四川省内江市第六中学2026-2027学年上期高三第二次月考数学试题

内江市第六中学高2027届第二次月考数学试题 (满分150分，考试时间120分钟) 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知集合A={-3<x<2},B={0≤x≤4，则AUB=() A.[0,2) B.（-3,0] c.[0,2) D.(-3,4 2复数的虚部为《) A.-3 B.-3i a.- D.-i 3.已知AABC,点D为边BC上一点，且满足BD=2DC,则向量AD=() A. 3AB- B. 3 C. D. 号4+号4c 4若tan0=-2,则1-sin2e 1sm29=() A.1 B.3 C.9 D.10 5.某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：gL)与时间t(单位：)间的关系为P= Poe-kt,其中Po,k是正的常数，如果在前5h消除了20%的污染物，那么污染物减少到50%需要花()h. (精确到1h,参考数据：lg2≈0.3) A.5 B.6 C.15 D.18 6.甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必须站在中间两个位置之一，且乙、丙2人相邻，则不同 的排队方法共有() A.24种 B.48种 C.72种 D.96种 7已知随机变量ξ~NL,o2),且PG≤-2)=PG≥a,则当0<x<时，1+4的最小值为() x a-x A B.3 c日 D. 8已知画数f=(x+nr+a,老存在名，西0引5)，使得/()了=ak-e皮立，则实数2的 取值范围是() B.(,1 C.(0,1) D.(1,2) 第1页/共4页 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题 目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知平面向量ā，b满足=(1,2)，=1，a-b=3,则() Aa6-月 B.a与b的夹角的余弦值为 3 10 c.（-2a+3b)）1b 33 D.b在a上的投影向量的坐标为 10’5 10.已知f(x)=Asin(ax+p)A>0,o>0,0<p< 的部分图象如图所示，则() 珠 2 A.f(x)的最小正周期为π 匹 B.fx)的图象可由y=2c0s2x的图象向右平移汇个单位得到 12 C.f(x)在 5π5π 12'6 内有3个极值点 D.f(x)在区间 要2上的摄大位为5 11.己知函数f(x)、g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7,若y=g(x)的图象关于直线x=2 对称，g(2)=4,则() A.函数f(x)是偶函数 B.函数g(x)的周期为4 C若两数)=6+18有m个零点，则闲的零点之和为m D.7f)=-2028 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若函数y=fx)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，fx)=x2-2x+a(a∈R),则f(-1)的值为 13.在(3+x2)1+x)5的展开式中，x3的系数为 (Inxl,0<x≤3， 14.己知函数f(x)= f(6-x),3<x<6,若函数8(x)=f(x)-有8个不同的零点，从小到大依次为x,2,x, f(x-6),6<x<12, x4,x5,x6,x7,,则(x1+x2)2+(x7-6)2+(x8-6)的取值范围为 第2页/共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边，且√3 asinC-acosC=c-b. (1)求A: ②若a=7,△MBC的面积为155，求A4BC的周长 4 16.(本小题满分15分) 已知数列{an}满足aH=a+2,且数列{a}的前n项和S=n+1-41 (1)求{a}的通项公式： (2)求数列{2”.a}的前n项和. 17.（本小题满分15分) 己知函数f(x)=lnr+a (1)已知函数f(x)在x=2处取得极值，求f(x)的解析式及单调区间 (②已知函数gy)-f)+,且对于任意xe(0+),8()>0,求实数a的取值范围 第3页/共4页 18.(本小题满分17分) 某公园有两条散步路线，分别记为路线A和路线B.附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选 择路线A的居民第二天选择路线A和路线B的概率均为)；前一天选择路线B的居民第二天选择路线A和路线B的 概幸分别为子和片，已知层民第一天选择路线A的概车为了，选择路线刀的概率为子。若某居民每天都去公园散步， 4 记第n天选择路线A的概率为？n. (1)求P2: (2)求(neN)(用n表示)： 股M习4，分数告故e 16 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=ln(1+x)-asinx,其中a≥1. (1)若a=2,求曲线y=f(x)在点(0，f(0)处的切线方程； (2)证明：f(x)在区间(0，π)上存在唯一的极值点x1与唯一的零点x2: (3)在(2)的条件下，证明：bm(1+x2)>2s1 1+x1 第4页/共4页内江市第六中学高2027届第二次月考数学答案 一、单选题：l-8:DCBCCCDC 二、多项选择题：9.ACD1O.ABD 11.ABC 三、填空题：12.113.35 14.[52,54) 四、解答题：本题共5小题，共77分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.【详解】(1)△ABC中， √3 asin C-acos C=c-b 3 sin Asin C-sin AcosC=sin C-sin B ，由正弦定理得 分 _sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C 2分 则有5sn4sinC+cos4si血C=snC,由C ,Ce(0,π)sinC≠0 则 4+=1如4+）- 5sin4+cosA=2sin4+） ,得（62 4分 66,得4=2π 由Ae(0,),则A+=5红. 3.6分 (2)43,则 in15 ”2,由 crsa4-155 4,得bC=15,7分 由余弦定理a=b+C2-2 becosA=B2+d2+bc=(b+c)}-bc 9分 得49=（亿+c-l15,得b+c=8,…12分 所以△ABC的周长为a+b+c=15 ..13分 16解：()因为=a+2,所以04，=2，放a为公若为2的等差数列， 9=+1-a中，令n=1特4=1+1-4，解得4=1，则4=1+2a-)=2n-1 …6分 （②2a.=(2m--2,版7=2+3x2+5x2+7x2++(2m-)-20. Tn=22+3×23+5×24+7×2+…+(2n-1)2+1 则 ②，两式①-②得.…9分 -T=2+23+2+25++2-(2n-1）-21=2+ 0-29-（2m-1)2=2-8+22-(2m-0-2=6-(亿m-3)-2 1-2 第1页供5页 …14分 故7=2'(2m-3)+6 .15分 1【解14宽x场：0+四f×是f2=0a=22分 当0=2时，f(x)=2,当x∈0,2时，fx<0,fx单减：当x∈2，+o0时，fx)>0,fx)单增；x=2 取得极小值，符合题意…4分 .∴fxj=lnx+2 5分；fx)的单减区间：(0,2），单增区间2，+o）6分 X 2)8)=mr+是+三，由对于任意x∈0，+0，gx>0,所以8()≥0 .g(x)=1-a-2d-(x-2a)(xta) 十3 7分 ①当a=0时，g(x=lnx,显然不成立..8分 ②当a>0时，当x∈(0,2a)时，g(x)<0,g(x)单减：当x∈(2a,+∞)时，g(x)>0,g(x)单增 g(x)=g(2a)=In2aae 4 ③当a<0时，当x∈(0，-a)时，g(x)<0,gx)单减：当x∈（-a,+o∞)时，g(x)>0,g(x)单增 ∴.g(xmm=g-a=1n(-a>0,.∴.a<-114分 上.安数的位布+5分 I8.【详解】设“第一天选择路线A”为事件M,“第二天选择路线A”为事件B, PB)EPMB+PMB-PMP BM)+P(M)P BM号×号X=号 @,P+1-P号 2 ..P2= 3 3分 第2页共5页 (心当带天远择路线4时，第a+)天运择路线的车为P。 当第n天选择路线。时。第u+)天选样路线4的概率为P=0-P)。 所0-) 3 4’n∈N，5分 设+=+刘，则，=，解得= 5,.6分 其中R=方故R号5 34 4 1 所引是首顾为5，公为4的数，7秀 8号，8-号.8分 ):厌6-号 16 52°-94=4-4 则 ,9分 .444444 当n≥2时，M4-44(4-可44-44，而M,=9 +4++M< 所以M2M3M4,l3分 当，总-4m3:；之月 15分 n≥2 ’M4141-44-4=44-4>44’ 4=0>1-3 而M244. 第3页共5页 11 3 ”-1<4+M++M<eN) 所以4M,M,Mn14 .17分 19.（1)切线方程为：y=-X3分 (2)证明：由题意， (x)=,1 -acosx 1+x 当受，)>0 时，1+x,c0sx≤0，又a≥1，所以f(x)>0.4分 当0，空时.令w0r,测 u′(x)=-1 (1+x)2tasinx 1 国为1，则在(0，上单调速消，x+12在X柔（0,2单调港 。受) 1 2ta>0 所以'(x)在 《0,之上单调递增，且（0)=1<0， (1+2 所以存在0∈（0,2，使得u'() 所以当0<x<时，u(x)<0,f(x)单调递减，当0、xT 2时，u'(x)>0,f(x)单调递增，所 以f(x)<f(0)=1-a≤0， ”受)元>0 又因为 1 2 ,所以在a1长(x0受) ,使得f(x1)=0. 当0<x<x1时，f(x)<0,∫(x)单调递减，当x1<x<π时，f(x)>0,(x)单调递增，所以f(x)在 (0,π)上存在唯一极（小）值点1. 所以f(x1)<f(0)=0,又因为f(π)=n(1+π)>0，所以存在x2E(1,π)，使得∫(x)=0,所以f(x)在 第4页/供5页 (0,π)上存在唯一零点2，得证.8分 (3)证明：因为f(x3)=0,所以n（1+x2)=sin2,9分 t（x11+x,-acos x10 1=acosx 2sinx1-2asinxicosx1-asin2x1 因为 ，得1+x1 ,所以1+x1 n(1+x2)> 2sinx1 因为a≥1，所以 1+X1等价于si>sin2x1.11分 r安)五竖<<0 1+ 兀2 a<4+元2 结合(2)的分析，因为 4 受)>0 1e径受)21受)， 时因为（受）1a(1 )a 0,f(m)=m(1+)>0 上单调递减，要证sinv>sin2x1,只需证x2<2x1..13 分 又因为f(x)在(x1,π)上单调递增，所以只需证f(2x)>f(x)=0. f(2x1）=n(1+2x)-asin2x1=1n(1+2x1）-1+x1, 2sinx1 借助x>sinx(x>0),可得 02x)>1n(1+2x1）1*x1.5分 281 2x2 yx)=111+2x)2xw《x)=1+2x〔1+x)2(1+2x)(1+x)20 >0 1+x,则 恒成立， 所以v(x)在 上单调递增，所以v(x1)>v(0)=0,即f(2x1)>0成立，得证.所以不等式 2sin x1 1n(1+x2)> 1+X1成立.17分 第5页供5页