精品解析：四川省绵阳市三台中学2025-2026学年高三上学期二诊适应性考试（第四次月考）数学试题

三台中学2023级高三二诊适用性考试 数学试题 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据并集定义运算即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：D 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】应用复数的除法化简，并确定其对应点所在的象限，即可得. 【详解】由，对应点为在第四象限. 故选：D 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查双曲线的标准方程与离心率，核心是通过将双曲线方程化为标准形式，结合双曲线的基本关系，离心率公式，计算离心率. 【详解】将双曲线方程化为标准形式：， 这是焦点在轴上的双曲线，标准形式为，因此，. 根据双曲线的离心率公式，其中满足. 代入，，得，即. 又，因此. 综上，双曲线的离心率为. 故选：C 4. 已知，则的最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式求得，再根据对数的运算即可求得最小值. 【详解】因为，，所以，，当且仅当时取等号， . 故选：D 5. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合两直线垂直的性质分析判断. 【详解】∵直线与直线互相垂直 ∴，∴或， 而“”是“或”的充分不必要条件 ∴“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件， 故选：A. 6. 在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D. 若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间中直线、平面的位置关系，结合平面的基本性质判断A、B，由面面垂直的判定定理判断C，利用长方体举反例判断D. 【详解】A：空间中垂直于同一直线的两条直线，可能平行、相交或异面，错， B：空间中平行于同一直线的两个平面，可能平行或相交，错， C：若一个平面经过另一个平面的一条垂线，根据面面垂直的判定定理知这两个平面互相垂直，对， D：在长方体中，三点到平面的距离都相等，但平面与平面并不平行，错. 故选：C 7. 已知向量是空间的一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果. 【详解】设在基底下的坐标为， 则， 所以， 解得， 故在基底下的坐标为. 故选：B. 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，，转化不等式为，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】令，， 由，则， 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则不等式无解； 当时，不等式为，即， 解得或，由于，则， 即，则. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分． 9. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用辅助角公式化简函数式，结合正弦型函数的性质依次判断A、B、C，由图象平移写出解析式判断D. 【详解】由，其最小正周期为，A对， 由，则的值域为，B对， 由，则，显然不单调，C错， 函数的图象向右平移个单位长度， 则，D对. 故选：ABD 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 B. 已知点，，直线过且与线段相交，则其倾斜角的范围是 C. 圆：与：恰有四条公切线，则 D. 圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线平行、冲要条件、直线与线段的交点、圆与圆的位置关系、圆和直线的位置关系对选项进行分析可得结果. 【详解】选项A：由，得， 当时，两直线，两直线平行， 当时，两直线，即，两直线平行， 所以“”是“直线与直线互相平行”的充分不必要条件，故A错误. 选项B：因为，所以直线的倾斜角为， 因为，所以直线的倾斜角为， 所以直线倾斜角的范围是，故B正确； 选项C：圆：，即，圆心，半径， ：，即， 要表示圆则，此时圆心，半径， 两圆有四条公切线，所以两圆外离，即，所以， 解得，故C正确； 选项D：圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 所以圆上有且仅有个3点到直线的距离都等于， 故D错误， 故选：BC. 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. C. 时， D. 若关于x的方程至少有2个不同的实根，则实数a的取值范围是 【答案】AC 【解析】 【分析】对A：由是偶函数计算即可得；对B：由题意计算可得以为周期，结合时解析式计算即可得；对C：结合A中所得计算即可得；对D：结合函数性质可画出函数图象，结合对数函数性质计算即可得. 【详解】对A：因为是偶函数，所以， 所以关于直线对称，故A正确； 对B：由是定义在上的奇函数，则， 又，则， 故，则， 故函数以为周期，则， ， 所以，故B错误； 对C：当时，，又， 则，故C正确； 对D：因为时，，且关于直线对称， 所以根据对称性可以作出上的图象， 又因为是定义在上的奇函数，的周期， 所以作出的图象如图，所以． 要使的图象与的图象至少有2个交点， 则，所以，又，所以，故D错误. 故选：AC． 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与共线，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用向量共线的坐标表示即可求解. 【详解】因向量与共线， 所以，故． 故答案为：. 13. 已知点在焦点为的抛物线上，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，得到，求得，进而求得的值，得到答案. 【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得，所以. 故答案为：. 14. 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设，结合面面垂直的性质有侧面，进而有，，，将三棱锥补全为长方体且，则球是长方体的外接球，结合基本不等式求外接球表面积的最小值. 【详解】由底面，平面，则平面底面， 又侧面侧面，底面侧面，则侧面， 由底面，则，， 由侧面，则，故，即， 所以两两垂直，则三棱锥可补全为如下长方体， 三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球为三棱锥的外接球， 所以球为上述长方体的外接球，则其表面积， 当且仅当时取等号，故球表面积的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5个小题，共77分． 15. 已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）. （1）求函数的解析式； （2）当时，若函数有且仅有两个零点，求k的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求导，根据在和处取得极值，可得，解之即可得解； （2）函数零点个数转化为两个函数图象交点的个数，利用导数求出函数的单调区间及极值，由此结合题意列出不等式，从而可得出答案. 【小问1详解】 因为函数在和处取得极值， 所以和是方程的两个根， 则，解得，经检验符合已知条件， 函数经过点得. 所以函数的解析式为； 【小问2详解】 当时，函数有且仅有两个零点， 令，可得， 则问题转化为与的图象在上有且仅有两个交点. ，令，即，即得或. 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增； 所以； 结合与的图象在上有且仅有两个交点， 可得或，解得或； 所以k的取值范围 16. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角后，再利用两角和的正弦公式及，得到，再得出的值； （2）由余弦定理得①，又平方可得②，由①②得：，故，根据和面积公式可得. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 则，又 所以， 因为在中，，所以. 【小问2详解】 由余弦定理得：，即有①； 设为的中点，即，又因为， 所以，即②， 由①，②得：， 所以，所以． 因为为的平分线，所以， 则， 即． 17. 如图，在斜三棱锥中，，，，是的中点． （1）求证：平面平面： （2）若底面，且直线与底面所成角为，是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，，由题意可证，，进而可证平面，然后利用面面垂直判定定理可证结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量和平面的一个法向量，利用向量法可求平面与平面夹角的余弦值． 【小问1详解】 连接，，因为，是的中点，所以， 又因为，，， 所以与全等，所以， 又是的中点，所以，又，、平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由题意可得，，则，， 若底面，又底面，所以， 因为底面，所以是直线在平面内的射影， 所以为直线与底面所成的角，所以， 所以，所以， 以为坐标原点，，，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，， 所以，，， 所以， ， 设平面的一个法向量为， ，令，则，， 所以平面的一个法向量为， 因为底面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 所以， 所以平面与平面的夹角的余弦值为 18. 已知数列为无穷数列，前项和为. （1）若，，求的通项公式； （2）是否存在等差数列，使？若存在，请写出一个满足条件的通项公式，若不存在，请说明理由； （3）若数列为等比数列，公比为，且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 （3）当时，；当时，或 【解析】 【分析】（1）根据与的关系，推得通项公式； （2）写出等差数列的基本公式，代入不等式整理，结合二次函数性质分析即可说明； （3）根据不等式关系，分类讨论得到结果. 【小问1详解】 已知，则当时，； 当时，，即，化简可得， 因此，数列从第二项起是首项为，公比为的等比数列，通项公式为： 【小问2详解】 不存在等差数列，使. 理由：设等差数列的公差为，则， 代入不等式得：， 化简整理得, 令， 若，，二次函数开口向上，当趋近于正无穷时，， 无法满足恒成立； 若，，当，当， 此时由的值决定，所以不满足不等式. 当，，二次函数开口向下，当趋近于正无穷时，， 当，，无法满足恒成立； 综上，不存在等差数列，使. 【小问3详解】 设等比数列首项，公比．则． 则即． 由可先判断符号，． 因此若，则；若，则． 情形一：，此时可直接除以正数，得． 等价于． 若，则，恒成立； 若，则， 必存在某个使不成立， 故该情形要求； 情形二：，此时除以负数需改变不等号方向即． 又由，可化为． 若，则，且， 所以有，故恒成立； 若，令，则当为奇数时，恒成立； 当为偶数时，取．即． 函数在上单调递增， 且，故．即； 综上，当时，；当时，或；． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为．且椭圆过点，椭圆的下顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方），与轴交于点（点在点的下方），点为点关于原点的对称点，交轴于点，设的面积分别为． ①若直线l的斜率为2，求的值； ②是否存在直线，使，，，四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，②存在直线，条数为1条. 【解析】 【分析】（1）利用椭圆的定义可求得的值，利用焦点求出，再由椭圆关系即可求出椭圆方程； （2）①写出直线的方程与椭圆方程联立，结合韦达定理代入运算得解；②设直线的方程为与椭圆方程联立得，延长交轴于点，若四点共圆，则，得，又，代入运算得，令，，利用导数判断的零点个数即可. 【小问1详解】 因为椭圆的左、右焦点分别为，， 且过点， ， ，， 可得椭圆方程为. 【小问2详解】 ①直线的方程为，设，， 联立，消去，得， 则，，又，， 所以， ②假设存在直线，设直线的方程为， 联立，消去，得，， 所以，， ， 如图，延长交轴于点，若四点共圆， 所以，而， 所以， ，， 又， 所以， 由，， 所以， ， ，即， 由点在点的下方得，即， 记，， ， 所以函数在上单调递增，又，， 所以函数在上只有唯一零点，即存在唯一， 使得成立， 所以存在直线，条数为1条. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 三台中学2023级高三二诊适用性考试 数学试题 注意事项：考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8个小题，每小题5分，共40分． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知，则最小值为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 5. “”是“直线与直线互相垂直”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 在空间中，下列命题正确的是（ ） A. 垂直于同一直线的两条直线平行 B. 平行于同一直线的两个平面平行 C. 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直 D. 若一个平面内有三个不共线的点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 7. 已知向量是空间一个基底，向量是空间的另一个基底，一向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3个小题，每小题6分，共18分． 9. 已知函数，下列说法正确有（ ） A. 的最小正周期为 B. 的值域为 C. 在上单调递增 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后可以得到函数的图象 10. 下列说法正确的是（ ） A. “”是“直线与直线互相平行”的充要条件 B. 已知点，，直线过且与线段相交，则其倾斜角的范围是 C. 圆：与：恰有四条公切线，则 D. 圆上有且仅有2个点到直线：的距离等于 11. 已知函数是定义在上的奇函数，是偶函数，当时，，则下列说法中正确的有（ ） A. 函数关于直线对称 B. C. 时， D. 若关于x的方程至少有2个不同的实根，则实数a的取值范围是 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与共线，则_______． 13. 已知点在焦点为的抛物线上，若，则______． 14. 在三棱锥中，底面，侧面侧面，且，的面积为4.若三棱锥的各个顶点都在球的球面上，则球表面积的最小值为_____. 四、解答题：本题共5个小题，共77分． 15. 已知函数在和处取得极值，且经过点（0，1）. （1）求函数的解析式； （2）当时，若函数有且仅有两个零点，求k取值范围 16. 的内角的对边分别为，已知． （1）求； （2）若，边上的中线长为2，点在上，且为的平分线，求的长． 17. 如图，在斜三棱锥中，，，，是的中点． （1）求证：平面平面： （2）若底面，且直线与底面所成角为，是棱的中点，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知数列为无穷数列，前项和为. （1）若，，求通项公式； （2）是否存在等差数列，使？若存在，请写出一个满足条件的通项公式，若不存在，请说明理由； （3）若数列为等比数列，公比为，且满足，求的取值范围. 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为．且椭圆过点，椭圆的下顶点为． （1）求椭圆的方程； （2）过右焦点的直线与椭圆交于，两点（点在点的上方），与轴交于点（点在点的下方），点为点关于原点的对称点，交轴于点，设的面积分别为． ①若直线l的斜率为2，求的值； ②是否存在直线，使，，，四点共圆？若存在，试判断直线的条数；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $