3.2.2 第2课时 直线与双曲线的位置关系（Word版）-【满分思维·同步精炼】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册同步测试学生用书（人教A版）

第2课时　 直线与双曲线的位置关系 　 直线与双曲线的位置关系 1.直线y＝（x＋1）与双曲线x2－y2＝1的交点个数为（　　） A.0 B.1 C.2 D.1或2 2.若直线y＝kx与双曲线－＝1相交，则k的取值范围是（　　） A. B. C. D.∪ 3.已知直线l：x＋y＝0与双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）无公共点，则双曲线C的离心率e的取值范围为（　　） A.（1，] B.[，＋∞） C.（1，] D.[，＋∞） 弦长与中点弦 4.已知等轴双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，与直线y＝x交于A，B两点，若｜AB｜＝2，则该双曲线的方程为（　　） A.x2－y2＝6 B.x2－y2＝9 C.x2－y2＝16 D.x2－y2＝25 5.（2026·浙江台州期中）设A，B为双曲线x2－＝1上两点，若线段AB的中点是（－1，－3），则直线AB的方程为（　　） A.3x－4y－9＝0 B.3x＋4y＋15＝0 C.4x＋3y＋13＝0 D.4x－3y－5＝0 6.设A，B为双曲线x2－＝1上的两点，线段AB的中点为M（2，2），则｜AB｜＝（　　） A.　　　B.2 C.　　　D.2 7.已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为. （1）求双曲线的方程； （2）作经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不同的两点A，B，求｜AB｜. 双曲线实际应用问题 8.智慧的人们在进行工业设计时，巧妙地利用了圆锥曲线的光学性质. 如图，从双曲线右焦点F2发出的光线通过双曲线镜面反射出发散光线，且反射光线的反向延长线经过左焦点F1.已知双曲线的离心率为，则当入射光线F2P和反射光线PE互相垂直时（其中点P为入射点），∠F1F2P的大小为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 9.某中心接到其正东、正西、正北方向三个观测点的报告：正西、正北两个观测点同时听到了一声巨响，正东观测点听到的时间比其他两观测点晚4 s.已知各观测点到该中心的距离是1 020 m.则该巨响发生在接报中心的（假定当时声音传播的速度为340 m/s，相关各点均在同一平面上）（　　） A.北偏西45°方向，距离680 m B.南偏东45°方向，距离680 m C.北偏西45°方向，距离680 m D.南偏东45°方向，距离680 m 　 1.（2026·江苏淮安期中）若直线l：mx－y－m＝0与曲线C：x＝有两个不同的交点，则实数m的取值范围是（　　） A.（－1，1） B.∪ C.∪ D.（－∞，－1）∪（1，＋∞） 2.（2026·浙江台金七校联考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0），过点P（－4，0）的直线l与双曲线C交于A，B两点，若线段AB的中点是M（2，6），则双曲线C的离心率为（　　） A. B. C.2 D.3 3.（多选）已知点A（2，2），B（－2，－2）在等轴双曲线C：－＝1上，点F是双曲线C的右焦点，则下列说法正确的是（　　） A.m＝n＝4 B.点A到两渐近线距离的乘积为2 C.以A为切点作双曲线C的切线l交x轴于点（，0） D.△ABF的面积为4 4.过双曲线2x2－y2＝2的右焦点作直线l交双曲线于A，B两点，若｜AB｜＝4，则这样的直线条数为　　　　. 5.（2026·山东济南期末）双曲线C：x2－y2＝2的右焦点为F，过F的直线l与C的右支相交于A，B两点，M为线段AB的中点，若FM的中垂线与x轴交于点P（4，0），则M的横坐标为　　　　. 6.（2026·广东东莞联考）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）过点P（3，），左、右焦点分别为F1（－2，0），F2（2，0）. （1）求双曲线C的方程； （2）过双曲线C的右焦点F2作斜率为1的直线l，l与双曲线C交于A，B两点，求｜AB｜； （3）若O是坐标原点，M，N是双曲线C上不同的两点，且直线MN的斜率为常数k（k≠0），线段MN的中点为Q，求直线OQ的斜率. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　直线与双曲线的位置关系 [教材知识——一遍过] 1.C　方法一：由 可得3x2－2x－5＝0，Δ＝（－2）2－4×3×（－5）＞0， 所以直线y＝（x＋1）与双曲线有2个交点. 方法二：双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为y＝±x， 易知直线y＝（x＋1）过双曲线的左顶点，且斜率为＜1， 所以直线y＝（x＋1）与双曲线有2个交点. 2.C　双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，若直线与双曲线相交，得k∈.故选C. 3.C　由题意得，直线l：x＋y＝0的斜率为－1， 而双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，由于直线l与双曲线C没有公共点， 所以－≥－1，即≤1，故≤1，即－1≤1，所以e2≤2， 故1＜e≤，即e∈（1，].故选C. 4.B　设等轴双曲线的方程为x2－y2＝a2（a＞0），与y＝x联立，得x2＝a2，∴｜AB｜＝×a＝2， ∴a＝3.故选B. 5.D　设A（x1，y1），B（x2，y2）， 线段AB的中点是（－1，－3）， 所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝－6. 因为A，B在双曲线上，则 两式相减并化简得＝＝＝， 所以kAB＝，所以直线AB的方程为y＋3＝（x＋1），即4x－3y－5＝0. 验证可知直线与双曲线有两个交点，满足题意. 6.B　设双曲线x2－＝1上的点A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点为M（2，2），则x1≠x2，则且 ①－②得（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，即y1－y2＝2（x1－x2）， 则直线AB的斜率k＝＝2，直线AB的方程为y＝2x－2， 由消去y得x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3， ｜AB｜＝｜x1－x2｜＝2.故选B. 7.解：（1）∵双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为2，离心率为， ∴结合c2＝a2＋b2，解得 ∴双曲线的方程为－＝1. （2）由（1）知双曲线－＝1的右焦点为F2（3，0）， 则经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的直线的方程为y＝（x－3），设两点坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），联立消去y得5x2＋6x－27＝0， 故x1＋x2＝－，x1x2＝－， ∴｜AB｜＝｜x1－x2｜ ＝ × ＝×＝. 8.D　因为e＝，所以c＝a，a＝b， 不妨设双曲线的标准方程为x2－y2＝1， 设｜PF2｜＝m，则｜PF1｜＝2＋m（m＞0）. 所以m2＋（m＋2）2＝， 解得m＝－1（m＝－－1已舍去）. 所以cos∠F1F2P＝＝， 所以∠F1F2P＝75°＝.故选D. 9.A　以接报中心为原点O，正东、正北方向为x轴，y轴正方向，建立平面直角坐标系（图略）.设A，B，C分别是西、东、北观测点，则A（－1 020，0），B（1 020，0），C（0，1 020）. 设P（x，y）为巨响发生点. 由已知｜PA｜＝｜PC｜，故点P在AC的垂直平分线PO上，PO的方程为y＝－x， 又点B比点A晚4 s听到爆炸声， 故｜PB｜－｜PA｜＝340×4＝1 360， 可知点P在以A，B为焦点的双曲线－＝1的左支上， 依题意得a＝680，c＝1 020， ∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402， 故双曲线方程为－＝1（x＜－680）， 将y＝－x代入上式，得x＝－680（680舍去）， y＝680， 即点P（－680，680），故PO＝680. 故巨响发生在接报中心的北偏西45°距中心680 m处. [综合素养——全提升] 1.B　曲线x＝表示双曲线－＝1的右支， 联立得（1－m2）x2＋2m2x－m2－4＝0. 要使得满足题意，需 解得－＜m＜－1或1＜m＜. 2.C　设A（x1，y1），B（x2，y2），因为点A，B在双曲线上， 则两式相减可得－＝0， 整理可得＝·＝，又线段AB的中点是M（2，6），则x1＋x2＝4，y1＋y2＝12， 设直线l的斜率为k，所以3k＝，又直线l过点P（－4，0），得到k＝＝1，所以＝3，得到e＝＝＝＝2.故选C. 3.ABD　因为点A（2，2）在等轴双曲线C：－＝1上，所以－＝1，m＝n， 所以m＝n＝4，故A正确； 双曲线C：x2－y2＝4，渐近线方程分别为x－y＝0和x＋y＝0， 则点A（2，2）到两渐近线距离的乘积为×＝2，故B正确； 设以A为切点的切线方程为y－2＝k（x－2），k≠±1， 联立消去y得（1－k2）x2＋（4k2－4k）x－8k2＋8k－8＝0， 由题意Δ＝（4k2－4k）2－4（1－k2）（－8k2＋8k－8）＝0， 解得k＝，所以以A为切点的切线方程为y＝x－2， 该直线交x轴于点（，0），故C错误； 因为点A（2，2），B（－2，－2）， 所以直线AB的方程为y＋2＝（x＋2），即x－y＝0， 所以双曲线C的右焦点F（2，0）到直线AB的距离为＝， 又｜AB｜＝＝4， 所以△ABF的面积为×4×＝4，故D正确.故选A、B、D. 4.3　解析：由2x2－y2＝2，得x2－＝1. 当直线l的斜率不存在时，｜AB｜＝＝4，符合要求. 当直线l的斜率存在时，若A，B两点都在右支上，则｜AB｜＞4不符合要求. 若A，B在左、右两支上，满足题意的直线有两条. 综上，共3条. 5.3　解析：由题意F（2，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），x1≠x2，M（s，t）， 则相减得（x1－x2）（x1＋x2）＝（y1－y2）（y1＋y2）. 因为点M为线段AB的中点，所以x1＋x2＝2s，y1＋y2＝2t， 所以s（x1－x2）＝t（y1－y2），所以kl＝＝. 因为FM的中点为，结合P（4，0）， 所以FM的中垂线的斜率为＝. 由题意×＝－1，即＝－1，解得s＝3，即M的横坐标为3. 6.解：（1）根据题意可得c＝2， 2a＝｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝｜－｜＝2， 所以a＝，b2＝c2－a2＝1， 故双曲线C的方程为－y2＝1. （2）直线l的方程为y＝x－2. 设A（x1，y1），B（x2，y2），由得2x2－12x＋15＝0， Δ＝（－12）2－4×2×15＝24＞0，x1＋x2＝6，x1x2＝， 所以｜AB｜＝×＝2. （3）设M（x3，y3），N（x4，y4），则k＝， 则两式相减得（x3－x4）（x3＋x4）－3（y3－y4）（y3＋y4）＝0. 设Q（x0，y0），则所以2x0（x3－x4）－3×2y0（y3－y4）＝0， 即x0－3y0·＝0， 所以x0－3ky0＝0，所以直线OQ的斜率kOQ＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $