精品解析：广东省深圳市多校联考2026-2027学年高二上学期10月阶段质量监测数学试题

2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 3 B. 13 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】，. 2. 已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ） A. B. 4 C. D. 5 【答案】B 【解析】 【详解】直线l的斜率． 3. 直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】选项，若直线，直线的方向向量平行于平面，而平面的法向量，因此，故正确. 选项，若直线方向向量，则直线，不是，故错误. 选项，若平面，则两个平面的法向量，故错误. 选项，若直线，则直线的方向向量与平面的法向量平行，不是垂直，故错误. 故选：. 4. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】在用截距式求直线方程时需要讨论解决是否为0，截距为0则过原点；截距不为0用截距式设出方程后带点即可. 【详解】设直线在两坐标轴上的截距分别为：，，则 ①，则直线过原点，则直线方程为： ②则，则设直线方程为：，即，则，∴直线方程为： 综上所述：该直线方程为或 故选：D 5. 已知平面经过点，且其一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【详解】已知点在平面上，连接平面内点和待求点，得到向量. 点到平面的距离公式为：点与平面内任意一点构成的向量，在平面法向量方向上的投影的绝对值，即 . 因为，， 所以点到平面的距离为：. 6. 如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据四面体的性质，结合向量加减法求向量的数量积． 【详解】四面体的棱长都是4， 四面体的4个面均为边长是4的等边三角形， 点M为棱的中点， ， ， 故选：A． 7. 已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，数形结合可得出直线的斜率的取值范围. 【详解】过点作，垂足为点，如图所示： 设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，， 当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大， 此时； 当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时. 综上所述，直线的斜率的取值范围是. 故选：D. 8. 如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以A为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，求关于直线及轴的对称点，两点间距离即为所求． 【详解】以A为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系， 因为为等腰直角三角形，其中，且， 则，点， 所以点关于轴的对称点， 设点关于直线的对称点为， 则且，解得， 则． 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、三、四象限 D. 直线与直线平行 【答案】AB 【解析】 【分析】判断A，求得直线斜率可得倾斜角；判断B，由截距定义计算；判断C，作出图象，根据图象判断；判断D，由直线平行的条件判断. 【详解】直线可化为， 对于A，直线的斜率为1，所以倾斜角为，故A正确； 对于B，当时，，所以在轴上的截距为2，故B正确； 对于C，作出直线的图象如下： 由图象可知直线经过第一、二、三象限，故C错误； 对于D，直线的斜率为，与直线不平行，故D错误. 故选：AB. 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，，则 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若空间向量，，则在上的投影向量为 D. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或 【答案】BC 【解析】 【分析】通过反例可说明A错误；根据空间向量共面定理可知B正确；根据投影向量的求法可知C正确；根据可确定直线与平面位置关系，知D错误. 【详解】对于A，若，，，则， 满足，，此时与不平行，A错误； 对于B，且，四点共面，B正确； 对于C，在上的投影向量为，C正确； 对于D，，与不垂直，与不平行且不在内，D错误. 故选：BC. 11. 在直三棱柱 中， . 点 为线段 中点，点 为棱 上的动点. 则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据已知建系求出平面的法向量得出进而判断A；利用向量法求出线面角判断D，利用线面垂直得平面，求出四棱锥的高计算判断B；根据侧面展开图求出的最小值判断C. 【详解】 以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 则，，. 对于A，设平面的一个法向量为， 由，得， 令，则，，所以平面的一个法向量为. ，平面，所以平面，故A选项正确； 对于D，设直线 与平面所成角为， ，所以，故D正确； 对于B，过点作，垂足为，又因为平面，平面， 所以，平面，所以平面， 因为平面，平面，所以平面， 所以点和点到平面距离相同， 因为，所以， 所以四棱锥的体积为，故B错误； 对于C，展开侧面得出矩形，当连接交于时， 的最小值为 ，故C正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 【答案】2 【解析】 【详解】直线与直线平行， 则它们之间的距离是 13. 若，，，则的面积为________． 【答案】5 【解析】 【详解】，边所在的直线方程为，即， 到边的距离， 又， 所以的面积. 14. 已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设正四面体外接球球心为O，把用表示并计算数量积后可得． 【详解】设正四面体外接球球心为O， 正四面体的外接球半径为3， 设正四面体内切球半径为，一个面的面积为，高为，则，所以，显然，所以，即． ． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，求： （1）； （2）； （3）求与的夹角． 【答案】（1） （2）, （3） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的数乘、加法坐标运算求解； （2）利用空间向量的模长的坐标表示，即得解； （3）利用，结合（2）中的结果，即得解. 【小问1详解】 因为向量，， 所以. 【小问2详解】 由题意，向量，， 【小问3详解】 因为， 所以， 由，可得. 16. 已知的三个顶点坐标分别是. （1）求边所在的直线的一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程； （3）求边上的高所在直线的一般式方程. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）先求出所在的直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （2）先求出的中点坐标，再求出所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程； （3）根据已知条件，结合直线垂直的性质，求出边上的高所在直线的斜率，写出点斜式方程，再化成一般式方程. 【小问1详解】 由， 得所在的直线的斜率， 所以所在的直线的方程：，即， 所以边所在的直线的一般式方程：； 【小问2详解】 由， 得的中点坐标为，所在的直线的斜率， 所以中线所在直线的方程：，即， 所以中线所在直线的一般式方程为； 【小问3详解】 由得，边的斜率， 所以边上的高所在直线的斜率， 所以上的高所在直线的方程为：， 即， 所以边上的高所在直线的一般式方程为. 17. 四棱锥中，底面，四边形是正方形，. （1）求证：平面平面； （2）设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明面面垂直. （2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算线面角正弦值. 【小问1详解】 如图建立空间直角坐标系，则、、、、， 则、、、， 设平面的法向量为，则，所以， 设平面的法向量为，则，所以， 所以，所以平面平面. 【小问2详解】 因为点为棱的中点，所以，所以， 设直线与平面所成角为，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 【答案】（1）证明：由直线整理可得： ，即， 则由，即， 故直线过定点； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）要证明直线过定点，将直线方程转化，通过提出参数，令参数所乘的式子为0建立等式，求出定点坐标； （2）直线外一点到动直线的最大距离为这点与直线上定点的距离，当直线外的点与直线上定点的连线垂直于直线时，可求最大距离； （3）根据与坐标轴的交点坐标可得三角形面积公式，利用二次函数的最值求法得到面积取最小值时参数的值，从而得到直线方程． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当动直线满足定点与直线外点的连线垂直于时， 到直线的距离最大， 因为，则； 因为，故，解得； 【小问3详解】 由可得： 当时，；当时，； 因为直线与坐标轴交于正半轴，故 ，解得； 此时三角形面积为， 要使面积取最小值，只需取的最小值即可； 由可知， 当时，取最小值，此时面积取最小值， 此时直线方程为，即． 19. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和长度保持相等，记 （1）求证：平面； （2）求的长，并求其最小值； （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 由题意，因为四边形，均为正方形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面 所以平面.因面，所以，即直线两两垂直， 故可以为原点建立如图所示的空间直角坐标系： 因为正方形，的边长为1，所以，. 因为，所以，. 所以，. 因为，所以. 又为平面的法向量，平面，所以平面. （2），最小值为. （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面平行. （2）利用空间两点间的距离公式结合二次函数的最值的求法求的最小值. （3）利用空间向量求两平面所成角的三角函数值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得：， 因，故当时，取得最小值. 【小问3详解】 由（2），当的长最小时，. 此时，，，，. ，，. 设平面的法向量为， 则，可取， 设平面的法向量为， 则，可取. 设平面与平面所成的角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年度第一学期高二年级第一阶段质量监测 数学试题 时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、试室号和座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上，并在答题卡相应位置上填涂考生号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，，则（ ） A. 3 B. 13 C. D. 2. 已知直线l经过点，，则直线l的斜率为（ ） A. B. 4 C. D. 5 3. 直线的方向向量分别为，平面的法向量分别为，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知平面经过点，且其一个法向量为，则点到平面的距离为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 6. 如图，已知四面体的棱长都是4，点M为棱的中点，则的值为（ ） A. B. C. 2 D. 4 7. 已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知为等腰直角三角形，其中，且，光线从边上的中点出发，经，反射后又回到点（反射点分别为，），则光线经过的路径总长（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 直线在轴上的截距为2 C. 直线经过第一、三、四象限 D. 直线与直线平行 10. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，，则 B. 若对空间中任意一点，有，则四点共面 C. 若空间向量，，则在上的投影向量为 D. 已知直线的方向向量为，平面的法向量为，则或 11. 在直三棱柱 中， . 点 为线段 中点，点 为棱 上的动点. 则下列选项正确的是（ ） A. 平面 B. 四棱锥的体积为 C. 的最小值为 D. 直线 与平面 所成角的正弦值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 直线与直线平行，则它们之间的距离是______． 13. 若，，，则的面积为________． 14. 已知正四面体的外接球半径为3，MN为其外接球的一条直径，P为正四面体表面上任意一点，则的最小值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，求： （1）； （2）； （3）求与的夹角． 16. 已知的三个顶点坐标分别是. （1）求边所在的直线的一般式方程； （2）求边上的中线所在直线的一般式方程； （3）求边上的高所在直线的一般式方程. 17. 四棱锥中，底面，四边形是正方形，. （1）求证：平面平面； （2）设点为棱的中点，求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知直线． （1）求证：直线过定点； （2）若到直线的距离最大，求的值； （3）若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形面积最小，求的方程． 19. 在如图所示的实验装置中，两个正方形框架的边长都是1，且它们所在的平面互相垂直．活动弹子分别在正方形对角线和上移动，且和长度保持相等，记 （1）求证：平面； （2）求的长，并求其最小值； （3）当的长最小时，求平面与平面夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $