期中阶段复习能力提升卷一（第1章～4章）-2026-2027学年北师大版数学八年级上册

期中阶段复习能力提升卷一（第1章～4章） 一、选择题（共16分） 1．选材新风向|人文历史：郑州是我国八大古都之一，史谓“天地之中”，古为“商都”．下列选项能准确描述郑州位置的是（     ） A．河南省中部偏北 B．距离北京约690公里 C．东经，北纬 D．位于北京的西南方向 【答案】C 【分析】明确准确描述地理位置的方法进行求解即可． 【详解】解：选项A为模糊的区域描述，无法唯一确定郑州位置． 选项B仅有距离无方向． 选项C给出明确的经纬度范围，可准确描述郑州的位置． 选项D仅有方向无距离，均不能确定唯一位置． 2．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】估算出，再结合数轴即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴与最接近的数对应的点是． 3．如图，一次函数的图像经过点，则方程的解是（     ） A．4 B．1 C．3 D．2 【答案】D 【分析】利用方程的解就是一次函数当时对应的的值求解即可． 【详解】解：一次函数的图像经过点， 方程的解是． 4．下列表达式中，是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据正比例函数的定义逐一判断选项即可． 【详解】解：正比例函数形如（为常数，） ∵符合的形式，且， ∴A是正比例函数； ∵中自变量的次数为，不符合正比例函数形式， ∴B不是正比例函数； ∵含常数项，不符合的形式， ∴C不是正比例函数； ∵中一个值对应两个值，不是函数， ∴ D不是正比例函数． 5．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理计算笔筒内最长线段长度，结合图形铅笔露出笔筒，确定铅笔长度的取值范围，进而判断选项． 【详解】解：设铅笔长度为L， 由题意得，笔筒内能容纳的最长线段长度为，笔筒内能容纳的最短线段长度为， 铅笔露出笔筒， 铅笔长度L大于笔筒内部部分长度， ∵笔筒内部部分长度最小值为， ∴， A选项中的不满足，B、C、D选项均大于． 6．在中，，，则（    ） A．28 B．28或10 C．28或100 D．10 【答案】C 【详解】解：在中，，， ①若为斜边，则； ②若为斜边，则； ∴或． 【点睛】运用勾股定理时，一定要先弄清哪个角是直角，再分别确定哪条边是直角边，哪条边是斜边． 7．如图，将两块边长均为的正方形纸张沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，则大正方形的边长在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】B 【分析】先根据勾股定理求出大正方形的边长为，再通过比较、、的大小，确定在哪两个整数之间． 【详解】解：由题意得，大正方形的边长为， ， ， 即大正方形的边长在和之间． 8．已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据“关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列式求出m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：点，关于x轴对称， ，， 解得，， ． 二、填空题（共20分） 9．如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路→→绕过村庄间的大山；打通村与村间的隧道后，可直接从村到达村．已知，，则打通隧道后从村到村比原来减少的路程是________． 【答案】 【分析】根据勾股定理算出距离，再与原路线相比即可求解． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， ∴， 又∵ ∴打通隧道后从村到村比原来减少的路程：． 10．在平面直角坐标系中，若一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合条件的一次函数表达式：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一次函数图象经过的象限，判断出和的符号，写出满足条件的表达式即可． 【详解】解：∵一次函数（）的图象经过第二、三、四象限， ∴，， 取，，可得符合条件的一次函数表达式为． 11．如图，数轴上、两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点，则点所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据数轴上两点的距离以及对称的性质即可求出答案． 【详解】解：设点所对应的数是， 、两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点， ， ， ． 12．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是；若输入x的值是，则输出y的值是______． 【答案】9 【分析】依据输入x的值是7时，输出y的值是，得到b的值，进而得出当输入x的值是时，输出y的值． 【详解】解：当时,， 解得：， 当时，. 13．七巧板是一种中国传统益智玩具，可变换成千百种图案．如图是由七巧板拼成的“小船”，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___． 【答案】 【分析】由点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，在图上标注出原点位置及轴和轴位置，观察坐标系中点的位置即可求解． 【详解】 根据题意，由点的坐标为，点的坐标为，建立平面直角坐标系，找出原点位置，并在图上标注出轴和轴，观察坐标系可得点的坐标为． 14．若实数x，y满足，则的值为______． 【答案】1 【分析】算术平方根与绝对值均为非负数，两个非负数的和为0时，两项各自的取值均为0，据此求出x、y的值，再计算的结果． 【详解】解：∵，，且 ∴， ∴， 解得， ∴ 15．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为_______________． 【答案】 【分析】由勾股定理可得，由题意可得，，，即由此求出，结合图形即可解答 【详解】解：由勾股定理可得：， 由题意可得：，，， ∴， ∵， ∴，解得：， 由图形可得：图中阴影部分与正方形等底等高， ∴阴影部分的面积为． 16．设，则的值是 ___________． 【答案】 【分析】观察、的结构，先通过平方差公式计算的乘积，再利用幂的运算法则将高次幂的乘积转化为含的低次幂形式，简化计算过程． 【详解】解：∵，， ∴． 将所求代数式变形，利用积的乘方逆运算可得 ． ∵． ∴原式． 17．如图，已知正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，且．点P从点A出发，沿正方形的边顺时针走一圈，当以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形时，线段的长为__________． 【答案】 或 或 【分析】代表点从出发沿正方形边线运动的总路程．根据动点所在位置分四段讨论：在边、在边、在边、在边；结合图形选取成立的直角情况，添加辅助线，利用平方关系列式计算，舍去不符合取值范围的解． 【详解】正方形边长为，， ，． 在中，，由勾股定理 ， 设为点从出发沿边线走过的总路程， 情况1：点在边上， 为点从出发沿边线走过的总路程，当在上，走过的路程就是线段，即． 在中，， 过点作于，则，． 由题意可知，当， 根据勾股定理逆定理： 满足，符合题意． 此时． 情况2：点在边上， 为点从出发沿边线走过的总路程．从走到路程为， 所以，． 过作，垂足为，，，． 在中： 在中，： 由题意可知，当，根据勾股定理逆定理： ， 满足，符合题意． 连接，在中，，，． ， ， ， 情况3：点在边上，， 为点从出发沿边线走过的总路程．从总路程为，所以，． 、、在同一直线上． 在中，， 当点与点重合时，，此时． 此时，． ， ，满足为直角三角形． 此时． 情况4：点在边上（返回）， 为点从出发沿边线走过的总路程．从总路程为12，所以，． 中，， ， 从向移动，逐渐增大，，均随之变大，，不存在满足条件的直角三角形． 综上，当为直角三角形时，线段的长为或或． 18．将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列：                                  …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 【答案】 【分析】先得出这组数的通项规律，再找出范围内最大的完全平方数得到最大有理数，计算其序号，结合每行6个数的排列规律确定位置． 【详解】解：将这组数统一改写为根号形式，可得规律：第个数为， ∵， ∴这组数中所有数的被开方数最大为， ∵要得到有理数，被开方数需为完全平方数，且，， ∴这组数中最大的有理数， 令， 解得， ∴是第个数， ∵排列中每行有个数， ∴， 即第个数在第行第列，位置记为． 三、解答题（共64分） 19．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 20．已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相关知识是解题的关键 （1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式； （2）将代入（1）的关系式，计算求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴解析式为； （2）解：将代入得：， 解得． ∴x的值为． 21．如图，在中，，，点是边上一点，，． (1)试说明：是直角三角形； (2)求的面积． 【答案】(1)证明：在中， ，，， ，， 是直角三角形． (2) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形； （2）由是直角三角形可知，也为直角三角形，在中利用勾股定理求出的长，进而求出的长，从而以为底，为高求出的面积． 【详解】（1）略 （2）解：是直角三角形， ， ． 在中，由勾股定理得：， ， ． 22．为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 【答案】(1)A种20元/棵，B种5元/棵 (2)买A种10棵、B种90棵，最省费用650元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用及一次函数的性质（增减性）；掌握根据题意列出方程组和不等式确定变量范围，并利用一次函数增减性求最值是解题的关键．第一问通过设A、B两种花草单价为未知数，根据购买数量和总费用列出二元一次方程组并求解；第二问根据B种花草数量与A种的关系列出不等式确定变量范围，再结合费用函数的增减性求出最省费用及对应方案． 【详解】（1）解：设A种花草每棵x元，B种每棵y元， 列方程组： 第一个方程：， 第二个方程：． 化简第一个方程：， 第二个方程：， ②-第一个方程：，， 代入①：． 答：A种20元/棵，B种5元/棵． （2）解： 购买B种花草棵，由题意：，解得，又， 费用， ∵，W随m增大而增大，∴m最小时，W最省， 此时，（元）． 答：买A种10棵、B种90棵，最省费用650元． 23．如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 【答案】(1)海里 (2)海里 【分析】本题考查勾股定理的应用，垂线段最短,解决本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． （1）根据题意知：，根据“路程速度时间”分别得出，，再根据勾股定理得，代入数据计算即可； （2）过点作于点，根据垂线段最短，当该轮船的航线与重合时，根据垂线段最短，则的长即为该轮船行驶的最短距离，利用等积法求解即可； 掌握并能利用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 【详解】（1）解：∵两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，， ∴，，， ∴（海里）， 答：，两点之间的距离为海里； （2）如图，过点作于点， 当该轮船的航线与重合时，的长即为该轮船行驶的最短距离， ∵， ∴（海里）， 答：该轮船行驶的最短距离为海里． 24．如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 【答案】(1)， (2)t为10秒时，的面积等于面积的一半． 【分析】（1）由勾股定理求得，再根据题意列式即可； （2）根据题意得到的面积等于面积，即，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 由题意得，； （2）解：∵的面积等于面积的一半， ∴的面积等于面积， ∴， ∴， 解得， 答：t为10秒时，的面积等于面积的一半． 25．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 【答案】(1)①、；② (2)的值是1或2 【分析】本题主要考查点的坐标，读懂“等距点”的定义，而后根据概念解决问题是解答本题的关键． （1）①找到x、y轴距离最大为3的点即可； ②根据等距点的定义可得，求出的值，即可得出点B的坐标； （2）根据“等距点”的定义，分和两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为3，点到x、y轴的距离中最大值为5， ∴与A点是“等距点”的点是，； 综上，为点的“等距点”的是点E，F； ②∵点到x、y轴的距离中最大值为3，且， ∵点的坐标为，且、两点为“等距点”， ∴， 解得或， ∴或， ∴点的坐标为或， ∵，、两点为“等距点”， ∴点的坐标为； （2）解：∵， ∴当，两点为“等距点”时，则有： ①，且， 解得或1，且， ∴； ②，且， 解得或，且或， ∴； 综上，的值为1或2． 26．再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用海伦公式进行计算即可； （2）利用秦九韶公式进行计算即可； （3）用等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴的面积； （2）解：∵，，， ∴这个三角形的面积为 ； （3）解：由题意，， ∵，，， ∴， ∴. 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中阶段复习能力提升卷一（第1章～4章） 一、选择题（共16分） 1．选材新风向|人文历史：郑州是我国八大古都之一，史谓“天地之中”，古为“商都”．下列选项能准确描述郑州位置的是（     ） A．河南省中部偏北 B．距离北京约690公里 C．东经，北纬 D．位于北京的西南方向 2．如图，数轴上，，，四个点所表示的数中，与最接近的数对应的点是（     ） A． B． C． D． 3．如图，一次函数的图像经过点，则方程的解是（     ） A．4 B．1 C．3 D．2 4．下列表达式中，是的正比例函数的是（     ） A． B． C． D． 5．如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔的长度不可能是（     ） A． B． C． D． 6．在中，，，则（    ） A．28 B．28或10 C．28或100 D．10 7．如图，将两块边长均为的正方形纸张沿对角线剪开，拼成如图所示的一个大正方形，则大正方形的边长在（     ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 8．已知点，关于x轴对称，则的值为（     ） A．0 B． C．1 D． 二、填空题（共20分） 9．如图，在村与村之间有一座大山，原来从村到村，需沿道路→→绕过村庄间的大山；打通村与村间的隧道后，可直接从村到达村．已知，，则打通隧道后从村到村比原来减少的路程是________． 10．在平面直角坐标系中，若一次函数（k，b为常数，且）的图象经过第二、三、四象限，请写出一个符合条件的一次函数表达式：________． 11．如图，数轴上、两点表示的数分别为和，点关于点的对称点是点，则点所表示的数为___________． 12．根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入x的值是7，则输出y的值是；若输入x的值是，则输出y的值是______． 13．七巧板是一种中国传统益智玩具，可变换成千百种图案．如图是由七巧板拼成的“小船”，建立平面直角坐标系，若点的坐标为，点的坐标为，则点的坐标为___． 14．若实数x，y满足，则的值为______． 15．如图，在中，分别以这个三角形的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，若．则图中阴影部分的面积为_______________． 16．设，则的值是 ___________． 17．如图，已知正方形的边长为4，点E，F分别在边，上，且．点P从点A出发，沿正方形的边顺时针走一圈，当以E，F，P为顶点的三角形是直角三角形时，线段的长为__________． 18．将一组数，，，，，，按图中的方法进行排列：                                  …… 若在第2行第3列的位置记为，在第3行第2列的位置记为，则这组数中最大的有理数的位置记为__________． 三、解答题（共64分） 19．计算下列各题： (1)； (2)； (3)； (4) 20．已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 21．如图，在中，，，点是边上一点，，． (1)试说明：是直角三角形； (2)求的面积． 22．为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 23．如图，两艘轮船同时从港口出发，一艘轮船以海里／时的航速沿正东方向航行，另一艘轮船以海里／时的航速沿正北方向航行，一小时后两艘轮船分别到达点，，此时两轮船沿航线汇合． (1)求，两点之间的距离； (2)若从港口派一艘轮船在航线上接应，求该轮船行驶的最短距离． 24．如图，在中，，，，点从点开始沿 边向点以的速度移动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示____，____ (2)t为何值时，的面积等于面积的一半？ 25．在平面直角坐标系中，对于、两点给出如下定义：若点到轴、轴的距离中的最大值等于点到轴、轴的距离中的最大值，则称、两点为“等距点”．下图中的、两点即为“等距点”． (1)已知点的坐标为． ①在点，，中，为点的“等距点”的是点 ； ②若点的坐标为，且、两点为“等距点”，则点的坐标为 ； (2)若，两点为“等距点”，求的值． 26．再谈海伦-秦九韶公式 材料1：古希腊的几何学家海伦（，约公元50年），在其著作《度量》一书中，给出了已知三角形三边长求其面积的海伦公式（其中、、为三角形的三边长，，为三角形的面积）； 材料2：我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为、、，三角形的面积为． 【解决问题】 (1)已知如图在中，，，．的面积______； (2)当的三边长分别为，，时，这个三角形的面积为________； (3)在（1）基础上，设边上的高为，边上的高为，边上的高为，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $