专题09 函数单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合（期中复习讲义·培优版）高一数学上学期人教A版

专题09 函数单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 函数的单调性及其应用 题型02函数的奇偶性及其应用 题型03 函数的对称性及其应用 题型04函数的周期性及其应用 题型05 函数的单调性与奇偶性综合 题型06 函数的奇偶性与周期性综合 题型07 函数的奇偶性与对称性综合 题型08 函数的周期性与对称性综合 题型09 函数的单调性与对称性综合 题型10 函数的单调性、奇偶性与对称性综合 题型11 函数的单调性、奇偶性与周期性综合 题型12 函数的奇偶性、周期性与对称性综合 题型13 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 单调性的判断与应用 三法判断：定义法（取值—作差—定号）、导数法、复合函数”同增异减”；会用单调性比较大小、解 型不等式 选择填空高频；“脱 ”前必须确认在同一单调区间内 奇偶性与对称性 为偶（关于 轴）、 为奇（关于原点）；推广： 轴对称、 中心对称 常与周期性联立；对称式的等价变形是解题关键 周期性与三性综合 ；由奇偶 + 对称推周期：两对称轴 周期为间距 2 倍，对称轴 + 对称中心 周期为间距 4 倍；用周期化大 到已知区间再求值 选择填空压轴常客；“化归到已知区间求值”是核心考法 知识点01 单调性的定义与判定 核心概念： · 增函数：，； · 减函数：，。 判定方法： 1. 定义法：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论； 1. 导数法： 增， 减； 1. 复合函数法：“同增异减”——内外层单调性相同则增，相反则减； 1. 图像法：从左到右上升为增，下降为减。 常用结论： · 增 减； · 增+增=增，减+减=减； · 奇函数在对称区间上单调性相同； · 偶函数在对称区间上单调性相反。 示例： 证明 在 上单调递增。 证：取 ， 因 ，，，故 ，增。 易错点： · 易错点总结：作差后不定号，变形不彻底。 · 注意事项总结：定义法作差后必须因式分解到能判断符号，常用平方差、配方、通分。 知识点02 奇偶性的定义与判定 核心概念： · 偶函数：，图像关于 轴对称； · 奇函数：，图像关于原点对称。 前提条件：定义域关于原点对称（否则无奇偶性）。 重要结论： · 奇函数若 在定义域内，则 ； · 奇±奇=奇，偶±偶=偶； · 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 示例： 判断 的奇偶性。 解：定义域 且 ，即 ，关于原点对称。 化简：，，故 。 故为奇函数。 易错点： · 易错点总结：不先看定义域是否关于原点对称，直接代 判断。 · 注意事项总结：判断奇偶性第一步先求定义域，不对称直接非奇非偶。 知识点03 对称性（轴对称与中心对称） 核心结论： 对称类型 代数特征 几何意义 关于 轴对称 图像关于直线 对称 关于 中心对称 图像关于点 对称 关于 中心对称 图像关于点 对称 常见推论： · 对称轴 ； · 关于 对称 。 示例： 若 ，求对称轴。 解：对称轴 ，即关于 对称。 易错点： · 易错点总结：对称轴公式记错——不是 ，是 。 · 注意事项总结： 的对称轴是 ，取平均。 知识点04 周期性 核心概念：若存在非零常数 ，使 都有 ，则 为周期。 常见周期结论： 函数方程 周期 示例： 已知 ，求周期。 解：，故 。 易错点： · 易错点总结：周期算成 而非 。 · 注意事项总结：写两步递推再下结论，不要一步跳到周期。 知识点05 知二求二（双对称推周期） 核心模型：函数同时有两种对称性，可推出周期性。 核心结论（高频）： 条件 周期 两条对称轴 和 两个对称中心 和 一条对称轴 + 一个对称中心 易错点： · 易错点总结：对称轴+对称中心的周期算成 ，实际是 。 · 注意事项总结：“两轴两心都两倍，轴心混合四倍”——两条对称轴或两个对称中心，周期是 ；一条对称轴加一个对称中心，周期是 。 知识点06 奇偶性与单调性综合（解不等式） 核心模型：利用奇偶性把不等式转化到同一单调区间，再用单调性”脱 “。 核心方法： 1. 利用奇偶性把不同括号内的自变量化到同一单调区间； 1. 用单调性”脱 “——增函数 ； 1. 注意定义域限制。 示例： 是奇函数，在 上单调递增，，解不等式 。 解：奇函数在对称区间同单调性，故 在 也增。 。 ： ① ：； ② ：。 综上 。 易错点： · 易错点总结：忘定义域——“脱 ”后自变量必须落在单调区间内。 · 注意事项总结：解抽象不等式三步走：定性（奇偶+单调）→ 转化（到同区间）→ 脱 （注意定义域）。 知识点07 周期性与函数值计算 核心模型：利用周期把大自变量化到已知区间，再求函数值。 方法：，把大 减去周期倍数，化到已知区间。 示例： 周期为 ，当 时 ，求 。 解：。 易错点： · 易错点总结：取模方向错——化到 而非 。 · 注意事项总结：减周期时化到已知区间的范围内，注意区间端点开闭。 知识点08 四性质综合（高频压轴） 核心题型：同时给出奇偶性、对称性、周期性中的两个，求函数值、解不等式或求解析式。 解题策略： 1. 画轴：标出对称轴、对称中心、周期； 1. 平移：利用周期把自变量化到已知区间； 1. 对称转换：利用奇偶/对称把负区间化到正区间； 1. 单调比较：用单调性比较函数值大小。 示例： 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ，求 。 解：周期 。 易错点： · 易错点总结：三个性质混用，方向混乱。 · 注意事项总结：综合题一步一步来——先求周期，再把自变量化到已知区间，最后用奇偶/对称转换，不要跳步。 题型一 函数的单调性及其应用 解｜题｜技｜巧 · 判断方法：定义法（作差变形定号）、导数法、图像法、复合函数”同增异减”。 · 应用： · 比较大小：化到同一单调区间，利用单调性； · 解不等式：利用单调性”脱去”函数符号 ； · 求参数：单调性转化为恒成立/最值问题。 · 复合函数：内层外层同增减则增，异增减则减。 易｜错｜点｜拨 · 单调区间写法：多个单调区间用”和”或逗号连接，不能用 。 · 复合函数”同增异减”方向搞反。 · 定义法证明时变形不彻底，无法定号。 答｜题｜模｜板 1. 取值 ； 2. 作差 ； 3. 变形（因式分解、通分、有理化）； 4. 定号，下结论。 【典例1】（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【变式1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【变式2】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 题型二 函数的奇偶性及其应用 解｜题｜技｜巧 · 前提：定义域关于原点对称。 · 奇函数：，图像关于原点对称；偶函数：，图像关于 轴对称。 · 奇函数若在 有定义，则 。 · 应用：求函数值、解不等式、求解析式。 易｜错｜点｜拨 · 不先判断定义域是否关于原点对称。 · 分段函数奇偶性分段判断。 · 奇函数忘用 。 答｜题｜模｜板 1. 验定义域关于原点对称； 2. 求 ； 3. 比较 与 ； 4. 下结论。 【典例1】（25-26高一上·天津滨海·期中）已知，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．或 【典例2】（25-26高一上·四川成都·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·山西运城·期中）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 题型三 函数的对称性及其应用 解｜题｜技｜巧 · 轴对称： 图像关于 对称。 · 中心对称： 图像关于点 对称。 · 偶函数是 的轴对称；奇函数是 的中心对称。 易｜错｜点｜拨 · 轴对称与中心对称公式混淆。 · 的对称轴是 ，不是 或 。 答｜题｜模｜板 1. 从已知等式提取对称轴/对称中心； 2. 利用对称性转化区间上的函数值； 3. 结合单调性/奇偶性求解。 【典例1】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数图象的一条对称轴为直线，则的值是______． 【典例2】（25-26高一上·北京昌平·期中）函数的图象的对称中心坐标是______． 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图像关于点中心对称，则_____. 【变式2】（25-26高一上·天津南开·期中）函数的图象关于直线对称，则_____________. 题型四 函数的周期性及其应用 解｜题｜技｜巧 · ， 为周期。 · 常见推论： · ； · ； · 。 · 周期函数求值：利用周期性化到已知区间。 易｜错｜点｜拨 · 周期公式记错（ 的周期是 不是 ）。 · 忽略最小正周期与一般周期的区别。 答｜题｜模｜板 1. 由已知等式推周期； 2. 将目标 化到已知区间； 3. 求函数值。 【典例1】若定义在上的函数满足，且，则________． 【典例2】（25-26高一上·湖南怀化·期中）若函数，则__________. 【变式1】（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知，若，则__________. 【变式2】已知函数对任意，都有，且当时，，则_____________． 题型五 函数的单调性与奇偶性综合 解｜题｜技｜巧 · 奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。 · 利用奇偶性把未知区间的函数值化到已知单调区间，再用单调性比较大小或解不等式。 · 为增函数 + 奇函数 。 易｜错｜点｜拨 · 偶函数对称区间单调性搞反。 · 解不等式时忘记函数定义域限制。 答｜题｜模｜板 1. 利用奇偶性化到已知单调区间； 2. 用单调性脱去 ； 3. 解不等式，注明定义域。 【典例1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（   ） A． B．成立的充要条件是 C．若，则 D．，使得 【典例2】（25-26高一上·江西南昌·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式的解集． 【变式1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 【变式2】（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 题型六 函数的奇偶性与周期性综合 解｜题｜技｜巧 · 奇函数 + 周期 ： 且 。 · 奇函数 + 周期可推出额外对称中心。 · 求值：先周期化，再用奇偶性。 易｜错｜点｜拨 · 周期化时加减周期方向搞错。 · 忽略 的特殊结论。 答｜题｜模｜板 1. 用周期化到原点附近； 2. 用奇偶性定号； 3. 求函数值。 【典例1】（25-26高一上·山东威海·期中）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 【典例2】（25-26高一上·广东江门·期中）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 【变式1】（25-26高一上·上海静安·期中）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【变式2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则________． 题型七 函数的奇偶性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 奇函数本身就是中心对称（原点）；偶函数本身就是轴对称（ 轴）。 · 若函数同时有轴对称和中心对称，则可推出周期性（见题型12）。 · 利用对称性把函数值化到已知区间。 易｜错｜点｜拨 · 对称中心与对称轴混淆。 · 多个对称关系叠加时推导周期出错。 答｜题｜模｜板 1. 提取对称轴和对称中心； 2. 利用对称性转化函数值； 3. 结合单调性求解。 【典例1】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【典例2】（25-26高一上·山东烟台·期中）已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为______. 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则_______． 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）为定义在上的奇函数，函数图象关于直线对称，且，则_________. 题型八 函数的周期性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 两条轴对称： 且 周期 。 · 两条中心对称： 且 周期 。 · 一条轴对称 + 一条中心对称 周期 。 答｜题｜模｜板 1. 提取对称轴/对称中心； 2. 判断对称类型（同/异）； 3. 算周期； 4. 周期化求解。 【典例1】（25-26高一上·海南三亚·期中）已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期中）设函数的定义域为，，当时，．若，且，则______． 【变式1】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则________． 【变式2】（25-26高一上·山西临汾·期中）已知函数的定义域为，且，，则______． 题型九 函数的单调性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 对称轴两侧单调性相反；对称中心两侧单调性相同。 · 利用对称性把比较大小/解不等式化到同一单调区间。 · 二次函数是典型：对称轴两侧单调性相反。 易｜错｜点｜拨 · 对称轴两侧单调性方向搞反。 · 忘记比较自变量到对称轴的距离。 答｜题｜模｜板 1. 确定对称轴/中心； 2. 把各点化到同一单调区间； 3. 用单调性比较。 【典例1】（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知函数，对于，都有成立，且任取，，若 ，则的取值范围是 ___________. 【变式1】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________． 题型十 函数的单调性、奇偶性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 三性质联动：奇偶性给出对称中心/轴，对称性推出额外区间的单调性，单调性用于比较/解不等式。 · 策略：先由奇偶性定对称中心，再由对称性补全单调区间，最后用单调性求解。 易｜错｜点｜拨 · 三性质叠加时遗漏某一性质的应用。 · 对称区间单调性推导错误。 答｜题｜模｜板 1. 由奇偶性得对称中心； 2. 由对称性补全单调区间； 3. 用单调性求解。 【典例1】（25-26高一上·四川宜宾·期中）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【典例2】（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为__________ 【变式1】（25-26高一上·辽宁丹东·期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．在区间上是增函数，且有最小值为 B．在区间上是减函数，且有最大值为 C．在区间上是增函数，且有最大值为 D．在区间上是减函数，且有最小值为 【变式2】（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知定义在R上的偶函数满足：，对，，当时，，且，则不等式在上的解集为______． 题型十一 函数的单调性、奇偶性与周期性综合 解｜题｜技｜巧 · 周期函数求值：先周期化到原点附近，再用奇偶性定号，单调性用于区间比较。 · 奇函数 + 周期：，对称区间单调性相同。 · 偶函数 + 周期： 不一定为0，对称区间单调性相反。 易｜错｜点｜拨 · 周期化方向错误。 · 奇偶性与周期叠加时符号搞错。 答｜题｜模｜板 1. 周期化到已知区间； 2. 用奇偶性转化； 3. 用单调性求解。 【典例1】（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·期中）偶函数满足，且在区间上严格增，则它在区间上的单调性为___________. 【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的单调递增区间是__________. 题型十二 函数的奇偶性、周期性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 奇偶性本身就是对称性（奇=中心对称，偶=轴对称）。 · 已有一条对称（奇偶性）+ 另一条对称轴/中心 可推出周期。 · 策略：先识别奇偶性对应的对称，再加第二条对称，算周期，最后求解。 易｜错｜点｜拨 · 奇偶性对应的对称类型识别错误。 · 周期系数 与 混淆。 答｜题｜模｜板 1. 奇偶性 第一条对称； 2. 第二条已知对称； 3. 算周期； 4. 周期化求解。 【典例1】（25-26高一下·云南文山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【典例2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则______． 【变式1】（25-26高一下·贵州六盘水·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高一上·江西赣州·期中）已知函数的定义域为，满足，当时，的定义域为，则___________. 题型十三 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 四性质联动，是压轴题。 · 解题路线： 10. 奇偶性 定对称中心/轴； 10. 对称性 算周期； 10. 周期性 化到已知区间； 10. 单调性 比较大小/解不等式。 · 画图辅助：草图标出对称轴、对称中心、周期区间，一目了然。 易｜错｜点｜拨 · 四性质叠加时逻辑链条断裂，漏用某性质。 · 周期系数错误。 · 化区间时加减周期方向搞错。 答｜题｜模｜板 1. 奇偶性定对称； 2. 对称性算周期； 3. 周期性化区间； 4. 单调性求解； 5. 回代验证。 【典例1】（25-26高一上·云南昆明·期中）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 【典例2】（25-26高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足： ①对任意，都有； ②的图象关于直线对称； ③，. 则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·期中）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（     ） A． B．当时， C． D．当时， 【变式2】（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·广东梅州·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．在区间上单调递增 D．的解集为 3．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知为上的奇函数，，且，则___________． 4．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 3．（25-26高一上·江苏常州·期中）研究发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定： （1）函数的对称中心是___________； （2）_____. 4．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·陕西西安·期中）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 2．（25-26高一上·黑龙江吉林·期中）已知函数满足以下条件：①；②；③，则（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川成都·期中）定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，若，且，，恒成立，实数的取值范围为_____. 4．（25-26高一上·山东·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； (3)对，都有，求实数的取值范围． 附：． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 函数单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合 （期中复习讲义·培优版） 内 容 导 航 明·期中考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 函数的单调性及其应用 题型02函数的奇偶性及其应用 题型03 函数的对称性及其应用 题型04函数的周期性及其应用 题型05 函数的单调性与奇偶性综合 题型06 函数的奇偶性与周期性综合 题型07 函数的奇偶性与对称性综合 题型08 函数的周期性与对称性综合 题型09 函数的单调性与对称性综合 题型10 函数的单调性、奇偶性与对称性综合 题型11 函数的单调性、奇偶性与周期性综合 题型12 函数的奇偶性、周期性与对称性综合 题型13 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 单调性的判断与应用 三法判断：定义法（取值—作差—定号）、导数法、复合函数”同增异减”；会用单调性比较大小、解 型不等式 选择填空高频；“脱 ”前必须确认在同一单调区间内 奇偶性与对称性 为偶（关于 轴）、 为奇（关于原点）；推广： 轴对称、 中心对称 常与周期性联立；对称式的等价变形是解题关键 周期性与三性综合 ；由奇偶 + 对称推周期：两对称轴 周期为间距 2 倍，对称轴 + 对称中心 周期为间距 4 倍；用周期化大 到已知区间再求值 选择填空压轴常客；“化归到已知区间求值”是核心考法 知识点01 单调性的定义与判定 核心概念： · 增函数：，； · 减函数：，。 判定方法： 1. 定义法：取值 → 作差 → 变形 → 定号 → 结论； 1. 导数法： 增， 减； 1. 复合函数法：“同增异减”——内外层单调性相同则增，相反则减； 1. 图像法：从左到右上升为增，下降为减。 常用结论： · 增 减； · 增+增=增，减+减=减； · 奇函数在对称区间上单调性相同； · 偶函数在对称区间上单调性相反。 示例： 证明 在 上单调递增。 证：取 ， 因 ，，，故 ，增。 易错点： · 易错点总结：作差后不定号，变形不彻底。 · 注意事项总结：定义法作差后必须因式分解到能判断符号，常用平方差、配方、通分。 知识点02 奇偶性的定义与判定 核心概念： · 偶函数：，图像关于 轴对称； · 奇函数：，图像关于原点对称。 前提条件：定义域关于原点对称（否则无奇偶性）。 重要结论： · 奇函数若 在定义域内，则 ； · 奇±奇=奇，偶±偶=偶； · 奇×奇=偶，偶×偶=偶，奇×偶=奇。 示例： 判断 的奇偶性。 解：定义域 且 ，即 ，关于原点对称。 化简：，，故 。 故为奇函数。 易错点： · 易错点总结：不先看定义域是否关于原点对称，直接代 判断。 · 注意事项总结：判断奇偶性第一步先求定义域，不对称直接非奇非偶。 知识点03 对称性（轴对称与中心对称） 核心结论： 对称类型 代数特征 几何意义 关于 轴对称 图像关于直线 对称 关于 中心对称 图像关于点 对称 关于 中心对称 图像关于点 对称 常见推论： · 对称轴 ； · 关于 对称 。 示例： 若 ，求对称轴。 解：对称轴 ，即关于 对称。 易错点： · 易错点总结：对称轴公式记错——不是 ，是 。 · 注意事项总结： 的对称轴是 ，取平均。 知识点04 周期性 核心概念：若存在非零常数 ，使 都有 ，则 为周期。 常见周期结论： 函数方程 周期 示例： 已知 ，求周期。 解：，故 。 易错点： · 易错点总结：周期算成 而非 。 · 注意事项总结：写两步递推再下结论，不要一步跳到周期。 知识点05 知二求二（双对称推周期） 核心模型：函数同时有两种对称性，可推出周期性。 核心结论（高频）： 条件 周期 两条对称轴 和 两个对称中心 和 一条对称轴 + 一个对称中心 易错点： · 易错点总结：对称轴+对称中心的周期算成 ，实际是 。 · 注意事项总结：“两轴两心都两倍，轴心混合四倍”——两条对称轴或两个对称中心，周期是 ；一条对称轴加一个对称中心，周期是 。 知识点06 奇偶性与单调性综合（解不等式） 核心模型：利用奇偶性把不等式转化到同一单调区间，再用单调性”脱 “。 核心方法： 1. 利用奇偶性把不同括号内的自变量化到同一单调区间； 1. 用单调性”脱 “——增函数 ； 1. 注意定义域限制。 示例： 是奇函数，在 上单调递增，，解不等式 。 解：奇函数在对称区间同单调性，故 在 也增。 。 ： ① ：； ② ：。 综上 。 易错点： · 易错点总结：忘定义域——“脱 ”后自变量必须落在单调区间内。 · 注意事项总结：解抽象不等式三步走：定性（奇偶+单调）→ 转化（到同区间）→ 脱 （注意定义域）。 知识点07 周期性与函数值计算 核心模型：利用周期把大自变量化到已知区间，再求函数值。 方法：，把大 减去周期倍数，化到已知区间。 示例： 周期为 ，当 时 ，求 。 解：。 易错点： · 易错点总结：取模方向错——化到 而非 。 · 注意事项总结：减周期时化到已知区间的范围内，注意区间端点开闭。 知识点08 四性质综合（高频压轴） 核心题型：同时给出奇偶性、对称性、周期性中的两个，求函数值、解不等式或求解析式。 解题策略： 1. 画轴：标出对称轴、对称中心、周期； 1. 平移：利用周期把自变量化到已知区间； 1. 对称转换：利用奇偶/对称把负区间化到正区间； 1. 单调比较：用单调性比较函数值大小。 示例： 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ，求 。 解：周期 。 易错点： · 易错点总结：三个性质混用，方向混乱。 · 注意事项总结：综合题一步一步来——先求周期，再把自变量化到已知区间，最后用奇偶/对称转换，不要跳步。 题型一 函数的单调性及其应用 解｜题｜技｜巧 · 判断方法：定义法（作差变形定号）、导数法、图像法、复合函数”同增异减”。 · 应用： · 比较大小：化到同一单调区间，利用单调性； · 解不等式：利用单调性”脱去”函数符号 ； · 求参数：单调性转化为恒成立/最值问题。 · 复合函数：内层外层同增减则增，异增减则减。 易｜错｜点｜拨 · 单调区间写法：多个单调区间用”和”或逗号连接，不能用 。 · 复合函数”同增异减”方向搞反。 · 定义法证明时变形不彻底，无法定号。 答｜题｜模｜板 1. 取值 ； 2. 作差 ； 3. 变形（因式分解、通分、有理化）； 4. 定号，下结论。 【典例1】（25-26高一上·湖南娄底·期中）已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 【典例2】（25-26高一上·云南曲靖·期末）已知定义域为R的函数，若为R上的减函数，则实数a的取值范围为（   ） A．[0,＋) B．[1,2] C．[0,1] D．[0,2] 【答案】C 【详解】因为是R上的减函数， 所以，可得, 所以的取值范围为． 【变式1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数. (1)判断函数在上的单调性并用定义证明； (2)若函数满足不等式，求实数的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增，证明如下： 、且， ， 因为，所以，，，则， 所以，则，即， 故函数在上单调递增. (2) 【分析】（1）根据单调性的定义证明即可； （2）不等式等价于，利用（1）的结论即可列出不等式，进而求解. 【详解】（1）略 （2）因为，，且在上单调递增， 由可得，所以，解得或， 所以不等式的解集为. 【变式2】（25-26高一上·广西南宁·期中）已知函数且经过，两点. (1)求函数的解析式； (2)利用单调性的定义证明：在上单调递增. 【答案】(1) (2)证明：任取，且， 则 ， 因为，且， 所以， 故， 故， 所以在上单调递增. 【分析】（1）将已知两点坐标代入解析式后求解； （2）根据单调性的定义证明：任取，且，利用作差法证明. 【详解】（1）将点，的坐标代入解析式得， 解得，故. （2）略 题型二 函数的奇偶性及其应用 解｜题｜技｜巧 · 前提：定义域关于原点对称。 · 奇函数：，图像关于原点对称；偶函数：，图像关于 轴对称。 · 奇函数若在 有定义，则 。 · 应用：求函数值、解不等式、求解析式。 易｜错｜点｜拨 · 不先判断定义域是否关于原点对称。 · 分段函数奇偶性分段判断。 · 奇函数忘用 。 答｜题｜模｜板 1. 验定义域关于原点对称； 2. 求 ； 3. 比较 与 ； 4. 下结论。 【典例1】（25-26高一上·天津滨海·期中）已知，是偶函数，则（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】根据偶函数的定义，定义域关于原点对称求得，再利用列式求得，即可得. 【详解】因为偶函数的定义域关于原点对称，所以 ，且 ，解得； 由为偶函数，得，即， 即，因不恒为0，故，则． 【典例2】（25-26高一上·四川成都·期中）函数的图象大致是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得函数的定义域为. ， 且， 为奇函数，所以函数的图象关于原点对称，故排除D； 又且时，，故排除C； 当时，，故A不正确，B正确. 【变式1】（25-26高一上·江苏扬州·期中）若函数是奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是奇函数，所以， 当时，，所以， 所以． 【变式2】（25-26高一上·山西运城·期中）判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3) 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 (3)偶函数 【详解】（1）∵函数的定义域为R，关于原点对称， 又， ∴为偶函数． （2）∵函数的定义域为，关于原点对称，且， ∵， ∴既是奇函数又是偶函数． （3）的定义域是，关于原点对称． 当时，， ； 当时，， ． 综上可知，对于，都有，为偶函数． 题型三 函数的对称性及其应用 解｜题｜技｜巧 · 轴对称： 图像关于 对称。 · 中心对称： 图像关于点 对称。 · 偶函数是 的轴对称；奇函数是 的中心对称。 易｜错｜点｜拨 · 轴对称与中心对称公式混淆。 · 的对称轴是 ，不是 或 。 答｜题｜模｜板 1. 从已知等式提取对称轴/对称中心； 2. 利用对称性转化区间上的函数值； 3. 结合单调性/奇偶性求解。 【典例1】（25-26高一上·福建福州·期中）若函数图象的一条对称轴为直线，则的值是______． 【答案】11 【分析】利用函数的对称性求解. 【详解】函数的两个零点， 因为图象的一条对称轴为直线， 所以根据对称性，得到该函数的另外两个零点为， 所以方程的两个根为， 所以，解得， 此时，函数解析式为， 因为 ， ， 所以，所以函数图象的一条对称轴为直线，满足题意， 所以， 故答案为：11. 【典例2】（25-26高一上·北京昌平·期中）函数的图象的对称中心坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意，求出的解析式，计算推得，由此即得图象的对称中心. 【详解】根据题意，函数，则， 因为， 所以函数的图象的对称中心的坐标为， 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）函数的图像关于点中心对称，则_____. 【答案】/ 【分析】根据对称中心求得，从而求得. 【详解】函数的图像关于点中心对称， 所以，解得， 所以. 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·天津南开·期中）函数的图象关于直线对称，则_____________. 【答案】 【分析】的图象关于对称，结合已知可求. 【详解】由与轴交于点，保留图象在轴上方的部分， 把在轴下方的部分翻折到轴的上方可得的图象， 所以的图象关于对称， 又函数的图象关于直线对称，所以，解得. 故答案为：. 题型四 函数的周期性及其应用 解｜题｜技｜巧 · ， 为周期。 · 常见推论： · ； · ； · 。 · 周期函数求值：利用周期性化到已知区间。 易｜错｜点｜拨 · 周期公式记错（ 的周期是 不是 ）。 · 忽略最小正周期与一般周期的区别。 答｜题｜模｜板 1. 由已知等式推周期； 2. 将目标 化到已知区间； 3. 求函数值。 【典例1】若定义在上的函数满足，且，则________． 【答案】 【分析】利用所给等式求得的周期为4后即可求解 【详解】因为，所以，所以， 4为的一个周期，则． 【典例2】（25-26高一上·湖南怀化·期中）若函数，则__________. 【答案】 【分析】根据，可得，即 【详解】因为， 所以 又， 所以 故答案为：. 【变式1】（25-26高一上·陕西渭南·期中）已知，若，则__________. 【答案】 【分析】先计算函数值得出函数以4为周期，再应用周期得出函数值. 【详解】由题意，， ， 所以， 因此以4为周期， 所以. 故答案为：. 【变式2】已知函数对任意，都有，且当时，，则_____________． 【答案】2026 【分析】由题意结合函数周期性即可计算求解. 【详解】由知函数的一个周期为5， 则． 故答案为：2026 题型五 函数的单调性与奇偶性综合 解｜题｜技｜巧 · 奇函数在对称区间上单调性相同；偶函数在对称区间上单调性相反。 · 利用奇偶性把未知区间的函数值化到已知单调区间，再用单调性比较大小或解不等式。 · 为增函数 + 奇函数 。 易｜错｜点｜拨 · 偶函数对称区间单调性搞反。 · 解不等式时忘记函数定义域限制。 答｜题｜模｜板 1. 利用奇偶性化到已知单调区间； 2. 用单调性脱去 ； 3. 解不等式，注明定义域。 【典例1】（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，都有；③．则下列选项成立的是（   ） A． B．成立的充要条件是 C．若，则 D．，使得 【答案】ABD 【分析】根据题设条件依次判断函数的奇偶性和单调性，结合选项要求利用函数的单调性、图象对称性和最值分析逐一判断即可. 【详解】定义在上函数的图象是连续的，且满足以下条件： ①，，说明函数是偶函数；②，当时，都有，则函数在上是增函数；③. 对于A，成立，故A正确； 对于B，因 ，解得，故B正确； 对于C，由①得是定义在上的偶函数，则，又函数在是增函数， 所以当或时，；当时，， 则等价于或可得，故C错误； 对于D，因为函数是连续函数，又是偶函数，在时是增函数， 即是函数的最小值，则，，使得，故D正确. 【典例2】（25-26高一上·江西南昌·期中）函数是定义在上的奇函数，当时，． (1)求的解析式； (2)判断的单调性，并证明你的结论； (3)求不等式的解集． 【答案】(1) (2)在和上单调递增，证明如下： 令， ， 所以，在区间上单调递增， 又函数是定义在上的奇函数， 所以，在区间上单调递增， 综上，在和上单调递增，得证． (3) 【分析】（1）由得，代入已知解析式，再利用奇函数的性质变形，进而得到的解析式； （2）令，从而通过判断的符号即可得到在区间上单调性，再结合奇函数的性质也可得到在区间上单调性，进而即可得到的单调性； （3）结合（2），分和两种情况分析，进而根据和即可求出 不等式的解集． 【详解】（1）因为是定义在上的奇函数， 当时，，则， 所以． 所以． （2）略 （3）由（2）可得， 当时，，所以，，，； 由，得； 当时，，所以，，，； 由，得． 综上，不等式的解集为． 【变式1】（25-26高一上·广东广州·期中）已知函数，，则（   ） A． B．为奇函数 C．为减函数 D． 【答案】BCD 【分析】代入直接计算判断A；根据奇函数的定义判断B；根据，结合指数函数的单调性判断C；根据的单调性与奇偶性解不等式判断D. 【详解】对于A，因为，故，显然（），故A选项错误； 对于B，由题意函数的定义域为，关于原点对称，，故为奇函数，B选项正确； 对于C，，由于，故为上的单调递减函数，为上的单调递增函数，为上的单调递减函数， 所以为上的单调递减函数，C选项正确； 对于D，由于为上的单调递减函数，且为奇函数， 所以， 所以，即，显然恒成立 所以恒成立，D选项正确. 故选：BCD 【变式2】（25-26高一上·广东揭阳·期中）已知是定义在上的奇函数． (1)求，的值及的解析式； (2)判断在定义域上的单调性，并证明； (3)解不等式：． 【答案】(1) (2) 在定义域上单调递增，证明如下： 设 ，易知 ，，，. 则 则 ，所以 在 上单调递增. (3) 【详解】（1）由已知 是定义在 上的奇函数，可得 . 又 ，所以 ，，.经检验，满足条件. （2）略 （3）因为 是定义在 上的奇函数，且 在 上单调递增， 由 可得 所以解得 ，故原不等式的解集为 . 题型六 函数的奇偶性与周期性综合 解｜题｜技｜巧 · 奇函数 + 周期 ： 且 。 · 奇函数 + 周期可推出额外对称中心。 · 求值：先周期化，再用奇偶性。 易｜错｜点｜拨 · 周期化时加减周期方向搞错。 · 忽略 的特殊结论。 答｜题｜模｜板 1. 用周期化到原点附近； 2. 用奇偶性定号； 3. 求函数值。 【典例1】（25-26高一上·山东威海·期中）已知是定义在上的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】8 【详解】因为，所以，即函数的周期为6， 又函数为偶函数，所以. 【典例2】（25-26高一上·广东江门·期中）已知是定义域为的偶函数，且，当时，，则________． 【答案】 / 【分析】先利用偶函数性质将转化为，再结合周期为2的性质将自变量转化到区间内，代入已知解析式计算即可. 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以. 由可知，函数是周期为的周期函数， 因此. 因为，所以， 故. 【变式1】（25-26高一上·上海静安·期中）已知定义在R上的偶函数的最小正周期为2，当时，，则当时，______． 【答案】 【详解】当时，， ， 又定义在R上的偶函数，且最小正周期为2， ， ． 【变式2】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知函数是上的奇函数，且，当时，，则________． 【答案】/ 【分析】根据得到函数的周期，进而得到，结合函数为奇函数及函数解析式求值即可. 【详解】因为， 所以，即， 所以是周期为4的周期函数. ， 又函数是上的奇函数，当时，， 所以， 因此. 故答案为：. 题型七 函数的奇偶性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 奇函数本身就是中心对称（原点）；偶函数本身就是轴对称（ 轴）。 · 若函数同时有轴对称和中心对称，则可推出周期性（见题型12）。 · 利用对称性把函数值化到已知区间。 易｜错｜点｜拨 · 对称中心与对称轴混淆。 · 多个对称关系叠加时推导周期出错。 答｜题｜模｜板 1. 提取对称轴和对称中心； 2. 利用对称性转化函数值； 3. 结合单调性求解。 【典例1】（25-26高一上·辽宁辽阳·期中）已知奇函数的定义域为，为偶函数，则________. 【答案】0 【分析】先利用偶函数的对称性得到，再结合奇函数性质及即可推出结果. 【详解】因为为偶函数，所以， 则， 又因为是上的奇函数，所以. 【典例2】（25-26高一上·山东烟台·期中）已知函数是奇函数，若函数与图象的交点分别为，则交点的所有横坐标和纵坐标之和为______. 【答案】6 【分析】利用函数的奇偶性以及对称性分析计算，即可得结果. 【详解】因为函数是奇函数，图象关于原点对称，所以的图象关于对称， 函数的图象也关于对称， 所以函数与图象的交点关于对称， 两个函数有个交点，所以交点的所有横坐标和纵坐标之和为. 故答案为：6. 【变式1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．若的对称中心为，则_______． 【答案】 【分析】利用给定性质求出的对称中心，再利用中心对称函数的性质求解即可. 【详解】令，因为， 所以，因为的对称中心为， 所以是奇函数， 故，化简得， 当时，有定义，故， 即得到，而， ， 故， 解得，，可得关于中心对称， 故，即， ，， 故， . 故答案为： 【变式2】（25-26高一上·江苏扬州·期中）为定义在上的奇函数，函数图象关于直线对称，且，则_________. 【答案】 【分析】由函数奇偶性，对称性通过赋值计算即可. 【详解】因为为定义在上的奇函数，则， 则 又函数图象关于直线对称，则， 所以， 所以， 所以， 故答案为： 题型八 函数的周期性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 两条轴对称： 且 周期 。 · 两条中心对称： 且 周期 。 · 一条轴对称 + 一条中心对称 周期 。 答｜题｜模｜板 1. 提取对称轴/对称中心； 2. 判断对称类型（同/异）； 3. 算周期； 4. 周期化求解。 【典例1】（25-26高一上·海南三亚·期中）已知函数满足，且当时，且），则_______，_______． 【答案】 2 【分析】取，求得，代入解析式求得，然后利用函数满足的等式求得函数周期性即可求得结果. 【详解】在中，令，可得， 所以，所以. 在中，用替换，可得， 又，所以， 用替换得，∴， 即以4为周期. 所以. 故答案为：2 ； 【典例2】（25-26高一上·江苏南通·期中）设函数的定义域为，，当时，．若，且，则______． 【答案】/ 【分析】由题意可求得的周期为12，利用对称性质结合且，可求得，的值，从而得到时，的解析式，再利用周期性及对称性求出的值． 【详解】因为，所以， 又，所以，所以， 所以，所以，所以函数周期是， 由可知， 又可知，所以， 由及可知，所以， 所以，结合，求得， 所以当时，． 所以． 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·四川眉山·期中）已知函数的定义域为R，且为奇函数，其图象关于直线对称．当时，，则________． 【答案】4 【分析】结合函数的奇偶性以及函数的对称性，判断出函数的周期，然后求解 . 【详解】因为为奇函数，所以的图像关于点对称， 所以， 又因为图象关于直线对称， 所以 用替换解得： 用替换解得： 故有 所以8是的周期， 所以 故答案为：4. 【变式2】（25-26高一上·山西临汾·期中）已知函数的定义域为，且，，则______． 【答案】 【分析】令求，令求，令得，通过迭代求周期，然后可解. 【详解】令，则， 因为，所以， 令，则，得， 令，则，即， 所以， 所以 所以，所以，即， 是以6为周期的周期函数， 所以， 故答案为：. 题型九 函数的单调性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 对称轴两侧单调性相反；对称中心两侧单调性相同。 · 利用对称性把比较大小/解不等式化到同一单调区间。 · 二次函数是典型：对称轴两侧单调性相反。 易｜错｜点｜拨 · 对称轴两侧单调性方向搞反。 · 忘记比较自变量到对称轴的距离。 答｜题｜模｜板 1. 确定对称轴/中心； 2. 把各点化到同一单调区间； 3. 用单调性比较。 【典例1】（25-26高一上·湖南长沙·期中）已知定义在上的函数满足，且在上单调递增，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由 知 的图象关于直线 对称；结合 在 上单调递增，可知自变量离 越远，函数值越大，故只需比较三个自变量与 的距离大小. 【详解】因为 ，所以 的图象关于直线 对称. 因为 ，，， 所以 ，，， 故 . 又 在 上单调递增，且图象关于直线 对称， 所以自变量离 越远，函数值越大，从而 . 【典例2】（25-26高一上·江苏徐州·期中）已知函数，对于，都有成立，且任取，，若 ，则的取值范围是 ___________. 【答案】 【分析】由已知得对称性、单调性，然后利用这两个性质解不等式． 【详解】，都有成立，则函数图象关于直线对称， 任取，，则在上单调递减， 所以在上单调递增， 所以由得或． 故答案为：． 【变式1】（25-26高一上·福建莆田·期中）函数的定义域为R，满足，且对，.记，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得，结合单调函数的定义可知在上单调递增，进而求解. 【详解】由题意知，， 由， 得， 因为，所以. 又， 所以在上单调递增，则， 即. 故选：B 【变式2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知函数为定义在上的函数，对任意的，均有成立，且在上单调递减，若，则不等式的解集为__________． 【答案】 【分析】根据函数的对称性及单调性之间的关系即可求解. 【详解】由题意，因为函数对任意的均有， 所以可得函数的图象关于对称， 又由在上单调递减，则在上单调递增， 因为，可得， 则不等式，可得，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型十 函数的单调性、奇偶性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 三性质联动：奇偶性给出对称中心/轴，对称性推出额外区间的单调性，单调性用于比较/解不等式。 · 策略：先由奇偶性定对称中心，再由对称性补全单调区间，最后用单调性求解。 易｜错｜点｜拨 · 三性质叠加时遗漏某一性质的应用。 · 对称区间单调性推导错误。 答｜题｜模｜板 1. 由奇偶性得对称中心； 2. 由对称性补全单调区间； 3. 用单调性求解。 【典例1】（25-26高一上·四川宜宾·期中）在R上定义的函数是偶函数，且，若在区间上是减函数，则（    ）． A．在区间上是增函数﹐在区间上是增函数 B．在区间上是增函数，在区间上是减函数 C．在区间上是减函数，在区间上是增函数 D．在区间上是减函数，在区间上是减函数 【答案】B 【分析】根据函数关于轴和轴对称，利用已知区间的单调性求解. 【详解】因为，所以函数关于成轴对称， 所以区间与区间，区间与关于对称， 由函数在区间上是减函数，可知函数在上是增函数， 又函数是偶函数，所以函数在上是增函数， 所以函数在上是减函数， 故选：B 【典例2】（25-26高一上·河南信阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，，则的解集为__________ 【答案】 【分析】通过分析得到函数的图象，解不等式组或即得解. 【详解】 因为函数是偶函数，所以的图象关于直线对称． 由在上单调递减，得在上单调递增，且， 所以当或时，，当时，． 函数的图象如图所示， 等价于或 即或, 解得或. 故答案为： 【变式1】（25-26高一上·辽宁丹东·期中）已知函数的定义域为为偶函数，为奇函数，当时，，若，则（    ） A．在区间上是增函数，且有最小值为 B．在区间上是减函数，且有最大值为 C．在区间上是增函数，且有最大值为 D．在区间上是减函数，且有最小值为 【答案】A 【分析】利用抽象函数的奇偶性推出函数的周期性与对称性，再根据赋值法结合单调性一一判定选项即可. 【详解】因为为偶函数，所以①，且函数关于轴对称， 又为奇函数，所以②，且函数关于中心对称， 所以有， 即的一个周期为， 令代入②得，即， 令代入①得，所以， 解之得，所以，    如图所示，根据函数的对称性与周期性可知： 关于轴对称，关于中心对称，可得在区间的图象， 易知在区间上是增函数， 且有最小值为，故A正确，B错误； 在区间上是减函数， 且有最大值为，最小值为，故C，D都不正确． 故选：A 【变式2】（25-26高一上·重庆渝中·期中）已知定义在R上的偶函数满足：，对，，当时，，且，则不等式在上的解集为______． 【答案】 【解析】先分析得到函数在上单调递减，周期，再得到当时，，即得解. 【详解】因为对，，当时，， 所以在上单调递减，而， 由偶函数得当时，； 又可得周期， 因为， 所以当时，； 于是的解集为． 故答案为： 【点睛】方法点睛：对于函数的问题的研究，一般从函数的单调性、奇偶性和周期性入手，再研究求解. 题型十一 函数的单调性、奇偶性与周期性综合 解｜题｜技｜巧 · 周期函数求值：先周期化到原点附近，再用奇偶性定号，单调性用于区间比较。 · 奇函数 + 周期：，对称区间单调性相同。 · 偶函数 + 周期： 不一定为0，对称区间单调性相反。 易｜错｜点｜拨 · 周期化方向错误。 · 奇偶性与周期叠加时符号搞错。 答｜题｜模｜板 1. 周期化到已知区间； 2. 用奇偶性转化； 3. 用单调性求解。 【典例1】（25-26高一上·云南曲靖·期中）已知偶函数，对于，都有成立，且任取，都有，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的奇偶性和对称性推理出周期，进而结合奇偶性得到单调性，将目标函数均转化至同一区间内，最后比较大小即可. 【详解】由题意得，都有成立，则函数图象关于点对称， 为偶函数，的图象关于对称，即， 若，则， 可得，而， 化简得，周期， 而任取，， 在上单调递减， 为偶函数，在上单调递增， 函数图象关于点对称， 故在上单调递增，在上单调递减， 则， ，， 因为，所以． 【典例2】（25-26高一上·广东深圳·期中）偶函数满足，且在区间上严格增，则它在区间上的单调性为___________. 【答案】严格减 【分析】由及奇偶性可得，从而可得在上的单调性即为在上的单调性，根据偶函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以. 因为为偶函数，所以， 所以， 所以在上的单调性即为在上的单调性. 因为为偶函数，且在区间上严格增， 所以在上严格减，即在上严格减. 故答案为:严格减. 【变式1】（25-26高一上·陕西西安·期中）已知定义在上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数对称性和奇偶性得到的周期为8，化简得到，，，结合函数在上的单调性和奇偶性得到在上递增，从而比较出大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以， ∴. 故选：D 【变式2】（25-26高一上·贵州贵阳·期中）已知是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则的单调递增区间是__________. 【答案】 【分析】由题设得是周期为8的奇函数，结合区间解析式画出大致图象，数形结合确定一个递增区间，由周期性写出递增区间. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且满足，则， 所以，即， 所以函数是周期为8的奇函数，作出大致图象如下图所示： 根据图象知，是的一个单调递增区间， 根据周期性知，的单调递增区间是. 故答案为： 题型十二 函数的奇偶性、周期性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 奇偶性本身就是对称性（奇=中心对称，偶=轴对称）。 · 已有一条对称（奇偶性）+ 另一条对称轴/中心 可推出周期。 · 策略：先识别奇偶性对应的对称，再加第二条对称，算周期，最后求解。 易｜错｜点｜拨 · 奇偶性对应的对称类型识别错误。 · 周期系数 与 混淆。 答｜题｜模｜板 1. 奇偶性 第一条对称； 2. 第二条已知对称； 3. 算周期； 4. 周期化求解。 【典例1】（25-26高一下·云南文山·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则（    ） A．1 B．0 C．-1 D．-2 【答案】A 【分析】先根据对称性和奇偶性得出周期，再计算一个周期内的函数值之和即可. 【详解】因为，，所以， 则，则，则， 则是的一个周期， 因为当时，，所以，， 则，， 则，则 则 【典例2】（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数是定义域为上的奇函数，满足，若，则______． 【答案】0 【分析】利用函数的奇偶性和对称性可推出函数具有周期性，再利用恒等式进行赋值，即可计算结果. 【详解】由函数是定义域为上的奇函数，可得，， 再由可得：， 赋值可得， 由上两式可得: ，赋值可得， 再用代替得：， 由上两式可得：， 即是一个周期为的函数，因为， 所以 ， 故答案为：0 【变式1】（25-26高一下·贵州六盘水·期中）已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇函数性质和偶函数的性质，推导的对称性与周期性，再逐一验证各选项即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以对任意，有； 因为为偶函数，所以， 令可得，即的图象关于直线对称， 故对任意，. 所以， 所以，即是周期为4的周期函数. 选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C错误； 选项D，，故D错误. 【变式2】（25-26高一上·江西赣州·期中）已知函数的定义域为，满足，当时，的定义域为，则___________. 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性以及周期性即可代入求解. 【详解】，故为上的奇函数， ，则， ，，为周期为4的周期函数， . 故答案为： 题型十三 函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性综合 解｜题｜技｜巧 · 四性质联动，是压轴题。 · 解题路线： 10. 奇偶性 定对称中心/轴； 10. 对称性 算周期； 10. 周期性 化到已知区间； 10. 单调性 比较大小/解不等式。 · 画图辅助：草图标出对称轴、对称中心、周期区间，一目了然。 易｜错｜点｜拨 · 四性质叠加时逻辑链条断裂，漏用某性质。 · 周期系数错误。 · 化区间时加减周期方向搞错。 答｜题｜模｜板 1. 奇偶性定对称； 2. 对称性算周期； 3. 周期性化区间； 4. 单调性求解； 5. 回代验证。 【典例1】（25-26高一上·云南昆明·期中）已知定义在上的函数为偶函数，且满足，当时，，则下列说法正确的是（   ） A．为周期函数 B．的图象关于点对称 C．当时， D． 【答案】AC 【分析】利用周期函数的定义可判断A；利用对称性的代数定义可判断B;利用周期性与奇偶性以及时的解析式可判断C；利用周期性可计算的值，然后求出的范围可判断D. 【详解】由可得得， 所以，故是周期为4的周期函数，选项A正确； 由和偶函数性质，得， 因此，图象关于直线对称，而非点对称，故选项B错误； 利用和已知区间上的解析式， 当时，，则， 再由偶函数得时， 故当时，选项C正确； 由的周期，， 所以， 又因为为奇函数，当时，，所以， 从而的值域为，在此区间上，所以， 故恒成立，选项D错误. 【典例2】（25-26高一上·浙江温州·期中）定义在上的函数满足： ①对任意，都有； ②的图象关于直线对称； ③，. 则下列说法正确的是（   ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对称性可得的图象关于对称，直线对称，且以4为周期的周期函数，即可根据函数图象的平移，结合奇偶性的定义求解. 【详解】令，得，即， 可得，故函数的图象关于对称． 又因为的图象关于直线对称，故， 所以的图象关于直线对称， 则，可知是以4为周期的周期函数． 对于选项A：因为的图象是将的图象向左平移2个单位， 故的图象关于轴对称，则， 即，所以是偶函数，故A正确； 对于选项B：的图象是将的图象向左平移1个单位， 故的图象关于原点对称，是奇函数，故B正确； 对于选项C：由，得； 由，得， 所以，故C正确； 对于选项D：由题意得， ，， 则，所以，故D错误． 故选：ABC． 【变式1】（25-26高一上·福建厦门·期中）定义在上的函数满足下列条件：（1）；（2）当时，，则（     ） A． B．当时， C． D．当时， 【答案】ACD 【分析】选项A，取求解；选项C，令得到，取得解；选项B，当时， ，则有，从而得到；选项D，令 ，通过计算整理得到，利用基本不等式得到，从而得到，结合得到结论. 【详解】选项A，因为，所以取，得到， 解得，选项A正确； 选项C，令，则，即， 取，得到，选项C正确； 选项B，因为当时，， 所以当时， ，则有， 又 ，即，选项B错误； 选项D，令 ，则，即， 两边除以得到，即， 因为，所以，所以， 又因为，所以，即， 则， 选项D正确. 【变式2】（25-26高一上·山东济南·期中）已知函数的定义域为，满足，，当时，恒有，则（    ） A． B．为偶函数 C． D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】A选项，通过赋值得到；B选项，通过赋值得到，即可判断奇偶性；C选项，赋值得到，然后再次赋值即可得到；D选项，令，，然后根据BC选项得到，最后根据定义判断单调性即可. 【详解】令，，则，整理得， 因为，，所以，，故A错； 令，，则，整理得， 所以为偶函数，故B正确； 令，，则， 然后用替换可得，故C正确； 令，，， 所以，， ， 因为，，且为偶函数， 所以，，即， 因为，所以， 所以，即，所以在上单调递减， 故D正确. 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·广东梅州·期中）已知是定义在上的偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据定义域关于原点对称，函数奇偶性的定义列式即可求解. 【详解】由题意可知，得， 并且，即，故， 因此. 2．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时， C．在区间上单调递增 D．的解集为 【答案】ABD 【分析】通过函数奇偶性求解选项A，选项B即可；通过一元二次方程的性质以及函数为偶函数求选项C，选项D即可. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以，所以，故A正确； 对于B选项，设，所以，又因为，所以，故B正确； 对于C选项，当时，，在区间上为增函数，又由为偶函数，则在区间为减函数，故C错误； 对于D选项，当时，，解得，又因为为偶函数，所以当时，若，则有，则的解集为，故D正确. 故选：ABD. 3．（25-26高一上·广东汕头·期中）已知为上的奇函数，，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的定义可求得，从而求解. 【详解】因为为上的奇函数，所以. 又，且，即，解得， 所以. 所以. 故答案为：0. 4．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知函数，． (1)求证：在上单调递增； (2)判断的奇偶性并证明； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明：令，则 ， 因为，，，所以， 所以，即, 则在上单调递增. (2)是奇函数，证明：的定义域为，关于原点对称，且， 所以是奇函数. (3) 【详解】（1）略. （2）略. （3）由是奇函数，得， 因为在上单调递增， 所以解得. 故实数的取值范围是. 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数的定义域为，且它的图象关于对称，当时，恒成立，则下列命题正确的是（   ） A． B． C．在区间内单调递增 D．在时取最大值 【答案】D 【分析】由函数的对称性与单调性逐项分析判断即可. 【详解】当时，恒成立， 所以在上单调递减，由于的图象关于对称， 所以在上单调递增，故C错误； 由于在上单调递增，在上单调递减，在时取最大值，故D正确； 由于的图象关于对称，所以， 由于在上单调递减，所以，故B错误； 与的大小关系不确定，故A错误. 故选：D 2．（25-26高一下·贵州遵义·期中）已知函数的定义域为，和均为偶函数，且当时，，则（   ） A． B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上单调递增 D．函数的图象关于点中心对称 【答案】BC 【分析】先由和为偶函数推导函数的对称性、周期性，再结合的解析式逐一判断选项. 【详解】是偶函数，故，图象关于对称； 是偶函数，故，图象关于对称； 所以， 故是周期为2的周期函数， 选项A：，错误； 选项B：对任意，，，故，图象关于直线对称，正确； 选项C：当时，，故，该二次函数开口向下，对称轴为，在上单调递增，正确； 选项D：若关于中心对称，则，又，所以，令，得，但，矛盾，错误. 3．（25-26高一上·江苏常州·期中）研究发现，命题“函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数”可推广为：“函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数为奇函数”.据此，对于函数，可以判定： （1）函数的对称中心是___________； （2）_____. 【答案】 【分析】根据函数解析式，得到，令，判断其是奇函数，结合题中结论，即可得出结果；由解析式，先得到，依据该式可求题设中的和. 【详解】由得， 令，则， 即为奇函数. 由题中命题可得，函数的对称中心是， 故， 则 . 故答案为：；. 4．（25-26高一上·四川遂宁·阶段检测）已知是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数恒有. (1)求的值； (2)证明：为偶函数； (3)当，证明在上单调递增，并求不等式的解集. 【答案】(1)， (2)证明：令得. ∵是定义在非零实数集上的函数， ∴为偶函数. (3)证明：设任意的， ， ∵， ∴， ∴，即， ∴函数在上单调递增. ∵在上单调递增，且为偶函数， ∴在上是减函数， ∵， ∴， ∴且，解得且， ∴不等式的解集为或. 【分析】（1）令求，令求. （2）令得，结合函数的定义域得为偶函数. （3）用定义法结合题目条件证明在上单调递增，根据函数为偶函数得到在上单调递减，利用函数的单调性求不等式的解集. 【详解】（1）令得，故， 令得，故. （2）略； （3）证明略;不等式的解集为或. 期中综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（25-26高一下·陕西西安·期中）设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，（且），若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数奇偶性可求得函数的周期为4，再根据所给解析式求出一个周期内的函数值之和，可求出结果. 【详解】为偶函数，所以， 令，可得，也即， 因此函数的对称轴为，且； 又因为为奇函数，因此，所以 所以，也即，； 可得，可知函数的周期为4， 又因为当时，（且），所以，可得； 又易知，由可得，可得; 所以； 因此则. 2．（25-26高一上·黑龙江吉林·期中）已知函数满足以下条件：①；②；③，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合函数的奇偶性、周期性逐项分析判断. 【详解】对于A，取，得， 取，得， 由条件① 得的值不恒等于0，因此，A错误； 对于B，取，得，因此B正确； 对于C，取，得，， 因此函数是偶函数，函数是奇函数， 取，得C正确； 对于D，取，得，则， ， 即，因此，D正确. 3．（25-26高一上·四川成都·期中）定义在上的函数满足：对任意的，，都有，且当时，，若，且，，恒成立，实数的取值范围为_____. 【答案】 【分析】根据给定条件，探讨函数的奇偶性及单调性并求出在上的最小值，再结合恒成立建立不等式，利用一次型函数性质列式求解. 【详解】对任意，都有， 当时，， 对任意，取，得，函数是奇函数， 设且，则，而当时，， 因此，即，所以函数在上是减函数， 当时，， 由，恒成立， 得，恒成立， 由一次型函数性质得，解得或或， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．（25-26高一上·山东·期中）函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．已知函数． (1)求函数的对称中心； (2)写出的解析式并判断其单调性（不需要证明）； (3)对，都有，求实数的取值范围． 附：． 【答案】(1) (2)，在上单调递增. (3) 【分析】（1）根据所给充要条件，利用为奇函数求解即可； （2）由（1）所求，带入得解，由作差法证明单调性即可； （3）转化为有关的不等式，利用的单调性、奇偶性化简可得对成立，分离参数，换元后求二次函数的最小值得解. 【详解】（1） , 因为为奇函数，， 所以， 所以，且，解得， 所以函数的对称中心. （2）由（1），在上单调递增. 证明如下： 设， 则 ， 所以，即， 所以函数在上单调递增. （3）由（1）知， 所以，， 所以， 即， 所以， 因为单调递增，所以对成立， 即对成立， 所以对，，令，则恒成立， 由知，当时，， 所以. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $