江苏省连云港市2026-2027学年九年级年级数学上学期期中模拟练习试卷

江苏省连云港市2026-2027学年度九年级年级数学上学期 期中模拟练习试卷 (考试时间：120分钟，满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写 在本试卷上无效。 3.测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点A(-2,m)在反比例函数y=的图象上，则m的值为() A.3 B.-3 C.12 D.-12 2.已知x=2是一元二次方程x2-kx-2=0的一个根，则k的值为() A.-1 B.0 C.1 D.3 3.如图，点A,B,C均在⊙O上，若LAOB=50°，则LACB的度数是() ⊙ A.40 B.35° C.30° D.25 4.若点A(-2,a),B(-1,b),C(1,c)都在反比例函数y=-的图象上，则a,b,c的大小关系是() A.c<a<b B.c<b<a C.a<b<c D.b<a<c 5.己知方程x2-6x+4=■，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为(x-3)2=7,则印刷不 清楚的数字是() 第1页，共7页 A.-2 B.2 C.6 D.9 6.如图，PA,PB是⊙O的切线，A,B为切点，AC是⊙O的直径，若LBAC=25°，则∠P的度数为() A.45° B.50° C.55° D.60° A ◇ 7.将进价为90元/个的某种商品按100元/个出售时，能卖出500个，己知这种商品每个每涨价1元，其 销售数量就减少10个，若想使利润达到9000元，售价应是多少？设售价为x元/个，则可列方程() A.(x-100)(500-10x)=9000 B.(x-90)(500-10x)=9000 C.(x-100)[500-10(x-100)]=9000 D.(x-90)[500-10(x-100)]=9000 8已知直线y=kx(k>0)与双曲线y=交于点A(xy),Bx,y)两点，则x2+x2y的值为() A.-6 B.-9 C.0 D.9 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9反比例函数y=一的图象在第二、四象限内，则m的取值范围是 10.一个圆锥的侧面展开图是半径为6的半圆，则这个圆锥的底面半径为· 11.某种型号的芯片每片的出厂价为200元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，现进行两次降价，若每 次降价的百分率都为x,降价后的出厂价为162元，则可列方程为 12.如图，△ABC的边AC与⊙O相交于C,D两点，且经过圆心0，边AB与⊙0相切，切点为B.如果∠C=28°， 那么LA的度数为一· 0 D B 13.反比例函数y=(k≠0)的图象经过A(x1,y),B(x2,y2)两点，当x1<0<x2时，y1>y2,写出一个符 合条件的k的值为 14.设x1,x2是方程x2-3x+m=0的两个根，且x1+x2-x1x2=1,则m=一· 15.如图，反比例函数y=x<0)的图象经过平行四边形ABC0的顶点A,0C在x轴上，若点B(-1,3), S口4Co=3,则实数k的值为一 第2页，共7页 16.如图，在矩形ABCD中，AB=12,BC=16,点E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF=10,点G是EF 的中点，连接AG、CG,则四边形AGCD面积的最小值为· E B 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.(本小题9分)解下列方程： (1)x(x-4)=0 (2)x2-4x+1=0 (3)4x(5x-2)=3(5x-2) 18.(本小题8分) 已知某品牌显示器的寿命大约为2×104h (1)求这种显示器可工作的天数d与平均每日工作的小时数t之间的函数解析式： (2)如果平均每天工作10h,那么这种显示器大约可使用多长时间？ 19.(本小题8分) 如图，AB为⊙O的直径，点C为BE的中点，CD1AE交直线AE于D点， (1)求证：OC/AD: (2)若DE=1,CD=2,求⊙0的直径. 第3页，共7页 20.(本小题9分) 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=-的图象交于A(-1,m),B(m,一3)两 点，一次函数y=kx+b的图象与y轴交于点C. (1)求一次函数的解析式： (2)根据函数的图象，直接写出不等式kx+b2-的解集； (3)点P是x轴上一点，且△B0P的面积等于△AOB面积的2倍，求点P的坐标. O B 21.(本小题8分) 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，矩形ABCD的边BC为大圆的弦，边AD与小圆相切于点M,OM的延长 线与BC相交于点N, (1)点N是线段BC的中点吗？为什么？ (2)若圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm,AB=5cm,BC=10cm,求小圆的半径， 第4页，共7页 22.(本小题8分) 如图，点A(2,y1),B(5,y2)在函数y=(k>0)的图象上，AC1y轴，垂足为C,BD1x轴，垂足为D,延 长CA交DB的延长线于点E. (1)根据图象，直接比较y1,y2的大小：y1y2(填“>”，“<”或“=”)： (2)若四边形0CED的面积为10，求k的值. 23.(本小题8分) 已知关于x的方程x2-4mx-5m2=0(m为常数). (1)求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； (2)若m>0,且该方程的两个实数根的差为3，则m的值为 24.(本小题12分) 某校根据学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”.已知药物在燃烧释放过 程中，室内空气中每立方米含药量y(mg)与燃烧时间x(min)之间的关系如图所示.根据图象所示信息，解答 下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围： (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于4g,对人体无毒害作用.从消毒开始，至少需要经过多 少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于6g且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌.你认 为此次消毒是否有效？并说明理由. ◆ymg) 24 x(min) 第5页，共7页 25.(本小题10分) 2026年5月10日江苏省城市足球联赛（被球迷称为“苏超”的足球联赛）开幕.某经销商销售以“苏超”为 主题的T恤衫，平均每天可售出40件.每件盈利30元.为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价 措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低1元，平均每天可多售出4件.设每件T恤衫降价x元. (1)降价后每件T恤衫的利润为元，平均每天可售出 件（用含x的代数式表示）： (2)若该经销商每天获得的利润为1500元，则每件T恤衫应降价多少元？ 26.(本小题10分) 如图1，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D. (1)求证：AC平分∠DAB: (2)如图2，延长AB交直线DC于点E,连接BC.若AB=20,AD=15,求BC与BE、CE组成的图形的面积. D D A A 0 B B 图1 图2 第6页，共7页 27.(本小题12分) 【阅读理解】①如图1，已知点P为等边△ABC外接圆的C上任意一点.求证：PB+PC=PA: ②定义：在△ABC所在平面上存在一点P,使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P为△ABC的费马 点，此时PA+PB+PC的值为△ABC的费马距离. A D B B (图1) (图2)》 (图3) (图4) 【方法探究】根据①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A、∠B、∠C均小于120)的费马点和费马距离 的方法 (I)如图2，在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，在BC上任取一点P',连接P'A、P'B、 P′C、P'D根据①的结论，易知P'B+P'C=一，P′A+P'B+PC=P′A+,根据两点间 线段最短，我们可以得到线段的长度为△ABC的费马距离 (2)在图3中，作出△ABC的费马点P(要求尺规作图).如果∠B=30°，AB=2,BC=3,△ABC的费马距离 是 _ 【问题解决】己知正方形ABCD,P是正方形内部一点，且PA+PB+PC的最小值为V6+√2，求正方形ABCD 的边长 第7页，共7页 江苏省连云港市2026-2027学年度九年级年级数学上学期 期中模拟练习试卷 （考试时间：120分钟，满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材苏科版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知点在反比例函数的图象上，则的值为(    ) A. B. C. D. 2.已知是一元二次方程的一个根，则的值为(    ) A. B. C. D. 3.如图，点，，均在上，若，则的度数是(    ) A. B. C. D. 4.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是(    ) A. B. C. D. 5.已知方程，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方变形为，则印刷不清楚的数字是(    ) A. B. C. D. 6.如图，，是的切线，，为切点，是的直径，若，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.将进价为元个的某种商品按元个出售时，能卖出个，已知这种商品每个每涨价元，其销售数量就减少个，若想使利润达到元，售价应是多少？设售价为元个，则可列方程(    ) A. B. C. D. 8.已知直线与双曲线交于点，两点，则的值为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。 9.反比例函数的图象在第二、四象限内，则的取值范围是          ． 10.一个圆锥的侧面展开图是半径为的半圆，则这个圆锥的底面半径为       ． 11.某种型号的芯片每片的出厂价为元，经科研攻关实现国产化后，成本下降，现进行两次降价，若每次降价的百分率都为，降价后的出厂价为元，则可列方程为      ． 12.如图，的边与相交于，两点，且经过圆心，边与相切，切点为如果，那么的度数为       ． 13.反比例函数的图象经过，两点，当时，，写出一个符合条件的的值为          ． 14.设，是方程的两个根，且，则        ． 15.如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，在轴上，若点，，则实数的值为        ． 16.如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，连接、，则四边形面积的最小值为        ． 三、解答题：本题共11小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 17.本小题分解下列方程： 18.本小题分 已知某品牌显示器的寿命大约为 求这种显示器可工作的天数与平均每日工作的小时数之间的函数解析式； 如果平均每天工作，那么这种显示器大约可使用多长时间？ 19.本小题分 如图，为的直径，点为的中点，交直线于点． 求证：； 若，，求的直径． 20.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． 求一次函数的解析式； 根据函数的图象，直接写出不等式的解集； 点是轴上一点，且的面积等于面积的倍，求点的坐标． 21.本小题分 如图，以点为圆心的两个同心圆中，矩形的边为大圆的弦，边与小圆相切于点，的延长线与相交于点． 点是线段的中点吗？为什么？ 若圆环的宽度两圆半径之差为，，，求小圆的半径． 22.本小题分 如图，点，在函数的图象上，轴，垂足为，轴，垂足为，延长交的延长线于点． 根据图象，直接比较的大小：           填“”，“”或“”； 若四边形的面积为，求的值． 23.本小题分 已知关于的方程为常数． 求证：不论取何值，方程总有两个实数根； 若，且该方程的两个实数根的差为，则的值为______． 24.本小题分 某校根据学校卫生工作条例，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量与燃烧时间之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： 求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量的取值范围； 据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ 当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 25.本小题0分 6年月日江苏省城市足球联赛被球迷称为“苏超”的足球联赛开幕某经销商销售以“苏超”为主题的恤衫，平均每天可售出件每件盈利元为了尽快减少库存、增加盈利，该经销商采取了降价措施，经过一段时间的销售发现，销售单价每降低元，平均每天可多售出件设每件恤衫降价元． 降价后每件恤衫的利润为______元，平均每天可售出______件用含的代数式表示； 若该经销商每天获得的利润为元，则每件恤衫应降价多少元？ 26.本小题0分 如图，为的直径，为上一点，和过点的切线互相垂直，垂足为． 求证：平分； 如图，延长交直线于点，连接若，，求与、组成的图形的面积． 27.本小题2分 【阅读理解】如图，已知点为等边外接圆的上任意一点．求证：； 定义：在所在平面上存在一点，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点为的费马点，此时的值为的费马距离． 【方法探究】根据的结论，我们有如下探寻其中、、均小于的费马点和费马距离的方法 如图，在的外部以为边长作等边及其外接圆，在上任取一点，连接、、、根据的结论，易知        ，        ，根据两点间线段最短，我们可以得到线段        的长度为的费马距离 在图中，作出的费马点要求尺规作图如果，，，的费马距离是______； 【问题解决】已知正方形，是正方形内部一点，且的最小值为，求正方形的边长 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $答案和解析 1.【答案】B 6 解：.点A-2,m在反比例函数y=的图象上， 6 ..m= -2 -3， .∴.m的值为-3， 故选：B 2.【答案】C 【解析】解：.X=2是一元二次方程x-kx-2=0的一个根， .4-2k-2=0 解得k=1, 故选：C 3.【答案】D 【解析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角的度数是它所对弧上的圆心 【详解】解：.∠AOB=50, ∠ACB=7∠A0B=25 故选：D 4.【答案】A 【解析】解：由条件可知-2a=-2,-b=-2,c=-2, 解得：a=1,b=2,c=-2, ∴.c<a<b1 故选：A. 5.【答案】B 【解析】解：设印刷不清的数字是a, 由条件可知x2-6X+9=7, 第1页，共1页 角度数的一半求解即可. .x2-6x=-2 .∴.-2+4=a' ∴.a=2 即印刷不清的数字是2， 故选：B 6.【答案】B 解：，'PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，AC是⊙O的直径， ∴.∠CAP=90'PA=PB' .∴.∠PAB=∠PBA' .∠BAC=25 ∴.∠PBA=∠PAB=90°-25°=65' .∴.∠P=180°-∠PAB-∠PBA =180°-65°-65° =50° 故选B. 7.【答案】D 【解析】解：设售价为X元，则 (x-90)[500-10(x-100)]=9000' 故选：D 8.【答案】A 第2页，共1页 【解析】解：：点A(X1y,,B(X2y,)是双曲线y=三上的点 .X1y1=x2y2=3① :直线y=xk>0)与双曲线y=3交于点A(,y),B(X,y,两点， ∴.1=-X2’y1=-y2②' :原式=-X1y1-xy2=-3-3=-6 故选：A. 9.【答案】m<1 【解析】根据反比例函数的性质，图象在第二、四象限时，比例系数小于0 范围。 【详解】解：·反比例函数y=m- X 二的图象在第二、四象限， .比例系数m-1<0, 解得m<1」 10.【答案】3 【解析】解：设底面半径为R, 则扇形的弧长= ×2π×6=2πR, .R=3 故答案为：3. 利用弧长公式和圆的周长公式求解. 本题考查了圆锥的计算，利用了弧长公式和圆的周长公式求解，属于基础题， 11.【答案】200(1-x2=162 第3页，共1页 列不等式求解即可得到m的 比较简单， 【解析】解：根据题意得：200(1-x2=162 故答案为：200(1-x}=162 利用该种型号的芯片经过两次降价后的出厂价_该种型号的芯片原出厂价×(1-每次降价的百分率2，即可 列出关于X的一元二次方程，此题得解. 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键. 12.【答案】34 【解析】解：如图，连接OB, .边AB与⊙O相切，切点为B, D B ∴.∠OBA=90°， .∠C=28°， .∴.∠A0B=2∠C=56°， ∴.∠A=90°-56°=34° 故答案为：34°。 连接OB,由题意可得∠OBA=90°，因为∠AOB=2∠C=56°，在Rt△AOB中，即可得出∠A的度 数 本题考查圆的切线的性质，直角三角形的性质.解题的关键是掌握圆的切线的性质. 13.【答案】答案不唯一，如-1 14.【答案】2 【解析】解：.X1、2是方程x2-3x+m=0的两个根， ∴.X1+X2=3’X1X2=m' 第4页，共1页 .X1+X2-X1X2=1’ .3-m=1 ∴.m=2 故答案为：2. 15.【答案】-6 【解析】解：如图，延长AB交y轴于点D, ,B(-1,3),S。ABco=3, .OC·OD=30C=3, ,ABCO是平行四边形， .∴.AB=OC=1, .AD=2, .A(-2,3), ,点A在反比例函数图象上， ∴.k=-6. 故答案为：-6， 16.【答案】142 A B D C 第5页，共1页 【解析】解：如图，连接AC,过B作BH⊥AC于H,以B为圆心，BG为半径作圆，交BH于G',如图， D G G B .四边形ABCD是矩形， ∴.∠EBF=90°， .EF=10,点G是EF的中点， .BG=1EF=1×10=5, 2 ∴.G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到G'时，S△ACG最小，此时四边形AGCD面积的最小值， 最小值即为四边形AG'CD的面积， AB=12=CD,BC=16=AD, Ac-20.5m×12×16=-96. .BH=AB·BC-48 AC 5' G'm-m-58-5-9 5 5 第6页，共1页 ∴S6Ac6=号ACG'H=号×20×23-46， 2 .S四边AaS△AcD+S△AcG=46+96=142,即四边形AGCD面积的最小值是142， 故答案为：142 17.【答案】【小题1】x(x-4)=0, x=0或x-4=0 ∴.1=0’X2=4 【小题2】x-4x+1=0, x2-4X=-1' X2-4x+4=3即(x-2P=3 .x-2=±V3 .X1=2+V3’x2=2-V3 【小题3】4x(5x-2)=3(5x-2)」 4x(5x-2)-3(5x-2)=0 (5x-2)(4x-3)=0 :5x-2=0或4x-3=0 第7页，共1页 18【答案】(1)d-2X10(2)这种显示器大约可使用200天 t 【解析】解：（1)由题意，.‘dt=2×104, d=2x104 t (2)由题意，结合(1)d=2×1 t 当t=10时，d=2×10=200. t :这种显示器大约可使用2000天. (1)根据日工作时间乘以天数_总寿命列式即可： (2)将=10代入求得的函数解析式即可求得使用时间： 本题考查了反比例函数的应用，能根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键. 19.【答案】解：(1)证明：连接BE. D E B .AB是直径， 第8页，共1页 .∴.∠AEB=90°，即AD⊥BE, .点C为BE的中点， ∴.EC=CB, ∴.OC⊥EB .OC//AD; (2)设BE交OC于点T. .CD⊥AD, ∴.∠D=∠DET=∠CTE=90°， ∴.四边形DETC是矩形， ∴.CD=ET=2,DE=CT=1, .OC⊥EB, ∴.BT=TE=2, 设OB=OC=r,则OT=r-1,在直角三角形0TB中，OB 则r2=(r-12+22, 第9页，共1页 OT2+TB2. ..r=5 .∴.AB=2r=5,即⊙O的直径为5. 20.【答案】解：口反比例函数y=的图象经过点A(-1,m ∴.-1×m=-6,-3n=-6, 解得m=6,n=2, .A(-1,6),B(2,-3), 「-k+b=6 把A、B的坐标代入y=x+b得2k+b=-3' k=-3 解得b=3' .一次函数的解析式为y=-3x+3. 2泵察图象，不等式+b2受的解集为：X≤-1安0<x≤2。 (3)连接OA,OB,由题意C(0,3), 5ane=58ec+5c-号x3x1+×3x2-2 21 第10页，共1页 B(n,-3, 设P(m,0), 由题意方·lm3= ×2, 2 解得m=±6， ∴.P(6,0)或(-6,0). 21.【答案】解：(1)，AD是小圆的切线，M为切点， ∴OM⊥AD, 四边形ABCD是矩形， .∴.AD/IBC, ..ON⊥BC, .N是BC的中点： (2)延长ON交大圆于点E,连接OB, .圆环的宽度（两圆半径之差）为6cm,AB=5cm, 第11页，共1页 .EN=6-5=1cm, .∴.ME=6cm, .BC=10cm,N是BC的中点， .∴.BN=5cm, 在Rt△OBN中，设OM=r, O B2=BN2+(OM+MN2, 即(r+62=52+(r+52, 解得r=7(cm), 故小圆半径为7cm. 22.【答案】【小题1】 > 解：“点A2,y,B5,y2在函数y=kk>0的图象上， k k y=2y,5 .k>0, 格 即y1>y2, 故答案为：>： 【小题2】 ,AC⊥y轴，垂足为C,BD⊥X轴，垂足为D,∠COD=90°， ∴.四边形OCED是矩形， ∴.OC=DE,OD=CE, 第12页，共1页 A(2,y1,B(5,y2, ∴.C0,y1E5,y1D5,0 ∴.OD=5,0C=y1, .四边形OCED的面积为10， ∴.5y1=10,解得：y1=2, ∴.A2,2, 又A2,2在函数y=K(k>0)的图象上， ∴.k=2×2=4. 23.【答案】证明见解析过程； 2 【解析】(1)证明：因为4=(-4m2-4×1×(-5m2)=36m2≥0 所以不论m取何值，方程总有两个实数根. (2解：因为x=4m±V36m, 2 所以x1=5m,X2=-m. 又因为m>0,且方程的两个实数根的差为3， 所以5m-(-m)=3, 1 解得m=2 即m的值为2： 故答案为：2 24.【答案】【小题1】 第13页，共1页 解：设正比例函数表达式为y=x,反比例函数表达式为y=四 X 将点24,8代入y=m中得：8=m X 4 解得：m=192 反比例函数的表达式为y=192 X 把y=12代入y=19 X 中得：12=192 X 解得：x=16 ∴.A16,12 反比例函数的表达式为y=192x2≥161。 X 将点A16,12代入y=kx得：12=16k, 解得：k号 3 .正比例函数的表达式为y=子x0≤x<16 【小题2】 解：将y=4代入y=192中得：4=192 X 解得：x=48, ∴.至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室. 【小题3】 解：有效， 理由：把将y=6代入y=3 中得：6=3 解得：x=8, 把y=6代入y= 得：6=192 192 X 解得：X=32, ∴.32-8=24>20， .此次消毒有效. 第14页，共1页 25.【答案】解：(1)(30-x),（40+4x): (2依题意得：(30-x〔40+4x)=1500: 解得：X1=5,X2=15, 为了要尽快减少库存、增加盈利， .x=151 答：每件T恤衫应降价15元. 26.【答案】（1)如图1，连接0C, .'AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D, .∴.AD⊥CD,CD⊥OC, .OC//AD, .∴.∠BOC=∠BAD=∠BAC+∠DAC, ∴.∠BOC=2∠BAC, .∴.∠BAC+∠DAC=2∠BAC, .∴.∠DAC=∠BAC, ,AC平分∠DAB(2)BC与BE、CE组成的图形的面积是50V3 【解析】(1)证明：如图1，连接0C, .:AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D, 第15页，共1页 D 0 B 图1 50π 3 D C B 图1 .AD⊥CD,CD⊥OC, .∴.OC/1AD, ∴.∠BOC=∠BAD=∠BAC+∠DAC, .∴.∠BOC=2∠BAC, .∴.∠BAC+∠DAC=2∠BAC, ∴.∠DAC=∠BAC, .AC平分∠DAB. (2)解：如图2，作OF⊥AD于点F, .AD⊥CD,CD⊥OC, .∠OFD=∠OCD=∠D=90°， ∴.四边形OCDF是矩形， ,'AB为⊙O的直径，AB=20,AD=15, .DF=OC=OA=OB=号AB=10,∠ACB=90° ∴.AF=AD-DF=5, .∠AFO=∠OCE=90°， 第16页， D 0 图2 共1页 .CD=0F=V0A2-AF2=V102-52=5V3 ∴.AC=VAD2+CD2=V152+(5V32=10V3, ∴.BC=VAB2-AC2=V202-(10V52=10, .∴.OC=OB=BC, ∴.△BOC是等边三角形， .∴.∠C0B=60, ∠E=90°-∠C0B=30,∠CAE=2∠C0B=30°， .∴.∠E=∠CAE .∴.EC=AC=10V3, .S阴影=SACOE-S扇⑦丐 ×10×10v3-60mx10=50V3 360 ∴.BC与BE、CE组成的图形的面积是50V3-50刀. 3 27.【答案】【小题1】 P'D P'D AD 【小题2】 1.在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆⊙O, 2连接AD,如图， 第17页，共1页 B D 则AD的长度为△ABC的费马距离. △ABC的费马距离是；【问题解决】正方形ABCD的边长为2 【解析】【阅读理解】①证明：延长BP至点F,使PF=PC,连接FC :△ABC为等边三角形， ∴.∠BAC=∠ABC=60'BC=AC' :四边形ABPC为圆的内接四边形， .∴.∠CPF=∠BAC=60o' PF=PC' :△PCF为等边三角形， ∴.PC=FC'∠F=60 .∠APC=∠ABC=60o 第18页，共1页 如图， ∴.∠APC=∠F=60 在△ACP和△BCF中， ∠APC=∠F ∠PAC=∠FBC, AC=BC ∴△ACP≌△BCF(AMS ∴.AP=BF1 BF=PB+PC' ∴.PB+PC=PA 【方法探究】(1)在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆，在BC上任取一点p,连接 P'A、P'B、P'C、P'D, 根据①的结论，易知：P'B+P'C=P'D,P'A+P'B+P'C=P'A+P'D,根据两点间线段最短，则 AD≤AP'+P'D, 所以，当A,P',D在一条直线上时，我们可以得到线段AD的长度为△ABC的费马距离. 故答案为：P'D:P'D:AD: (2)1.在△ABC的外部以BC为边长作等边△BCD及其外接圆OO 2.连接AD如图， B D 则AD的长度为△ABC的费马距离. .:∠DBC=60o'∠ABC=30 ∴.∠ABD=∠ABC+∠CBD=90 .AB⊥BD 第19页，共1页 △BCD为等边三角形， ∴BD=BC=3 .AD=VAB2+BD2=22+32=13 故答案为：13， 【问题解决】)在△ABC的外部以AC为边长作等边△ACE及其外接圆， H B 根据①的结论，易知：PA+PC=PE, 当点B,P,E在一条直线上时，PA+PB+PC取得最小值， :BE=PA+PB+PC的最小值=6+V2 设正方形ABCD的边长为X,则AB=BC=x,AC=AE=CE=√2x, BA=BC'EA=EC' BE垂直平分AC: ·∠ABE=3<ABC=45,∠AEB=号∠AEC=30°， 过点A作AH⊥BE于点H, 则△ABH为等腰直角三角形， AH-BH=V2AB=V2x. 2 .AH⊥BE'∠AEB=30' ·EH=V3AH=6 X, 1 :PA+PB+PC的最小值为6+V2' .'BE=6+2 x+5x=6+2, 22 .X=2 第20页，共1页 如图， :.正方形ABCD的边长为2 第21页，共1页