精品解析：广东深圳市第二高级中学2026-2027学年高二上学期第一次学段考试数学试题

2026-2027学年深圳市第二高级中学高二第一次学段考试 数学试题 命题人：张靖阳 审题人：吕颖锋 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，直线，且，则（ ） A. B. C. D. 2 4. 设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值为 A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 5. 已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 10. 已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（ ） A. 圆的半径为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为6 11. 已知正三棱台 有内切球O（球O位于三棱台的内部且与各个面均有且只有一个公共点），且 若过O，A，B三点的平面截该三棱台所得截面为α，则（ ） A. 三棱台ABC - A₁B₁C₁的高为2 B. 平面OAB⊥平面OA₁B₁ C. 截面α的面积为12 D. 该三棱台被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 三、填空题：本题共3小题，12题、13题、14题每小题5分. 12. 在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为_____. 13. 已知向量，，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______. 14. 已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为4，求直线的方程. 16. 已知圆经过点，，且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）设直线与圆交于，两点，且是直角三角形，求的值. 17. 在锐角中，角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年深圳市第二高级中学高二第一次学段考试 数学试题 命题人：张靖阳 审题人：吕颖锋 时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线方程可得直线的斜率为，进而得到倾斜角. 【详解】由直线，可得直线的斜率为，则直线的倾斜角为，故C项正确. 故选：C. 2. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 3. 已知直线，直线，且，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线垂直的斜率表示计算可得. 【详解】易知当时，直线的斜率不存在，不满足题意； 因此两直线斜率均存在，即， 当时可得，解得. 故选：A 4. 设椭圆的左右焦点分别为，，点在椭圆上，且满足，则的值为 A. 8 B. 10 C. 12 D. 15 【答案】D 【解析】 【详解】由已知，① 由椭圆定义知， ，② 由余弦定理得，③ 由①②③得. 故选：D. 【点晴】本题主要考查椭圆的定义及性质、平面向量数量积公式及余弦定理.求解与椭圆性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、离心率等椭圆的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.本题的解答就是综合考虑椭圆的定义、几何性质以及余弦定理解答的. 5. 已知椭圆，以为中点的弦所在直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】采用点差法，设弦两端点坐标代入椭圆方程作差，利用中点坐标求出弦所在直线斜率，再用点斜式写出直线方程并化简． 【详解】设以为中点的弦为，，， ①，②， ①②得， 化简得， 因为，， 所以弦所在直线的斜率， 所以弦所在直线方程为，即． 6. 已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用对称思想将轴上点到两圆心的距离和转化为两点间距离，再减去两圆半径之和即可求得最小值. 【详解】由题意可得圆的圆心，半径，， 圆的圆心，半径，， 则， 当且仅当在线段上、在线段上时，等号成立， 作关于轴对称点， 则， 当且仅当点在线段上时，等号成立， 故的最小值为. 7. 已知是椭圆的焦点，若椭圆上存在一点，满足线段相切于以椭圆的短轴为直径的圆，切点为线段的中点，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合图形，由题意可得，，连接，可得，由椭圆的定义求得，最后借助于，推得，即可求得离心率. 【详解】 如图，点分别是椭圆的左、右焦点，与以椭圆的短轴为直径的圆相切于点， 则，，连接， 因，则，且， 又点为椭圆上的一点，则有，故， 在中，，即， 将代入化简得：，解得， 则. 故选：A. 8. 已知分别是轴、轴上的两个动点，，且点是的中点，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先设出，再利用两点间距离公式得到，结合中点坐标公式得到，进而得到，整理得到，最后求解轨迹方程即可. 【详解】设，因为，所以， 整理得，因为点是的中点，所以， 则，又，得到， 整理得，则点的轨迹方程为，故C正确. 故选：C. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 如图是函数的部分图象，下列说法正确的是（ ） A. 函数的周期是 B. 点是函数图象的一个对称中心 C. 直线是函数图象的一条对称轴 D. 将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象对应的函数是偶函数 【答案】AB 【解析】 【分析】根据函数图象求出、，即可得到函数解析式，再根据正弦函数的性质一一判断即可. 【详解】由图可得，所以，则，解得， 即函数的最小正周期是，故A正确； 又，所以，所以， 因为，所以， 所以， 又，所以点是函数图象的一个对称中心，故B正确； 因为， 所以直线不是函数图象的一条对称轴，故C错误； 将函数的图象向右平移个单位得到， 显然为非奇非偶函数，故D错误. 故选：AB 10. 已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是（ ） A. 圆的半径为2 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为6 【答案】BD 【解析】 【分析】利用配方法，结合换元法、一元二次方程根的判别式逐一判断即可, 【详解】A：， 因此该圆的半径为，所以本选项不正确； B：因为点是圆：上的动点， 所以， 设代入中，化简得： ，因为该方程有实根， 所以， 因此的最大值为，所以本选项正确； C：由B可知：， ， 由A可知：， 因为点在圆上，所以，于是 ，其中， 显然的最小值为，所以本选项不正确； D：由B可知：， 令，代入中，化简得： ，因为该方程有实根， 所以，因此的最大值为6， 所以本选项正确， 故选：BD 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用换元法，根据一元二次方程有实根的性质进行求解. 11. 已知正三棱台 有内切球O（球O位于三棱台的内部且与各个面均有且只有一个公共点），且 若过O，A，B三点的平面截该三棱台所得截面为α，则（ ） A. 三棱台ABC - A₁B₁C₁的高为2 B. 平面OAB⊥平面OA₁B₁ C. 截面α的面积为12 D. 该三棱台被截面α分成两部分，较小部分与较大部分的体积之比为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对 A，先利用正三角形面积、边心距公式算出上下底相关参数，结合正棱台存在内切球时斜高等于上下底边心距之和求出斜高，再通过轴截面直角三角形勾股定理求出棱台实际高，与选项给出高 对比判断；对 B，取上下底中点构造轴截面，证明两平面同垂直于轴截面，二面角平面角为​，用余弦定理算出夹角，证得面面垂直；对 C，先 分析得到截面即截面，通过解三角形算出​的面积进行判断；对 D，分别算出棱台体积与三棱锥体体积，作差得到剩余部分体积，比较判断. 【详解】对于A：已知下底边长​，上底边长​，设三棱台上底面积为，下底面积为， 则， 正棱台有内切球的性质：斜高（为上下正三角形中心到边的距离），因为，故斜高。 由勾股定理，棱台高满足：，得，即​， 所以三棱台的高为，A错误； 对于B：取中点，中点，则截面为棱台轴截面， 因为为正三棱台内切球球心，所以， 所以，又，，所以平面， 所以平面平面，同理可证平面平面， 所以是平面与平面所成二面角的平面角， 因为棱台的高为，所以，又， 所以， 所以，平面平面，B正确； 对于C：过作底面，垂足为，则 设外心为，外心为， 则，， 因为，所以截面即截面， 因为，所以， 所以， 所以，C正确； 对于D：因为， ，剩余部分体积​， 所以较小部分与较大部分体积比： ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，12题、13题、14题每小题5分. 12. 在中，，，若满足条件的三角形有且只有两个，则边的取值范围为_____. 【答案】 【解析】 【分析】在中利用正弦定理得，再结合即可求出. 【详解】在中利用正弦定理，得， 因，且满足条件的三角形有且只有两个，则且， 则，即，得， 则边的取值范围为. 故答案为：. 13. 已知向量，，则向量 在向量 上的投影向量的坐标是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算． 【详解】向量 在向量 上的投影向量的坐标为, 故答案为：． 14. 已知圆与圆，则圆，的公切线最多有________条；该情况下，若这些公切线交点中的三个落在y轴上，则另外三个交点围成的三角形面积是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【详解】由圆，得圆心，半径， 又由圆，得，半径， 圆心距，当两圆外离时公切线最多，共有4条， 所以满足， 即存在这样的，故第一空答案为； 由3个公切线交点在轴上，注意到到的距离为1，恰好是的切线， 若也是的公切线，则到的距离为，得，符合外离条件， 此时是一条公切线，它和另外三条公切线的交点都在轴上，满足题意， 设斜率存在的公切线为，由公切线条件可得： ，作商可得：， 可得或， 整理得：或， 当时，代入， 当时，代入， 所以当时，， 当时，， 从而可得三条公切线方程分别为： 由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 又由，联立解得：，即得， 则，点到直线的距离为， 所以另外三个交点围成的三角形面积为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知直线：. （1）若直线不经过第四象限，求的取值范围； （2）若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为4，求直线的方程. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据直线不经过第四象限，得斜率，轴截距，求解不等式，即可得出结论； （2）先求出直线在坐标轴上的交点坐标，并根据交点的位置，求出的范围，列出 的面积等式，即可求解. 【详解】（1）直线的方程可化为：， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则， 解得的取值范围是：； （2）依题意，直线在轴上的截距为：， 在轴上的截距为， ∴，， 又且，∴， ∴， 整理得，解得， ∴直线方程为 ，即. 【点睛】本题考查直线的几何特征，考查数形结合思想，属于基础题. 16. 已知圆经过点，，且圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）设直线与圆交于，两点，且是直角三角形，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标求出、，即可求出圆的方程； （2）首先分析出为直角，从而求出到的距离为，利用点到直线的距离公式求出. 【小问1详解】 依题意设圆的方程为， 则，解得， 所以圆的方程为. 【小问2详解】 圆：的圆心为，半径， 因为，若为直角三角形，则直角一定为， 所以为等腰直角三角形，所以，则到的距离为， 即圆心到直线的距离，解得或， 即或. 17. 在锐角中，角的对边分别为，已知 （1）求角； （2）若，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合三角恒等计算； （2）运用正弦定理，结合三角函数计算值域即可. 【小问1详解】 由正弦定理得：， 即， ， ， ，又； 【小问2详解】 由正弦定理得：, , ， 在锐角中：，解得：， ， ,， 则. 18. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，是斜边为AD的等腰直角三角形， （1）求证：平面； （2）求PB与平面PCD所成角的正弦值； （3）在棱PB上是否存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为若存在，求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 平面平面ABCD，平面平面 平面ABCD，， 平面PAD， 平面， 又且，PA、平面平面PAB； （2） （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）由面面垂直的性质定理得平面PAD，再由线面垂直的判定定理可得证； （2）利用空间向量法求线面角； （3）设利用空间向量的数量积，求解，推出结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD中点为O，连接PO、CO， 又， 则， ，则， 以O为坐标原点，分别以所在的直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， ， 设为平面PCD的一个法向量， 由，得，令，则， 设PB与平面PCD所成角的角为， 【小问3详解】 假设在棱PB上存在点M，使得平面ADM与平面ABCD所成角的余弦值为， 由可知，， ，设 ， 设为平面ADM的一个法向量， 由得， 则， 易知平面ABCD的一个法向量为， 设平面ADM与平面ABCD的夹角为 ， ， 19. 已知椭圆的离心率，点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）设椭圆的右焦点为，过点作斜率不为的直线交椭圆于两点，设直线和的斜率分别为. （i）求证：为定值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i）由（1）知，所以右焦点， 设过点的直线方程为（），交椭圆于， 将直线方程代入椭圆方程， 得，化简得， 由判别式，得 ， 根据韦达定理， 直线的斜率分别为， 因为， 所以， 分子为，所以为定值； （ii） 【解析】 【分析】（1）根据离心率可得的关系，将点代入椭圆方程，结合求出即可得到椭圆的标准方程； （2）（i）由（1）可知右焦点，设直线方程为，联立椭圆方程，利用韦达定理表示交点的坐标关系，再计算斜率和，即可得证； （ii）三角形面积可以表示为，其中，利用韦达定理将用表示，通过换元求最值. 【小问1详解】 由离心率，得， 所以，即， 将点代入椭圆方程，得， 将代入上式，得 ， 从而， 所以椭圆 的标准方程为. 【小问2详解】 （i）略； （ii）由于 在轴上，，直线过点，如图所示， 的面积为， ， 令，则，，， 由基本不等式，当且仅当（即）时取等号， 此时， 所以面积的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $