的大小：由换底公式得，，则 ， 分母，根据基本不等式：当，，且时，有，可得： ， 又，且. 故，分子为正，因此，即. 比较与的大小： 同理，，，则 ， 分母，由基本不等式得：， 又，且， 故，分子为正，因此，即. 综上可得. 3．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为， 所以，则， 故. 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据对数函数的定义判断即可. 【详解】形如（且）的函数叫对数函数，其中底数为常数，真数只有自变量， 故只有④满足对数函数的定义，故对数函数有1个. 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式有意义的条件为分母不为0，偶次根式的被开方数非负，对数的真数大于0即可求解． 【详解】因为，所以即 解得，且，即函数的定义域为． 故选：B． 6．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 【答案】B 【分析】通过函数的奇偶性与单调性得出，进而代入目标式并利用基本不等式求得最小值. 【详解】由题意得，其中， 且，即，所以是定义在R上的函数， ， 则 ， 即，故是定义在R上的奇函数， 设，则， 由上知，则且，所以，单调递减， 因为在定义域内单调递增，所以在R上单调递减， 由得， 因为在R上单调递减，所以有， ， 当且仅当，即，结合，且解得时等号成立， 综上， 的最小值为. 7．（25-26高一·全国·课后作业）已知且，则函数与的图像关系可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数和对数函数的图象，讨论底数a的取值范围，利用数学结合的思想即可得出结果. 【详解】由题意知，函数与函数图象关于y轴对称， 若，则函数的图象上升且过点； 函数图象在上呈上升且过点，所以函数图象在上呈下降且过点，结合选项的图象，均不符合. 若，则函数的图象下降且过点； 函数图象在上呈下降且过点，所以函数图象在上呈上升且过点，结合选项的图象，只有A符合. 故选：A 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围. 【详解】令， 当时，，则， 此时函数在上单调递增，故当时，； 当时，即当时，， 因为函数、在上均为增函数，此时函数在上单调递增， 故当时，； 当时，，则， 因为函数、在上均为增函数， 所以函数在上为增函数， 故当时，. 综上所述，当时，， 因为不等式对恒成立，故. 即实数的取值范围是 9．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，且，则 【答案】CD 【详解】选项A：，A错误； 选项B：由，两边平方得，故； 又，因此原式，错误； 选项C：由换底公式得，，，相乘得，C正确； 选项D：由，得，，故，， 则，解得，D正确 . 10．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知函数 关于 的方程 ，下列结论正确的是（    ） A．该方程必定有根 B．若有一个根，则 的取值范围为 C．若有两个不同根，则 的取值范围为 D．若有三个根，则 的取值范围为 【答案】AC 【分析】作出 的图象，根据与图象交点个数判断各选项. 【详解】作出 的图象： 当 时，，在 上单调递减，值域为 ； 当 时，，单调递减，值域为 . 所以值域为 ，所以方程 必定有根，A正确.； 当 时，只有右支一个根； 当 时，左支有 一个根； 当 时，左支有一个根； 所以有一个根时， ，B错误.； 当 时，左支有一个根，右支有一个根，共有两个不同根，C正确.； 由于左右两支均单调，每个 最多对应两个根，不可能有三个根，D错误. 11．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）若函数(且)在区间上为增函数，则的可能取值有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】利用给定函数的单调性，结合一次函数、对数函数单调性列出不等式求解. 【详解】函数在上单调递增， 由，得函数在上单调递减， 则函数为减函数，且，恒成立， 因此，解得，则AB不可能，CD可能. 故选：CD 12．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数且的图像恒过定点，则______. 【答案】5 【分析】根据指数函数及对数函数的性质即可求得定点坐标. 【详解】根据指数函数及对数函数的性质可知，, 故函数(且）经过定点，即, 所以. 13．（26-27高三上·天津河北·阶段检测）若，且，则______． 【答案】 【分析】根据已知条件结合对数的运算性质，用表示出，代入中可得到关于的方程，解方程即可求解. 【详解】由知， 所以，且， 两边取以2为底的对数得，所以. 同理，由得. 所以，即，解得. 14．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 【答案】 【分析】根据给定函数，利用二次函数、对数函数的单调性及复合函数单调性求解. 【详解】函数中，，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递减区间为. 15．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 16．（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 【答案】(1) (2)由（1）可得：的定义域为，定义域关于原点对称， 则， 即，因此是奇函数. (3) 【分析】（1）根据对数函数的定义域法则进行计算. （2）先化简函数表达式，再计算，判断与的关系，根据奇偶性定义确定函数奇偶性. （3）由不等式解集确定对应方程的根，利用韦达定理求出，的值，再代入不等式求解. 【详解】（1）由， 解得. 故函数的定义域为. （2）略 （3）已知一元二次不等式的解集为， 由韦达定理可得：，解得，， 此时不等式即 则可得，又因为，即， 则得，解得， 因此所求不等式的解集为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 对数与对数函数 知识点1：对数的概念 1．对数的概念 一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． 2．对数式与指数式的关系 3．常用对数与自然对数 【注意】 1．logaN是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数． 2．在x＝logaN中N>0． 3．在指数式与对数式中，a，x，N这三个量的异同． 类别 表达式 名称 a x N 指数式 ax＝N 底数 指数 幂值 对数式 x＝logaN 底数 对数 真数 知识点2：对数的基本性质及对数恒等式 1．对数的基本性质 (1)负数和0没有对数． (2)loga1＝0(a>0，且a≠1)． (3)logaa＝1(a>0，且a≠1)． 2．对数恒等式： ＝N；logaax＝x(a>0，且a≠1，N>0)． 知识点3：对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN． (2)loga＝logaM－logaN． (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 【注意】(1)性质的逆运算仍然成立； (2) 公式成立的条件是M>0，N>0，而不是MN>0，比如式子log2[(－2)·(－3)]有意义，而log2(－2)与log2(－3)都没有意义． 知识点4：对数的换底公式 1．对数换底公式：logab＝． 2．对数换底公式的重要推论 (1)logaN＝． logab(a>0，且a≠1，b>0，n≠0)． (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 特别地logab·logba＝1． 【注意】(1)公式成立的条件要使每一个对数式都有意义． (3) 将不同底对数转换为相同底对数，在具体运算中，我们习惯换成常用对数或自然对数，即logab＝或logab＝． 知识点5：对数函数的概念 一般地，函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)． 【注意】(1)对数函数的系数为1． (2)真数只能是一个x． (3)底数与指数函数的底数范围相同． 知识点6：对数函数的图象和性质 项目 a>1 0<a<1 图象 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 在(0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减 最值 无最大、最小值 奇偶性 非奇非偶函数 共点性 图象过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值 特点 当x∈(0，1)时，y∈(－∞，0)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈[0，＋∞) 当x∈(0，1)时，y∈(0，＋∞)； 当x∈[1，＋∞)时，y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝的图象关于x轴对称 【注意】(1)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近x轴． (2)当a>1时，底数越大，图象越靠近x轴． (3)任意底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x轴对称． 知识点7：反函数 1．一般地，指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．其图象间的关系，如图①②所示． 2．互为反函数的两个函数的性质 (1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y＝x对称． (2)原函数的图象过点(a，b)，反函数的图象必过点(b，a)． (3)原函数的定义域是反函数的值域，原函数的值域是反函数的定义域． (4)互为反函数的两个函数的单调性相同． 考点一 对数运算 考点二 指数式与对数式的相互转化 考点三 利用换底公式化简求值 考点四 对数函数的概念 考点五 与对数函数有关的定义域问题 考点六 对数函数的图象过定点 考点七 利用对数型函数图象求参数 考点八 对数型函数图象的应用 考点九 与对数函数有关的值域或最值 考点十 对数型复合函数的单调性 考点十一 根据对数型复合函数的单调性求参数 考点十二 利用对数函数的单调性比较大小 考点十三 利用对数函数的单调性解不等式 考点十四 与对数函数的相关的综合问题 考点十五 反函数及其应用 考点一 对数运算 1．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）计算 的值为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）设，，则＝_____________.（用含a，b的式子表示） 3．（26-27高一上·浙江嘉兴·期中）计算：_________. 4．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）_____________． 考点二 指数式与对数式的相互转化 5．（2026高一下·江苏·专项练习）已知，则的值为（     ） A． B．2 C． D．3 6．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）已知，，则__________． 7．（2026高三下·湖北·专项练习）已知正整数，，，满足：，，．则______． 8．（25-26高一上·湖南邵阳·阶段检测）已知，则（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 考点三 利用换底公式化简求值 9．（2026高一下·江苏·专项练习）计算： (1)； (2)； (3)． 10．（2026高一下·江苏·专项练习）设，，则（     ） A． B． C． D． 11．（26-27高一上·全国·课后作业）计算： (1)； (2). 12．（26-27高一上·全国·课堂例题）计算. 考点四 对数函数的概念 13．（26-27高一上·全国·课后作业）下列函数中，哪些是对数函数？ (1)； (2)； (3)； (4)（）． 14．（25-26高一上·上海·期中）函数为以a为底的对数函数，则实数的值为（    ） A．3 B． C．2 D．或2 15．（25-26高一上·天津静海·阶段检测）已知函数.若，则实数a的取值为______. 16．（25-26高三上·天津南开·期中）已知，则__________，__________． 考点五 与对数函数有关的定义域问题 17．（25-26高一上·山东烟台·期末）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 18．（25-26高一上·上海·阶段检测）函数的定义域为___________． 19．（26-27高二上·河南安阳·阶段检测）若函数的定义域为，则整数的最小值为（    ） A． B． C． D． 20．（26-27高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 考点六 对数函数的图象过定点 21．（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）已知函数且的图象过定点，且点在指数函数图象上，则___________. 22．（25-26高三上·山东济南·阶段检测）函数的图象恒过定点，若点在直线上，其中，则的最小值为（    ） A．5 B．2 C． D． 23．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）函数（且）的图象恒过定点，若且，，则的最小值为______. 24．（25-26高一上·天津河东·阶段检测）函数且过定点________． 考点七 利用对数型函数图象求参数 25．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）若函数（，且，）的大致图象如图，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）函数，且与函数在同一坐标系内的图象不可能的是（    ） A． B． C． D． 27．（25-26高一·全国·课后作业）如图是对数函数的图象，已知a值取，，，，则相应的，，，的a值依次是（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 28．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数的图像经过二、三、四象限，则实数的范围为__________. 考点八 对数型函数图象的应用 29．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）函数，则方程的解的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 30．（25-26高二下·全国·期末）作出下列各函数的图象： (1)； (2)． 31．（2026·云南昆明·模拟预测）若正数满足，则的大小关系不可能的是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高一上·天津·期末）若不等式在上有解，则的取值范围是（   ） A． B．． C． D． 考点九 与对数函数有关的值域或最值 33．（25-26高一上·河北承德·期末）函数的最小值为__________． 34．（26-27高一上·全国·课后作业）已知，试求的最大值和最小值 35．（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数（，且） (1)求函数的定义域； (2)若函数在区间上的最大值为2，求实数的值． 36．（25-26高一上·河北沧州·阶段检测）已知函数在区间上的最大值为3，求实数的值． 考点十 对数型复合函数的单调性 37．（25-26高二下·天津河西·阶段检测）函数的单调递增区间是_____． 38．（25-26高一下·内蒙古赤峰·阶段检测）下列函数中，既是奇函数又在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 39．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知函数，则（   ） A．在单调递增 B．在单调递减 C．的图象关于直线对称 D．的图象关于点对称 40．（25-26高一下·上海闵行·期中）函数的单调增区间是_____． 考点十一 根据对数型复合函数的单调性求参数 41．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为______. 42．（26-27高三上·山东淄博·阶段检测）若函数在区间内单调递增，则的取值范围是（   ）. A． B． C． D． 43．（2026·河南平顶山·模拟预测）已知且，函数在上单调递减，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 44．（26-27高一上·湖南邵阳·开学考试）已知函数在区间上单调递增，则实数m的取值范围为______________． 考点十二 利用对数函数的单调性比较大小 45．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）设，则 的大小关系为（    ） A． B． C． D． 46．（26-27高三上·四川泸州·阶段检测）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则（    ） A． B． C． D． 47．（26-27高三上·湖南长沙·阶段检测）已知，则下列结论正确的是（      ） A． B． C． D． 48．（26-27高三上·四川巴中·阶段检测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点十三 利用对数函数的单调性解不等式 49．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）已知函数是指数函数． (1)求的解析式； (2)解不等式． 50．（2026高三·全国·专题练习）函数，若在区间内恒有，解关于x的不等式． 51．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知（且）． (1)若，求方程的解集； (2)若，求的取值范围． 52．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若不等式恒成立，则的取值范围是_______． 考点十四 与对数函数的相关的综合问题 53．（26-27高三上·安徽·阶段检测）已知函数. (1)若在上单调递减，求实数的取值范围； (2)设函数，若对，恒成立，求实数的取值范围. 54．（26-27高三上·江苏连云港·阶段检测）已知函数的最小值为0，则___________. 55．（25-26高一上·湖南邵阳·期末）已知函数．函数图象与的图象关于直线对称． (1)求的表达式． (2)若函数在上单调递增，求实数的取值范围． (3)不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 56．（25-26高一上·四川成都·期末）（1）设 ①求函数的最大值. ②当不等式在上有解时，求的取值范围. （2）设，是否存在常数，使得，对于任意正数且恒成立？如果存在，求出的最大值；如果不存在，请说明理由. 考点十五 反函数及其应用 57．（2026高一下·广东汕尾·竞赛）设函数的反函数为，则不等式的解集为__________. 58．（25-26高一上·全国·阶段检测）函数与互为反函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 59．（25-26高一上·上海·期末）设，则其反函数必过定点的坐标为___________． 60．（25-26高三上·辽宁锦州·期末）设函数的图象与的图象关于直线对称，且，则（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 1．（26-27高三上·海南海口·阶段检测）已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则（     ）． A． B． C． D． 2．（26-27高三上·重庆江津·阶段检测）若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 3．（26-27高三上·江西·阶段检测）已知，，则（    ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·全国·课堂例题）给出下列函数：①；②；③；④，其中是对数函数的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高三上·辽宁沈阳·阶段检测）已知函数，若正实数、满足，则的最小值为（    ） A．2 B．5 C．8 D．9 7．（25-26高一·全国·课后作业）已知且，则函数与的图像关系可能是（    ） A． B． C． D． 8．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（26-27高三上·江苏宿迁·阶段检测）（多选）下列正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若，且，则 10．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）已知函数 关于 的方程 ，下列结论正确的是（    ） A．该方程必定有根 B．若有一个根，则 的取值范围为 C．若有两个不同根，则 的取值范围为 D．若有三个根，则 的取值范围为 11．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）（多选）若函数(且)在区间上为增函数，则的可能取值有（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）已知函数且的图像恒过定点，则______. 13．（26-27高三上·天津河北·阶段检测）若，且，则______． 14．（26-27高三上·湖南邵阳·阶段检测）函数的单调递减区间为_________ 15．（25-26高一上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，（且）． (1)求函数的定义域； (2)判断函数的奇偶性并予以证明； (3)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $