专题4.4 对数函数 期中复习讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题4.4 对数函数（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：对数函数的概念、图象与性质（单调性·奇偶性·定点·最值）、反函数的求法与性质、对数函数的综合应用； ▲难点：由图象确定底数、对数型函数最值的转化求法、含参对数不等式的分类讨论． 目录 专题4.4 对数函数（期中复习讲义） 1 知识点1 对数函数的概念 1 【题型1 对数函数的概念与判定】 2 知识点2 对数函数的图象与性质 3 【题型2 对数函数的图象与定点】 4 【题型3 对数函数的单调性】 5 【题型4 对数函数的奇偶性与对称性】 6 【题型5 对数函数的最值与值域】 7 知识点3 反函数 8 【题型6 反函数的求法】 9 【题型7 反函数的性质（单调性与对称性）】 10 知识点4 对数函数的综合应用 11 【题型8 对数函数的综合应用（最值与不等式）】 12 【题型9 对数函数在实际问题中的应用】 13 考点1 对数函数的概念 知识点1 对数函数的概念 【重难点】★重点：对数函数的定义（，且）、定义域、值域； ▲难点：对数函数与指数函数的联系与区别，型函数不是标准对数函数但可由平移得到． 1．定义　形如（且）的函数叫做对数函数，是自变量，是底数． 2．定义域与值域　对数函数的定义域为，值域为． 3．与指数函数的联系　与互为反函数，图象关于直线对称． 【题型1 对数函数的概念与判定】 【例1】下列函数中，是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】函数（且）的定义域是______，值域是______． 【变式1-2】函数的图象可由的图象怎样变换得到？答：______． 【变式1-3】下列说法正确的是（　　） A．对数函数（且）的定义域是 B．对数函数的值域是 C．函数是对数函数 D．对数函数一定是奇函数 考点2 对数函数的图象与性质 知识点2 对数函数的图象与性质 【重难点】★重点：对数函数图象过定点、单调性（时递增，时递减）、奇偶性（，是既非奇函数也非偶函数）、值域与最值； ▲难点：由图象上的点确定底数、对数型函数最值的求法（把真数部分转化为二次函数的最值）． 1．图象　对数函数的图象恒过点，以直线为渐近线；当时图象在第一、三象限，当时图象在第二、四象限． 2．单调性　时在上单调递增；时在上单调递减． 3．奇偶性　定义域关于原点不对称，故对数函数是既非奇函数也非偶函数． 【题型2 对数函数的图象与定点】 【例2】已知对数函数（且）的图象经过点，则______． 【变式2-1】函数（且）的图象一定经过定点______． 【变式2-2】已知的图象过点，则______． 【变式2-3】函数的图象与轴的交点坐标为______． 【题型3 对数函数的单调性】 【例3】已知（且）在上是减函数，则在上是（　　） A．增函数 B．减函数 C．既增又减 D．无法确定 【变式3-1】函数在定义域上是______函数（填“增”或“减”）． 【变式3-2】函数的单调递增区间是______． 【变式3-3】若（）在上单调递减，则的单调递增区间是______． 【题型4 对数函数的奇偶性与对称性】 【例4】下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】函数的定义域是______． 【变式4-2】若在上单调递减，则的取值范围是______． 【变式4-3】已知，则函数的零点为______． 【题型5 对数函数的最值与值域】 【例5】已知，则的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】函数的值域是______． 【变式5-2】已知，则的最小值是______． 【变式5-3】函数的最小值是______． 考点3 反函数 知识点3 反函数 【重难点】★重点：反函数的求法（互换、后解出）、原函数与反函数图象关于对称、互为反函数的函数单调性相反； ▲难点：反函数的定义域是原函数的值域，与互为反函数． 1．求法　求的反函数：把式子中所有的、互换，再解出；反函数的定义域是原函数的值域． 2．性质　原函数与反函数的图象关于直线对称；若原函数在某个区间上单调递增，则反函数在该区间上也单调递增． 【题型6 反函数的求法】 【例6】求下列函数的反函数：(1)；(2)；(3)． 【变式6-1】函数的反函数为______． 【变式6-2】已知函数的反函数为，则的表达式是______． 【变式6-3】若函数（且）的反函数为，则的定义域是______． 【题型7 反函数的性质（单调性与对称性）】 【例7】若函数在上单调递增，则其反函数在上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【变式7-1】函数的图象与函数的图象关于直线______对称． 【变式7-2】已知，则的解析式为______，其定义域是______． 【变式7-3】若（且）与互为反函数，则的图象关于直线______对称． 考点4 对数函数的综合应用 知识点4 对数函数的综合应用 【重难点】★重点：对数型函数的最值与值域、含参对数不等式的讨论、指数与对数的综合运算； ▲难点：由求最值时把的值域转化为对数函数的值域，含参问题中底数范围的分类讨论． 1．最值方法　对数函数在上单调，故的最值可转化为的最值，再由单调性对应过去． 2．常见结论　时（）；时不等号方向相反． 【题型8 对数函数的综合应用（最值与不等式）】 【例8】已知，求的最小值；若，求的取值范围． 【变式8-1】已知，若，求的取值范围． 【变式8-2】已知，若，求的取值范围． 【变式8-3】已知，若，求的取值范围． 【题型9 对数函数在实际问题中的应用】 【例9】某种商品的价格 （元）与日销量 （件）近似满足，若日销量不低于件，则价格最高不超过______元． 【变式9-1】某公司某种产品的年销售额 （万元）与单价 （元）满足，当单价为元时，年销售额为______万元． 【变式9-2】某种存款的年利率为，存入元（）年后本息和为元，若要使本息和达到元，至少需要______年（结果精确到）． 【变式9-3】一栋楼共有户住户，用电量不超过千瓦时的住户数占总数的百分比为，则用电量不超过千瓦时的住户有______户． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.4 对数函数（期中复习讲义） 【人教A版】 【重难点】 ★重点：对数函数的概念、图象与性质（单调性·奇偶性·定点·最值）、反函数的求法与性质、对数函数的综合应用； ▲难点：由图象确定底数、对数型函数最值的转化求法、含参对数不等式的分类讨论． 目录 专题4.4 对数函数（期中复习讲义） 1 知识点1 对数函数的概念 1 【题型1 对数函数的概念与判定】 2 知识点2 对数函数的图象与性质 3 【题型2 对数函数的图象与定点】 4 【题型3 对数函数的单调性】 5 【题型4 对数函数的奇偶性与对称性】 6 【题型5 对数函数的最值与值域】 7 知识点3 反函数 8 【题型6 反函数的求法】 9 【题型7 反函数的性质（单调性与对称性）】 10 知识点4 对数函数的综合应用 11 【题型8 对数函数的综合应用（最值与不等式）】 12 【题型9 对数函数在实际问题中的应用】 13 考点1 对数函数的概念 知识点1 对数函数的概念 【重难点】★重点：对数函数的定义（，且）、定义域、值域； ▲难点：对数函数与指数函数的联系与区别，型函数不是标准对数函数但可由平移得到． 1．定义　形如（且）的函数叫做对数函数，是自变量，是底数． 2．定义域与值域　对数函数的定义域为，值域为． 3．与指数函数的联系　与互为反函数，图象关于直线对称． 【题型1 对数函数的概念与判定】 【例1】下列函数中，是对数函数的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：对数函数必须是 （ 且 ）． A： 即 ，底数为 10，是对数函数 B： 的真数不是 ，不是对数函数 C： 是幂函数，不是对数函数 D： 是指数函数，不是对数函数 故选 A． 【变式1-1】函数（且）的定义域是______，值域是______． 【解析】由真数为正得 ，即 ，故定义域为 ． 对数函数的值域为 ，故值域是 ．故填 ；． 【变式1-2】函数的图象可由的图象怎样变换得到？答：______． 【解析】 中的 换成 ，相当于横坐标减 1， 故图象由 的图象向左平移 1 个单位得到． 【变式1-3】下列说法正确的是（　　） A．对数函数（且）的定义域是 B．对数函数的值域是 C．函数是对数函数 D．对数函数一定是奇函数 【解析】判定依据： 的定义域是 ，值域是 ． A：定义域为 ，正确 B：值域应为 ，不是 C： 的真数不是 ，不是对数函数 D：定义域关于原点不对称，对数函数既非奇也非偶 故选 A． 考点2 对数函数的图象与性质 知识点2 对数函数的图象与性质 【重难点】★重点：对数函数图象过定点、单调性（时递增，时递减）、奇偶性（，是既非奇函数也非偶函数）、值域与最值； ▲难点：由图象上的点确定底数、对数型函数最值的求法（把真数部分转化为二次函数的最值）． 1．图象　对数函数的图象恒过点，以直线为渐近线；当时图象在第一、三象限，当时图象在第二、四象限． 2．单调性　时在上单调递增；时在上单调递减． 3．奇偶性　定义域关于原点不对称，故对数函数是既非奇函数也非偶函数． 【题型2 对数函数的图象与定点】 【例2】已知对数函数（且）的图象经过点，则______． 【解析】图象过点 ，故 ，即 ，得 ． 所以 ．故填 ． 【变式2-1】函数（且）的图象一定经过定点______． 【解析】因为 对任意 且 恒成立， 所以图象恒过定点 ．故填 ． 【变式2-2】已知的图象过点，则______． 【解析】图象过点 ，故 ，即 ，得 ． 所以 ．故填 ． 【变式2-3】函数的图象与轴的交点坐标为______． 【解析】令 ，得 ，故 ，即 ． 所以图象与 轴的交点坐标为 ．故填 ． 【题型3 对数函数的单调性】 【例3】已知（且）在上是减函数，则在上是（　　） A．增函数 B．减函数 C．既增又减 D．无法确定 【解析】 在 上递减，故 ，从而 ． 的外层递增，内层 也递增，故 递增． A： 在 上递增，正确 B：与上述判断相反 C：对数型函数单调，不存在「既增又减」 D：底数范围已确定，单调性可判定 故选 A． 【变式3-1】函数在定义域上是______函数（填“增”或“减”）． 【解析】 的定义域为 ，底数 ， 故 在定义域上是增函数．故填「增」． 【变式3-2】函数的单调递增区间是______． 【解析】由 得 或 ，即定义域为 ． 外层 递增，故只需 递增，其对称轴为 ， 递增区间与定义域取交集得 ，故填 ． 【变式3-3】若（）在上单调递减，则的单调递增区间是______． 【解析】 时外层 递减，故 递增需内层 递减． 在 上递减，再由 得 ，故单调递增区间为 ． 【题型4 对数函数的奇偶性与对称性】 【例4】下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【解析】判定依据：定义域关于原点对称且 才有奇偶性． A：，是偶函数 B：，是偶函数 C：，是偶函数 D：定义域 关于原点不对称，非奇非偶 故选 D． 【变式4-1】函数的定义域是______． 【解析】由真数为正得 且 ，即 ，故定义域为 ． 【变式4-2】若在上单调递减，则的取值范围是______． 【解析】 的内层 在 上递增， 而 递减，故外层递减，即 ．故填 ． 【变式4-3】已知，则函数的零点为______． 【解析】． 令 得 ，即 ，故零点为 ．故填 ． 【题型5 对数函数的最值与值域】 【例5】已知，则的值域是（　　） A． B． C． D． 【解析】 的定义域为 ，真数 取遍 ． 故 取遍全体实数，值域为 ． A：值域为 ，正确 B： 是定义域，不是值域 C： 是指数函数的值域 D： 少了一个值，不正确 故选 A． 【变式5-1】函数的值域是______． 【解析】 的定义域为 ，真数取遍 ， 故值域为 ．故填 ． 【变式5-2】已知，则的最小值是______． 【解析】，且 时取等号． 外层 递增，故 ，最小值为 ．故填 ． 【变式5-3】函数的最小值是______． 【解析】，当 时取等号． 故 ，最小值为 ．故填 ． 考点3 反函数 知识点3 反函数 【重难点】★重点：反函数的求法（互换、后解出）、原函数与反函数图象关于对称、互为反函数的函数单调性相反； ▲难点：反函数的定义域是原函数的值域，与互为反函数． 1．求法　求的反函数：把式子中所有的、互换，再解出；反函数的定义域是原函数的值域． 2．性质　原函数与反函数的图象关于直线对称；若原函数在某个区间上单调递增，则反函数在该区间上也单调递增． 【题型6 反函数的求法】 【例6】求下列函数的反函数：(1)；(2)；(3)． 【解析】(1) 由 得 ，互换得 （）． (2) 由 得 ，互换得 （）． (3) 由 得 ，即 ，互换得 （）． 【变式6-1】函数的反函数为______． 【解析】由 得 ，即 ． 互换得 ，故反函数为 ． 【变式6-2】已知函数的反函数为，则的表达式是______． 【解析】由 得 ，互换得 ．故 （）． 【变式6-3】若函数（且）的反函数为，则的定义域是______． 【解析】，故 的值域为 ． 反函数的定义域等于原函数的值域，故 的定义域为 ． 【题型7 反函数的性质（单调性与对称性）】 【例7】若函数在上单调递增，则其反函数在上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增 【解析】 的反函数为 ． 互为反函数的两个函数单调性相同，故 在 上递增． A： 在 上单调递增，正确 B： 递增，不是递减 C：指数函数在 上单调，不存在先增后减 D：指数函数在 上单调，不存在先减后增 故选 A． 【变式7-1】函数的图象与函数的图象关于直线______对称． 【解析】 与 互为反函数， 故两图象关于直线 对称．故填「」． 【变式7-2】已知，则的解析式为______，其定义域是______． 【解析】由 得 ，互换得 ， 故 ，其定义域为 ． 【变式7-3】若（且）与互为反函数，则的图象关于直线______对称． 【解析】 与 互为反函数， 故 与 的图象关于直线 对称．故填「」． 考点4 对数函数的综合应用 知识点4 对数函数的综合应用 【重难点】★重点：对数型函数的最值与值域、含参对数不等式的讨论、指数与对数的综合运算； ▲难点：由求最值时把的值域转化为对数函数的值域，含参问题中底数范围的分类讨论． 1．最值方法　对数函数在上单调，故的最值可转化为的最值，再由单调性对应过去． 2．常见结论　时（）；时不等号方向相反． 【题型8 对数函数的综合应用（最值与不等式）】 【例8】已知，求的最小值；若，求的取值范围． 【解析】，当 时取等号． 外层 递增，故 ，最小值为 ． 由 得 ，即 ， 解得 或 ，故 的取值范围是 ． 【变式8-1】已知，若，求的取值范围． 【解析】， 由 及 递增，得 ．故 的取值范围是 ． 【变式8-2】已知，若，求的取值范围． 【解析】由 及 递增，得 ， 即 ，解得 或 ． 故取值范围是 ． 【变式8-3】已知，若，求的取值范围． 【解析】 时 递增，故原不等式等价于 ．由 得 ，由 得 ，故 ． 【题型9 对数函数在实际问题中的应用】 【例9】某种商品的价格 （元）与日销量 （件）近似满足，若日销量不低于件，则价格最高不超过______元． 【解析】由 得 ，即 ， 故 ，即 ．由 得 ，又 ，故 ． 所以价格最高不超过 元． 【变式9-1】某公司某种产品的年销售额 （万元）与单价 （元）满足，当单价为元时，年销售额为______万元． 【解析】由 得 ，故 ，即 ． 当 时 ，故年销售额为 万元． 【变式9-2】某种存款的年利率为，存入元（）年后本息和为元，若要使本息和达到元，至少需要______年（结果精确到）． 【解析】由 且 得 ． 两边取对数得 ．故至少需要 年． 【变式9-3】一栋楼共有户住户，用电量不超过千瓦时的住户数占总数的百分比为，则用电量不超过千瓦时的住户有______户． 【解析】当 时，，即占比为 ． 故用电量不超过 9 千瓦时的住户有 （户）． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $