期中复习专题10 指数与指数函数讲义【知识清单+14大考点+强化训练】-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册
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内容正文：
专题10 指数与指数函数
知识点1：n次方根
1．n次方根的定义
如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
2．a的n次方根的表示
n
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
3．根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
4．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0．
(3)根据n次方根的意义，可得n＝a．
(4)n为奇数时，＝a．
n为偶数时，＝|a|＝
【注意】(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
(2)n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a．
知识点2：分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂
规定：＝＝
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
【注意】分数指数幂它是根式的一种写法，不可理解为个a相乘．
知识点3：有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如无意义()4在a<0时不成立．
知识点4：无理数指数幂的运算
1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．
2．实数指数幂的运算法则
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
知识点5：指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R．
【注意】指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于0且不等于1的常数．
(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上．
(3)ax的系数必须为1．
知识点6：指数函数的图象和性质
项目
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
最值
无最值
定点
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x<0时，0<y<1；
当x>0时，y>1
当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状．
(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
考点一 根式的化简求值
考点二 分数指数幂的化简求值
考点三 指数函数的判断与求值
考点四 根据函数是指数函数求参数
考点五 与指数函数有关的定义域
考点六 与指数函数有关的值域或最值求参数
考点七 指数函数的图象过定点
考点八 利用指数型函数图象求参数
考点九 指数型函数图象的应用
考点十 指数型复合函数的单调性
考点十一 利用指数型函数的单调性求参数
考点十二 利用指数函数的单调性比较大小
考点十三 利用指数函数的单调性解不等式
考点十四 与指数函数的相关的综合问题
考点一 根式的化简求值
1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，那么化简代数式的结果是（ ）
A． B．3 C．-3 D．
2．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高一上·宁夏银川·期中）计算求值：
(1)
(2)若 ，求 的值.
4．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
考点二 分数指数幂的化简求值
5．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算
(1)；
(2)已知，求以及的值．
6．（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________.
7．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
8．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则______.
考点三 指数函数的判断与求值
9．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________．
10．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）下列判断正确的是（ ）
A．是幂函数，且是指数函数
B．是幂函数，且不是指数函数
C．不是幂函数，且是指数函数
D．不是幂函数，且不是指数函数
11．（2026·山东济宁·模拟预测）已知函数，则______.
12．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________.
考点四 根据函数是指数函数求参数
13．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（ ）
A． B．
C． D．且
14．（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
15．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数，且.求函数的解析式.
16．（25-26高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)．
考点五 与指数函数有关的定义域
17．（25-26高三下·北京·阶段检测）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
18．（2026高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
19．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数在区间上有意义，求的取值范围.
20．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域；
(1)
(2)
(3)
(4)
考点六 与指数函数有关的值域或最值求参数
21．（25-26高二下·北京延庆·期末）函数的值域为__________．
22．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
23．（25-26高一上·贵州黔南·期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________.
24．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数．
(1)求的值；
(2)解不等式；
(3)若在上的最小值为，求的值．
考点七 指数函数的图象过定点
25．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
26．（25-26高一上·青海·期中）函数且的图象恒过定点的坐标是______
27．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）若函数（，且）的图象经过定点M，则M的坐标为________．
28．（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点__________.
考点八 利用指数型函数图象求参数
29．（25-26高一上·河北邯郸·期中）（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（ ）
A． B． C． D．
30．（25-26高二下·福建福州·期末）如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线____．（填曲线序号）
31．（25-26高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（ ）
A． B．且
C．且 D．
32．（25-26高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
考点九 指数型函数图象的应用
33．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
34．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（ ）
A． B． C． D．
35．（25-26高一上·福建漳州·期末）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
36．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
考点十 指数型复合函数的单调性
37．（26-27高一上·辽宁·期中）下列函数中在定义域上是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
38．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间．
39．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的值域．
40．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数在上的单调性，并证明．
考点十一 利用指数型函数的单调性求参数
41．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）若函数对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
42．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
43．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
44．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点十二 利用指数函数的单调性比较大小
45．（2026高一·全国·专题练习）填空（“＜”或“＞”）.
（1）__；
（2）__.
46．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
47．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
48．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
考点十三 利用指数函数的单调性解不等式
49．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______.
50．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是______．
51．（25-26高一上·云南玉溪·期末）已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性（不需证明，写出结论即可）；若对，恒成立，求实数的取值范围.
52．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则不等式解集为（ ）
A． B． C． D．
考点十四 与指数函数的相关的综合问题
53．（2026高一·全国·专题练习）已知函数.
(1)求的值；
(2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
54．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
55．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数和．
(1)求函数的单调减区间；
(2)当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围．
(3)若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围．
56．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数）
(1)当时，为偶函数，求的值；
(2)当时，求满足的的取值范围；
(3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围.
1．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（ ）
A． B． C．1 D．2 E．4
2．（26-27高一上·全国·课后作业）化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知函数是奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
4．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知实数满足，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
7．（25-26高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
9．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）设，则下列运算中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．任取，都有
B．函数的值域为
C．函数（且）的图象经过定点
D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称
11．（25-26高一下·贵州毕节·期中）（多选）已知函数，，下列命题正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．对于任意实数a，有
C．任意的，，有成立
D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为
12．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若实数满足，则的值为__________．
13．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）若函数是上的奇函数，则_________.
14．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）不等式的解集为____________.
15．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，求以及的值；
（2）求值：．
16．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数（常数）.
(1)当时，解不等式；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)讨论函数的奇偶性，并说明理由.
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专题10 指数与指数函数
知识点1：n次方根
1．n次方根的定义
如果xn＝a，那么x叫做 a的n次方根，其中n>1，且n∈N*．
2．a的n次方根的表示
n
a的n次方根的表示符号
a的取值范围
n为奇数
R
n为偶数
±
3．根式
式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．
4．根式的性质(n>1，且n∈N*)
(1)负数没有偶次方根．
(2)0的任何次方根都是0，记作＝0．
(3)根据n次方根的意义，可得n＝a．
(4)n为奇数时，＝a．
n为偶数时，＝|a|＝
【注意】(1)是一个恒有意义的式子，不受n的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
(2)n已暗含了有意义，根据n的奇偶性可知a的范围，其运算结果恒等于a．
知识点2：分数指数幂的意义
正分数指数幂
规定：＝(a>0，m，n∈N*，n>1)
负分数指数幂
规定：＝＝
0的分数指数幂
0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
【注意】分数指数幂它是根式的一种写法，不可理解为个a相乘．
知识点3：有理数指数幂的运算性质
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．
【注意】有理数指数幂的运算性质均在有意义的情况下才成立，否则，不一定成立．如无意义()4在a<0时不成立．
知识点4：无理数指数幂的运算
1．无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α为无理数)是一个确定的实数．
2．实数指数幂的运算法则
(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈R)．
(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈R)．
(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈R)．
知识点5：指数函数的概念
一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R．
【注意】指数函数和幂函数的区别：
指数函数的自变量在指数上，而幂函数的自变量在底数上．
判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数是大于0且不等于1的常数．
(2)指数函数的自变量必须在指数的位置上．
(3)ax的系数必须为1．
知识点6：指数函数的图象和性质
项目
a>1
0<a<1
图象
性质
定义域
R
值域
(0，＋∞)
最值
无最值
定点
过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值的变化
当x<0时，0<y<1；
当x>0时，y>1
当x>0时，0<y<1；
当x<0时，y>1
单调性
在R上是增函数
在R上是减函数
奇偶性
非奇非偶函数
对称性
y＝ax与y＝的图象关于y轴对称
①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象大小关系：b<a<1<d<c
解决指数函数图象问题的注意点
(1)熟记当底数a>1和0<a<1时图象的大体形状．
(2)在y轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．
考点一 根式的化简求值
考点二 分数指数幂的化简求值
考点三 指数函数的判断与求值
考点四 根据函数是指数函数求参数
考点五 与指数函数有关的定义域
考点六 与指数函数有关的值域或最值求参数
考点七 指数函数的图象过定点
考点八 利用指数型函数图象求参数
考点九 指数型函数图象的应用
考点十 指数型复合函数的单调性
考点十一 利用指数型函数的单调性求参数
考点十二 利用指数函数的单调性比较大小
考点十三 利用指数函数的单调性解不等式
考点十四 与指数函数的相关的综合问题
考点一 根式的化简求值
1．（26-27高一上·江苏镇江·阶段检测）已知，那么化简代数式的结果是（ ）
A． B．3 C．-3 D．
【答案】B
【详解】因为，，
所以，
因为，所以，，
故.
2．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）设，、是正整数，且，则下列各式中，正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】逐项用分数指数幂与根式的意义判断，注意时根式与指数幂可以互化.
【详解】A项，由分数指数幂的意义，（），正确；
B项，，，两者相等，正确；
C项，且时，正确；
D项，，不等于，错误.
3．（25-26高一上·宁夏银川·期中）计算求值：
(1)
(2)若 ，求 的值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用分数指数幂的运算性质计算.
（2）将已知等式两侧平方，化简计算即可.
【详解】（1）因为，，，，
故原式.
（2）由，等式两侧同时平方可得：，
即，故.
4．（26-27高一上·江苏宿迁·阶段检测）下列根式与分数指数幂的互化中，错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据根式与分数指数幂的互化运算即可求解.
【详解】，则A选项正确；
，则B选项正确；
，则C选项正确；
，则D选项错误.
考点二 分数指数幂的化简求值
5．（26-27高一上·江苏泰州·阶段检测）计算
(1)；
(2)已知，求以及的值．
【答案】(1)
(2)7；6
【分析】（1）利用分数指数幂的运算和根式的化简计算即可；
（2）两边平方，整体代换，利用立方差公式进行求解。
【详解】（1）
（2）由于，则，
即；
，
即，
则.
故；.
6．（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________.
【答案】
【分析】利用指数幂的运算性质计算可得.
【详解】原式
.
7．（26-27高三上·江苏·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值是（ ）
A．6 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【详解】由，有，所以，即，
所以，
当且仅当，即时等号成立，所以的最小值是8．
8．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数，则______.
【答案】
【详解】，
，
．
考点三 指数函数的判断与求值
9．（26-27高一上·全国·课后作业）给出下列函数：①；②；③；④；⑤．其中，指数函数的个数是________．
【答案】1
【详解】根据指数函数的定义：形如（且）的函数为指数函数，
则①②④⑤均不符合题意，③符合题意，故指数函数的个数是1．故答案为1．
10．（25-26高一上·河北邢台·阶段检测）下列判断正确的是（ ）
A．是幂函数，且是指数函数
B．是幂函数，且不是指数函数
C．不是幂函数，且是指数函数
D．不是幂函数，且不是指数函数
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合幂函数､指数函数的定义，即可求解.
【详解】解：由幂函数的定义可知，不是幂函数，
因为，所以是指数函数.
故选：C.
11．（2026·山东济宁·模拟预测）已知函数，则______.
【答案】
【分析】根据分段函数的解析式，先求出，再求出即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：
12．（25-26高一上·上海杨浦·期末）若函数 是指数函数，则的取值范围是__________.
【答案】
【分析】根据指数函数的定义进行求解即可.
【详解】因为函数 是指数函数，
所以有，且，
所以的取值范围是.
故答案为：
考点四 根据函数是指数函数求参数
13．（2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（ ）
A． B．
C． D．且
【答案】B
【详解】由指数函数的定义得，解得.
14．（2026高一·全国·专题练习）若函数是指数函数，求实数的值（ ）
A．1 B．2 C．0 D．
【答案】B
【分析】根据指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值．
【详解】函数是指数函数，可得，解得．
15．（26-27高一上·全国·课堂例题）已知函数是指数函数，且.求函数的解析式.
【答案】
【分析】根据指数函数定义得到方程，解出值并检验即可.
【详解】由题意有，解得或，
当时，，此时，，所以，舍去；
当时，，此时，，所以，满足题意．
故.
16．（25-26高一上·上海·课堂例题）求下列函数的定义域：
(1)；
(2)；
(3)．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）（3）根据二次根式与指数函数性质求解；
（2）利用指数函数性质结合分式的定义求解；
【详解】（1）由题意，，，所以定义域为；
（2）由题意，即，所以定义域为；
（3）由题意，即，，，所以定义域为．
考点五 与指数函数有关的定义域
17．（25-26高三下·北京·阶段检测）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，运算求解即可得函数的定义域.
【详解】令，解得且，
所以函数的定义域为.
故选：C.
18．（2026高二上·北京·学业考试）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据函数的解析式有意义，列出不等式，即可求解.
【详解】由函数有意义，则满足，即，解得，
所以函数的定义域为.
故选：C.
19．（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）函数在区间上有意义，求的取值范围.
【答案】.
【分析】将问题转化为不等式在区间上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求解.
【详解】因为函数在区间上有意义，
所以，不等式在区间上恒成立，
∵，∴，∴.
记，
∵与是上的减函数，
∴函数在上的单调递增.
∴时，恒成立.
∴，即的取值范围是.
20．（26-27高一上·全国·课后作业）求下列函数的定义域和值域；
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1)定义域为，值域且
(2)定义域为R，值域
(3)定义域为，值域
(4)定义域为R，值域
【详解】（1）要使函数有意义，需，即，故所求函数的定义域为．
可知，所以，
因为，所以函数的值域为且.
（2）可知定义域为R，
因为，
所以，所以函数的值域为.
（3）要使函数有意义，应满足，即，所以函数的定义域为，
设，则，
则，故所求函数的值域为．
（4）可知定义域为R.
因为，
因为，所以，得，
所以函数的值域为．
考点六 与指数函数有关的值域或最值求参数
21．（25-26高二下·北京延庆·期末）函数的值域为__________．
【答案】
【详解】当 时， .
由于底数 ， 该函数在 上单调递增.
最小值为 ，最大值为 .
故此段值域为 .
当 时， .
幂指数 ， 该函数在 上单调递增.
当 时， ，最大值为 时， .
故此段值域为 .
综上， 函数的值域为 .
22．（25-26高一下·安徽安庆·开学考试）函数的值域是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数单调性，结合二次函数最值求出值域.
【详解】函数的定义域为R，，当且仅当时取等号，
又函数在上单调递减，因此，
所以函数的值域是.
23．（25-26高一上·贵州黔南·期末）若函数的最小值为，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【分析】设，依题意得的最小值为，根据的取值分成，和三类情况分析函数的单调性，求出其最小值后验证即得参数范围.
【详解】令，则得的最小值为.
当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意；
当，即时，函数在上为减函数，在上为增函数.
①当，即时，函数在上为增函数， ，满足题意；
②当，即时， .令，解得，不满足题意.
综上所述，的取值范围为.
故答案为：.
24．（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数．
(1)求的值；
(2)解不等式；
(3)若在上的最小值为，求的值．
【答案】(1)；
(2)；
(3)．
【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解；
（2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集；
（3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值.
【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数，
则，即，
所以，即，
所以，，；
（2）由（1）可知，
任取，则，，
则，
所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数，
故由式可得，
所以，即，
解得或，故不等式的解集为；
（3），
所以
，
令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为.
当时，则时，，解得；
当时，则时，，解得，舍去；
综上，可知．
考点七 指数函数的图象过定点
25．（25-26高一上·重庆九龙坡·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由指数函数概念得，再根据指数函数性质即可得答案.
【详解】由为指数函数得，解得，
又且，故，
所以函数，令得，此时，
所以函数的图象过定点.
故选：A
26．（25-26高一上·青海·期中）函数且的图象恒过定点的坐标是______
【答案】
【分析】利用指数函数的性质，令，即可求解.
【详解】令，可得，则，
所以的图象恒过定点，
故答案为：.
27．（25-26高一上·贵州贵阳·阶段检测）若函数（，且）的图象经过定点M，则M的坐标为________．
【答案】
【分析】根据指数函数的性质求解即可.
【详解】令，解得，
所以，
所以函数（，且）的图象恒过定点．
故答案为：
28．（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象关于轴对称，则函数且的图象过定点__________.
【答案】
【分析】根据幂函数的定义以及偶函数的性质可得，结合指数函数的恒过点求解即可.
【详解】函数为幂函数，所以，解得：或，
当时，为奇函数，图象不关于轴对称，舍去；
当时，为偶函数，图象关于轴对称，符合题意；
所以，则函数且，
令，得，，
所以函数且的图象过定点为;
故答案为：
考点八 利用指数型函数图象求参数
29．（25-26高一上·河北邯郸·期中）（多选）若函数的图象过第一，三，四象限，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果.
【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示，
若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以．
当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得．
故选：BC．
30．（25-26高二下·福建福州·期末）如图，曲线①②③④中有3条分别是函数，，的图象，其中曲线①与④关于轴对称，曲线②与③关于轴对称，则的图象是曲线____．（填曲线序号）
【答案】②
【分析】由指数函数的性质先确定曲线③是函数的图象，由对称性得的图象.
【详解】由指数函数的单调性可知，函数和的图象分别是曲线③④中的一条，
当时，，所以曲线③是函数的图象，
函数的图象与函数的图象关于轴对称，
所以的图象是曲线②.
故答案为：②.
31．（25-26高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（ ）
A． B．且
C．且 D．
【答案】C
【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果．
【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且，
，且．
故选：．
32．（25-26高一上·上海·课堂例题）若函数（且）的图像不经过第二象限，则有（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】D
【分析】根据指数函数的图象判断求解．
【详解】由指数函数图像的特征可知当时，函数（且）的图像必经过第二象限，故排除选项B、C．
又函数（且）的图像不经过第二象限，
则其图像与轴的交点不在轴上方，所以当时，，即，
故选：D．
考点九 指数型函数图象的应用
33．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）若函数的图象过原点，且无限接近直线但又不与该直线相交，则（ ）
A．0 B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】由题设，，结合过原点求得，再计算求解函数值.
【详解】由的图象无限接近直线但又不与该直线相交，所以，，
令，则，即，则，
34．（25-26高三下·海南·期末）已知函数，当时，有，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】对于A，如图所示：
由时，则与矛盾，故A错误；
选项B，如图所示：
由时，则与矛盾，故B错误；
对于C，如图所示：
由时，，但是此时，故C错误；
对于D，由函数的图象可知，
函数在上单调递减，在上单调递增，
若时，有，则，无法确定，
如图所示：
由，则，即，
由，所以，故D正确.
35．（25-26高一上·福建漳州·期末）函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】探讨函数的奇偶性并排除两个选项，再由时的函数值正负排除并判断即可.
【详解】函数的定义域为，
，
函数是偶函数，图象关于轴对称，排除CD；
当时，，，排除B，选项A符合题意.
故选：A
36．（26-27高三上·四川成都·阶段检测）已知且，，，则a，b，c的大小关系不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】作出三个函数的图象，数形结合即可判断各项.
【详解】记，，，显然有，
在同一个坐标系内作出三个函数的图象，如图：
不妨设，
由图可知，当时，即；
当时，即；
当时，即；
当时，即；
当时，即；
当时，即；
当时，即；
综上，a，b，c的大小关系不可能是.
考点十 指数型复合函数的单调性
37．（26-27高一上·辽宁·期中）下列函数中在定义域上是增函数的为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【详解】对于A，根据幂函数的图象和性质可得，在上单调递增，
又为偶函数，所以在上单调递减，故A错误；
对于B，由指数函数图象和性质可得，为减函数，故B错误；
对于C，由二次函数图象和性质可得，在上单调递增，在上单调递减，故C错误；
对于D，由幂函数的图象和性质可得为增函数，故D正确.
38．（26-27高一上·全国·课堂例题）求函数的单调区间．
【答案】单调递减区间为，单调递增区间为．
【分析】令，可得，结合指数函数性质和二次函数性质及复合函数的单调性判断方法即可确定结论.
【详解】函数的定义域为，
令，时，．
，，
函数为增函数，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
由复合函数法可知函数在上单调递减，在上单调递增．
即函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
39．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）已知函数，
(1)求函数的单调区间；
(2)求函数的值域．
【答案】(1)的减区间为，增区间为
(2)
【分析】本题考查复合函数的性质，通过分析内层函数与外层函数的单调性与值域，即可求得函数的单调区间与值域.
【详解】（1），
在上单调递增，在上单调递减，
又因为在上单调递减，
所以根据复合函数单调性判断法则：的减区间为，增区间为.
（2）令，则，
则，即的值域为.
40．（25-26高一下·云南·开学考试）已知函数．
(1)判断函数的奇偶性，并证明；
(2)判断函数在上的单调性，并证明．
【答案】(1)函数既不是奇函数也不是偶函数．
证明：要使函数有意义，则，解得，
所以的定义域是，
因为函数的定义域不关于原点对称，所以函数既不是奇函数也不是偶函数．
(2)函数在单调递增，在单调递减.
证明：令，，
所以函数在单调递增，在单调递减，
令，则，由指数函数的性质可知在上单调递增，
根据复合函数的单调性可得，在单调递增，在单调递减．
【分析】（1）根据函数的奇偶性定义判断即可；
（2）根据复合函数的单调性判断方法证明即可.
【详解】（1）略
（2）略
考点十一 利用指数型函数的单调性求参数
41．（26-27高三上·天津武清·阶段检测）若函数对任意，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由题设条件判断是上的严格减函数，再根据分段函数为减函数的要求，列不等式求解的取值范围.
【详解】已知函数，
对任意，，说明是上的严格减函数，需同时满足以下三点：
①当时，一次函数单调递减，因此一次项系数小于，即，解得；
②当时，指数函数单调递减，因此底数满足，解得；
③在分段点处，左段函数在趋近于左侧处的取值不小于右段函数在处的取值，
由于在趋近于左侧时，，所以，
化简得，移项整理得，解得；
将三个解集取交集，得实数的取值范围为，故A正确.
42．（25-26高一上·云南昆明·阶段检测）如果函数在上是单调函数，那么实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用指数函数的性质结合二次函数的单调性即可求出的取值范围.
【详解】是底数大于的指数函数，在上严格单调递增，
要让整体在上单调，只需保证在上单调即可，
令，则函数开口向上，对称轴为，
单调递减区间是，单调递增区间是，
在上单调，只需满足对称轴不在内部，
即：或，解得或，
故的取值范围.
43．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意可知可看作由和复合而成；
当时，函数单调递增，要使在上单调递增，
则需在上单调递增，因此需满足，解得，
结合得；
当时，函数单调递减，要使在上单调递增，
则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在；
综合可知的取值范围为.
44．（2026·湖南衡阳·二模）若函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为函数在上为增函数，
且在上为减函数，在上为增函数，
而在上单调递增，所以．
考点十二 利用指数函数的单调性比较大小
45．（2026高一·全国·专题练习）填空（“＜”或“＞”）.
（1）__；
（2）__.
【答案】 ＜ ＞
【详解】（1）∵，∴函数在上是减函数，
又，∴，
（2），
∵函数在上是增函数，
∴，即．
46．（2026·重庆北碚·模拟预测）设，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】找中间量、合理构造函数后，利用指数函数、幂函数的单调性求解
【详解】构造指数函数，底数，所以单调递减，即；
，即.
47．（25-26高三·全国·一轮复习）（多选）已知实数a，b满足等式，则下列关系式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【详解】作出的函数图象，如图所示：
观察易知a，b的关系为或或．
48．（25-26高三下·湖北随州·阶段检测）设，则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞c＞a
【答案】B
【详解】，由幂函数在上单调递增，得，即；由指数函数在上是单调递减，得，即；
.
考点十三 利用指数函数的单调性解不等式
49．（26-27高三上·四川雅安·阶段检测）已知在上的函数，，则=_______；则不等式的解集为_______.
【答案】
【分析】先通过已知条件代入函数表达式，解方程即可求出参数的取值；换元令，结合已得的值化简，通过分析函数单调性构造同构关系，即可解出不等式得到解集.
【详解】由得 ，即，解得，
则，函数的定义域为，
由可知函数为奇函数，
对于，因函数为上的增函数且恒为正数，
则可得在上单调递增，且当时，
设函数，则由，
可得是偶函数.因为当时，单调递增，单调递增且 ，
则在上单调递增.
又因，则不等式等价于，
可得，解得或，
故不等式的解集为.
50．（26-27高三上·福建龙岩·阶段检测）已知函数，且，则实数的取值范围是______．
【答案】
【分析】由题设可得为奇函数，然后判断单调性，据此可得答案.
【详解】，
又定义域为，则为奇函数.
又注意到函数均在上单调递增，
则在上单调递增，结合奇偶性，可得在上单调递增.
则
，
所以.
51．（25-26高一上·云南玉溪·期末）已知函数为奇函数.
(1)求实数的值；
(2)判断函数的单调性（不需证明，写出结论即可）；若对，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用奇函数的定义得出，结合指数幂的运算性质可得出关于的等式，解之即可；
（2）判断出是上的单调增函数，将所求不等式变形为，可得出对恒成立，结合可求得实数的取值范围.
【详解】（1）为奇函数，，
又
.
，即.
（2）是上的单调增函数，理由如下：
任取、且，则，
所以，
即，故函数为上的增函数，
等价于，
，即对恒成立，
，解得，故实数的取值范围是.
52．（25-26高一上·浙江宁波·期末）已知函数，则不等式解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，即可判断的奇偶性与单调性，则不等式等价于，结合单调性与奇偶性转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，
令，
则的定义域为且，
所以为奇函数，又、、均在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以不等式，
即，
即，即，
等价于，解得，
所以不等式解集为.
故选：C
考点十四 与指数函数的相关的综合问题
53．（2026高一·全国·专题练习）已知函数.
(1)求的值；
(2)若对任意，且，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）应用指数运算法则计算求解；
（2）先根据指数复合函数单调性及函数的中心对称性得，再代入求解一元二次不等式即可.
【详解】（1）解：，.
（2）解：对任意的，且，不等式恒成立，
因为函数在上单调递增，函数在上单调递减，
所以，由复合函数同增异减的性质可得函数在上单调递减，，
因为函数在上单调递减，，
所以可得函数在上单调递增，
因为，即，所以，
由（1）可知，即
因为不等式恒成立，
所以，即，解得，
所以，实数的取值范围为.
54．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数（其中，为常数，且，）的图象经过点，．
(1)求的解析式；
(2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
【答案】(1)
(2)．
【分析】（1）根据题意，列出关于的方程组，求得，即可求解；
（2）根据题意，转化为在上恒成立，结合与在的单调性，求得其有最小值，即可得到答案.
【详解】（1）解：因为函数的图象过点和，
可得，所以，
又因为，所以，则，所以．
（2）解：由（1）知：，，
因为不等式在上恒成立，
即当时，恒成立，
即在上恒成立，
又因为与在上均单调递减，
所以在上也单调递减，
所以当时，有最小值，所以，
所以实数的取值范围是．
55．（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知函数和．
(1)求函数的单调减区间；
(2)当时，对任意，，都有成立，求实数a的取值范围．
(3)若对任意的，至少有，，使得，求实数a的取值范围．
【答案】(1)和
(2)
(3)
【分析】（1）根据指数函数及二次函数的性质即可得出判断；
（2）结合（1）求得在的最大值，根据题意列出不等式组即可求解；
（3）根据题意，将条件转化为集合间包含关系，结合函数图像即可求解．
【详解】（1）因为指数函数在上单调递减，所以在上单调递减，
二次函数在上单调递增，在单调递减，
所以的单调减区间为，．
（2）由（1）知，在单调递增，所以，
当时，对任意，，都有成立，等价于，
解得．
所以a的取值范围为．
（3）由题意得，，
并且对于值域中的每一个数，都至少有两个不同的数，使得成立，
①当时，函数在上单调递减，显然，此种情况不成立；
②当时，在上值域为，
由的图像可知，只要使得，则，解得；
③当时，在上值域为，由的图像可知，
要满足即可，即，解得，
综上所述，．
所以a的取值范围为．
56．（25-26高一下·浙江·期中）已知函数（、为非零常数）
(1)当时，为偶函数，求的值；
(2)当时，求满足的的取值范围；
(3)当，时，若存在，对任意，都有，求的取值范围.
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据偶函数的定义可得出关于的等式，解之即可；
（2）当时，由化简得出，利用指数函数的单调性解之即可；
（3）当，时，利用复合函数法分析函数在上的单调性，并求其最大值，于是得出，再利用参变量分离法得出，等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，结合函数单调性与基本不等式可求得的取值范围.
【详解】（1）当时，，
因为是偶函数，所以对任意，都有，
即，化简得，
即对任意的恒成立，故，所以.
（2）当时，，
由得，化简得，
因为，所以，可得，解得.
（3）当，时，.
设，，
因为在上单调递增，在单调递增，
所以在单调递增，所以的最大值为，
从而依题意可得对任意恒成立，
将变形得，可得，
所以恒成立等价于大于等于的最大值且小于等于的最小值，
函数在区间单调递增，有最大值，
函数（当且仅当取等号）有最小值，
所以，即实数的取值范围是.
1．（26-27高一上·全国·课后作业）的值为（ ）
A． B． C．1 D．2 E．4
【答案】E
【详解】
2．（26-27高一上·全国·课后作业）化简的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为二次根式被开方数大于等于0，所以且，即，，
所以，，，，,
所以原式.
3．（25-26高三上·天津西青·阶段检测）已知函数是奇函数，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【分析】由奇函数的概念列方程求参数即可.
【详解】∵函数是奇函数，定义域为，
∴，即，
∴，即，
∴，则，解得，
故选：C．
4．（25-26高一上·福建莆田·期中）函数是指数函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由指数函数的定义列出限制条件，求解不等式组可得答案.
【详解】由指数函数的定义得解得，且，故的取值范围是．
故选：C
5．（25-26高一上·广西百色·期末）已知函数，满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先由不等式判断函数在R上单调递减，再分别对指数段、二次段列递减条件，补充分界点处的衔接约束，解不等式取交集得到a的范围．
【详解】对任意都有成立，等价于是上的单调递减函数，
时，单调递减，则，解得；
时，，开口向下，对称轴，
要在递减，对称轴需在区间左侧，，解得；
时，指数极限值，时，右段的数值为，
是在上的单调递减函数，则，解得，
综上可得实数的取值范围是．
6．（26-27高一上·江苏盐城·阶段检测）已知实数满足，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】B
【分析】通过换元将指数方程转化为一元二次方程，利用完全平方公式的变形求解目标式的值.
【详解】由指数运算性质得，设，其中，则原方程可转化为 ，
即 ，由于，得，
，
因为 ，
所以.
7．（25-26高三上·山西·期中）已知函数（，且）在区间上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】分两种情况讨论，当和分别对函数的单调性进行讨论.
【详解】由题意可知，该函数为指数型复合函数，
当时，令，对称轴为，则要使（，且）在区间上单调递增，则则；
当时， 要使（，且）在区间上单调递增，
则，则，综上，.
综上，实数的取值范围为.
故选：D
8．（25-26高一上·福建厦门·期中）已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】首先判断函数的单调性，根据单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.
【详解】因为，
当时，，则在上单调递减，且，
当时，，则在上单调递减，且，
所以在上单调递减，
不等式，即，
等价于，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：A
9．（25-26高一上·陕西咸阳·期中）（多选）设，则下列运算中正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】根据分数指数幂的运算法则，根式的定义判断．
【详解】，A错；
，B正确；
，C正确；
，D错．
故选：BC．
10．（25-26高一上·四川成都·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．任取，都有
B．函数的值域为
C．函数（且）的图象经过定点
D．在同一坐标系中，函数与函数的图象关于轴对称
【答案】BC
【详解】对于A选项，不妨取，则，A错；
对于B选项，因为，
且函数为上的减函数，故，
所以函数的值域为，B对；
对于C选项，对于函数（且），令可得，
故函数的图象过定点，C对；
对于D选项，函数过点，但函数不过点，
所以函数与函数的图象不关于轴对称，D错.
11．（25-26高一下·贵州毕节·期中）（多选）已知函数，，下列命题正确的有（ ）
A．的图象关于原点对称
B．对于任意实数a，有
C．任意的，，有成立
D．存在实数a，使得关于x的不等式的解集为
【答案】BD
【分析】根据给定的函数，利用函数奇偶性定义判断A；确定单调性判断BC；利用单调性及奇偶性求出不等式解集判断D.
【详解】函数的定义域为，
对于A，，函数是偶函数，
其图象关于轴对称，又不恒为0，因此的图象关于原点不对称，A错误；
对于B，当时，，函数在上单调递增，
则函数在上单调递增，，则，B正确；
对于C，由函数在上单调递增，得任意的，，
有成立，C错误；
对于D，当时，，不等式，
解得或，因此所求解集为，D正确.
12．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）若实数满足，则的值为__________．
【答案】
【分析】由已知式先判断，再构造，利用平方关系求出其值，最后应用立方和恒等式求．
【详解】因为且，若，则，矛盾，所以．
令则所以．
又因此
13．（26-27高三上·上海闵行·阶段检测）若函数是上的奇函数，则_________.
【答案】0
【详解】因为函数是上的奇函数，所以在处有定义，
可得，得到，解得，
当时，得到，，
可得，此时函数是奇函数，符合题意.
14．（26-27高三上·上海黄浦·阶段检测）不等式的解集为____________.
【答案】
【详解】，
又在R上单调递增，故，
化简得，解得，故解集为
15．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）（1）已知，求以及的值；
（2）求值：．
【答案】（1）,;（2）.
【分析】（1）把已知等式两边平方可得,由此求出,再把这个结果两边平方,即可求出.
（2）用、对数的运算性质与负分数指数幂的运算法则逐项化简,再相加.
【详解】（1）由,两边平方得,所以.
由,两边平方得,所以.
（2）由对数的性质得.
由对数运算性质得.
因为,所以.
所以原式.
16．（26-27高三上·上海杨浦·阶段检测）已知函数（常数）.
(1)当时，解不等式；
(2)若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围；
(3)讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】(1)；
(2)；
(3)的定义域为，且.
若为偶函数，则对任意都有，即，故；
若为奇函数，则对任意都有，即，故.
所以当时为偶函数（此时），
当时为奇函数（此时），
当时既不是奇函数也不是偶函数.
【分析】（1）令把不等式化为关于的分式不等式，求出后回代求；
（2）分离参数得，再令转化为二次函数在闭区间上的最值问题；
（3）分别考察与是否恒成立来确定的取值，其余情形即为非奇非偶.
【详解】（1）当时，，不等式即.
令，则，两边同乘得，即，所以或.
因为，所以，即，解得，所以该不等式的解集为.
（2）由得，两边同乘得，即.
令，当时，则恒成立，只需.
因为的图象开口向下、对称轴为，在上单调递减，所以时取最大值，
所以，即实数的取值范围是.
（3）略
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