期中复习专题09 双曲线方程及其几何性质知识清单【知识清单+14大考点+强化训练】2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题09 双曲线方程及其几何性质 知识点1：双曲线的定义 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 【注意】(1)常数要小于两个定点间的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 用待定系数法求双曲线方程的步骤． (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 知识点2： 方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 知识点3： 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【注意】(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c满足c2＝a2＋b2． 知识点4： 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 【注意】对于双曲线＝1： (1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔． (3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是＝0． 巧设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 求渐近线的方法 (1)计算a，b的值代入渐近线方程． (2)利用＝或＝进行转化． 考点一 双曲线的定义 考点二 求双曲线的标准方程 考点三 利用双曲线定义求参数或范围 考点四 双曲线中的焦点三角形问题 考点五 双曲线的焦距与实轴、虚轴 考点六 利用双曲线的几何性质求标准方程 考点七 由双曲线的几何性质求参数 考点八 与双曲线的渐近线相关的问题 考点九 双曲线中的轨迹问题 考点十 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 考点十一 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 考点十二 求双曲线的离心率或其取值范围 考点十三 利用双曲线的离心率求参数的取值范围 考点十四 双曲线应用 考点一 双曲线的定义 1．（25-26高二上·北京·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 【答案】D 【详解】双曲线：，则， 由双曲线定义可知，解得或， 因为，所以点在双曲线的左支上， 所以，所以. 2．（26-27高二上·全国·课后作业）已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【答案】D 【详解】依题意得． 当时，，此时，符合双曲线定义， 因此点的轨迹是双曲线靠近的右支，故点的轨迹为双曲线的一支； 当时，，此时， 说明点满足和、共线，且在的右侧（含点），沿轴正方向延伸， 故点的轨迹为一条射线． 综上，点的轨迹分别是双曲线的一支和一条射线． 3．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程，可得a，c值，根据双曲线定义，可得，分别检验，分析即可得答案. 【详解】由双曲线的方程可得，则， 解得， 由双曲线的定义可知， 因为，所以或13. 当时，，符合题意， 当时，，符合题意. 故选：C 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则______________. 【答案】6 【分析】先求出的值，再根据双曲线的定义即可求出代数式的值. 【详解】双曲线中，，所以，. 由双曲线的定义可知，. 故答案为：6 考点二 求双曲线的标准方程 5．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义，即可求解方程. 【详解】因为， 所以点是以点为焦点的双曲线的右支，所以，，， 所以点的轨迹方程是，. 故选：C 6．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义可知，点的轨迹是以，为焦点的双曲线的上支， 且，， 所以其轨迹方程为， 故选:C． 7．（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意设双曲线的标准方程为，根据题意建立方程计算求解即可； （2）双曲线的方程为，根据题意建立方程计算求解即可. 【详解】（1）因为双曲线的焦点在轴上，所以设双曲线的标准方程为． 由题意知，所以．①； 因为点在双曲线上，所以．② 由①②解得，，所以所求双曲线的标准方程为． （2）设双曲线的方程为， 则，解得， 所以所求双曲线的标准方程为． 8．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意求出，再结合焦点在轴上即可求出答案； （2）设双曲线的方程为，利用待定系数法即可求出答案. 【详解】（1）依题意可得，所以， 又焦点在x轴上，所以椭圆方程为. （2）设双曲线方程为 依题意得， 解得，， 所以所求双曲线的标准方程为. 考点三 利用双曲线定义求参数或范围 9．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【详解】由题意得：，解得或. 10．（25-26高二上·河南郑州·期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 11．（25-26高三上·河南·期末）若方程 表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据双曲线标准方程特征列不等式组求解即可. 【详解】因为方程 表示焦点在轴上的双曲线，所以， 解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 12．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 【答案】BCD 【分析】根据二元二次方程与曲线的关系列不等式求参数范围，依次判断各项的正误. 【详解】对于A，若表示椭圆，则，解得或，A错； 对于B，当时，，此时方程表示焦点在x轴上的双曲线，B对； 对于C，当时，方程，此时，则双曲线的焦距为，C对； 对于D，若表示焦点在轴上的椭圆，则，解得，D对. 故选：BCD 考点四 双曲线中的焦点三角形问题 13．（26-27高二上·江苏·阶段检测），为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（     ） A．25 B．48 C．24 D．12 【答案】C 【分析】方法一：先求出双曲线的，再利用中三边关系求出，再由直角三角形面积公式即得结果. 方法二：利用公式求结论. 【详解】方法一：设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则，，， 故， 在中， 所以， 所以. 方法二：设双曲线的实半轴为，虚半轴为，半焦距为， 则， 因为点在双曲线上，且， 所以的面积. 14．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 【答案】BD 【分析】对于A，根据双曲线求得焦点坐标及焦距，根据椭圆的标准方程判断即可；对于B，根据切线长定理及双曲线、椭圆的定义求解即可；对于C，根据椭圆的定义求出，进而求离心率即可；对于D，根据双曲线、椭圆的定义及完全平方公式求解即可. 【详解】对于A，双曲线：，，所以，则. 故焦点，.则，A错误. 对于B，设的内切圆切轴于点，切于点，切于点. 则，，， 由双曲线定义得， （*）， 又，，代入（*）解得，故切点为，B正确. 对于C，若，则. 双曲线：，所以. 椭圆：，则，所以. 故椭圆的离心率为，C错误. 对于D，若，则. 又，则， 所以，则， 即，则，， 故椭圆方程为，D正确. 15．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用双曲线定义设出两焦半径，再在焦点三角形中由余弦定理列方程求边长，最后相加得周长. 【详解】因为双曲线，则，所以. 因为点在双曲线右支上，所以. 令，则，又因为，， 所以由余弦定理得，即， 即，因为，解得，即，所以， 则的周长为. 16．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 考点五 双曲线的焦距与实轴、虚轴 17．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为方程表示的是双曲线，所以， 因为双曲线的离心率为，所以. 所以双曲线的实轴长为. 18．（26-27高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 【答案】ABD 【详解】已知双曲线 ，，因此 ，，因此 ，由，得 ， A.双曲线方程中 项符号为正， 项符号为负，对应焦点在 轴上，A正确； B.焦点在轴上的双曲线，渐近线方程为 ，代入 、，得 ，B正确； C.双曲线离心率 ，代入 、，得 ，而非 ，C错误； D.双曲线的虚轴长为 ，代入 ，得虚轴长 ，D正确. 19．（26-27高三上·广东·阶段检测）双曲线的实轴长为_________． 【答案】 【分析】根据题意，利用双曲线的几何性质，即可求解. 【详解】由双曲线，可得，可得，所以双曲线的实轴长. 20．（25-26高二上·山东枣庄·期末）（多选）已知双曲线，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的实半轴长为4 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 【答案】BCD 【分析】根据双曲线的性质，由双曲线方程求出，进而得出焦点坐标，判断选项A，B，求出离心率判断选项C，求出渐近线方程，判断选项D． 【详解】 已知双曲线，即， 则，解得，，解得，，故， 焦点坐标为，故A错误； 实半轴长为，故B正确； 离心率，故C正确； 渐近线方程为，即，故D正确． 故选：BCD． 考点六 利用双曲线的几何性质求标准方程 21．（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）假设双曲线标准方程，根据焦距、实轴长和之间关系可构造方程求得结果； （2）分别讨论双曲线焦点在轴和轴上的情况，根据离心率、双曲线上的点和之间的关系可构造方程求得结果. 【详解】（1）设双曲线标准方程为：， ，，双曲线标准方程为. （2）当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设其方程为， ，解得：，双曲线标准方程为； 综上所述：双曲线标准方程为或. 22．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 【答案】 【分析】根据已知条件求得，进而求得双曲线的标准方程. 【详解】依题意，双曲线的焦点在轴上， 且，解得， 所以双曲线的标准方程为. 故答案为： 23．（25-26高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据双曲线的实轴长、虚轴长及焦点位置直接写出双曲线方程即可. 【详解】由题设，双曲线方程可设为，且，即， 所以双曲线方程为. 故选：A 24．（26-27高二上·全国·课后作业）根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 【答案】(1)或． (2) (3) 【详解】（1）由两顶点间的距离是6得，即． 由两焦点的连线被两顶点和中心四等分可得，即， 于是有． 由于焦点所在的坐标轴不确定，故所求双曲线的标准方程为或． （2）依题意，双曲线的实轴可能在轴上，也可能在轴上，分别讨论如下： 若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为．由，得． 因为，所以① 由点在双曲线上，得② 由①②得，．此时双曲线的方程为．若双曲线的实轴在轴上，设双曲线的方程为． 同理有，，，解得（舍去）． 故双曲线的实轴只能在轴上，所求双曲线的方程为． （3）设所求双曲线的方程为．将点代入得． 所以双曲线的方程为，即． 考点七 由双曲线的几何性质求参数 25．（2026·重庆万州·三模）若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则__________ 【答案】 【详解】由双曲线方程化为标准方程得：，其中， 则实轴长，虚轴长，焦距， 由焦距是虚轴长的倍，则， 平方得：， 即，因为，所以. 26．（26-27高二上·广西柳州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】求出双曲线的渐近线方程，由给定倾斜角求出即可. 【详解】依题意，双曲线的渐近线的倾斜角为， 则，由题意，则，半焦距， 所以该双曲线的焦距. 27．（25-26高二上·陕西渭南·期中）（多选）已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 【答案】CD 【分析】根据焦点及实轴于虚轴长度关系求得，判断A选项；求出双曲线中的值，即可得到顶点坐标，判断B选项；即可求得离心率，判断C选项；即可写出双曲线的渐近线方程，判断D选项. 【详解】由题意可知，，，，即 ∴，即，∴，A选项错误； ∴， ∴顶点坐标为，B选项错误； ∴，C选项正确； ∵，且双曲线的焦点在轴上，∴渐近线方程为，D选项正确. 故选：CD. 28．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 【答案】 【详解】双曲线的一条渐近线与直线平行，，得. 又双曲线的焦距为，，得. 又，可得. 故双曲线的方程为. 考点八 与双曲线的渐近线相关的问题 29．（2026·四川南充·一模）已知双曲线的一条渐近线为，则实数的值为________． 【答案】 【分析】利用焦点在轴上的双曲线的渐近线方程求解即可. 【详解】由题意可得为双曲线的标准方程，故， 所以双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为， 所以. 30．（26-27高二上·江苏·阶段检测）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为，则双曲线的离心率________． 【答案】或 【分析】分焦点在轴、轴两种情况讨论，利用渐近线得到比值，结合计算离心率. 【详解】双曲线焦点在坐标轴上，需分两种情况讨论： ①焦点在轴上：设双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 由题知渐近线为，因此. 根据双曲线关系，代入得，因此离心率. ②焦点在轴上：设双曲线标准方程为，其渐近线方程为. 由题得，即. 代入得，因此离心率. 综上，双曲线的离心率为或. 31．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）（多选）已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由双曲线的定义求出，再根据双曲线共渐近线设出双曲线的方程，分焦点在轴上与在轴上两种情况进行分类讨论即可. 【详解】由题可知，解得. 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为； 当焦点在轴上时，可设双曲线的方程为， 则，此时双曲线方程为. 故选：AC. 32．（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 【答案】BC 【分析】本题利用双曲线离心率公式得到的取值范围，再结合两直线夹角定义、通径公式、焦点到渐近线距离的二级结论，逐一对四个选项进行推理判断，完成多选． 【详解】对于A，根据两条相交直线夹角的范围为， 得双曲线渐近线夹角大于就是错误的，A错误； 对于B，， 由题意得，，， 解得，，B正确； 对于C，双曲线的通径长为， 由，得， 所以，C正确； 对于D，焦点到渐近线的距离， 由，得，D错误． 考点九 双曲线中的轨迹问题 33．（2026高三·全国·专题练习）已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 34．（2026高三·全国·专题练习）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据两圆关系及已知有，再由双曲线的定义确定轨迹并写出轨迹方程. 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 35．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两点的距离公式与点到直线的距离公式列出方程化简求解即可. 【详解】设动点的坐标为， 则点到定点的距离为， 点到定直线的距离为, 由题意得， 化简得：，即. 36．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 【答案】(1) (2)点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线 【分析】(1)利用椭圆的定义求解出椭圆的方程即可.(2)结合双曲线的几何特征分为钝角(平角)或锐角(零角)的情况讨论得到点均落在双曲线上，从而得到结论. 【详解】（1）当时，点在圆内，由于点在线段的垂直平分线上，则，可得，由椭圆的定义可知，点在以，为焦点的椭圆上，且，，点的轨迹方程为．    （2）当时，点在圆外． 若为钝角或平角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的右支上． 若为锐角或零角，连接，则，所以点在以，为焦点的双曲线的左支上． 综上，点的轨迹是以，为焦点，实轴长为4的双曲线．    考点十 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 37．（26-27高二上·黑龙江绥化·期中）若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由双曲线的标准方程求出实半轴长和焦距，再利用双曲线的定义求出距离的可能值，并用三角形两边之和大于第三边排除不合题意的值. 【详解】由题意，，，所以，，故. 根据双曲线的定义，. 又，所以或. 若，则，不符合三角形两边之和大于第三边. 因此. 38．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 【答案】 【详解】，， ，， 设是C的右焦点，则， 因为是的中点，O为的中点，且， 所以由中位线性质得， 如图，当P在C的左支上时， ，，不符合题意. 如图，当P在C的右支上时， ，， 此时符合题意，故. 39．（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 40．（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】B 【分析】先把双曲线方程化为标准形式，再利用双曲线的定义求解. 【详解】把双曲线方程化为标准形式 ， 设双曲线实半轴长为，那么， 根据双曲线的定义可知，，, 又, 所以的周长为. 考点十一 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 41．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为______． 【答案】 【分析】利用双曲线定义将转化为，结合圆的性质放缩，再通过两点之间线段最短求解最小值. 【详解】双曲线中，，，故，， 左焦点，右焦点， 因动点在双曲线左支上，由双曲线定义得， 即， 圆的圆心为，半径， 对圆上任意点，有， 当且仅当共线且在之间时取等号， 由两点之间线段最短，， 当且仅当为线段与双曲线左支的交点时取等号， 代入得，等号可同时成立，故最小值为. 42．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】C 【分析】根据直线斜率之积确定点的轨迹方程，然后结合双曲线的定义计算即可. 【详解】设，由条件得，得， 可知其轨迹为双曲线第三象限的一部分，易知B为该双曲线的右焦点，左焦点为， 由定义与位置知，于是， 当且仅当F，P，D三点共线时等号成立，于是的周长． 43．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【详解】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 44．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】利用椭圆、双曲线的定义求周长的最小值. 【详解】取，则，为椭圆和双曲线的公共焦点. 根据椭圆和双曲线的定义，可得， 即. 又，当三点共线时取等号. 所以，即周长的最小值为4. 考点十二 求双曲线的离心率或其取值范围 45．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为______． 【答案】 【详解】由双曲线的一条渐近线的倾斜角为，得这条渐近线的斜率； 双曲线的渐近线为； ，，得； ，，； . 46．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为_________ 【答案】 【分析】解法一：由及已知角求出点的坐标，代入双曲线方程，并利用求离心率．解法二：利用双曲线的定义与余弦定理，建立、的关系． 【详解】解法一：如图，过点作轴，垂足为，设双曲线的半焦距为． 因为，，所以，． 由双曲线关于轴对称，不妨设在第二象限． 此时，所以 又，故 把的坐标代入双曲线方程，得 整理得即，从而 又，因为，所以 由于，解得． 解法二：如图，设双曲线的右焦点为，连接． 由及，得 点在双曲线左支，由双曲线的定义，得 又，，在中由余弦定理得 即 整理得． 因为，所以，故 47．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线与双曲线方程求出，根据题意列出关于的不等式，再转化为离心率即可. 【详解】将直线代入得， 所以， 因为大于的虚轴长，所以，即， 同时除以得， 解得，所以离心率， 所以的离心率的取值范围是. 48．（2026·福建宁德·模拟预测）已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【分析】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为，延长交双曲线于点，即可得到，设，即可表示出，， 再由及余弦定理得到，从而表示出，结合椭圆的离心率求出的范围. 【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，半焦距为，双曲线的离心率为， 延长交双曲线于点， 因为，由对称性得. 设，则，由双曲线的定义得，， 由， 知， 化简得，所以， 则椭圆的离心率为， 又椭圆的离心率的取值范围为，所以， 又，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围为.    故答案为： 考点十三 利用双曲线的离心率求参数的取值范围 49．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据离心率列方程，求得，进而求得，从而求得双曲线的渐近线方程. 【详解】因为，，所以，所以，故. 所以渐近线方程为. 50．（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】根据双曲线的定义，在直角三角形中利用勾股定理计算即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，不妨设，则， 设，，则，， 在中，由勾股定理可得，解得， 则， 同理，在中，由勾股定理可得，解得， 所以. 51．（2026·陕西榆林·三模）设双曲线的离心率分别为．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由 可知，则，， 又，所以．由可知， 则由 ，解得． 52．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，可设双曲线方程为，设点，过点作轴，在直角中，由，得到，联立方程组，求得点的坐标，进而求得，即可求解. 【详解】因为双曲线的离心率为，即，则， 不妨设双曲线方程为，则点，， 设点，过点作轴，垂足为，则， 在直角中，因为，可得，可得， 联立方程组，可得，即， 所以，所以. 故选：C.    考点十四 双曲线应用 53．（25-26高二上·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 【答案】8 【分析】由双曲线的性质即可求解. 【详解】已知双曲线，可得：， 设光线与双曲线C的交点为，双曲线C的左焦点为． 所以， 由题意知，共线， 因为，所以， 故路径长． 故答案为：8. 54．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】利用双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线方程，再求出塔顶的纵坐标，从而计算塔高． 【详解】 以双曲线虚轴为轴，最小直径处的水平线为轴，双曲线中心为原点， 最小直径为米， 实半轴，双曲线标准方程为， 塔底直径为米，最小直径处距塔底高度为米， 点在双曲线上，故，解得， 双曲线方程为， 塔顶直径为，设塔顶直径上点为， ，解得， 塔顶位于轴上方， ，故， 塔高：米，故B正确 故选：B． 55．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，建立平面直角坐标系，求得双曲线标准方程，当时，代入计算可解. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设该双曲线的方程为），焦距为， 由题意得，得， 所以双曲线的方程为1. 当时，， 所以该进料口的上口宽度为. 故选：B 56．（25-26高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】B 【分析】结合椭圆、双曲线的定义以及它们的光学性质求得正确答案. 【详解】椭圆；双曲线则双曲线和椭圆的焦点重合. 根据双曲线的定义有 所以 根据椭圆的定义由 所以路程 故选：B. 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】若表示双曲线，则表明与的系数同号，即，解得，由充分必要条件的概念可得是的充分不必要条件. 【详解】若表示双曲线，则有，解得， 易得是的充分不必要条件， 因此“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得双曲线的实轴长为4，焦距为8， 可得，，，则渐近线方程为，故B正确. 4．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意可得，，渐近线方程为， 因为右焦点到该渐近线的距离为，所以，得， 故的实轴长为. 5．（2026·广西南宁·一模）设分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，，若的周长为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用向量关系设线段长，结合双曲线定义表示，由三角形周长求出；再利用共线，两个邻补角余弦互为相反数，借助余弦定理建立的方程，求出离心率． 【详解】设，由，得，， ，， 周长为，即，解得， 所以，，，， 在中，，； 在中，，， 因为三点共线，且在之间， 所以，余弦值互为相反数， 设焦距，在中，， 在中， 因为，所以， 两边同乘得，化简得， 所以． 6．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出已知双曲线的焦点参数，设所求双曲线的标准方程，结合过已知点的条件联立求解参数即可. 【详解】 对于双曲线，得， 设所求双曲线方程为， 因为所求双曲线与双曲线有公共焦点，所以 将点代入得：， 将代入上式，去分母整理得： . 可得，，符合题意. 因此所求双曲线方程为. 7．（25-26高二上·全国·课后作业）点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】设，，先根据的面积求出，再根据双曲线的定义结合勾股定理求出的关系，再结合离心率公式即可得解. 【详解】设，， 则，① 又因为，所以，② 得，所以， 又因为的面积是9， 所以，所以． 又因为双曲线的离心率， 所以，，所以，所以． 故选：D. 8．（25-26高二下·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，然后将代入双曲线方程即可得解. 【详解】如图所示，作出花瓶的纵截面，    因为横截面圆最小直径为40，所以，解得， 将，代入可得，，解得， 所以该花瓶的高为. 9．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【答案】AC 【详解】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 10．（26-27高二上·云南昆明·期中）（多选）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2．点是曲线上一点，且是直角三角形．若的面积为6，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】AC 【分析】由是直角三角形，可得或或，利用对称性得到或对应不同的的值，分别求解即可. 【详解】由双曲线离心率为2，可得. 因为是直角三角形，所以或或 当，则由勾股定理，利用双曲线的性质， 于是由的面积为6，可得 结合，解得. 由对称性，或对应的的值相同，所以仅考虑. 此时，由的面积为6，可得. 结合，解得. 11．（26-27高三上·贵州·阶段检测）（多选）如图所示，点是双曲线上一点，，为的左、右焦点，延长交于另一点，已知是等腰直角三角形，若位于第一象限，，则（    ） A． B．的离心率为 C．直线的斜率为 D．与切于点处的直线的斜率为 【答案】ACD 【分析】选项A根据焦点三角形及已知条件求出各段长，计算比值；选项B根据直角三角形勾股定理计算的方程；选项C求角的正切值，计算斜率；选项D利用双曲线的光学性质求解. 【详解】 设，， 则，， 是等腰直角三角形，， 所以，即，， ， ，， ，选项A正确； ，，即， ，，选项B错误； ， 直线的斜率为，选项C正确； 由双曲线的光学性质，与切于点处的直线平分，故垂直于直线， 则直线的斜率为， 故与切于点处的直线的斜率为，选项D正确. 12．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 【答案】 【分析】设动点坐标，写出直线和的斜率，由题意建立方程，整理得到动点P的轨迹方程. 【详解】设动点，由题意可知 则直线斜率，直线的斜率， 则，整理得. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. 14．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为．若存在一条过的直线，与双曲线C的左支交于两个不同的点，且的周长为焦距的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用双曲线定义结合周长条件求出焦点弦长，借助同支焦点弦中通径最短的性质建立不等关系，进而求解离心率范围. 【详解】 因为都在双曲线左支上，所以由双曲线的定义可得：，， 两式相加得：，即. 因为同在左支，所以焦点弦长，因此的周长为： . 因为的周长为焦距的3倍，所以，即. 过左焦点且与双曲线左支交于两个不同点的弦中，通径最短，且通径长度为， 因此弦长必须满足：，即 ， 两边同除以，结合离心率公式，整理得：. 又，所以，故双曲线C的离心率的取值范围为：. 15．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）（1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 【答案】（1）（2）（3）（4）． 【分析】（1）设点，根据题意建立等式化简求解作答； （2）设出和点的坐标，利用中点坐标公式把点的坐标用点的坐标和常数表示，再由在定圆上，把的坐标代入圆的方程整理后即可得到答案； （3）设出点的坐标，利用斜率坐标公式结合已知，列出方程化简作答； （4）设出点的坐标，根据建立等式化简求解作答. 【详解】（1）设点，所以，到直线：的距离为， 由题意得，即， 所以，整理得， 所以点的轨迹方程为； （2）设，， 因为为的中点，所以，即， 又因为点在曲线上，所以， 所以． 即点的轨迹方程为，也即； （3）设，． ，，， ，整理得，即． 故点的轨迹方程为． （4）设，点，则由， 得，化简可得， 故动点的轨迹的方程为． 16．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． (1)求的方程. (2)已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明：当直线的斜率存在时，设直线的方程为， ，，，， 联立直线的方程与双曲线的方程，并整理， 得， 则，. 与，分别联立，解得，， 则， 因此，即， 因为，， 所以． 当的斜率不存在时，根据对称性，显然有． 综上，． 【分析】（1）利用渐近线、焦点到渐近线距离以及的关系求解双曲线的方程，考查双曲线的几何性质. （2）要证，由直线上距离与横坐标的关系，将其转化为证明，分别联立直线与双曲线、直线与渐近线，借助韦达定理得到两组横坐标之和相等，变形得，进而证得线段相等. 【详解】（1）已知双曲线的一条渐近线方程为，则，即. 设双曲线的右焦点为，渐近线方程化为， 则点到其距离，解得. 因为，把代入，得，解得，， 故的方程为. （2）略. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 双曲线方程及其几何性质 知识点1：双曲线的定义 文字 语言 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线 符号语言 ||MF1|－|MF2||＝2a(常数)(2a＜|F1F2|) 焦点 定点F1，F2 焦距 两焦点间的距离 【注意】(1)常数要小于两个定点间的距离． (2)如果没有绝对值，动点的轨迹表示双曲线的一支． (3)当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条方向相反的射线(包括端点)． (4)当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在． (5)当2a＝0时，动点的轨迹为线段F1F2的垂直平分线． 用待定系数法求双曲线方程的步骤． (1)定型：确定双曲线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴． (2)设方程：根据焦点位置设出相应的标准方程的形式，若不知道焦点的位置，则进行讨论，或设双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)． (3)计算：利用题中条件列出方程(组)，求出相关值． (4)结论：写出双曲线的标准方程． 知识点2： 方程表示双曲线的条件 (1)对于方程＝1，当mn<0时表示双曲线，进一步来说，当m>0，n<0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n>0时表示焦点在y轴上的双曲线． (2)对于方程＝1，当mn>0时表示双曲线，且当m>0，n>0时表示焦点在x轴上的双曲线；当m<0，n<0时表示焦点在y轴上的双曲线． 知识点3： 双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 焦点坐标 F1(－c，0)，F2(c，0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2 【注意】(1)若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上． 记忆口诀：“焦点跟着正项走”． (2)a与b没有大小关系． (3)a，b，c满足c2＝a2＋b2． 知识点4： 双曲线的几何性质 1．双曲线的几何性质 标准方程 ＝1 (a>0，b>0) ＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≤－a或x≥a；y∈R y≤－a，或y≥a；x∈R 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a，0)，A2(a，0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 轴长 实轴长：2a；虚轴长：2b 渐近线 y＝ y＝ 离心率 e＝，e∈(1，＋∞) a，b，c的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 2．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为． 【注意】对于双曲线＝1： (1)顶点：是双曲线与实轴的交点，只有两个，与焦点在同一坐标轴上．线段A1A2叫做双曲线的实轴，也存在着虚轴B1B2(并不虚)．B1，B2不是双曲线上的点，不能称为顶点． (2)离心率：e表示双曲线的焦距与实轴长的比值．e越大，双曲线“张口”越开阔． (3)渐近线：是双曲线特有的性质，实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交． 双曲线＝λ(λ≠0)的渐近线都是＝0． 巧设双曲线方程的方法 (1)渐近线为y＝±x的双曲线方程可设为＝λ(λ≠0，m＞0，n＞0)；如果两条渐近线的方程为Ax±By＝0，那么双曲线的方程可设为A2x2－B2y2＝m(m≠0，A＞0，B＞0)． (2)与双曲线＝1或＝1(a＞0，b＞0)共渐近线的双曲线方程可设为＝λ或＝λ(λ≠0)． (3)与双曲线＝1(a＞0，b＞0)离心率相等的双曲线系方程可设为＝λ(λ＞0)或＝λ(λ＞0)，这是因为由离心率不能确定焦点位置． 求渐近线的方法 (1)计算a，b的值代入渐近线方程． (2)利用＝或＝进行转化． 考点一 双曲线的定义 考点二 求双曲线的标准方程 考点三 利用双曲线定义求参数或范围 考点四 双曲线中的焦点三角形问题 考点五 双曲线的焦距与实轴、虚轴 考点六 利用双曲线的几何性质求标准方程 考点七 由双曲线的几何性质求参数 考点八 与双曲线的渐近线相关的问题 考点九 双曲线中的轨迹问题 考点十 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 考点十一 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 考点十二 求双曲线的离心率或其取值范围 考点十三 利用双曲线的离心率求参数的取值范围 考点十四 双曲线应用 考点一 双曲线的定义 1．（25-26高二上·北京·期末）已知，分别是双曲线：的左、右焦点，是双曲线上一点，若，则的值为（   ） A．2 B．16 C．2或14 D．14 2．（26-27高二上·全国·课后作业）已知，，动点满足，当为3和5时，点的轨迹分别是（   ） A．双曲线和一条直线 B．双曲线和两条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 3．（25-26高二上·山西·阶段检测）已知为双曲线上一点，，分别为该双曲线的左、右焦点，且，则的值为（    ） A．5 B．7 C．5或13 D．7或11 4．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知双曲线的左右焦点依次为，，且，若点P在双曲线的右支上，则______________. 考点二 求双曲线的标准方程 5．（25-26高二上·北京延庆·期末）已知、，动点满足，则动点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·黑龙江·阶段检测）已知动点到点的距离与它到点的距离之差等于6，则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 7．（26-27高二上·全国·课后作业）根据下列条件，求双曲线的标准方程： (1)焦点分别为，，且经过点； (2)经过点和． 8．（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）根据下列条件，求对应曲线标准方程： (1)长轴长和短轴长分别为8和6，且焦点在x轴上的椭圆的标准方程. (2)经过两点，的双曲线的标准方程. 考点三 利用双曲线定义求参数或范围 9．（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 10．（25-26高二上·河南郑州·期末）（多选）关于方程，下列说法正确的有（    ） A．若，它表示焦点在轴上的双曲线 B．若，它表示焦点在轴上的双曲线 C．方程有可能表示等轴双曲线 D．若方程表示双曲线，则或 11．（25-26高三上·河南·期末）若方程 表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 12．（25-26高二上·安徽阜阳·阶段检测）（多选）若方程所表示的曲线为C，则下面结论正确的是（   ） A．若，则C为椭圆 B．若，则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距可以为 D．若C为焦点在轴上的椭圆，则 考点四 双曲线中的焦点三角形问题 13．（26-27高二上·江苏·阶段检测），为双曲线的两个焦点，点在双曲线上，且，则的面积（     ） A．25 B．48 C．24 D．12 14．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）（多选）如图，，是双曲线：与椭圆：（，）的公共焦点，点是，在第一象限的公共点，则（     ） A． B．的内切圆与轴相切于点 C．若，则的离心率为 D．若，则椭圆方程为 15．（25-26高二下·河南新乡·期末）已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线右支上，且，则的周长为（    ） A． B． C． D． 16．（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 考点五 双曲线的焦距与实轴、虚轴 17．（26-27高三上·福建福州·阶段检测）已知双曲线的离心率为，则双曲线的实轴长为（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高三上·湖南·阶段检测）（多选）已知双曲线：，则下列说法正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的渐近线方程为 C．的离心率为 D．的虚轴长为 19．（26-27高三上·广东·阶段检测）双曲线的实轴长为_________． 20．（25-26高二上·山东枣庄·期末）（多选）已知双曲线，则（   ） A．的焦点坐标为 B．的实半轴长为4 C．的离心率 D．的渐近线的方程是 考点六 利用双曲线的几何性质求标准方程 21．（25-26高二上·广西桂林·期中）求符合下列条件的双曲线的标准方程： (1)焦点在轴上，焦距为，实轴长为； (2)过点，离心率为． 22．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知双曲线的焦点在轴上，且实轴长为4，虚轴长为6，则双曲线的标准方程为_________. 23．（25-26高二上·江苏淮安·期中）实轴长为6，虚轴长为8，焦点在x轴上的双曲线方程为（  ） A． B． C． D． 24．（26-27高二上·全国·课后作业）根据以下条件，分别求出双曲线的方程： (1)两顶点间的距离是6，两焦点的连线被两顶点和中心四等分； (2)过点，离心率； (3)与双曲线有共同的渐近线，且过点． 考点七 由双曲线的几何性质求参数 25．（2026·重庆万州·三模）若双曲线的焦距是虚轴长的倍，则__________ 26．（26-27高二上·广西柳州·阶段检测）已知双曲线的实轴长为2，且一条渐近线倾斜角为，则该双曲线的焦距为（     ） A． B． C．或 D．或 27．（25-26高二上·陕西渭南·期中）（多选）已知，分别是双曲线的上、下焦点，点P在C上，且C的实轴长等于虚轴长的2倍，则（   ） A． B．顶点坐标为 C．C的离心率为 D．C的渐近线方程为 28．（25-26高二下·上海浦东新·期末）已知双曲线（，）的一条渐近线与直线平行，且双曲线的焦距为，则双曲线的方程为______． 考点八 与双曲线的渐近线相关的问题 29．（2026·四川南充·一模）已知双曲线的一条渐近线为，则实数的值为________． 30．（26-27高二上·江苏·阶段检测）双曲线C的焦点在坐标轴上，其渐近线的方程为，则双曲线的离心率________． 31．（25-26高二上·甘肃兰州·期末）（多选）已知双曲线与双曲线：有共同的渐近线，双曲线的两个焦点分别为，，点为上的一点，且，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 32．（2026·福建泉州·模拟预测）（多选）已知双曲线：的离心率，则（    ） A．双曲线渐近线夹角大于 B． C．通径长范围为 D．焦点到渐近线距离大于 考点九 双曲线中的轨迹问题 33．（2026高三·全国·专题练习）已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 34．（2026高三·全国·专题练习）设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 35．（2026·四川广安·模拟预测）在平面内动点与定点的距离和它到定直线的距离的比是.则点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 36．（2026高三·全国·专题练习）已知圆，点，在圆上任取一点，线段的垂直平分线交直线于点． (1)若，求点的轨迹方程； (2)若，求点的轨迹． 考点十 利用双曲线定义求点到焦点的距离及最值 37．（26-27高二上·黑龙江绥化·期中）若双曲线：的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，且，则（    ） A． B． C． D． 38．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知F是双曲线的左焦点，P是C上的一点，是的中点，O为坐标原点，若，则_____. 39．（2026·吉林长春·二模）双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 40．（26-27高三上·甘肃·开学考试）已知双曲线的左、右焦点分别为，，过作直线交的左支于，两点，且，则的周长为（    ） A．13 B．14 C．15 D．16 考点十一 利用定义求双曲线中线段和、差的最值 41．（26-27高二上·天津滨海新区·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，动点M在双曲线左支上，点N为圆上一点，则的最小值为______． 42．（2026·辽宁铁岭·模拟预测）记点，，，，第三象限内一点P满足与的斜率之积为3，则周长的最小值为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 43．（25-26高二下·陕西宝鸡·阶段检测）已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 44．（25-26高二下·浙江·开学考试）已知，点A在椭圆上，点B在双曲线上，则周长的最小值是（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 考点十二 求双曲线的离心率或其取值范围 45．（26-27高三上·江苏南通·阶段检测）双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则离心率为______． 46．（26-27高二上·天津红桥·阶段检测）已知双曲线（，）的左焦点为，是右顶点，是双曲线上一点，满足，，则双曲线离心率为_________ 47．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）若直线与双曲线的交点为，，且大于的虚轴长，则的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 48．（2026·福建宁德·模拟预测）已知，是焦点在轴上的椭圆和双曲线公共的焦点，若椭圆和双曲线在第二象限的交点为，点既在第一象限，又在双曲线上，且，若椭圆的离心率的取值范围为，则双曲线的离心率的取值范围为__________. 考点十三 利用双曲线的离心率求参数的取值范围 49．（26-27高三上·湖南岳阳·阶段检测）已知双曲线（）的离心率为，则的渐近线方程为（    ） A． B． C． D． 50．（2026·安徽合肥·三模）已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，过的直线与C的右支交于A，B两点．若，则的值为（   ） A． B．3 C． D．2 51．（2026·陕西榆林·三模）设双曲线的离心率分别为．若，则（    ） A．1 B． C． D．2 52．（25-26高三上·浙江·阶段检测）已知双曲线的左顶点为，右焦点为，为双曲线右支上的点，若双曲线的离心率为2，且，则（    ） A． B． C． D． 考点十四 双曲线应用 53．（25-26高二上·陕西商洛·期末）双曲线的光学性质是：从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线都经过双曲线的另一个焦点.已知双曲线，一束光线从C的右焦点射出，经过C反射后到达点.则光线从到Q所经过的路径长为_______. 54．（25-26高二上·江苏苏州·阶段检测）如图，双曲线型冷却塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小直径为米，塔底的直径为米，塔顶直径为米，最小直径处距塔底的垂直距离米，则该冷却塔的垂直高度约为（其中）（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 55．（25-26高二上·贵州·期中）在水泥粉磨系统中，双曲线型进料装置具有节能降耗的优点.某双曲线型进料装置的进料口的轴截面如图所示，它是双曲线的一部分，该双曲线的离心率为，实轴长等于进料口的下口宽度，下口宽度为，上､下口之间的高度为，则该进料口的上口宽度为（    ） A． B． C． D． 56．（25-26高二下·海南海口·期中）圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线（如右图）是由椭圆和双曲线在轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过双曲线的右焦点，然后在曲线内多次反射，反射点依次为若与重合，则光线从到所经过的路程为（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 1．（25-26高二上·云南文山·阶段检测）已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．（25-26高三下·贵州黔东南·开学考试）在平面直角坐标系中，“”是“方程表示双曲线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（26-27高三上·海南海口·开学考试）已知双曲线的实轴长为4，焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27高三上·河北衡水·阶段检测）已知双曲线（，）的一条渐近线与轴正半轴的夹角为，右焦点到该渐近线的距离为，则的实轴长为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·广西南宁·一模）设分别为双曲线：的左、右焦点，点在的左支上，，若的周长为，则双曲线的离心率为（   ） A． B． C． D． 6．（26-27高二上·陕西西安·阶段检测）与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·全国·课后作业）点是双曲线上的点，，是其焦点，双曲线的离心率是，且，若的面积是9，则的值等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．（25-26高二下·山东青岛·期中）某落地青花瓷外形为单叶双曲面，可看作双曲线C：绕虚轴旋转而成，若该花瓶横截面圆最小直径为40，最大直径为60，双曲线离心率为，则该花瓶的高为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·云南昆明·模拟预测）（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 10．（26-27高二上·云南昆明·期中）（多选）设双曲线C：（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2．点是曲线上一点，且是直角三角形．若的面积为6，则的值可能是（    ） A．1 B．2 C． D． 11．（26-27高三上·贵州·阶段检测）（多选）如图所示，点是双曲线上一点，，为的左、右焦点，延长交于另一点，已知是等腰直角三角形，若位于第一象限，，则（    ） A． B．的离心率为 C．直线的斜率为 D．与切于点处的直线的斜率为 12．（26-27高二上·河南南阳·阶段检测）已知两点，动点满足直线和直线的斜率之积为，则动点P的轨迹方程为________ 13．（26-27高三·全国·一轮复习）已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 14．（26-27高二上·浙江宁波·阶段检测）已知双曲线的左、右焦点分别为．若存在一条过的直线，与双曲线C的左支交于两个不同的点，且的周长为焦距的3倍，则双曲线C的离心率的取值范围为______． 15．（26-27高二上·河北廊坊·阶段检测）（1）平面上动点到定点的距离与到直线距离之比为，求动点轨迹方程． （2）动点在曲线上移动，点和定点连线的中点为，求点的轨迹方程． （3）已知点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是1．求点的轨迹方程； （4）在平面直角坐标系中，是坐标原点，点，动点满足．求动点的轨迹方程； 16．（26-27高三上·江西吉安·开学考试）已知双曲线的一条渐近线方程为，且右焦点到该渐近线的距离为2． (1)求的方程. (2)已知直线与交于，两点，与的两条渐近线分别交于，两点．证明：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $