期中复习专题09 幂函数【知识清单+10大考点+强化训练】2026-2027学年上学期高一数学人教A版必修第一册

专题09 幂函数 知识点1：幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【注意】幂函数解析式的特征： (1)xα的系数为1． (2)x为自变量． (3)α为常数． 知识点2：幂函数的图象与性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 公共点 都经过点_(1，1)_ 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 考点一 求幂函数解析式或求值 考点二 根据函数是幂函数求参数值 考点三 幂函数图象的判断及应用 考点四 幂函数中定义域问题 考点五 幂函数的单调性及其求参数 考点六 利用幂函数比较大小 考点七 幂函数的奇偶性及其求参数 考点八 幂函数值域的问题 考点九 利用幂函数的单调性解不等式 考点十 幂函数的综合应用 考点一 求幂函数解析式或求值 1．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可设， 由，所以. 所以. 2．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【分析】根据幂函数的定义设函数的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求值即可. 【详解】因为函数为幂函数，所以可设， 因为图象过， 所以 ， 所以，即， 所以 故选：A 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则_____. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和所过的点求解即可. 【详解】因为是幂函数，所以，且过点，因此， 所以，得，所以. 故答案为： 4．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________. 【答案】/ 【分析】根据幂函数图象上的点求出解析式，利用解析式求值即可. 【详解】为幂函数， 可设， ，解得：， ， . 考点二 根据函数是幂函数求参数值 5．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是幂函数， 所以，解得或， 当时，，函数图象过，和轴有交点，不符合题意； 当时：，，与轴没有交点，符合题意. 所以. 6．（25-26高一上·山西运城·期末）“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由幂函数的定义求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若是幂函数，则，解得或； 所以由推得出是幂函数，故充分性成立； 由是幂函数推不出，故必要性不成立； 所以“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：A 7．（25-26高一上·山东日照·期末）“函数是幂函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 【答案】C 【分析】根据幂函数的定义求出参数的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断. 【详解】若函数是幂函数， 则，解得或； 则由“函数是幂函数”推不出“”，故充分性不成立； 由“”推得出“函数是幂函数”，故必要性成立； 所以“函数是幂函数”是“”的必要不充分条件. 故选：C 8．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知幂函数与坐标轴有公共点，则值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】根据幂函数的定义确定的可能值，再结合幂函数与坐标轴有公共点的条件筛选出符合要求的值. 【详解】依题意得，解得或， 当时，，其图象是平行于轴且过点的直线（除去点），其图象与x轴和y轴均无公共点，不符合要求； 当时，，其图象是过原点的直线，与坐标轴有公共点（原点），符合要求. 故选：B. 考点三 幂函数图象的判断及应用 9．（25-26高一上·全国·课前预习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质和函数的单调性判断即可. 【详解】易知当时，单调递增，当时，单调递减， 对于A，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于B，由函数的图象可知， 由的图象可知，互相矛盾，错误； 对于C，由函数的图象可知， 由的图象可知且，符合题意，正确； 对于D，由函数的图象可知， 由的图象可知且，互相矛盾，错误. 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 【答案】，，，. 【分析】根据幂函数的性质即可求解. 【详解】根据幂函数的性质可知，当时，图象在上递增， 且越大，图象递增速度越快，由此可判断是曲线，是曲线； 当时，图象在上递减， 当时，函数的函数值为， 函数的函数值为， 因为，所以是曲线，是曲线； 综上所述幂函数，，，， 在第一象限内的图象依次是如图中的曲线，，，. 11．（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 【答案】 【分析】根据幂函数的图象特征即可求解. 【详解】当时，幂函数在上单调递增； 当时，幂函数在上单调递减； 且在直线的右侧，图象自下而上所对应的函数的幂指数依次增大. 因为，所以与对应的曲线为. 故答案为：. 12．（25-26高一上·上海·期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 【答案】②⑥ 【分析】根据幂函数性质，在区间上单调递增，可得，再结合奇函数定义即可判断． 【详解】因为幂函数在区间上是严格增函数，所以，故③④不满足题意， 因为该幂函数图象关于原点成中心对称，所以为奇函数， 根据奇函数的性质， 因为的定义域为，所以图象不关于原点成中心对称，故①不满足题意； 因为的定义域为，且，故②满足题意； 因为的定义域为，但，故⑤不满足题意； 因为的定义域为，但，故⑥满足题意． 故答案为：②⑥． 考点四 幂函数中定义域问题 13．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法求得，再求函数定义域即可. 【详解】设，因为幂函数的图象经过点 所以，即，解得， 所以，故要使函数有意义，则, 所以函数的定义域为 故选：C 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据幂函数的图象过点，求出的解析式，从而得到的解析式，求得函数的定义域. 【详解】是幂函数，设，将代入解析式， 得，即，解得. 故，则， 所以，所以， 所以函数的定义域是. 故选：D. 15．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别分析函数和的定义域限制，列不等式组求解即可． 【详解】由，解得． 故选：D． 16．（25-26高三上·上海静安·期中）函数的定义域为______. 【答案】 【分析】定义域即使得式子有意义，列出不等式即可. 【详解】由，使得式子有意义，则，则定义域为. 故答案为： 考点五 幂函数的单调性及其求参数 17．（25-26高一下·安徽·开学考试）若幂函数的图象过点，则（   ） A．在上单调递减，且图象过点 B．在上单调递增，且图象过点 C．在上单调递减，且图象过点 D．在上单调递增，且图象过点 【答案】A 【分析】设，代入点解得，即可得，进而分析单调性和函数值即可. 【详解】设， 由题意可得：，可得， 则在上单调递减， 且，即图象过点. 18．（25-26高一上·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________. 【答案】 【分析】根据一元二次不等式的解法，可求得定义域，根据复合函数单调性的求法，分析求解，即可得答案. 【详解】由题意， 令，可得，解得， 因为为开口向下，对称轴为的抛物线， 所以的减区间为， 因为在上单调递增， 由复合函数单调性“同增异减”的原则，可得的减区间为. 故答案为： 19．（2026·四川南充·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先根据幂函数的定义与单调性求出参数的值，进而根据“1”的妙用，及基本不等式即可求解． 【详解】由是幂函数，且在上单调递减， 则，即，解得， 则，即，又，， 所以， 当且仅当，即，时取等号， 所以的最小值为． 20．（25-26高一下·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】由幂函数的定义和单调性得到，进而求解即可. 【详解】因为幂函数在上单调递增， 由幂函数的定义及单调性得，解得． 故选：B 考点六 利用幂函数比较大小 21．（25-26高一·全国·寒假作业）比较，的大小． 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性比较即可. 【详解】因为为上的减函数，且， 所以． 22．（2026高一上·安徽滁州·专题练习）（多选）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 【答案】BD 【分析】由题意得到的值，从而得到函数，由函数的奇偶性和单调性比较的大小关系即可判断A、B、C选项；同样，借助函数的单调性得到的大小关系，借助函数的奇偶性即可得到的大小关系，判断D选项. 【详解】幂函数，的图象关于y轴对称， 则，则，， 在上单调递减，于是有， 则A错误，B正确，C错误； 若，则，∵，，即成立．故D正确． 故选：BD. 23．（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【详解】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. 24．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】利用幂函数的单调性即可结合选项求解AB，利用作差法即可求解CD. 【详解】令，故在单调递减， 当时，此时，即，故， 当，此时，故，故B错误， 令，则为上的增函数，故，有，故A正确， 由于，，故，C错误，D正确， 故选：AD 考点七 幂函数的奇偶性及其求参数 25．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 【答案】D 【分析】先根据幂函数的定义求得或，进而分析奇偶性、单调性、最值即可判断各选项. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为，为奇函数， 且在上均为减函数，在定义域上不单调，无最值； 当时，，定义域为，为奇函数， 且在定义域上为增函数，无最值. 综上所述，结合选项可知，ABC错误，D正确. 故选：D. 26．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则_____. 【答案】 【分析】利用幂函数的单调性得到，再利用奇函数和偶函数的定义逐个检验即可. 【详解】因为是幂函数且在区间上单调递增，所以， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是偶函数，符合题意， 当时，，定义域为，与题意不符，故排除， 当时，，其定义域为，关于原点对称， 且，此时是奇函数，不符合题意，故排除. 故答案为：. 27．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（多选）若幂函数是奇函数，则（   ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递减 【答案】BCD 【分析】根据为幂函数、奇函数求出的值，进而判断函数的单调性，得到单调区间. 【详解】因为为幂函数， 所以，即，， 解得或. 当时，，，此时为奇函数； 当时，，，此时为偶函数； 综上，，，定义域为. 取，则， , 所以在单调递减. 同理可证，在单调递减. 故选：BCD. 28．（25-26高一上·黑龙江鹤岗·阶段检测）若，则使幂函数为奇函数且在上单调递减的值的个数为____________ 【答案】 【分析】先根据幂函数在上单调递减，得出，再由幂函数为奇函数，得出只有符合，从而得出结论. 【详解】∵幂函数在上单调递减，∴， 又为偶函数， 为非奇非偶函数， ∴仅有满足条件，故满足条件的只有，所以值的个数为1. 故答案为：. 考点八 幂函数值域的问题 29．（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【详解】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 30．（25-26高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 【答案】 【分析】将函数解析式变形为，结合图象的平移得到其对称中心；又，结合不等式的性质求出函数的值域. 【详解】因为， 将奇函数图象向左平移个单位，再向上平移个单位得到图象， 所以图象的对称中心为； ，因为，所以， 则，所以. 故答案为：； 31．（25-26高一上·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为______. 【答案】3 【分析】设出，，求出，作出图象，数形结合求出，求出实数的最小值. 【详解】设，，则不等式变为， 若，则， 若，则， 即，， 作出的图象，实线部分即为， 要想保证，只需最小值大于等于1， 由图可知：，故只需即可，即，解得：. 故答案为：3 32．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知函数  其中 ．那么 的零点是_____；若 的值域是 ，则c的取值范围是_____． 【答案】 0,-1 . 【分析】作图，根据函数图像以及相应的计算可以求解. 【详解】依题意作下图： 令 ，得x=0，令 ，得x=0或x=-1， ∴ 的零点为x=0，x=-1； 由于当时，， 所以当时，是增函数，所以其值域为， 由题意可知： ； 故答案为：0，-1， . 考点九 利用幂函数的单调性解不等式 33．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 【答案】(1) (2) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 【分析】（1）根据幂函数的定义和奇偶性，可求得参数； （2）利用单调性，求解不等式. 【详解】（1）由得或． 因为幂函数为奇函数， 所以． （2）由（1）知函数，所以在上单调递增， 由得，即 当时，，解得； 当时，解得； 当时，解得． 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 34．（25-26高一上·上海·期中）（1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2） 【分析】由幂函数的性质即可计算求解； 【详解】（1）因为为R上的增函数， 所以若，则， 所以满足题意的实数的取值范围为. （2）因为函数为上的增函数，且定义域为R， 且，即为偶函数， 所以函数为上的减函数， 所以若，则或. 所以满足题意的实数的取值范围为. 35．（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为________. 【答案】 【分析】根据幂函数的定义和单调性求出的值，然后求不等式的的范围即可. 【详解】因为是幂函数，所以， 化简得，解得或. 当时，在上单调递增，不合题意； 当时，在上单调递减，符合题意； 所以，那么不等式为. 所以，解得. 故答案为：. 36．（25-26高一上·重庆巴南·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的值及写出单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)；单调增区间为，单调减区间为； (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义和偶函数的定义可求出，再根据幂函数的单调性写出单调区间； （2）利用幂函数的单调性去掉结合函数的定义域即可求解. 【详解】（1）因为为幂函数，所以，解得或. 当时，，， 为奇函数，不合题意； 当时，，，为偶函数，符合题意. 故，的定义域为，单调增区间为，单调减区间为； （2）不等式可转化为， 所以或， 结合定义域可知且，即且， 综上所述：的取值范围为. 考点十 幂函数的综合应用 37．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数经过点． (1)求的解析式； (2)设，若在上有且仅有一个零点，求的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，最小值为，且满足，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据幂函数过的点可求参数，即可得答案； （2）利用零点存在定理即可求解； （3）写出的表达式，换元可得，，分类讨论确定最值，结合，解不等式即可求解. 【详解】（1）由题意得，解得. 故 （2）由（1）可知， ①若零点在内，故必须满足 即，解得； ②若零点在端点处取得 （ⅰ）若，则，此时符合题意， （ⅱ）若，则，验证后符合题意， 综上，的取值范围是； （3），令，故，， 故的对称轴为， ①若，在上单调递增，即得，解得，矛盾； ②若，在上单调递减，即得，解得，矛盾； ③若，， 若，则，此时， 解得，则 若，则，此时， 解得，则， 综合可得得的取值范围是 38．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用幂函数的定义及奇偶性求出解析式. （2）由（1）的结论求出，按分类并结合二次函数性质求出最小值. （3）求出当时，在上的最大值，进而建立不等式，利用恒成立求解. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或， 当时，是奇函数，不符合题意；当时，是偶函数，符合题意， 所以的解析式为. （2）当时，由（1）得， 当，即时，在上单调递增，； 当，即时，若，则；； 若，则，； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减 ，由，得， 当时，；当时，； 当时，在上单调递增，， 所以. （3）由（2）知，当时，在上单调递增，； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 而，， 因此当时，， 由对任意的实数，总存在，使得成立， 得对任意的实数，不等式恒成立， 而当时，，于是，解得， 所以实数的取值范围是. 39．（25-26高一上·新疆巴州·期末）已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)若，当时，求的最大值与最小值． 【答案】(1)； (2)最大值与最小值分别为. 【分析】（1）根据给定条件，利用幂函数定义以及性质求解. （2）由（1）求出，再利用二次函数求出闭区间上的最值. 【详解】（1）由幂函数，得，解得或； 当时，在区间上单调递减，不合题意； 当时，在区间上单调递增，符合题意， 所以. （2）由（1）得，则， 当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 因此， 所以的最大值与最小值分别为. 40．（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) (3) 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为. 【分析】（1）利用幂函数定义求出，结合性质取舍即可； （2）根据二次函数对称轴和区间的位置关系可求答案； （3）对参数分类讨论，比较根的大小可得不等式的解集. 【详解】（1）由幂函数定义可得， 即，解得或， 当时，，此时为奇函数，不符； 当时，，此时为偶函数，符合要求； 综上可得，则的解析式为. （2）由题意得，对称轴为， 由在区间上不单调，则，解得； （3）， 当时，，解得； 当时，令，解得或， 若，当，即时，该不等式无解； 当，即时，该不等式的解集为； 当，即时，该不等式的解集为； 综上所述，当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式的解集为； 当时，该不等式解集为； 当时，该不等式的解集为. 1．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故， 所以. 2．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【详解】因为为幂函数，所以，解得， 当时，，在上单调递增，不符合题意， 当时，，在上单调递减，所以， 所以 3．（25-26高一上·广东广州·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 【答案】C 【分析】根据幂函数的图象性质分别判断每个选项即可. 【详解】对于A，当时，幂函数在处无定义，故图象不会经过点，选项A错误； 对于B，当时，幂函数都有意义，且，故幂函数的图象不经过第四象限，选项B错误； 对于C，当时，，在R上单调递增；当时，，在上单调递增；当时，，定义域为，且在上单调递增，选项C正确； 对于D，幂函数的图象过点，即，所以，即，所以，选项D错误； 故选：C. 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据幂函数图像性质可判定. 【详解】，定义域为，排除A，B． 经过定点， ，则第一象限图象是单调递增，且增长率逐步变快. 故选：C. 5．（26-27高二上·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 【答案】A 【详解】由题可知， 解方程可得或， 解不等式可得， 所以， 综上：实数的值为. 6．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【详解】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A.， 7．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设幂函数解析式，再应用过点求参数得出，最后应用单调性列式计算求解. 【详解】设幂函数，代入点得，解得，故， 因为函数为偶函数，所以等价于， 因为函数在上单调递增，所以等价于， 平方化简得，解得解集为； 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【详解】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 9．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（   ） A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 【答案】ABC 【详解】对于A选项，当时，. 对于BC选项，根据幂函数指数与单调性的关系， 当时，函数在单调递增，当时，函数在单调递减； 对于D选项，当时，函数在处无意义，故错误. 10．（25-26高一上·河北雄安·期末）（多选）已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】BCD 【分析】利用幂函数的定义及单调性求出，再逐项判断即可. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或，又因为在上单调递增，所以，所以，所以A错误，B正确； 由上述分析可得，则，所以为偶函数，C正确； 因为为偶函数，所以，又在上单调递增，所以，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（多选）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】依题意需满足函数为奇函数且在定义域上单调递减，根据各选项解析式一一判断即可. 【详解】对于（1）对于定义域内的任意，有，则为定义域内的奇函数； 对于（2）对于定义域内的任意，当时，有，则在定义域上单调递减； 对于A：的定义域为，为奇函数且在定义域上单调递减， 所以是“理想函数”，故A正确； 对于B：的定义域为，， 所以为奇函数，又、均在上单调递减， 所以在定义域上单调递减， 所以是“理想函数”，故B正确； 对于C：的定义域为，且， 所以为奇函数， 但是，所以在定义域上不单调递减，故C错误； 对于D：定义域为， 当时，则， 当时，则， 又， 所以对均满足，所以为奇函数， 当时，则在上单调递减，且； 当时，则在上单调递减，且； 所以在定义域上单调递减， 所以是“理想函数”，故D正确. 故选：ABD 12．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）函数的值域为______． 【答案】 【详解】由且，得， 所以函数的定义域为， ， 又，所以， 由，得， 所以函数值域为. 13．（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 【答案】2 【分析】根据幂函数定义解方程，再由函数单调性求得. 【详解】易知，即，解得或； 又因为在上是增函数，所以. 14．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 【答案】1 【分析】根据幂函数的定义，可得m值，代入检验，结合定义域，即可得答案. 【详解】因为为幂函数，所以，解得或， 当时，，定义域为R，符合题意； 当时，，定义域为，不符合题意. 故 15．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知幂函数在上单调递增． (1)求m的值； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值. （2）讨论对称轴与区间的关系，再借助函数的单调性求得在上的最小值． 【详解】（1）由幂函数在上单调递增，得， 所以. （2）由（1）得，，函数的图象对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增，则； 当，即时，在上单调递减，则， 所以. 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数，满足 (1)求函数的解析式． (2)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？ (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)存在； (3)存在，. 【分析】（1）利用幂函数的定义和已知条件即可求得结果； （2）先化简得到，令得到，，再利用二次函数是的性质分类讨论即可得到结果； （3）首先得到，根据题意得到，从而得到，再利用换元法结合二次函数的性质即可得到结果. 【详解】（1）因为是幂函数， 所以，即，解得或. 当时，，在为减函数，不满足.     当时，，在为增函数，满足.     所以； （2）， 令，因为，所以， 则令，，开口向上，对称轴为. ①当，即时，函数在为增函数， 则，解得； ②当，即时，函数在为减函数，在为增函数， 则，解得，不符合题意，舍去； ③当，即时，函数在为减函数， 则，解得，不符合题意，舍去. 综上所述：存在，使得的最小值为； （3），易见在定义域范围内为减函数， 若存在实数，使函数在上的值域为， 则， ②①得：， 所以， 而，则③. 将③代入②得：. 令，由，知，得，即. 所以，在区间单调递减，所以， 故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范围为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 幂函数 知识点1：幂函数的概念：一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 【注意】幂函数解析式的特征： (1)xα的系数为1． (2)x为自变量． (3)α为常数． 知识点2：幂函数的图象与性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝x-1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 增函数 在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0]上单调递减 增函数 在[0，＋∞)上单调递增 在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递减 公共点 都经过点_(1，1)_ 注意：幂函数的性质 (1)所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)； (2)如果α＞0，那么幂函数的图象过原点，并且在区间[0，＋∞)上单调递增； (3)如果α＜0，那么幂函数的图象在区间(0，＋∞)上单调递减，在第一象限内，当x从右边趋向于原点时，图象在y轴右方无限接近y轴，当x从原点趋向于＋∞时，图象在x轴上方无限接近x轴； (4)在(1，＋∞)上，随幂指数的逐渐增大，图象越来越靠近y轴． 考点一 求幂函数解析式或求值 考点二 根据函数是幂函数求参数值 考点三 幂函数图象的判断及应用 考点四 幂函数中定义域问题 考点五 幂函数的单调性及其求参数 考点六 利用幂函数比较大小 考点七 幂函数的奇偶性及其求参数 考点八 幂函数值域的问题 考点九 利用幂函数的单调性解不等式 考点十 幂函数的综合应用 考点一 求幂函数解析式或求值 1．（26-27高三上·新疆喀什·阶段检测）若幂函数的图象经过点，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 3．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则_____. 4．（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则___________. 考点二 根据函数是幂函数求参数值 5．（26-27高三上·安徽六安·阶段检测）已知幂函数的图象与轴没有公共点，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·山西运城·期末）“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（25-26高一上·山东日照·期末）“函数是幂函数”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．既不充分也不必要条件 C．必要不充分条件 D．充要条件 8．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知幂函数与坐标轴有公共点，则值为（   ） A． B． C．或 D． 考点三 幂函数图象的判断及应用 9．（25-26高一上·全国·课前预习）在同一坐标系内，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（26-27高一上·全国·课堂例题）幂函数，，，在第一象限内的图象依次对应图中的哪个曲线？ 11．（25-26高一上·上海·期中）如图是四个幂函数的部分图像，已知取、2、、这四个值，则与对应的曲线为________．（从、、、中选择一个填写） 12．（25-26高一上·上海·期中）下列幂函数在区间上是严格增函数，且图象关于原点成中心对称的是______．（填入所有正确的序号） ①；②；③；④；⑤；⑥． 考点四 幂函数中定义域问题 13．（25-26高一上·湖北孝感·期末）已知幂函数的图象经过点，则的定义域为（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知幂函数的图象过点，则函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 15．（25-26高一上·河南·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高三上·上海静安·期中）函数的定义域为______. 考点五 幂函数的单调性及其求参数 17．（25-26高一下·安徽·开学考试）若幂函数的图象过点，则（   ） A．在上单调递减，且图象过点 B．在上单调递增，且图象过点 C．在上单调递减，且图象过点 D．在上单调递增，且图象过点 18．（25-26高一上·山西晋中·期中）函数的单调递减区间为__________. 19．（2026·四川南充·模拟预测）已知幂函数在上单调递减，若正数，满足，则的最小值为__________． 20．（25-26高一下·湖南长沙·期末）幂函数在上单调递增，则（   ） A．1 B．3 C． D． 考点六 利用幂函数比较大小 21．（25-26高一·全国·寒假作业）比较，的大小． 22．（2026高一上·安徽滁州·专题练习）（多选）已知幂函数，的图象关于y轴对称，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．若，则 23．（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·广东深圳·期中）（多选）已知，是函数的图象上任意两点，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 考点七 幂函数的奇偶性及其求参数 25．（25-26高一上·河北张家口·期中）已知幂函数，则下列说法正确的是（    ） A．是偶函数 B．的图象过点 C．是单调函数 D．无最值 26．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知，若幂函数是偶函数且在区间上单调递增，则_____. 27．（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）（多选）若幂函数是奇函数，则（   ） A． B． C．在上单调递减 D．在上单调递减 28．（25-26高一上·黑龙江鹤岗·阶段检测）若，则使幂函数为奇函数且在上单调递减的值的个数为____________ 考点八 幂函数值域的问题 29．（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 30．（25-26高一下·山东淄博·期中）函数图象的对称中心坐标是______；函数的值域是______． 31．（25-26高一上·上海松江·期末）若关于的不等式的解集为R，则实数能取到的最小值为______. 32．（25-26高二下·北京延庆·期末）已知函数  其中 ．那么 的零点是_____；若 的值域是 ，则c的取值范围是_____． 考点九 利用幂函数的单调性解不等式 33．（25-26高一上·广东·阶段检测）已知幂函数为奇函数． (1)求； (2)若，解关于的不等式． 34．（25-26高一上·上海·期中）（1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 35．（25-26高一上·湖北荆州·期中）已知幂函数在上单调递减，若，则实数的取值范围为________. 36．（25-26高一上·重庆巴南·期中）已知幂函数为偶函数. (1)求的值及写出单调区间； (2)若，求实数的取值范围. 考点十 幂函数的综合应用 37．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）已知幂函数经过点． (1)求的解析式； (2)设，若在上有且仅有一个零点，求的取值范围； (3)若函数在上的最大值为，最小值为，且满足，求的取值范围． 38．（2026·江苏镇江·模拟预测）已知幂函数是偶函数． (1)求的解析式； (2)设，求在区间上的最小值的解析式： (3)在（2）的条件下，若对任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围． 39．（25-26高一上·新疆巴州·期末）已知幂函数在上单调递增． (1)求实数的值； (2)若，当时，求的最大值与最小值． 40．（25-26高一上·四川成都·期末）已知幂函数为偶函数. (1)求的解析式； (2)若在区间上不单调，求实数的取值范围. (3)若，求不等式的解集. 1．（25-26高一上·河南周口·期末）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C．4 D．8 2．（25-26高一下·河南开封·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则（    ） A． B．4 C． D．2 3．（25-26高一上·广东广州·期中）下列关于幂函数的描述中，正确的是（    ） A．幂函数的图象都经过点和 B．幂函数的图象不经过第三象限 C．当指数取1，3，时，幂函数是其定义域上的增函数 D．幂函数的图象过点，则 4．（25-26高一上·全国·随堂练习）函数的图象是（    ） A．B．C． D． 5．（26-27高二上·山东日照·开学考试）已知幂函数在上单调递减，则实数的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．-1或1 6．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·重庆沙坪坝·期末）已知幂函数过点，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测）（多选）已知幂函数，则（   ） A． B．若，在上单调递增 C．若，在上单调递减 D．的图像一定经过点 10．（25-26高一上·河北雄安·期末）（多选）已知幂函数在上单调递增，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．为偶函数 D． 11．（25-26高一上·贵州毕节·期末）（多选）若函数同时满足：（1）对于定义域内的任意，有；（2）对于定义域内的任意，当时，有，则称函数为“理想函数”，给出下列四个函数是“理想函数”的是（   ） A． B． C． D． 12．（26-27高三上·河南信阳·阶段检测）函数的值域为______． 13．（25-26高一上·广东广州·期末）幂函数在上是增函数，则________． 14．（25-26高一下·河北衡水·开学考试）若幂函数的定义域为R，则m=______________． 15．（25-26高一上·吉林长春·期末）已知幂函数在上单调递增． (1)求m的值； (2)当时，求函数的最小值． 16．（25-26高一上·全国·课后作业）已知幂函数，满足 (1)求函数的解析式． (2)若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？ (3)若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $