期中阶段复习能力提升卷二（第1章～4章）-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

期中阶段复习能力提升卷二（第1章～4章） 一、选择题（共16分） 1．如图，长方形操场的长为，宽为，恒恒站在点处，足球在点处，恒恒要想捡到足球，他最少应跑（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，可知，． 由勾股定理，得， ∴恒恒要想捡到足球，他最少应跑． 2．在下列实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：， 无理数有，，共个． 3．A，B两艘舰艇的位置示意图如图所示，下列选项中描述舰艇B相对舰艇A的位置正确的是（     ） A．北偏东， B．北偏东， C．南偏西， D．南偏东， 【答案】B 【分析】用方向角描述方向时，通常以正北或正南方向为角的始边，以对象所处的射线为终边，故描述方向角时，一般先叙述北或南，再叙述偏东或偏西．以点A为观测点，来描述点B的方向及距离即可． 【详解】解：由题意知，舰艇B相对舰艇A的位置可描述为北偏东，． 4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1、2、3 B．3、5、6 C．5、12、13 D．6、7、8 【答案】C 【分析】先确定各选项中最长线段，验证两条较短线段的平方和是否等于最长线段的平方即可． 【详解】解：A、∵，不能组成三角形，∴不能组成直角三角形； B、∵，，，∴不能组成直角三角形； C、∵，，∴，故能组成直角三角形； D、∵，，，∴不能组成直角三角形． 5．如果函数是的正比例函数，那么的值为（     ） A．0 B．1 C．0或2 D．2 【答案】C 【详解】解：∵函数是的正比例函数， ∴， 解得或． 6．某广场计划用A，B两种瓷砖（如图1）铺成如图2所示的图案．从下往上、从左往右数，第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（    ） A．位于的是B种瓷砖 B．位于的是B种瓷砖 C．位于的是A种瓷砖 D．位于的是B种瓷砖 【答案】B 【详解】解：A种瓷砖的位置：，，，…，，，，…； B种瓷砖的位置：，，，…，，，，…． 由此可得，A种瓷砖的坐标规律为（奇数，偶数）或（偶数，奇数）； B种瓷砖的坐标规律为（奇数，奇数）或（偶数，偶数）， 所以在的是A种瓷砖，故选项A不符合题意； 在的是B种瓷砖，故选项B符合题意； 在的是B种瓷砖，故选项C不符合题意； 在的是A种瓷砖，故选项D不符合题意． 7．已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（     ） A．或 B． C． D．以上答案都不对 【答案】B 【分析】根据绝对值与算术平方根的非负性求出，的值，然后分两种情况讨论：①当等腰三角形腰长为4时；②当等腰三角形腰长为8时；讨论两种情况下边长能否构成三角形，再选择能构成三角形的情况求周长即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， 若腰长为，则三边长为， ∵，不能构成三角形，舍去； 若腰长为，则三边长为， ∵，能构成三角形， 周长为． 8．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【分析】运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 二、填空题（共20分） 9．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值是______． 【答案】 【详解】点与点关于x轴对称， ，， ，， ． 10．若点在函数的图象上，则代数式的值是______． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，将点代入函数解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：点在函数的图象上， 将代入解析式得：， 整理得：， ∴， 代入得：． 11．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 【答案】2027 【分析】根据题意可得每“生长”一次，面积和增加1，据此即可求得“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和． 【详解】解：如图， 由题意得：，由勾股定理得：， 则“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得：“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形面积和为3， “生长”了3次后形成的图形中所有正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2027． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 【答案】 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ，， 解得，， ． 13．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需______元． 【答案】70 【分析】根据表格可以求出y与x的关系式，将代入求出x的值，进一步计算即可． 【详解】设买入价x与利润y之间的函数关系式为：， 将，代入得： ， 解得：， 故：， 当代入得： ， 解得：， 即：1吨水的买入价为7元， 则买入10吨水共需元． 故答案为：70． 【点睛】本题考查了一次函数，根据表格求出一次函数的关系式是解题的关键． 14．在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 【答案】 【分析】过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E，证明，得到，．结合点A，C的坐标求解即可． 【详解】解：过点C作直线l垂直x轴，过点A作于点F，过点B作于点E， 则， ∴， ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴，． ∵点的坐标为，点的坐标为，直线轴，， ∴， ∴，， ∴，， ∴，． 15．如图，在中，为上一点，为上一点，．若，，则的长为________． 【答案】 【分析】由全等三角形的性质得到，，根据线段的和差关系求出的长，再求出，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，且， ∴， ∴． 16．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 【答案】13 【分析】根据题意，画出示意图，其中表示大树，表示小树，过点作，垂足为，如图所示，则，求出的长，由勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示：表示大树，表示小树，过点作，垂足为， 则， ， ， 在中，， 由勾股定理得， 则小鸟至少飞行了． 17．如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】利用勾股定理求出的长，根据，求出即可解答． 【详解】解： 根据题意可知，， ， 在直角三角形中，， 根据勾股定理可得， ， ， ， 点在数轴负半轴， 点表示的数是， 即． 18．如果实数、满足，且恰好是直角三角形的两边长，则的斜边长是_____． 【答案】4或5/5或4 【分析】根据非负数的性质求出、的值，再分两种情况讨论：当、均为直角边，以及当为斜边、为直角边，分别计算斜边长即可． 【详解】解：∵ ，且，， ∴ ，， 解得 ，， ∵ ，是直角三角形的两边长，分两种情况讨论： 当，均为直角边时， 由勾股定理得斜边长为 ， 当为斜边，为直角边时， 斜边长为， 综上，的斜边长是4或5． 三、解答题（共64分） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】略 【详解】（1）解：原式 （2）原式 （3）原式 （4）原式 20．已知一次函数． (1)当m、n为何值时，函数的图像过原点? (2)当m、n满足什么条件时，函数的图像经过二、三、四象限? 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把代入解析式，且满足，解答即可． （2）根据题意，得，，解答即可． 本题考查了一次函数的定义，图象的分布条件，熟练掌握分布条件是解题的关键． 【详解】（1）∵一次函数过原点， ∴，且， 解得，且． （2）根据题意，得，， 解得，． 21．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 【答案】(1)12尺 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用； （1）设水池深度为x尺，则得芦苇高度为尺，在中，利用勾股定理建立方程即可求解； （2）由水池深度，则得芦苇高度为，由题意有：；由勾股定理即可得证． 【详解】（1）设为x尺， 则，尺． 在中，， 由勾股定理，得 ． ． 解得  ． 答：水池的深度为12尺． （2）图中，，， 则，， 在中，， 由勾股定理，得． ． 解得． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限的角平分线．定义点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记为．例如，点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点的坐标为________，二次反射点的坐标为________； (2)若的一次反射点和的二次反射点重合，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了坐标与轴对称，掌握关于轴对称的性质是关键； （1）根据一次反射点的定义及二次反射点的定义求解； （2）根据一次反射点，二次反射点的定义解题即可． 【详解】（1）解：点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为； 故答案为：，； （2）解：的一次反射点为，点的一次反射点为，二次反射点为， 由题意知：， 解得：， ∴． 23．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）直线与轴交点的纵坐标为，与轴交点的横坐标为，代入计算即可； （2）由题意可知的横坐标为，设，由折叠的性质可知，根据勾股定理得到，即，设直线解析式为，根据待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：令，得，解得，即； 令，得，即； （2）解：∵是长方形，在边上， ∴的横坐标为， 设， 由折叠的性质可知， ∵，， ∴， 即， 解得， 即， 设直线解析式为， 代入、得， 解得， 即直线解析式为． 24．如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解，再证明，进一步可得答案； （2）利用等面积法求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴的面积为：． （2）解：如图，过作于， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴中边上的高的长度为． 25．如图，在数轴上，O为原点，正方形的边落在数轴的正半轴上（点C在原点右侧）．已知正方形的面积为，点 E 在边上，且的面积为 ． (1)用含 a的式子表示与的长； (2)在数轴上是否存在点 P，使?若存在，用含a的式子表示点 P 所表示的数，说明理由； (3)设（2）中所求点 P 表示的数为 p，化简 并说明它在数轴上的几何意义． 【答案】(1)， (2)解：存在， ∵，， ∴， 在数轴上，到原点距离为的点有两个，分别位于原点的两侧， ∴点 P 所表示的数为或； (3)或，在数轴上的几何意义为：表示数轴上点到表示数的点（即点）的距离与点到原点的距离之和 【详解】（1）解：∵正方形的面积为， ∴， ∴， 在正方形中，，且的面积为 ， ∴， ∴， 解得； （2）略 （3）解：由（2）知点 P 所表示的数为或， 当点 P 所表示的数为时， ； 当点 P 所表示的数为时， ； 在数轴上的几何意义为：表示数轴上点到表示数的点（即点）的距离与点到原点的距离之和． 26．在平面直角坐标系中，若，满足． (1)直接写出：___________，__________； (2)如图1，，，以A点为顶点、为腰，在第三象限作等腰．求点C的坐标； (3)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴上向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰，当点D在第四象限时，过D作轴于E点，求的数量关系 【答案】(1)2，4 (2) (3) 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，，进而可得，据此即可得出点的坐标； （3）过点作轴于点，于是可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由是等腰直角三角形可得，，进而可得，于是可得，利用可证得，于是可得，由轴可得，根据题意可知，再结合，进而可得，则，于是得解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 解得：，； （2）解：由（1）知，，即，， 如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ； （3）解：如图，过点作轴于点， ， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ∴； 根据题意可知：， 又， ∴， ， ， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷二（第1章～4章） 一、选择题（共16分） 1．如图，长方形操场的长为，宽为，恒恒站在点处，足球在点处，恒恒要想捡到足球，他最少应跑（     ） A． B． C． D． 2．在下列实数：，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．A，B两艘舰艇的位置示意图如图所示，下列选项中描述舰艇B相对舰艇A的位置正确的是（     ） A．北偏东， B．北偏东， C．南偏西， D．南偏东， 4．下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（     ） A．1、2、3 B．3、5、6 C．5、12、13 D．6、7、8 5．如果函数是的正比例函数，那么的值为（     ） A．0 B．1 C．0或2 D．2 6．某广场计划用A，B两种瓷砖（如图1）铺成如图2所示的图案．从下往上、从左往右数，第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（    ） A．位于的是B种瓷砖 B．位于的是B种瓷砖 C．位于的是A种瓷砖 D．位于的是B种瓷砖 7．已知满足，则以的值为两边长的等腰三角形的周长是（     ） A．或 B． C． D．以上答案都不对 8．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 二、填空题（共20分） 9．在平面直角坐标系中，点与点关于x轴对称，则的值是______． 10．若点在函数的图象上，则代数式的值是______． 11．有一个边长为1的正方形，以它的一条边为斜边，向外作一个直角三角形，再分别以直角三角形的两条直角边为边，向外各作一个正方形，称为第一次“生长”；如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2026次后形成的图形中所有的正方形的面积和是______． 12．若最简二次根式与是同类二次根式，则_____． 13．某饮料厂生产一种饮料，经测算，用1吨水生产的饮料所获利润y（元）与1吨水的买入价x（元）的关系如下表： 1吨水的买入价x（元） 2 4 6 8 10 利润y（元） 202 200 198 196 194 当1吨水生产的饮料所获的利润为197元时，买入10吨水共需______元． 14．在中，，，如图，点的坐标为，点的坐标为．点的坐标为________． 15．如图，在中，为上一点，为上一点，．若，，则的长为________． 16．如图，在水平地面上，有一棵高的大树和一棵高的小树，两树之间的水平距离是．若一只小鸟从小树的顶端飞到大树的顶端，则小鸟至少飞行________m． 17．如图，在直角三角形中，，，边在数轴上．点A表示的数为1，点C表示的数为4，以点A为圆心，为半径画弧交数轴负半轴于点，则点表示的数是__________． 18．如果实数、满足，且恰好是直角三角形的两边长，则的斜边长是_____． 三、解答题（共64分） 19．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 20．已知一次函数． (1)当m、n为何值时，函数的图像过原点? (2)当m、n满足什么条件时，函数的图像经过二、三、四象限? 21．《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何．大意是：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈（1丈尺）的正方形．在水池正中央O处有一根芦苇，它高出水面的部分为1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面，即． (1)求水池的深度． (2)数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，给出了这类问题的一般解法．其解法可表示为：如图，将水池底面边长记作2a，O为的中点，水的深度记作b，芦苇高出水面的部分记作，则水池的深度b可通过计算得到．请说明此解法的正确性． 22．如图，在平面直角坐标系中，直线l为第一、三象限的角平分线．定义点P关于y轴的对称点为P的一次反射点，记为，关于直线l的对称点称为点P的二次反射点，记为．例如，点的一次反射点的坐标为，二次反射点的坐标为．根据定义，回答下列问题： (1)点的一次反射点的坐标为________，二次反射点的坐标为________； (2)若的一次反射点和的二次反射点重合，求的值． 23．如图①，已知直线与x轴、y轴分别交于点A、C，以、为边在第一象限内作长方形． (1)求点A、C的坐标； (2)如图②，将对折，使得点A与点C重合，折痕交于点D，求直线的解析式． 24．如图，在中，，，，，， (1)求的面积； (2)求中边上的高的长度． 25．如图，在数轴上，O为原点，正方形的边落在数轴的正半轴上（点C在原点右侧）．已知正方形的面积为，点 E 在边上，且的面积为 ． (1)用含 a的式子表示与的长； (2)在数轴上是否存在点 P，使?若存在，用含a的式子表示点 P 所表示的数，说明理由； (3)设（2）中所求点 P 表示的数为 p，化简 并说明它在数轴上的几何意义． 26．在平面直角坐标系中，若，满足． (1)直接写出：___________，__________； (2)如图1，，，以A点为顶点、为腰，在第三象限作等腰．求点C的坐标； (3)如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点在y轴负半轴上向下运动时，若以P为直角顶点，为腰作等腰，当点D在第四象限时，过D作轴于E点，求的数量关系 学科网（北京）股份有限公司 $